Exerccios para complementar os estudos de series Edo

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UFPB – CCEN – Departamento de Matemática 
Argumentação em Matemática – 2017.1 – Turmas 01 e 02 
Tarefa a ser realizada em dupla – para complementar os estudos 
 
Aluno(a):................................................................................... Matrícula:..... 
Aluno(a):................................................................................... Matrícula:..... 
 
1) Prove que se 𝑚 é um número inteiro ímpar, então existe algum 
inteiro 𝑘 tal que 𝑚2 = 8𝑘 + 1. 
 
2) Considere que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 sejam números reais, sendo 𝑥 > 𝑦. Mostre 
que se 𝑥𝑧 ≤ 𝑦𝑧, então 𝑧 ≤ 0. 
 
3) Demonstre que qualquer número natural 𝑛 é par se, e somente se, 
𝑛3 é par. 
 
4) Prove que não é verdade que, para qualquer inteiro 𝑗, 60 divide 𝑗 
se, e somente se, 6 divide 𝑗 e 10 divide 𝑗. 
 
5) Considere que 𝑥, 𝑦 e 𝑧 sejam números inteiros. Prove que se 𝑥𝑧 
divide 𝑦𝑧 e 𝑧 ≠ 0, então 𝑥 divide 𝑦. 
 
6) Considere que 𝑥 e 𝑦 sejam números reais. Demonstre que se 
5𝑥 + 100𝑦 = 349, então 𝑥 e 𝑦 não podem ser ambos inteiros. 
 
7) Prove que o produto de dois números inteiros consecutivos somado 
com o maior destes é um quadrado perfeito. 
 
8) Considere que 𝑎 e 𝑏 sejam números reais positivos. Demonstre que 
se 𝑎 < 𝑏 então 𝑎2 < 𝑏2. 
 
9) Prove que se 𝑥 é um inteiro qualquer então o resto da divisão de 𝑥2 
por 4 é ou zero ou 1. 
 
10) Considere que 𝐴 e 𝐵 sejam conjuntos tais que 𝐴 ⊆ 𝐵. Prove 
que se 𝐶 é um conjunto qualquer então (𝐶 − 𝐵) ⊆ (𝐶 − 𝐴). 
 
11) Consideremos que 𝒂 e 𝒃 sejam números inteiros. Dizemos 
que 𝒂 e 𝒃 são primos entre si quando acontece: se 𝒎 é um inteiro 
tal que 𝒎 divide 𝒂 e 𝒎 divide 𝒃, então 𝒎 = ±𝟏. Em outros 
termos, 𝒂 e 𝒃 são primos entre si quando os únicos divisores 
comuns ao número 𝒂 e ao número 𝒃 são 𝟏 e – 𝟏. 
 
Fazendo dessa definição, prove a seguinte proposição: 
Suponhamos que 𝑥 e 𝑦 sejam inteiros positivos. Mostre que as 
seguintes afirmações são equivalentes: 
i) 𝑥 e 𝑦 são primos entre si. 
ii) 𝑥 + 𝑦 e 𝑥 são primos entre si. 
iii) 𝑦 e 𝑥 + 𝑦 são primos entre si.