Unidade 4 Limites

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Unidade 4 
 
Limites 
 
Limites de funções 
 
O conceito de Limite é importante na construção de muitos outros conceitos 
no cálculo diferencial e integral, por exemplo, as noções de derivada e de integral 
que serão abordados nos capítulos 4 e 5, que são os suportes de toda a construção das 
variáveis físicas, além da importância no cálculo de área e volumes. 
 
 
A Noção de limite 
 
A noção de limite fornece um caminho preciso para distinguir o 
comportamento de algumas funções que variam continuamente e o comportamento 
de outras funções que podem variar independente do modo como se controla as 
variáveis. 
 
É com base nisso, que pretendemos apresentar a você uma noção intuitiva de 
limite para que você possa observar o que ocorre com a função ( )f x , intuitivamente, 
quando x tende para um número real a ou quando x tende para mais ou menos 
infinito. Usaremos limites, por exemplo, para definir retas tangentes e gráficos de 
funções. Essa aplicação geométrica nos leva ao importante conceito de derivada de 
uma função que investigaremos, com detalhes, no Capitulo 4. 
 
Dada uma função f , você quer saber o que ocorre com os valores ( )f x , 
quando a variável x se aproxima de um ponto a . Para você entender isto melhor, 
considere a função f definida pela expressão abaixo: 
 
(3 2)( 1)
( ) 
( 1)
x x
f x
x
+ −
=
−
. 
 
A função f está definida para todo x real exceto 1x = . Assim, se 1x ≠ , o 
numerador e o denominador de f podem ser divididos por ( 1)x − e você obtém 
( ) 3 2, para 1f x x x= + ≠ . 
 
Vamos estudar juntos os valores da função ( )f x , quanto x estiver próximo de 
1, mas não é igual a 1. Primeiro, vamos considerar valores de x cada vez mais 
 2 
próximo de 1, com 1x< e observarmos o que está acontecendo com ( )f x , conforme 
o quadro abaixo: 
 
 1x < 0 0,25 0,5 0,75 0,9 0,99 0,999 0,9999 0,99999 
( ) 3 2f x x= + 2 2,75 3,5 4,25 4,70 4,97 4,997 4,9997 4,99997 
 
Agora, vamos considerar que a variável x aproxima-se cada vez mais de 1, 
com 1x > e observar o que está acontecendo com ( )f x : 
 
1x > 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,00001 
( ) 3 2f x x= + 8 7,25 6,5 5,75 5,30 5,03 5,003 5,00003 
 
Observamos, em ambas quadros, que quando x se aproxima cada vez mais de 
1, a função ( )f x se aproxima cada vez mais de 5, em outras palavras, é possível obter 
o valor de ( )f x tão próximo de 5 quando desejarmos, desde que tomemos x 
suficientemente próximo de 1. Examine o gráfico de ( )f x abaixo. 
 
 
Figura 4.1 
 
Para x cada vez mais próximo de 1, ( )f x aproxima-se de 5 e escreve-se a 
seguinte expressão: 
1 1
lim ( ) lim(3 2) 5.
x x
f x x
→ →
= + = 
 
Lê-se: O limite da função ( )f x quando x aproxima-se de 1 é 5, ou ainda, o 
limite de ( )f x quando x tende a 1 é 5. Isto significa dizer que o valor da 
expressão 3 2x + cada vez mais aproxima-se de 5 a medida que os valores de 
x estão aproximando-se de 1. Quando 1 , ( ) 5.x f x→ → 
 
Consideremos agora a função f definida pela expressão 
1
13
)(
−
+
=
x
x
xf , para 
1≠x . 
 
Queremos saber o que ocorre com a função ( )f x quando x tende para 1 
através de valores de 1x > e o que ocorre com a função ( )f x quando x tende para 1 
 3 
através de valores de 1x < . Vejamos o que acontece com ( )f x no quadro abaixo, 
quando x tende para 1 através de valores de 1x > . 
 
1x > 3 2 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 ... 
3 1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
 5 7 11 19 43 403 4003 40003 ... 
 
Observamos que quando x tende para 1, através de valores de 1x > ou pela 
direita de 1, a função ( )f x cresce indefinidamente ou a função f tende para + ∞ e 
pode-se dizer que o limite de ( )f x quando x tende a 1 pela direita é + ∞ , 
1 , ( ) x f x+→ →+∞ e anota-se por 
1 1
3 1
lim ( ) lim .
1x x
x
f x
x+ +→ →
+
= = +∞
−
 
 
Vejamos o que acontece com ( )f x no quadro abaixo, quando x tende para 1 
através de valores de 1x < . 
 
1x < 1− 0 0,9 0,99 0,999 0,9999 ... 
3 1
( )
1
x
f x
x
+
=
−
 1 1− 37− 397− 3997− 39997− ... 
 
Observamos que quando x tende a 1, através de valores de 1x < ou pela 
esquerda de 1, os valores absolutos da função ( )f x crescem e são negativos ou a 
função f tende para −∞ e pode-se dizer que o limite de ( )f x quando x tende a 1 
pela esquerda é −∞ , -1 , ( )x f x→ → −∞ e anota-se por 
 
 1 1
3 1
lim ( ) lim
1x x
x
f x
x− −→ →
+
= = −∞
−
. 
 
Apresentaremos agora a definição formal de limite de uma função. 
 
Definição. Seja I um intervalo qualquer, a ∈ I e ( )f x uma função definida no intervalo I, 
(exceto eventualmente em a). Diz-se que o limite de ( )f x quando x tende a a é L , e escreve-
se lim ( ) ,
x a
f x L
→
= se para todo ε (epslon), 0ε > , existe um δ (delta), 0δ > , tal que 
( )f x L ε− < sempre que 0 x a δ< − < . 
 
Gráficamente, 
 4 
 
Figura 4.2 
 
 
 
Propriedades dos limites 
 
A seguir daremos algumas propriedades importantes do conceito de limite. 
Essas propriedades serão utilizadas freqüentemente no decorre do trabalho. 
 
P1 – Unicidade do limite 
 
Se 1lim ( )
x a
f x b
→
= e 2lim ( )
x a
f x b
→
= , então 1 2b b= . 
 
P2 – Se m e b são constantes quaisquer, então lim ( )
x a
m x b ma b
→
+ = + . 
 
P3 – Se c é uma constante, então para qualquer número a , lim
x a
c c
→
= . 
 
P4 – lim
x a
x a
→
= . 
 
P5 – O limite da soma ou diferença de duas funções é igual a soma ou diferença dos 
limites dessas funções, isto é, se 
1lim ( )
x a
f x b
→
= e 2lim ( )
x a
g x b
→
= , 
então 
( ) 1 2lim ( ) ( )
x a
f x g x b b
→
± = ± . 
 
Observação. Se 1 1lim ( )
x a
f x b
→
= , 2 2lim ( )
x a
f x b
→
= , ..., lim ( )n n
x a
f x b
→
= , 
então 
( )1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n n
x a
f x f x f x b b b
→
± ± ± = ± ± ± . 
 5 
 
P6 – O limite do produto de duas funções é igual ao produto dos limites dessas 
funções, isto é, se 
1lim ( )
x a
f x b
→
= e 2lim ( )
x a
g x b
→
= , 
então 
( ) 1 2lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )
x a x a x a
f x g x f x g x b b
→ → →
⋅ = ⋅ = ⋅ . 
 
Observação: 6P é válida para n -funções. 
 
P7 – Se lim ( )
x a
f x b
→
= e n é qualquer inteiro, temos ( )lim ( ) n n
x a
f x b
→
= . 
 
P8 – Se 1lim ( )
x a
f x b
→
= e 2lim ( )
x a
g x b
→
= e 2 0b ≠ , então 
1
2
lim ( )( )
lim .
( ) lim ( )
x a
x a
x a
f x bf x
g x g x b
→
→
→
= = 
P9 – Se lim ( )
x a
f x b
→
= , então 
 lim ( ) lim ( ) .nn n
x a x a
f x f x b
→ →
= = 
 
 Neste caso, é necessário que b seja 0≥ e n qualquer inteiro positivo, ou 
quando 0b < n seja qualquer inteiro ímpar positivo. 
 
P10 – Se lim ( )
x a
f x b
→
= então lim ( )
x a
f x b
→
= . 
 
Exemplos. Use as propriedades e calcule os limites. 
 
(i) ( )3
1
lim 3 1
x
x x
→
− + . 
(ii) 
2
32
3 3 15
lim
6x
x x
x→
+ −
+
. 
(iii) 
3
2 5 2 3 5 11
lim .
1 3 1 2x
x
x→
+ ⋅ +
= =
− −
 
(iv) 
3
3
27
lim
3x
x
x→
−
−
. 
(v) 
21
1
lim
4 3x
x
x x→
−
− +
 
 
Resolução: 
 
(i) ( ) ( ) ( )33
1
lim 3 1 1 3 1 1
x
x x
→
− + = − − − + 
 1 3 1 3= − + + = 
 
 6 
(ii) 
2 2
3 32
3 3 15 3 2 3 2 15
lim
6 2 6x
x x
x→
+ − ⋅ + ⋅ −
=
+ +
 
 
12 6 15 3
8 6 14
+ −
= =
+
 
 
(iii) 
3
2 5 2 3 5 11
lim .
1 3 1 2x
x
x→
+ ⋅ +
= =
− −
 
 
(iv) Neste caso, 
 
( )3 327
3xx
x
−−
=
−
( )
( )
2 3 9
3
x x
x
+ +
−
2 3 9x x= + + 
 
( )
3
2
3 3
2
27
lim lim 3 9
3
3 3 3 9
27.
x x
x
x x
x→ →
−
⇒ = + +
−
= + ⋅ +
=
 
(v) Neste caso, 
 
( )
2
11
4 3
xx
x x
−−
=
− + ( )1x − ( ) ( )
1
33 xx
=
−−
 
 
( )21 1
1 1 1
lim lim .
4 3 3 2x x
x
x x x→ →
−
⇒ = = −
− + −
 
 
Exercícios propostos – 1 
 
Calcular os seguintes limites 
1) 
3
7
1 1
lim
x
x
x→
+ −
 . 2) 
0
1 3
lim
2x
x x
x→
+ − −
+
 
3) 
2
1 4 1
lim
x
x
x→
+ −
. 4) 
4
2
1
lim
1x
x
x→
−
−
 
5) 
0
2 2
lim
1x
x
x→
+ −
−
 6) 
2
22
1
lim
2 7 3y
y
y y→−
+
− +
 
Respostas. 1) 
1
7
. 2) 
1 3
2
−
. 3) 1. 4) 15. 5) 0. 6) 
1
5
. 
 
 
Limites Laterais 
 
a) Limite á direita 
 
 7 
Dizemos que b é o limite à direita de ( )f x no ponto 0x e escrevemos ( )
0
0 lim ( )
x x
b f x f x
+
+
→
= = 
quando 0x x→ para valores maiores que 0x . 
 
Figura 4.3 
 
b) Limite á esquerda 
 
 Dizemos que b é o limite à esquerda de ( )f x no ponto 0x e escrevemos 
( )
_
0
0 lim ( )
x x
b f x f x−
→
= = quando 0x x→ para valores menores que 0x . 
 
Figura 4.4 
 
Por exemplo, 
 
1. 
2, se 1
( )
3, se 1
x
f x
x
>
= 
− <
 
 
Figura 4.5 
 
Temos 
1
lim ( ) 3
x
f x
−→
= − 
e 
1
lim ( ) 2
x
f x
+→
= 
 
 8 
Observação: 
0
lim ( )
x x
f x b
→
= existe se e somente se 
_
00
lim ( ) lim ( )
x xx x
f x f x
+→→
= . 
 
2. 
, se 2
( )
1, se 2
x x
f x
x x
≤
= 
+ >
 
 
Figura 4.6 
 
Neste caso, 
2 2
lim ( ) lim 2
x x
f x x
− −→ →
= = 
e 
( )
2 2
lim ( ) lim 1 3
x x
f x x
+ +→ →
= + = . 
Observação: A função não precisa estar definida no ponto 0x para que os limites laterais 
existam. 
 
3. Seja ( )
x
f x
x
= , existe 
0
lim ( )
x
f x
→
? 
Temos 
1, se 0
1, se 0
x
x
x x
xx
x
x
 = >
= 
 = − <
−
 
Logo, 
 
0
lim ( ) 1
x
f x
−→
= − e 
0
lim ( ) 1
x
f x
+→
= . 
 
Como 
0 0
lim ( ) lim ( )
x x
f x f x
− +→ →
≠ ⇒ ∃
0
lim ( )
x
f x
→
, 
ou seja, 
0
lim
x
x
x→
 não existe. 
 
 9 
 
Exercícios propostos – 2 
 
Verificar se existe os limites seguintes: 
1) Seja 
3 1
( )
1
x
f x
x
−
=
−
, 
0
lim ( )
x
f x
→
∃ ? Resposta: não existe 
2) Seja 
3 8
( )
2
x
f x
x
+
=
−
, 
2
lim ( )
x
f x
→
∃ ? Resposta: não existe 
3) Seja 
2
( )
x
f x
x x
=
+
, 
2
lim ( )
x
f x
→
∃ ? Resposta: não existe 
4) Seja 
2
( )
x
f x
x
= , existe 
0
lim ( )
x
f x
→
? Resposta: não existe 
 
 
 Limites Infinitos e Limites no infinito 
 
a) Limites infinitos 
 
(i) lim ( )
x
f x
→∞
= ∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > tal 
que ( )x n f x k∀ > ⇒ > . 
 
Figura 4.7 
 
(ii) lim ( )
x
f x
→−∞
= −∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 
0n > tal que ( )x n f x k∀ < ⇒ < . 
 
 10 
(iii) lim ( )
x
f x
→−∞
= ∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > 
tal que ( )x n f x k∀ < ⇒ > . 
 
Figura 4.8 
 
(iv) lim ( )
x
f x
→∞
= −∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0n > 
tal que ( )x n f x k∀ > ⇒ < . 
 
 
 (v) lim ( )
x a
f x
→
= +∞⇔ dado 0k > arbitrário, existe em correspondência um número 0δ > 
tal que x∀ temos ( )x a f x kδ− < ⇒ > , isto é, quando x a→ , ( )f x assume valor 
que superam 0k > . 
 
Figura 4.10 
 
(vi) lim ( )
x a
f x
→
= −∞⇔ dado 0ε > arbitrário, existe em correspondência um número 0δ > 
tal que x∀ temos ( )x a f x kδ− < ⇒ < . 
 
Figura 4.11 
 11 
 
� Símbolos de indeterminação – Há varias maneira de identificar uma 
indeterminação. As sete situações ou símbolos dados abaixo são 
utilizados para identificar uma inderminação. 
 
00 , , , 0 , 1 , ,
0
∞ ∞∞ ∞−∞ ⋅∞ ∞ ∞
∞
. 
 
Observação: Seja c uma constante diferente de zero, então: 
(i) 
0
lim
0x
c c
x→
= = ∞ ; 
(ii) lim
x
c x c
→∞
⋅ = ⋅∞ = ∞ ; 
(iii) lim
x
x
c c→∞
∞
= = ∞ ; 
(iv) lim 0
x
c c
x→∞
= =
∞
. 
 
 
b) Limite no infinito 
 
Definição: Seja f uma função definida em um intervalo aberto ( , )a ∞ . Escrevemos 
lim ( )
x
f x L
→∞
= , 
quando o número L satisfaz a seguinte condição: para qualquer 0ε > , existe 0A > tal que 
( )f x L ε− < sempre que x A> . 
 
Definição: Seja f uma função definida em ( , )b−∞ . Escrevemos 
lim ( )
x
f x L
→−∞
= , 
se L satisfaz a seguinte condição: para qualquer 0ε > , existe 0B < tal que ( )f x L ε− < 
sempre que x B< . 
 
Observações 
 
a) As propriedades dos limites dadas inicialmente de 1P a 10P permanecem inalteradas 
quando substituímos x a→ para x→∞ ou x→−∞ . 
 
b) O resultado abaixo é muito importante para calcular limites, isto é, se n é um inteiro 
positivo, então: 
(i) 
1
lim 0
nx x→∞
= ; 
(ii) 
1
lim 0
nx x→−∞
= . 
 
c) É importante notar que 
 12 
0
1
lim
n
x x+→
= +∞ 
 e 
0
, se é par1
lim
, se é ímpar,nx
n
nx−→
+∞
= 
−∞
 
 
 onde n é um número inteiro positivo qualquer. 
 
 
c) Limites importantes 
 
1 - Seja 10 1( ) ( ) ...
n n
nf x P x a x a x a
−= = + + + , 0 0a ≠ : 
 
 (i) Quando x c→ , então 
lim ( ) ( )
x c
P x P c
→
= . 
 Por exemplo, 3 3
1
lim 3 1 3 1 1 3 1 2.
x
x
→
− = ⋅ − = − = 
 
 (ii) Quando x→±∞ , neste caso calculamos inicialmente para x→+∞ , 
 
( )
( ) [ ]
( )
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
0
0
lim ( ) lim 1 ...
lim lim 1 ...
lim 1 0 0 ... 0
lim
lim ( ).
n
n n
n nx x
n
n n
n nx x
n
x
n
x
x
aa x
P x a x
a x a x
aa x
a x
a x a x
a x
a x
P x
−
→+∞ →+∞
−
→∞ →+∞
→∞
→∞
→∞
 
= + + + 
 
 
= ⋅ + + + 
 
= ⋅ + + + +
=
=
 
Assim, 0lim
n
x
a x
→∞
 será +∞ ou −∞ , dependendo do sinal do 0a e também de n , inteiro 
seja par ou ímpar. 
 
 Agora, analisando quando x→−∞ vem 0lim
n
x
a x
→−∞
 também será +∞ ou −∞ . 
 
Por exemplo, 
 
(i) ( )2 2lim 2 1 lim 2
x x
x x x
→∞ →∞
+ − = = +∞ ; 
(ii) 4 3 4lim 4 10 lim 4
x x
x x x x
→−∞ →−∞
+ + − = = +∞ ; 
(iii) ( )3 2 3lim 7 lim
x x
x x x
→−∞ →−∞
− + + = − = +∞ ; 
(iv) ( )5 2 5lim 3 5 lim
x x
x x x x
→−∞ →−∞
− + = = −∞ . 
 
 13 
 
d) Limite de uma função racional 
 
 Seja 
( )
( )
( )
P x
f x
Q x
= , ( ) 0Q x x≠ ∀ , onde ( )P x e ( )Q x são polinômios em x . 
 
 (i) Quando x c→ , então 
( ) ( )
lim , ( ) 0
( ) ( )x c
P x P c
Q c
Q x Q c→
= ≠ , 
 
 quando 
( )
( ) 0 lim
( )x c
P x
Q c
Q x→
= ⇒ = ∞ . 
 Por exemplo, 
3 3
2 21
1 1 1 1 1 2 1
lim .
3 1 3 1 3 4 2x
x
x→
+ + +
= = = =
+ + +
 
 
 (ii) Quando x→±∞ . Analisamos inicialmente, quando x→ +∞ . Temos 
 
 
1
0 1
1
0 1
1
1
0
0 0
1
1
0
0 0
...( )
lim lim
( ) ...
1 ...
lim .
1 ...
n n
n
m mx x
m
n
n n
n n
mx
m m
m m
a x a x aP x
Q x b x b x b
aa x
a x
a x a x
bb x
b x
b x b x
−
−→+∞ →+∞
−
−→∞
+ + +
=
+ + +
 
+ + + 
 =
 
+ + + 
 Como 
1
1
0 0
lim 1 ... 1
n
n
n nx
aa x
a x a x
−
→∞
 
+ + + = 
 
 
 e 
1
1
0 0
lim 1 ... 1
m
m
m mx
bb x
b x b x
−
→∞
 
+ + + = 
 
, 
 então 
 
0 0
0 0
( )
lim lim lim
( )
n
n m
mx x x
a x aP x
x
Q x b x b
−
→+∞ →+∞ →∞
= = , 
 
isto é, o limite da função racional ( )f x é dado pelo limite da razão dos termos 
de maior grau dos polinômios ( )P x e ( )Q x . 
 
 Agora, analisando quando x→−∞ temos 
0
0
( )
lim
( )
n m
x
aP x
x
Q x b
−
→−∞
= . 
Por exemplo, 
 14 
 
(i) 
2 2
2 2
2 1 2 2 2
lim lim lim
5 3 5 5 5x x x
x x
x x→∞ →∞ →∞
+
= = =
−
. 
(ii) 
2 2
3 3
1
lim lim lim 0
1x x x
x x
x x x→−∞ →−∞ →−∞
= = =
+
. 
(iii) 
2 21
lim lim lim
2 2 2x x x
x x x
x x→∞ →∞ →∞
+
= = = ∞ . 
 
A seguir apresentaremos alguns exemplos de calculo de limite. 
 
Exemplo. Determinar 
2 5
lim
8x
x
x→∞
−
+
. 
Resolução: Neste caso, temos uma indeterminação do tipo 
∞ 
 ∞ 
. Temos 
2 5
2 5
lim lim
88
5
2
2 0
lim 2.
8 1 0
1
x x
x
x
x x
xx
x
x
x
→∞ →∞
→∞
−
−
=
++
 −  − = = =
+ + 
 
 
 
Exemplo. Calcular 
3
5
2 3 5
lim
4 2x
x x
x→−∞
− +
−
. 
Resolução: 
3
3 5
55
5
2 4 5
5
2 3 5
2 3 5
lim lim
4 24 2
2 3 5
0 0 0
lim 0.
2 4 0
4
x x
x
x x
x x x
xx
x
x x x
x
→−∞ →−∞
→∞
− +
− +
=
−−
− + − +
= = =
−−
 
 
Exemplo. Determinar 
(i) 
2
2
2
3 1
lim
6x
x x
x x+→
+ +
+ −
. 
(ii) 
2
2
2
3 1
lim
6x
x x
x x−→
+ +
+ −
. 
(iii) 
2
22
3 1
lim
6x
x x
x x→
+ +
+ −
. 
 15 
 
Resolução: 
(i) 
( ) ( )
2 2
2
2 2
3 1 3 1
lim lim ,
6 2 3x x
x x x x
x x x x+ +→ →
+ + + +
=
+ − − +
 quando 2 2 0x x+ +→ ⇒ − → 
 
4 6 1 11
.
0 5 0+ +
+ +
= = = ∞
⋅
 
 
(ii) 
( )( )
2 2
2
2 2
3 1 3 1
lim lim ,
6 2 3x x
x x x x
x x x x− +→ →
+ + + +
=
+ − − +
 quando 2 2 0x x− −→ ⇒ − → 
 
4 6 1 11
.
0 5 0− −
+ +
= = = −∞
⋅
 
 
(iii) Conforme (i) e (ii), podemos concluir que 
 
2
22
3 1
lim
6x
x x
x x→
+ +
+ −
 não existe. 
 
Observação. Muitas vezes, calculamos o limite de uma maneira formal, escrevemos que 
 
2
22
3 1
lim
6x
x x
x x→
+ +
= ∞
+ −
, 
 
sem nos preocuparmos com o sinal, o que devemos cuidar, ou seja estamos considerando uma 
coisa que não existe. 
 
Exemplo. Determinar 
2
2 5
lim
2 5x
x
x→−∞
+
−
. 
 
Resolução: Como no exemplo anterior, dividimos numerador e denominador por x . 
Neste caso, temos x→−∞ , os valores de x podem ser considerados negativos. 
Então, para o denominador, tomamos 2x x= − . 
 
 Sabemos que 
, se 0
, se 0
x x
x
x x
>
= 
− <
. 
 
 Neste caso, também 
2
2
, se 0
, se 0
x x
x
x x
 >
= 
− <
. 
 
Então, temos 
 16 
 
2
2
5
lim 2
2 5
lim
52 5
lim 2
x
x
x
x x
x
x
→−∞
→−∞
→−∞
++
=
 −
− − 
 
 
 
2 0 2
2
2 0 2
+
= = = −
− − −
 
 
 
 
Exercícios propostos – 3 
 
Determinar os seguintes limites: 
1) 
3
2
2 5
lim
5 7 4x
x
x x→∞
+
+ +
. 2) 3
2
1
lim
x
x x
x→∞
 + + 
 
. 
3) ( )5 3lim 3 4 1 .
x
x x
→∞
− + 4) 
4 3
3 2 4
3 2 7 5
lim
3 5 8 4x
x x x
x x x x→∞
− + +
+ − + +
. 
5) 
1
5 2
lim
7x
x
x→
− +
−
. 6) 
2 3
lim
2x
x
x→∞
+
+
. 
7) 
35
lim
8 2x
x
x→∞
−
+
. 8) 
4 2
4 3 6
2 3 2 1
lim
4 2 7 1x
x x x
x x x x→∞
+ + +
− + − +
. 
 
9) 
( ) ( )
3 2
2
4 3 1
lim
3 2 4x
x x x
x x→∞
+ + −
− − +
. 
 
Resposta. 
 
1) ∞ . 2) Zero. 3) ∞ . 4) 
3
5
− . 5) 
1
2
−
. 
 6) ∞ 7) −∞ . 8) Zero. 9) 
4
3
− 
 
 
 Continuidade de uma função 
 
Definição. Uma função f é contínua em um ponto ( )a D f∈ se 
 
(i) existe ( )lim
x a
f x
→
. 
(ii) ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= . 
 
� Condições de continuidade 
 
 17 
(i) ( )f a existe para ( )a D f∈ ; 
(ii) ( )lim
x a
f x
→
∃ , isto é, ( ) ( )lim lim
x ax a
f x f x
+ → −→
= ; 
(iii) ( ) ( )lim
x a
f x f a
→
= . 
 
� Conseqüências 
 
(i) Um ponto " "a em que ( )f x é chamado ponto de continuidade de ( )f x ; 
(ii) A função ( )f x é contínua em um intervalo [ ],a b se é contínua em todos os 
pontos do intervalo; 
(iii) Um ponto que não satisfaz a condição de continuidade chama-se ponto de 
descontinuidade. 
(iv) Se f e g são duas funções contínuas em a , então f g+ , f g− , f g⋅ , 
f
g
, 
( ) 0g a ≠ também são contínuas em a . 
(v) Uma função polinomial é contínua em todos os pontos de seu domínio. 
(vi) Uma função racional é contínua em todos os pontos de seu domínio. 
 
Exemplos. Examinar a continuidade das funções abaixo indicados nos pontos e analisar o 
gráfico. 
(i) ( )
x
g x
x
= no ponto 0x = . 
(ii) 
1, se 3
( ) 
4, se 3
x x
f x
x
− ≤
= 
>
 no ponto 3x = . 
 
Resolução: (i) Observe que ( )0 D f∉ 
0 0
lim lim 1
x x
x x
x x+ +→ →
= = e 
0 0
lim lim 1
x x
x x
x x− −→ →
−
= = − 
Logo, 
( )
0
lim
x
f x
→
∃ . 
 
 
Figura 4.12 
 
 18 
Logo, ( )f x é descontínua no ponto 0x = . 
 
(ii) A função ( )f x é descontínua no ponto 3x = , pois, 
3 3
lim ( ) lim( 1) 3 1 2
x x
f x x
− −→ →
= − = − = e 
3 3
lim ( ) lim 4 4
x x
f x
+ +→ →
= = , logo não existe 
3
lim ( )
x
f x
→
. 
 
Observe que (3) 3 1 2f = − = , mas isto não é suficiente para a continuidade de ( )f x . 
Seria necessário que se tivesse 
3
lim ( ) (3)
x
f x f
→
= o que jamais poderia ocorrer visto que 
não existe 
3
lim ( )
x
f x
→
. Veja o gráfico de ( )f x abaixo. 
 
-1 3
-2
x
y
0
2
4
 
Figura 4.13 
 
Definição Uma função f é contínua no conjunto X se f é contínua em todos os pontos de 
X. 
 
Por exemplo, a função 11 1 0( ) ...
n n
n nf x a x a x a x a
−
−= + + + + , 
 é continua em todos os pontos x R∈ . 
 
 
Exercícios propostos – 4 
 
1) Seja a função ( )f x definida por 
3, 1
( )
3 , 1 
x se x
f x
k se x
+ ≥
= 
− <
 
Determinar o valor da constante k tal que a função ( )f x seja contínua no 
ponto 1x = . 
 
2) Seja 
2 1, 2
( ) 5, 2
7 9, 2
x se x
f x se x
x se x
 + >

= =
 − <
 
Verificar se ( )f x é contínua em 2x = . 
 
 19 
3) Verificar se a função f definida por 
2
3
, 3
( ) 2, 3
4, 3
x x se x
f x x se x
se x
 − < −

= + > −
 = −
 
é contínua no ponto 3x = − . 
 
4) Seja 
1, 3
( ) 5, 3
8 , 3
x se x
f x se x
x se x
− <

= =
 − >
 
 
Verifique se ( )f x é contínua em 3x = . 
 
5) Determinar o valor de k de modo que a função ( )f x definida por 
4 
3
, 0
( )
7, 0
xe se x
f x
k se x
 ≠
= 
− =
 
seja contínua em 0x = . 
 
RESPOSTAS: 
1) 1k = − . 
2) Sim, ( )f x é contínua em 2x = . 
3) A função dada não é contínua em 3x = − . 
4) A função ( )f x não é contínua em 3x = . 
5) A função ( )f x será contínua em 0x = usando 2k = .