lista derivadas

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Derivadas - 1
a
 Lista de Exercícios 
Engenharia/ Ciclo Básico 2017.1 
Cálculo I 
 
1. Determinar a equação da reta tangente às seguintes curvas, nos pontos indicados. 
Esboçar o gráfico em cada caso. (Exercícios 4.7, Diva). 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 1; 𝑥 = 1 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 + 6; 𝑥 = −1 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥(3𝑥 − 5); 𝑥 =
1
2
 
2. Determine a equação da reta tangente em (𝑝, 𝑓(𝑝)) sendo dados: (Exercícios 
7.2, Guidorizzi). 
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥
 e 𝑝 = 2 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥 e 𝑝 = 9 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 e 𝑝 = 1 
3. Dada a função 𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0
𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
, verificar se existe 𝑓′(0). Esboçar o 
gráfico. (Exercícios 4.7, Diva). 
4. Dada a função 𝑓(𝑥) =
1
2𝑥−6
, verificar se existe 𝑓′(3). (Exercícios 4.7, Diva). 
5. Mostre que a função 𝑔(𝑥) = {
2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
−𝑥 + 4, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 não é derivável em 𝑝 = 1. 
(Exercícios 7.2, Guidorizzi). 
6. Seja 𝑔(𝑥) = {
𝑥2 + 2, 𝑠𝑒 𝑥 < 1
2𝑥 + 1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 1
 (Exercícios 7.2, Guidorizzi). 
a) Mostre que 𝑔 é derivável em 𝑝 = 1 e calcule 𝑔′(1); 
b) Esboce o gráfico de 𝑔. 
7. Calcule a derivada das seguintes funções: (Exercícios 7.7, Guidorizzi). 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 − 2𝑥2 + 4 
b) 𝑓(𝑥) = 5 + 3𝑥−2 
c) 𝑓(𝑥) = 2√𝑥
3
 
d) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥
+
5
𝑥2
 
e) 𝑓(𝑥) = 7(𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) (Exercícios 4.12, Diva, e os demais itens abaixo) 
f) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)(3𝑥2 + 6) 
g) 𝑓(𝑥) = (3𝑥5 − 1)(2 − 𝑥4) 
h) 𝑓(𝑥) =
2𝑥+4
3𝑥−1
 
i) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥+2
(3𝑥2 + 6𝑥) 
j) 𝑓(𝑡) =
(𝑡−𝑎)2
𝑡−𝑏
 
8. Calcule 𝑓′(𝑥). (Exercícios 7.7, Guidorizzi) 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 sin 𝑥 
b) 𝑓(𝑥) =
cos 𝑥
𝑥2+1
 
c) 𝑓(𝑥) = 3 cos 𝑥 + 5 sec 𝑥 
d) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
tan 𝑥
 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥3 + √𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 
f) 𝑓(𝑥) = 4 sec 𝑥 + 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥 
g) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 cos 𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ln 𝑥 + 2𝑒𝑥 
i) 𝑓(𝑥) =
𝑥+1
𝑥 ln 𝑥
 
j) 𝑓(𝑥) =
1+𝑒𝑥
1−𝑒𝑥
 
9. Determine a derivada.(Exercícios 7.11, Guidorizzi). 
a) 𝑦 = sin 4𝑥 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒3𝑥 
c) 𝑦 = sin 𝑡3 
d) 𝑔(𝑡) = ln(2𝑡 + 1) 
e) 𝑥 = 𝑒sin 𝑡 
f) 𝑦 = (sin 𝑥 + cos 𝑥)3 
g) 𝑓(𝑥) = √
𝑥−1
𝑥+1
3
 
h) 𝑦 = sin(cos 𝑥) 
10. Seja 𝑓: ℝ ⟶ ℝ derivável e seja 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡2 + 1). Supondo 𝑓′(2) = 5, calcule 
𝑔′(1). (Exercícios 7.11, Guidorizzi). 
11. Seja 𝑓: ℝ ⟶ ℝ derivável e seja 𝑔 dada por 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑒2𝑥). Supondo 𝑓′(1) = 2, 
calcule 𝑔′(0). (Exercícios 7.11, Guidorizzi). 
12. Derive. (Exercícios 4.16, Diva) 
a) 𝑓(𝑥) = 10(3𝑥2 + 7𝑥 − 3)10 
b) 𝑓(𝑡) = (7𝑡2 + 6𝑡)7(3𝑡 − 1)4 
c) 𝑓(𝑥) = √(3𝑥2 + 6𝑥 − 2)2
3
 
d) 𝑓(𝑥) = 23𝑥
2+6𝑥 
e) 𝑓(𝑠) =
1
2
(𝑎 + 𝑏𝑠)ln(𝑎+𝑏𝑠) 
f) 𝑓(𝜃) = 2 cos 𝜃2 . sin 2𝜃 
g) 𝑓(𝑥) = 3 tan(2𝑥 + 1) + √𝑥 
h) 𝑓(𝑥) = (𝑎𝑟𝑐 sin 𝑥)2 
i) 𝑓(𝑡) = 𝑎𝑟𝑐 cos(sin 𝑡) 
j) 𝑓(𝜃) = 𝑎𝑐𝑜𝑡𝑔 𝜃, 𝑎 > 0 
13. Calcule a derivada segunda. (Exercícios 7.11, Guidorizzi) 
a) 𝑦 = sin 5𝑡 
b) 𝑦 = 𝑒−𝑥
2
 
c) 𝑦 =
𝑒𝑥
𝑥+1
 
d) 𝑦 = ln(𝑥2 + 1) 
e) 𝑦 = 𝑥 𝑒
1
𝑥 
f) 𝑦 = 𝑥 √𝑥 + 2
3
 
14. Seja 𝑔: ℝ ⟶ ℝ diferenciável tal que 𝑔(1) = 2 e 𝑔′(1) = 3. Calcule 𝑓′(0), 
sendo 𝑓 dada por 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥𝑔(3𝑥 + 1). (Exercícios 7.11, Guidorizzi) 
15. Expresse 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 em termos de 𝑥 e 𝑦, onde 𝑦 = 𝑓(𝑥) é uma função derivável dada 
implicitamente pela equação (Exercícios 7.13, Guidorizzi) 
a) 𝑥2 − 𝑦2 = 4 
b) 𝑦3 + 𝑥2𝑦 = 𝑥 + 4 
c) 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑦 = 0 
d) 𝑥 𝑒𝑦 + 𝑥𝑦 = 3 
e) 5𝑦 + cos 𝑦 = 𝑥𝑦 
f) 𝑦 + ln(𝑥2 + 𝑦2) = 4 
16. A função 𝑦 = 𝑓(𝑥) é dada implicitamente pela equação 𝑥𝑦 + 3 = 2𝑥. Mostre 
que 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 2 − 𝑦. Calcule 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
|
𝑥=2
 (Exercícios 7.13, Guidorizzi) 
17. (Exercícios 4.7, Diva) Um corpo se move em linha reta, de modo que sua 
posição no instante 𝑡 é dada por 𝑓(𝑡) = 16𝑡 + 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 8, onde o tempo é 
dado em segundos e a distância em metros. 
a) Determinar a velocidade do corpo num instante qualquer 𝑡; 
b) Achar a velocidade do corpo no instante 𝑡 = 3; 
c) Determinar a aceleração no instante 𝑡. 
18. (Exercícios 4.7, Diva) Influências externas produzem uma aceleração numa 
partícula de tal forma que a equação de seu movimento retilíneo é 𝑦 =
𝑏
𝑡
+ 𝑐𝑡, 
onde 𝑦 é o deslocamento e 𝑡 o tempo. 
a) Qual a velocidade da partícula no instante 𝑡 = 2? 
b) Qual é a equação da aceleração? 
19. (Exercícios 5.3, Diva) Numa granja experimental, constatou-se que uma ave em 
desenvolvimento pesa em gramas 𝑊(𝑡) = {
20 +
1
2
(𝑡 + 4)2, 0 ≤ 𝑡 < 60
24, 4𝑡 + 604, 60 ≤ 𝑡 ≤ 90
, onde 
𝑡 é medido em dias. 
a) Qual a razão de aumento do peso da ave quando 𝑡 = 50? 
b) Quanto a ave aumentará no 510 dia? 
c) Qual a razão de aumento do peso quando 𝑡 = 80? 
20. (Exercícios 5.3, Diva) Uma peça de carne foi colocada num freezer no instante 
𝑡 = 0. Após 𝑡 horas, sua temperatura, em graus centígrados, é dada por: 
𝑇(𝑡) = 30 − 5𝑡 +
4
𝑡+1
, 0 ≤ 𝑡 ≤ 5. 
Qual a velocidade de redução de sua temperatura após 2 horas? 
21. (Exercícios 5.3, Diva) Seja 𝑟 a raiz cúbica de um número real 𝑥. Encontre a taxa 
de variação de 𝑟 em relação a 𝑥 quando 𝑥 for igual a 8. 
22. (Exercícios 3.3, J. Stewart) Se uma bola for empurrada ladeira abaixo, sobre um 
plano inclinado, a uma velocidade inicial de 5 𝑚/𝑠 a distância que ela rola, após 
𝑡 segundos, será dada por 𝑠 = 5𝑡 + 3𝑡2. 
a) Determine sua velocidade após 2 𝑠. 
b) Quando longe ela estará do ponto de partida quando sua velocidade atingir 
35 𝑚/𝑠?