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ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
27
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de 
diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
28
Exemplo: termómetro de mercúrio
2.3 Sistemas térmicos
Os sistemas térmicos transmitem e armazenam energia térmica 
(quantidade de calor)
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
29
Exemplo: termómetro de mercúrio
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
30
Exemplo: termómetro de mercúrio
Uma equação diferencial de 1ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
31
Exemplo: cilindro doméstico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
32
Exemplo: cilindro doméstico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
33
Exemplo: cilindro doméstico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
34
Exemplo: cilindro doméstico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
35
Exemplo: cilindro doméstico
Uma equação diferencial de 1ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
36
Analogia eléctrico-térmico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
37
Analogia eléctrico-térmico
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
38
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
39
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de 
diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
40
2.4 Sistemas fluidicos
1
1
2
1 2
( ) ( ) 
( ) ( ) 
dx u t d t
dt
dx d t d t
dt
= −
= −
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
41
1
1 1 2
2
1 1 2 2 2
 [ ( ) ( )] ( ) 
 [ ( ) ( )] ( )
dx k x t x t u t
dt
dx k x t x t k x t
dt
= − − +
= − −
1
1
2
2
1
1
K
R
K
R
=
=
1
1
2
1 2
( ) ( )
( ) ( )
dx d t u t
dt
dx d t d t
dt
= − +
= −
1 1 1 2
2 2 2
( ) [ ( ) ( )]
( ) ( )
d t k x t x t
d t k x t
= −
=
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
42
1
1 1 1 2
2
1 1 1 2 2
2 2
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
y(t)= ( )
dx k x t k x t u t
dt
dx k x t k k x t
dt
k x t
= − + +
= − +
Sistema
u y
x
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
43
TABELA DE ANALOGIAS
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
44
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de 
diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
45
2.5 Sistemas químicos
¾ envolve os princípios básicos de termodinâmica, cinética, fenómenos 
de transporte, etc.
¾ Um sistema químico recebe materiais e energia do exterior, fornece 
materiais e energia ao exterior e dentro dele acontecem reacções 
químicas. 
¾ aplica-se o princípio geral de conservação de massa e de energia (nada 
se perde, tudo se transforma).
¾ Genericamente, o princípio de conservação do componente S do 
sistema é dada pela equação de balanço.
acumulação de S fluxo de S para fluxo de S para quantidade de S
dentro do sistema dentro do sistema fora do sistema g
intervalo intervalo intervalo
de tempo de tempo de tempo
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − +⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
quantidade de S
erada no sistema consumida no sistema
intervalo intervalo
de tempo de tempo
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
S pode ser a massa total, a massa de um componente individual, 
a energia total.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
46
: :
: :
Balanço mássico total:
Balanço mássico para o componente 
 
( ) 
( ) ( ) 
:
i j
i i j j
i entradas j saídas
A A
A i A j
i entradas j saídas
d V F F
dt
d n d C V c F c F
dt dt
A
r
ρ ρ ρ= −
= = − ±
∑ ∑
∑ ∑
: :
( ) 
Balanço energético total: 
i i i j j j s
i entradas j saídas
V
dE d U K P Fh F h Q W
dt dt
ρ ρ+ += = − ± ±∑ ∑
Assim, para um sistema químico genérico, poderemos escrever
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
47
densidade do material do sistema
densidade do material do fluxo de entrada 
dendidade domaterial do fluxo de saída 
volume total do sistema
caudal volumétrico da entrada 
caudal volumétr
i
j
i
j
i
j
V
F i
F
ρ
ρ
ρ
�
�
�
�
�
� ico da saída 
número de moles do componente no sistema
concentração molar (moles/volume) de no sistema
concentração molar de na entrada 
concentração molar de na saída 
taxa de r
i
j
A
A
A
A
j
n A
c A
c A i
c A j
r
�
�
�
�
� eacção por unidade de volume para o componente no sistema
entalpia esecífica do material na entrada 
entalpia específica do material na saída 
, , energia interna(U), cinética( ) e potencial 
i
j
A
h i
h j
U K P K
�
�
� ( )
quantidade de energia trocada entre o sistema e o seu ambiente por unidade de tempo
trabalho (shaft work) trocado entre o sistema e o seu ambiente por unidade de tempos
P
Q
W
�
�
Aplicando a um sistema qualquer obtêm-se equações diferenciais de 1ª 
ordem, que constituem o seu modelo matemático.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
48
Exemplo: aquecimento de um tanque bem agitado (stirred-tank) 
Seja um tanque que está a ser alimentado por um caudal de líquido Fi (m3/min) 
à temperatura Ti (ºC). No tanque é aquecida por uma serpentina a vapor onde 
entra um caudal de vapor de Fv kg/min. Do tanque sai um caudal F de líquido à 
temperatura T. O tanque está bem agitado e por isso a temperatura da saida é 
iguala temperatura dentro do tanque. O vapor de aquecimento, ao perder energia 
na serpentina condensa, saindo o condensado para o exterior.
 
1 1( )
i
i i
p
Fdh F
dt A A
dT QF T T
dt Ah Ah cρ
= −
= − +
(de Stephanopoulus)
Note-se que este sistema 
químico é a conjugação de 
um fluídico com um térmico 
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
49
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de 
diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
50
2.6 Sistemas biológicos
Modelo Lotka-Volterra de predador-presa
Este modelo descreve a interacção biológica entre duas espécies, na 
relação particular em que uma, predadora, come a outra, a presa. 
ƒ leão-gazela, pássaro-insecto, pandas-eucaliptos, etc.. 
Hipóteses simplificadoras:
ƒ a espécie predadora é totalmente dependente da presa (único
alimento).
ƒ a presa tem uma quantidade ilimitada de alimentos
ƒ a presa só tem um predador, o que está a ser considerado e não tem 
outras limitações.
Na natureza as coisas são mais complicadas, mas ainda assim
poderemos desenvolver um modelo aceitavelmente complexo.
http://www.math.duke.edu/education/ccp/materials/engin/predprey/pred2.html
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
51
Se existirem zero predadores, a presa não tem qualquer 
limite ao seu crescimento e por isso cresce exponencialmente.
Sendo x(t) a população actual no instante t, a sua taxa de 
crescimento será, sendo a uma constante:
( ) ( )dx t ax t
dt
=
Mas havendo predadores ?
O crescimento será menor, os predadores introduzem um 
factor negativo nesta equação.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
52
Se y(t) for a população de predadores no instante t
ƒ Cada um deles tem certa probabilidade de encontrar uma 
presa. 
ƒ Essa probabilidade é tanto maior quanto mais predadores 
existirem e tanto maior quanto mais presas existirem. 
Por isso se pressupõe que
ƒ a taxa de encontros entre um predador e uma presa é
conjuntamente proporcional ao tamanho das duas populações
ƒ dos encontros realizados,uma parte b fixa resulta na morte da 
presa
( ) ( ) ( ) ( )dx t ax t bx t y t
dt
= −
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
53
Quanto à população de predadores, y, se não tiver 
alimentos morre a uma velocidade proporcional ao 
seu tamanho (C), ou seja, neste caso,
( ) ( )dy t cy t
dt
= −
por não haver energia para novos nascimentos.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
54
Ora felizmente para os predadores existem presas, e por isso 
eles vão aí buscar energia para se reproduzirem. 
Por cada encontro predador - presa há uma parte p que 
resulta em alimentos para o predador e por isso a sua 
população variará de acordo com 
( ) ( ) ( ) ( )dy t cy t px t y t
dt
= − +
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
55
Juntando as equações obtidas obtém-se o modelo de Lotka-Volterra
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
dx t ax t bx t y t
dt
dy t cy t px t y t
dt
= −
= − +
composto por duas equações diferenciais de 1ª ordem acopladas, que 
não podem ser resolvidas separadamente e para as quais não é
possível encontrar uma solução analítica (mas apenas 
computacional).
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
56
Pode-se mostrar que existe um par (xs, ys) para o qual dx/dt=dy/dt=0, 
isto é, as populações estão em equilíbrio e não variam ao longo 
do tempo. 
Para isso basta fazer
0 ( ) ( ) ( )
0 ( ) ( ) ( )
( )
[ ( )] ( ) 0 ( ) 0 [ ( )] 0
[ ( )] ( ) 0 ( ) 0 [ ( )] 0 ( )
ax t bx t y t
cy t px t y t
ay ta by t x t x t a by t b
cc px t y t y t c px t x t
p
= −
= − +
⎧ =⎪− = ∧ ≠ − =⎧ ⎧ ⎪⇒ ⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨− + = ∧ ≠ − + =⎩ ⎩ ⎪ =⎪⎩
um tal estado chama-se regime permanente ou estado 
estacionário. 
O seu valor depende das constantes a ,b ,c ,e p , os parâmetros do 
modelo.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
57
Existem modelos mais completos de duas populações.
Por exemplo em 
http://www.math.montana.edu/frankw//ccp/modeling/continuous/twovars/body.htm
encontra-se um modelo que inclui 
ƒ competição (luta pelos mesmos recursos) entre espécies,
ƒ interacção agressiva (combatem-se activamente, embora 
não se comam), 
ƒ cooperação ou simbiose (ajudam-se mutuamente), 
ƒ relação predador-presa, 
ƒ interacção forte-fraco (uma espécie está mais capacitada 
para sobreviver).
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
58
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de 
diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
59
2.7 Sistemas fisiológicos
Os sistemas fisiológicos compõem-se em grande 
medida de sistemas dos tipos que vimos (mecânicos, 
fluídicos, químicos, etc) que ao incluírem órgãos 
vivos adquirem, por sinergia, novas propriedades.
Usam-se frequentemente as analogias com os 
circuitos eléctricos para estudar as suas 
propriedades. 
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
60
Exemplo: um vaso sanguíneo 
( de Hoppensteadt,9)
1
1
2
2
volume do vaso
caudal de entrada
Pressão à entrada do vaso
caudal de saída
Pressão à saída
(Pressão exterior) 0 (referência)ext
V
Q
P
Q
P
P
�
�
�
�
�
�
Propriedades essenciais:
Resistência
oposição à circulação
Complacência
aumento do volume com 
aumento do caudal
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
61
( de Hoppensteadt,9)
Resistência do vaso
Para um vaso sem complacência, rígido, de volume constante e bem 
conhecido, teremos, como nos sistemas fluídicos, 
1 2P PQ
R
−=
A R chama-se resistência do vaso e teremos aqui um vaso de 
resistência.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
62
( de Hoppensteadt,9)
Complacência do vaso
Num vaso elástico sem qualquer resistência fluídica, a pressão na 
entrada é igual à pressão na saída, para qualquer valor de Q,
P1=P2=P
A relação entre a pressão P e o volume V do vaso pode ser 
aproximada pela relação
 VV CP C
P
= ⇒ =
em que a constante C se chama a complacência do vaso.
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
63
Combinando
VC
P
=1 2P PQ
R
−=
2 2 1dP P P
dt RC RC
= − +
V Q
• =
2 2 V CP=
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
64
P1 variável
2 2 1dP P P
dt RC RC
= − + 2 2 1dv v v
dt RC RC
= − +
v1 variável
C, Condensador Complacência, C
R, ResistênciaResistência, R
i , Corrente,Caudal, Q
Q, Carga, Volume, V
V, Tensão Pressão, P
Circuito eléctricoVaso 
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
65
ƒ Concluindo
• Usam-se frequentemente as analogias com 
os circuitos eléctricos para estudar as 
propriedades dos sistemas fisiológicos
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
66
2.1 Sistemas eléctricos
2.2 Sistemas mecânicos
2.3 Sistemas térmicos
2.4 Sistemas fluídicos
2.5 Sistemas químicos
2.6 Sistemas biológicos
2.7 Sistemas fisiológicos
2.8 Simulação de equações diferencias e de diferenças
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
67
2.8. Simulação das equações diferencias 
ƒ Modelização de sistemas continuos
• Equações diferenciais
• Somadores
• Ganhos (amplificadores)
• Integradores
ƒ Modelização de sistemas discretos
• Equações de diferenças
• Somadores
• Ganhos (amplificadores)
• Atrasos
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
68
Três blocos electrónicos básicos
2 1 0
t
o
x x dt c= +∫
∫
ƒ Sistemas continuos
• Equações diderenciais
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
69
Exemplo: Equação diferencial de 1ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
70
Exemplo: 2 equações diferenciais de 1ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
71
Exemplo: Equação diferencial de 2ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
72
Exemplo: 2 equações diferenciais de 2ª ordem
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
73
Simulação de equações diferenciais não lineares
Modelo de Lotka-Volterra
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
dx t ax t bx t y t
dt
dy t cy t px t y t
dt
= −
= − +
Diagrama no SIMULINK
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
74
ƒ Sistemas discretos
• Equações de diferenças ( 1) y( ) u( )y k a k b k+ = +
Três blocos electrónicos básicos
1
( ) ( 1)
( ) ( 1)
x k D x k
x k q x k−
= +
= +
1 D q−=
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
75
Simulação de equações de diferenças não-lineares
Modelo do crescimento de uma população isolada
2
1 (1 )k k k k kx Ax x Ax Ax+ = − = −
Diagrama no SIMULINK
2( 1) ( )[ 1 ( ) ] ( ) ( )x k Ax k x k Ax k Ax k+ = − = −
ADC/LEB/FCTUC/SBF/2005/Cap2
76
Conclusão
„ Na generalidade dos sistemas podem-se aplicar os 
princípios básicos (do respectivo domínio) para se obter 
um conjunto de equações diferenciais (nos sistemas 
contínuos) ou de diferenças (nos sistemas discretos), 
que são uma representação matemática do sistema e 
constituem por isso um modelo matemático. 
„ Esse modelo servirá para o estudo do comportamento do 
sistema (a sua evolução temporal, por exemplo) e 
contém características matemáticas que exprimem 
propriedades internas essenciais do sistema.
„ Obtido o modelo, importa saber como se vai usar, e é 
esse o tema dos próximos capítulos.

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