primitivas ubi

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Universidade da Beira Interior
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo I
Tabela de primitivas
Ano Lectivo 2007/2008 Cursos de Bioqu´ımica e Ensino de F´ısica e Qu´ımica
Primitivas Imediatas
Seja K ∈ R.∫
cdx = cx+K∫
f ′(x)fα(x)dx =
fα+1(x)
α+ 1
+K, para todo o α ∈ R \ {−1}∫
f ′(x)
f(x)
dx = ln |f(x)|+K∫
f ′(x)af(x)dx =
af(x)
ln a
+K, para todo o a ∈ R+ \ {1};
em particular, quando a = e temos
∫
f ′(x)ef(x)dx = ef(x) +K.∫
f ′(x) cos f(x)dx = sen f(x) +K∫
f ′(x) sen f(x)dx = − cos f(x) +K∫
f ′(x)
cos2 f(x)
dx = tg f(x) +K∫
f ′(x)
sen2 f(x)
dx = − cotg f(x) +K∫
f ′(x)√
1− f2(x)dx = arcsenf(x) +K = − arccosf(x) +K∫
f ′(x)
1 + f2(x)
dx = arctg f(x) +K = − arccotg f(x) +K∫
f ′(x) senh f(x)dx = cosh f(x) +K∫
f ′(x) cosh f(x)dx = senh f(x) +K
Primitivac¸a˜o por Partes
Sejam F, g : I → R duas func¸o˜es diferencia´veis no intervalo I, com F ′ = f para todo o x ∈ I.
O produto fg e´ primitiva´vel em I se e so´ se o produto Fg′ e´ primitiva´vel em I. Nestas condic¸o˜es
temos ∫
f(x)g(x)dx = F (x)g(x) −
∫
F (x)g′(x)dx.
Exemplo
Ca´lculo de uma primitiva da func¸a˜o h(x) = x ln x usando o me´todo de primitivac¸a˜o por partes.
Consideremos f(x) = x e g(x) = lnx, pelo que F (x) = x
2
2 e temos
∫
x lnxdx =
x2
2
lnx−
∫
x2
2
1
x
dx =
x2 lnx
2
− 1
2
∫
xdx =
x2 lnx
2
− x
2
4
+K.
2
Primitivac¸a˜o por Substituic¸a˜o
Sejam f : I → R uma func¸a˜o primitiva´vel no intervalo I e ϕ : J → I uma func¸a˜o diferencia´vel
no intervalo J e bijectiva. Enta˜o f(ϕ(t))ϕ′(t) e´ primitiva´vel e
∫
f(x)dx =
∫
f(ϕ(t))ϕ′(t)dt
com x = ϕ(t) e t = ϕ−1(x).
Exemplo Ca´lculo de uma primitiva da func¸a˜o h(x) =
x3√
x− 1 usando o me´todo de primitivac¸a˜o
por substituic¸a˜o. Consideremos
√
x− 1 = t, ou seja, x = ϕ(t) = t2 + 1 e, consequentemente,
ϕ′(t) = 2t. Temos enta˜o que
∫
x3√
x− 1dx =
∫
(t2 + 1)3
t
2tdt = 2
∫
t6 + 3t4 + 3t2 + 1dt = 2
(
t7
7
+ 3
t5
5
+ t3 + t
)
+K =
= 2
((√
x− 1)7
7
+ 3
(√
x− 1)5
5
+
(√
x− 1)3 +√x− 1
)
+K.
Seguem-se algumas sugesto˜es de mudanc¸as de varia´vel a efectuar para diferentes situac¸o˜es.
Sejam P e Q dois polino´mios a p varia´veis. Chamamos func¸a˜o racional em p varia´veis a uma
aplicac¸a˜o do tipo R(x1, . . . , xp) =
P (x1, . . . , xp)
Q(x1, . . . , xp)
, onde P (x1, . . . , xp) 6= 0.
Expressa˜o Substituic¸a˜o
f(x) = R
(
x
m1
n1 , x
m2
n2 , . . . , x
mp
np
)
x = tm.m.c.{n1,...,np}
f(x) = R
(
x,
(
ax+b
cx+d
)m1
n1
,
(
ax+b
cx+d
)m2
n2
, . . . ,
(
ax+b
cx+d
)mp
np
)
ax+b
cx+d = t
m.m.c.{n1,...,np}
f(x) = xα
(
a+ bxβ
)γ
xβ = t
f(x) = R
(
x,
√
ax2 + bx+ c
)
, a > 0
√
ax2 + bx+ c =
√
ax+ t
f(x) = R
(
x,
√
ax2 + bx+ c
)
, c > 0
√
ax2 + bx+ c = tx+
√
c
f(x) = R
(
x,
√
ax2 + bx+ c
)
, α ra´ız de ax2 + bx+ c
√
ax2 + bx+ c = t(x − α)
f(x) =
√
a2 − x2 x = a cos t ou x = a sen t
f(x) =
√
x2 − a2 x = a sec t ou x = a cosec t
f(x) =
√
x2 + a2 x = a tg t ou x = a cotg t
f(x) = R (senx, cosx) tg x2 = t
f(x) = R (senx, cosx) = R (− senx,− cosx) tg x = t
f(x) = R (ex) ex = t