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Geometria Euclidiana e Vetores
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1
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
DCEEng – Departamento de Ciências Exatas e Engenharias
Cursos: Matemática, Engenharia Civil, Elétrica,
Mecânica, Química e Ciência da Computação
Nome: ______________________________________________________
Professor: Emanueli Bandeira Avi
Email: emanueli.bandeira@unijui.edu.br
20 semestre de 2017.
2
Introdução
GEOMETRIA EUCLIDIANA OU GEOMETRIA PLANA
A geometria plana, a partir dos conceitos primitivos ponto, reta e plano, foi a base da
matemática desde o livro de Euclides (300 a.C.) até o Renascimento (séc. XV). Poucos
progressos foram realizados neste período obscuro da história.
GEOMETRIA ANALÍTICA
Com o renascimento e as ideias de liberdade, as ciências experimentais tiveram significativo avanço.
São personagens desta época Leonardo da Vinci e Galileu Galilei.
A Geometria Analítica, junção da álgebra com a geometria teve suas bases lançadas no século XVII
por dois matemáticos franceses, Renè Descartes e Pierre de Fermat.
VETORES
Tiveram sua origem na representação de números complexos e grandezas físicas. Suas bases foram
definidas no século XVIII. Vetores são objetos matemáticos, que para serem devidamente caracterizados,
deve-se conhecer seu módulo, direção e sentido. O deslocamento de uma partícula de um ponto A até um ponto
B é um exemplo de vetor. Seu módulo é dado pela distância entre os pontos A e B, sua direção é a reta que
liga esses dois pontos e seu sentido é do ponto A até o ponto B. Deve-se observar que o vetor deslocamento
não conserva qualquer outra informação sobre a trajetória da partícula. Muitas grandezas da física são vetores
como força, velocidade e deslocamento.
Notação: A geometria analítica admite como elementos primitivos os pontos, as retas e os planos.
PONTOS: São representados por letras latinas maiusculas. Ex.: A,B,C..., P,Q...
RETAS: São representadas por letras latinas minusculas. Ex.: a, b, c ..., r, s, t ...
PLANOS: São representados por letras gregas minusculas. Ex: α, β,...,π...
3
1. VETORES
As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As
grandezas escalares se caracterizam por sua intensidade ou tamanho (um
número e sua unidade correspondente), como por exemplo: o tempo, a
massa, a temperatura, comprimento, etc. As grandezas vetoriais se caracterizam por três componentes, ou seja,
intensidade, direção e sentido. São exemplos de grandezas vetoriais: a força, o momento linear, o
deslocamento, etc.
1.1 Reta Orientada – Eixo
Uma reta r é orientada quando se fixa nela um sentido de percurso, considerado positivo e indicado
por uma seta. O sentido oposto é negativo. Uma reta orientada é denominada eixo.
1.2 Segmento Orientado
Um segmento Orientado é determinado por um par ordenado de pontos, o primeiro chamado origem
do segmento, o segundo chamado extremidade.
O segmento orientado de origem A e extremidade B será representado por AB e, geometricamente,
indicado por uma seta que caracteriza visualmente o sentido do segmento.
1.2.1 Segmento Nulo
Um segmento nulo é aquele cuja extremidade coincide com a origem.
É um ponto Ex: AA, PP
1.2.2 Segmento Oposto
Se AB é um segmento orientado, o segmento orientado BA é oposto de AB.
4
1.2.3 Medida de um Segmento
Fixada uma unidade de comprimento, a cada segmento orientado pode-se associar um número real,
não negativo, que é a medida de segmento em relação àquela unidade. A medida do segmento orientado é seu
comprimento ou seu módulo. O comprimento do segmento AB é indicado por
AB
.
Assim, o comprimento do segmento AB representado na Figura abaixo é de 5 unidades de
comprimento:
Observações:
a) Os segmentos nulos têm comprimento igual a zero.
b)
AB
=
BA
1.2.4 Módulo, direção e sentido
Módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B) que é definido como sendo do
tamanho do segmento geométrico AB .
Direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se prolongarmos o segmento
orientado além da sua origem e da sua extremidade através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua
direção.
Sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flecha que o representa.
5
1.3 Segmento Equipolente
Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando tem a mesma direção, o mesmo sentido
e o mesmo comprimento.
Se os segmentos AB e CD não pertencem à mesma reta, para que AB seja equipolente a CD é
necessário que AB//CD e AC/BD, isto é, ABCD deve ser um paralelogramo.
a) Dois segmentos nulos são sempre equipolentes.
b) A equipolência dos segmentos AB e CD é representada por AB ~ CD
1.4 Vetor
São segmentos de reta orientados que tem comprimento, direção e sentido.
Representação: Características de um vetor:
Módulo: comprimento do segmento AB.
Direção: reta pontilhada que liga os pontos A e B.
Sentido: é o sentido da seta.
Simbolicamente, denotamos os vetores por letras em negrito ou com uma flecha em cima da letra.
1.4.1 Vetores iguais
Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB ~CD
Ex:
6
u
v
u
v
1.4.2 Vetores Nulos
Qualquer ponto do espaço e representante do vetor nulo ou zero, que e indicado por
0
(a origem
coincide com a extremidade). Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentidos definidos, considera-se o
vetor nulo paralelo a qualquer vetor.
1.4.3 Vetores Opostos
Dois vetores são opostos, se possuem o mesmo modulo, mesma direção e sentidos opostos.
Ex:
1.4.4 Vetores Unitário
É um vetor de modulo 1, ou seja, |u| = 1
1.4.5 Versor
A cada vetor
0, vv
, é possível associar um vetor unitário de mesma direção. O vetor
u
que tem
mesmo sentido de
v
é chamado versor de
v
.
Ex:
1.4.6 Vetores Colineares
Dois vetores são colineares se tiverem a mesma direção, ou seja, estão na mesma reta ou estão em retas
paralelas. Ex:
u
v
7
1.4.7 Vetores Ortogonais
Dois vetores
u
e
v
são ortogonais, e indica-se
u
v
, se
u
formar angulo reto com
v
. Considera-
se o vetor nulo ortogonal a qualquer vetor.
Ex:
1.4.8 Vetores Coplanares
Dois vetores ou mais são coplanares, se existir algum plano onde estes vetores estão representados.
Ex:
Dois vetores sempre serão coplanares, porém, três ou mais vetores poderão ser ou não coplanares.
1.5 Operações com Vetores
1.5.1 Adição de Vetores
Para todos os vetores
u
e
v
, a operação de adição de
u
e
v
faz corresponder um vetor chamado soma,
indicado por
s
=
u
+
v
.
a) Vetores na mesma direção e mesmo sentido:
A resultante tem origem na origem do vetor
u
e
extremidade na extremidade do vetor
v
.
v
u
w
8
b) Vetores na mesma direção e sentidos contrários:
Vetores na mesma direção e sentido contrário: basta subtrair os valores
numéricos para calcular o módulo, a direção conserva-se, porém o
sentido será o do vetor de valor numérico maior.1.5.2 Diferença de Vetores
Sejam
v
e
w
dois vetores quaisquer. A diferença de
v
com
w
é o vetor
wv
determinado
da seguinte maneira: posicione
v
e
w
de tal modo que seus pontos iniciais coincidem. O vetor do
ponto final de
w
ao ponto final de
v
é então o vetor
wv
, conforme mostra a figura a seguir:
1.5.3 Multiplicação por um Número Real
Dado um vetor
v
0 e um número k 0, chama-se produto de um número real k pelo vetor
v
o
vetor
p
:
a) de módulo
vkp
b) de mesma direção do vetor
v
c) de mesmo sentido de
v
se k > 0 e sentido oposto ao de
v
, se k < 0
Propriedades da Multiplicação por um número real
I) Associativa:
vbavba ...
II) Distributiva em relação à adição de escalares:
vbvavba ...
III) Distributiva em relação à adição de vetores:
vauavua ...
IV) Identidade:
vv.1
9
Ex:
Obs.: Se
u
e
v
são paralelos e
0u
, então existe α real tal que:
uv .
Se
0v
, então α > 0 ou α < 0 conforme
u
e
v
tem respectivamente, mesmo sentido ou sentido
contrário.
Exemplo:
Os vetores
u
e
v
são paralelos,
u
tem modulo 30 e
v
modulo 50. Pela observação acima, podemos
escrever
uv . . Determine α nos casos:
a)
u
e
v
têm mesmo sentido;
b)
u
e
v
têm sentido contrário.
Problemas Resolvidos:
1) Dizer para que lado o bloco irá se deslocar e calcular a força resultante.
2) Regra do polígono: Sejam dois vetores
u
e
v
, estabeleça o vetor soma.
u
v
v
v2
v
v2
10
3) Represente no plano cartesiano os seguintes vetores:
a)
5,3
v
b)
3,2
v
c)
7,4
v
4) Dados os vetores
u
,
v
e
w
, de acordo com a figura, construir os vetores:
a)
swvu
2
1
32
b)
swvu
u
v
w
5) Dados os vetores
2,1
u
e
3,2
v
, utilizando a regra do polígono, represente no plano
cartesiano: a)
vu
b)
vu
6) Sabendo que o ângulo entre os vetores
a
e
b
é de
045
, determinar os ângulos
formados pelos vetores:
a)
a
e
b
b)
a
e
b
11
2. VETORES NO 2R E NO 3R
Vimos vetores do ponto de vista geométrico e, no caso, eles eram representados por um segmento de
reta orientada. Agora vamos estudar outra forma de representa-los: os segmentos orientados estarão
relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano e do espaço.
2.1 Decomposição de um Vetor no Plano
Dados dois vetores
1
v
e
2
v
, não colineares, qualquer vetor
v
(coplanar com
1
v
e
2
v
) pode ser
decomposto segundo as direções de
1
v
e
2
v
. O problema consiste em determinar dois vetores cujas direções
sejam as de
1
v
e
2
v
e cuja soma seja
v
. Iremos determinar dois números reais
1a
e
2a
tais que:
v
=
1a
1
v
+
2a
2
v
Exemplos:
1) Dados os vetores
1
v
e
2
v
não colineares e
v
, a figura mostra como é possível formar um paralelogramo
em que os lados são determinados pelos vetores
1a
1
v
+
2a
2
v
e, portanto a soma deles é o vetor
v
, que,
corresponde à diagonal desse paralelogramo:
2) Na figura seguinte os vetores
1
v
e
2
v
são mantidos e consideramos um outro vetor
v
:
Quando o vetor
v
estiver representado por:
v
=
1a
1
v
+
2a
2
v
Dizemos que
v
é combinação linear
de
1
v
e
2
v
. O par de vetores
1
v
e
2
v
, não colineares, é chamado de base no plano. Os números
1a
e
2a
da
representação são chamados componentes ou coordenadas de
v
em relação à base.
12
Na prática, as bases mais utilizadas são as bases ortonormais. Uma base {e1, e2} é dita ortonormal se
os seus vetores forem ortogonais e unitários, isto é:
21
ee
.
Existem infinitas bases ortonormais no plano xOy, porém uma delas é
particularmente importante. Trata-se da base formada pelos vetores representados
por segmentos orientados com origem em O e extremidade nos pontos (1,0) e (0,1).
Estes vetores são simbolizados com
i
e
j
e a base {
i
,
j
} é chamada canônica:
2.2 Expressão Analítica
Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representa por
),( yxv
que é a
expressão analítica de
.
v
O primeiro componente x é chamado abcissa e a segundo, ordenada. Dado um vetor
v
existem únicos x,y
tais que:
jyixv .
, ou seja,
jyixyxv .),(
Exemplos:
1) Encontre o par ordenado dos seguintes vetores:
a)
ji 53
=
b)
ji
c)
j3
=
O vetor
jyixv
será também representado por
v
= (x, y).
d) O par (x, y) é chamado de expressão analítica de
v
.
e) Em resumo, vetor no plano é um par ordenado (x, y) de números reais.
f) Exemplos: Na figura ao lado, represente os vetores por
sua expressão analítica:
u
=
j3i2
, pode-se escrever
u
= (2, 3)
g)
v
=
ji2
, pode-se escrever
v
= (2, - 1).
h)
w
= -i +
j
=
z
= 3
j
=
a
= - 2 i =
i
j
13
2.3 Igualdade de vetores
2.3.1 Igualdade
Dois vetores
),( 11 yxu
e
),( 22 yxv
são iguais se, e somente se,
21 xx
e
21 yy
, e escreve-
se
vu
.
Exemplos:
1) Os vetores
)5,3(
u
e
)5,3(
v
são iguais.
2) Se o vetor
)4,1(
xu
é igual ao vetor
)62,5(
yv
, de acordo com a definição de igualdade dos
vetores:
2.3.2 Operações
Sejam os vetores
),( 11 yxu
e
),( 22 yxv
e a
. Define-se:
a)
u
+
v
=
),( 2121 yyxx
b) a
u
=
),( 11 ayax
Portanto, para somar dois vetores, somam-se as suas coordenadas correspondentes, e para multiplicar
um vetor por um número, multiplica-se cada componente do vetor por este número.
Exemplos:
1) Dados os vetores
)1,4(
u
e
),6,2(
v
calcular
vu
e 2
u
.
14
As definições e as operações algébricas dos números reais permitem demonstrar as propriedades citada:
2)Dados os vetores
)1,3(
u
e
),4,2(
v
determinar o vetor que
)34(2)2(3 uwuvw
.
3) Encontre os números reais 1a e 2a tais que 2211
vavaw, sendo ),2,1(1
v )2,4(2
v e
).8,1(
w
15
2.4 Vetor definido por dois pontos
Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da origem do
sistema. Consideremos o vetor AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em B(x2, y2) .
De acordo com o que foi visto anteriormente, os vetores
OA
e
OB
têm expressões analíticas:
11 , yxOA
e
22 , yxOB
Do triângulo OAB temos:
OBABOA
onde
OAOBAB
, então:
1122 ,, yxyxAB
ou
1212 , yyxxAB
isto é, as componentes de AB são obtidas subtraindo-se das coordenadas da extremidade B as coordenadas
da origem A, razão pela qual também se escreve AB =B - A.
É importante assinalar que os componentes do vetor AB , calculados por meio de B-A, são sempre os
mesmo componentes do representante OP com origem no início do sistema. Este detalhe fica claro na Figura
2.4-b onde os segmentos orientados equipolentes AB, CD e OP representam o mesmo vetor (3,1).
AB =B-A=
CD
=D-C=
A
B
x 0
y
16
Exemplo: Dados os pontos A(-1,2), B(3,-1), C(-2,4), determinar D(x,y) de modo que
.
2
1
ABCD
2.5 Condição de Paralelismo
Sejam dois vetores
),( 11 yxu
e
),( 22 yxv
são paralelos, existe um número real a tal que
u
a
v
, ou seja:
),( 11 yx
),( 22 yxa
ou
),( 11 yx
),( 22 ayax
Dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais.
Exemplo: Verifique se os vetores são paralelos, dado
)4,2(
u
e
)2,1(
v
.
DESAFIO: Sendo
1,2A
e
2,5B
, vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e
3,4M
o ponto de intersecção das diagonais determinar os vértices C e D.
Resolução de Exercícios – Lista 01
17
2.6 Decomposição no Espaço
Todo o estudo de vetores feito até aqui, no plano, pode ser realizado no espaço de forma análoga,
consideradas as adequações necessárias. Se um vetor no espaço for posicionado com seu ponto inicial na
origem de um sistema de coordenadas retangulares, como mostra a figura abaixo, então as coordenadas do
ponto final são escritas da seguinte forma:
Problemas Resolvidos
1) Represente graficamente no plano cartesiano:
a) A(1,2,-1) b)B(2,3,-4) c)C(-1,3,2)
d)D(2,-3,4) e)E(-2,-3,-5) f)
)4,1,0(
v
18
2) Dados os ponto A(-1, 2, 3) e B(4, -2,0) determinar o ponto P tal que
ABAP 3
.
3) Determinar os valores de m e n para que sejam paralelos os vetores
u
(m+1, 3, 1) e
v
(4, 2, 2
1
n
).
4) Dados os pontos A(0, 1, -1) e B(1, 2, -1) e os vetores
u
(-2, -1, 1),
v
(3, 0, -1) e
w
(-2, 2, 2), verificar se existem os números
1a
,
2a
,
3a
, tais que
vauaABaw 321
.
Resolução de Exercícios – Lista 02
19
3. PRODUTO DE VETORES
3.1 Produto Escalar
Chama-se produto escalar de dois vetores
kzjyixu 111
e
kzjyixv 222
, e se
representa por
vu
ao número real:
212121 zzyyxxvu
O produto escalar de
u
por
v
também é indicado por
vu,
e se lê “
u
escalar
v
”.
Problemas Resolvidos
1) Se
kjiu 853
e
kjiv 24
, calcular
u
escalar
v
.
2) Se
u
(1, 0, -1) e
v
(-2, 1, 4), calcular
u
.
v
.
3) Dados os vetores
1,,4
u
e
3,2,
v
e os pontos
2,1,4 A
e
1,2,3 B
, determinar o valor de α tal que
5.
BAvu
.
20
3.2 Módulo de um Vetor
O módulo de um vetor é a sua distância da origem. É representado por
||
u
, sendo um número real
não negativo.
Dedução através do teorema de Pitágoras:
a) Versor de um vetor
Se o versor do vetor
v
do exemplo for designado por
u
, tem-se:
||
v
v
u
O versor é, na verdade, um vetor unitário, pois:
b) Distância entre dois pontos
A distância d entre os pontos A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) é assim definida:
|| ABABd
E, portanto,
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd
Problemas Resolvidos:
1) Sabendo que a distância entre os pontos A(-1, 2, 3) e B(1, -1, m) é 7, calcular m.
2) Determinar
para que o vetor
v
=(
4
1
,
2
1
,
) seja unitário.
21
3.3 Propriedades do Produto Escalar
Para quaisquer que sejam os vetores
111 ,, zyxu
,
222 ,, zyxv
,
333 ,, zyxw
e o número real α, verifica-se:
I) Comutativa:
uvvu
II) Distributiva em relação à adição de vetores:
wuvuwvu )(
III)
uvvuvu )(
IV)
0,0,00000
useuueuseuu
V) 2
uuu
3.4 Cálculo do Ângulo de Dois Vetores
O ângulo entre dois vetores
u
e
v
(não-nulos) é um valor que varia de 00 à 1800, este ângulo é
dado por:
vu
vu .
cos
Esta fórmula é de larga aplicação no cálculo de ângulo de dois vetores.
Observações:
OBS: a) Se
=
,
u
e
v
tem a mesma direção e sentidos contrários.
b)Se
=0,
u
e
v
tem a mesma direção e mesmo sentido.
22
3.4.1 Condição de Ortogonalidade de Dois Vetores
Dois vetores são ortogonais se, e somente se, o produto escalar deles é nulo, isto é, se:
u
.
v
= 0
Exemplo: seja
u
= (-2, 3, -2) é ortogonal a
v
= (-1, 2, 4), pois:
u
.
v
=
Problemas Resolvidos
1) Calcular o ângulo entre os vetores
u
=(1, 1, 4) e
v
= (-1, 2, 2).
2) Determinar os ângulos internos ao triângulo ABC, sendo A(3, -3, 3), B(2, -1, 2) e C(1, 0, 2).
3) Determinar um vetor ortogonal aos vetores
1v
= (1, -1, 0) e
2v
= (1, 0, 1).
23
3.5 Ângulos diretores e cossenos diretores de um Vetor
Seja o vetor
kzjyixv
. Ângulos diretores de
v
são os ângulos , e que
v
forma com
os vetores
i
,
j
e
k
, respectivamente :
Co-senos diretores de
v
são os co-senos de seus ângulos diretores, isto é,
cos
,
cos
e
cos
.
Utilizaremos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
v
x
v
zyx
iv
iv
1
0,0,1,,
cos
jv
jv
cos
kv
kv
cos
Propriedades:
1coscoscos 222
Problemas Resolvidos:
1) Calcular os co-senos diretores e os ângulos diretores do vetor
3,2,6
v
.
24
2) Os ângulos diretores de um vetor são
, 450 e 600. Determinar
.
3) Um vetor
v
forma com os vetores
i
e
j
ângulos de 600 e 1200,respectivamente.
Determinar o vetor
v
, sabendo que
2||
v
.
3.6 Projeção de um Vetor
Sejam os vetores
u
e
v
, com
0
u
e
0
v
, e o ângulo por eles formado. Pretendemos calcular
o vetor
w
que representa a projeção de
u
sobre
v
. A Figura abaixo ilustra as duas situações possíveis
podendo ser um ângulo agudo ou obtuso.
O vetor projeção de
u
sobre
v
wuproj
v
é:
v
v
v
v
uuproj
v
ou
v
vv
vu
uproj
v
25
Problemas Resolvidos
1) Determinar o vetor projeção de
4,3,2
u
sobre
0,1,1
v
.
2) Sejam os pontos
2,1,1 A
,
1,1,2B
e
3,5, mC
.
a) Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
26
3.7 Produto Escalar no R2
Todo estudo feito até aqui em relação ao vetores do R3 é válido também no R2. Considerando os vetores
11, yxu
e
22 , yxv
, temos:
a)
2121. yyxxvu
b) validade das mesmas propriedades do produto escalar
c) se é o ângulo entre
0
u
e
0
v
, então
vu
vu .
cos
d)
vu
se, e somente se,
0
vu
e)
v
vv
vu
uproj
v
Resolução de Exercícios – Lista 03
27
3.8 Produto Vetorial
Dados os vetores
kzjyixu 111
e
kzjyixv 222
, tomados nesta ordem, chama-se
produto vetorial dos vetores
u
e
v
, e se representa por
vu
, ao vetor:
222
111
zyx
zyx
kji
vu
OBS: O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar
vu .
que é um escalar (número real).
Problema Resolvido:
1) Calcular
vu
para
kjiu 345
e
kiv
.
3.9 Propriedades do Produto Vetorial
Veremos que algumas propriedades do produto vetorial estão intimamente relacionadas com
propriedades dos determinantes.
I)
0uu
, qualquer que seja
u
.
II)
uvvu
III)
wuvuwvu
IV)
vumvum
28
V)
0vu
, se e somente se, um dos vetores é nulo ou se
u
e
v
são colineares
VI)
vu
é ortogonal simultaneamente aos vetores
u
e
v
.
VII) 2222
.
vuvuvu
VIII) Se é o ângulo entre os vetores
u
e
v
não nulos, então:
senvuvu
3.10 Interpretação geométrica do Módulo do Produto Vetorial
Geometricamente, o módulo do produto vetorial dos vetores
u
e
v
mede a área do paralelogramo
ABCD determinado pelos vetores
u
= AB e v = AC .
Dedução da área:
Considerando o paralelogramo ABCD, cuja área é o dobro da área do triângulo. Conclui-se que a área
do triângulo é:
||
2
1
ACABA
29
Problemas Resolvidos
1) Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores
u
= (2, -6, 3) e
v
= (4, 3, 1)
2) Dados vetores
u
= (3, 6, -3) e
v
= (-1, -3, 4), calcular a área do paralelogramo determinado pelos
vetores.
3) Sejam os vetores
u
= (3, 1, -1) e
v
= (a, 0, 2). Calcular o valor de a para que a área do paralelogramo
determinado por
u
e
v
seja
62
.
4) Calcular a área do triângulo de vértices A(1, -2, 1), B(2, -1, 4) e C(-1, -3, 3)
Resolução de Exercícios – Lista 04
30
3.11 Produto Misto
Dados os vetores
kzjyixu 111
,
kzjyixv 222
e
kzjyixw 333
,
tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores
u
,
v
e
w
ao número real
u
.(
wv
). Indica-se
o produto misto por (
),,
wvu
. Tendo em vista que:
333
222
111
),,(
zzx
zyx
zyx
zvu
3.12 Propriedades do Produto Misto
I) O produto misto
wvu ,,
muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores. Em relação ao
exemplo anterior onde
wvu ,,
= 27, teríamos:
27,,
wuv
(permuta
u
e
v
)
27,,
uvw
(permuta
u
e
w
)
27,,
vwu
(permuta
v
e
w
)
Se em qualquer um destes três últimos produtos efetuarmos nova permutação de dois vetores, o
produto misto resultante volta a ser 27.
Então, se em relação ao produto misto
wvu ,,
ocorrer:
a) Uma permutação – haverá troca de sinal;
b) Duas permutações – não altera o valor.
Resulta desta propriedade que os sinais
e
podem ser permutados, isto é:
wvuwvu ..
II)
wvxwvuwvxu ,,,,,,
wxuwvuwxvu ,,,,,,
xvuwvuxwvu ,,,,,,
31
III)
wvuwvuwvuwvu ,,,,,,,,
IV)
0,,
wvu
, se e somente se, os três vetores forem coplanares.
Esta última propriedade continua válida em situações particulares, tais como:
a) Se pelo menos um dos vetores é nulo (o determinante é zero por ter uma fila de zeros e os três vetores
são coplanares);
b) Se dois deles forem paralelos (o determinante é zero por ter duas filas de elementos proporcionais ou
iguais e os três vetores são coplanares).
Observação:
Dizemos que quatro pontos A, B, C e D pertencem a um mesmo plano, se os vetores AB , AC e AD
forem coplanares, isto é:
0,,
ADACAB
Problemas Resolvidos:
1) Verificar se são coplanares os vetores
4,1,3
u
,
1,0,1
v
e
0,1,2
w
.
2) Qual deve ser o valor de m para que os vetores
u
(m, 2, -1),
v
(1, -1, 3) e
w
(0, -2, 4) sejam
coplanares?
32
3.13 Interpretação geométrica do módulo do produto misto
Geometricamente, o produto misto
wvu .
ou
wvu ,,
é igual, em módulo, ao volume do
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares
u
,
v
e
w
(figura abaixo):
Sabe-se que o volume V de um paralelepípedo é:
hAV b
Mas,
wvAb
e
cos
uh
É necessário considerar o valor absoluto
cos
, pois pode ser um ângulo obtuso. Logo, o volume
do paralelepípedo é:
cos
uwvV
ou
cos
wvuV
Fazendo: awv
, temos:
cos
auV
(*)
De acordo com a definição geométrica de produto escalar, temos:
cos.
auau
Logo,
cos.
auau
(**)
Comparando (*) com (**), temos:
auV .
Logo,
wvuV .
ou
wvuV ,,
h
33
3.13.1 Volume do Tetraedro
Todo paralelepípedo é equivalente a dois prismas triangulares de mesmo tamanho e, portanto o volume
pV
, de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo
VVp
2
1
. Por outro lado, sabemos que o
prisma pode ser repartido em três pirâmides de mesmo volume, sendo uma delas o tetraedro ABCD. Assim, o
volume
tV
do tetraedro é um terço do volume do prisma, isto é:
pt VV
3
1
VVt
2
1
3
1
VVt
6
1
ou
ADACABVt ,,
6
1
Problemas Resolvidos
1) Dados os vetores
u
= (x, 5, 0) e
v
= (3, -2, 1) e
w
= (1, 1, -1), calcular o valor de x para que o volume
do paralelepípedo determinado por
u
,
v
e
w
seja 24 u.v
2) Calcular o volume do tetraedro cujos vértices são:A(1, 2, 1),B(7, 4, 3),C(4, 6, 2) e D(3, 3, 3).
Resolução de Exercícios – Lista 05
34
I) Dados
u
,
v
e
w
abaixo, obter graficamente a soma:
a)
wu
b)
wv
c)
wvu
II) Represente no plano cartesiano os seguintes vetores:
a)
5,2
v
b)
2,3
v
c)
3,1
v
d)
3,0
v
e)
0,3
v
III) Dados os vetores
1,2
u
,
3,2
v
e
2,0
w
represente no plano cartesiano:
(Conferir o resultado no GeoGebra)
a)
vu
b)
vu
c)
wu
IV) Calcular a força F para equilibrar as forças aplicadas no bloco da figura abaixo.
V) Dados os vetores
u
e
v
da figura, mostrar, num gráfico, um representante do vetor:
a)
v u
b)
u2v
VI) Dados os vetores A, B e C, representados na figura em que
cada quadrícula apresenta lado correspondente a uma unidade
de medida, é correto afirmar que a resultante dos vetores tem
módulo:
a)1. b)2. c)3. d)4. e)6.
******************************************************
Resposta:
II)
a)
b)
Lista de Exercícios 01
35
c)
d)
e)
IV) F=30kg
V). a)
v u
V). b)
u2v
VI) a
********************************************************************************
EXERCÍCIOS – Operações com vetores
1) Sejam
1,3
u
e
0,4
v
. Encontre os componentes de:
a)
uv
b)
vu 26
c)
)4(5
uv
2) Dados os vetores
4,2
u
,
1,5
v
e
6,12
w
, determinar
1k
e
2k
tal que
vkukw .. 21
.
3) Dados os pontos
3,1A
,
0,1B
e
1,2 C
, determinar D tal que
BADC
.
4) Calcular o valor de x e y para que os vetores
4,1
xu
e
62,5
yv
sejam iguais.
5) Dados
1,4
u
e
6,2
v
, calcular:
a)
vu
b)
u2
6) Dados os vetores
1,3
u
e
2,1
v
, determinar o vetor
w
tal que:
a)
wuwvu 2
3
1
4
b)
uwuvw 34223
7) Dados os vetores
jiu 32
,
jiv
e
jiw 2
, determinar:
a)
vu2
b)
wvu
2
1
2
1
3
36
8) Dados os vetores
1,1
u
,
4,3
v
e
6,8
w
, calcular:
a)
u
b)
v
c)
w
d)
vu
e)
uw 3
f)
v
v
9) Calcular o valor de a para que o vetor
2,
au
tenha módulo 4.
10) Calcular o valor de a para que o vetor
2
1
,au
seja unitário.
Respostas:
1) a) (-7, 1) b) (-10, 6) c) (80, -20) 2)
11 k
e
22 k
3)
4,4 D
4) x = 4 e y = 5 5) a) (6, 7) b) (8, 2)
6) a)
2
15
,
2
15
w
b)
5
11
,
5
23
w
7) a) (3, -5) b) (13/2, -9)
8) a)
2
b)
5
c) 10 d)
13
e)
34
f) (-3/5, 4/5)
9)
32a
10)
2
3
a
Exercícios A
I) Traçar no mesmo sistema de eixos o retângulo de vértices:
A(0, 0, 1), B(0, 0, 2), C(4, 0, 2) e D(4, 0 ,1)
II) Dado o paralelepípedo ABCOFPDE:
a) Determinar as coordenadas do ponto P em relação aos três eixos;
b) Complete as coordenadas dos pontos, vértices do
paralelepípedo:
A( 2, 0, 0) pertence ao eixo OX
B( 2, 4, 0) pertence ao plano XOY
C(......,......,......) pertence
.......................................................
D(......,......,......) pertence
.......................................................
E (......,......,.....) pertence ......................................................
F(......,......,......) pertence .......................................................
O(......,......,......) pertence ......................................................
P(......,......,......) pertence .......................................................
Lista de Exercícios 02
37
Respostas
I)
II) a)P(2, 4, 3)
b) C(0, 4, 0) pertence ao eixo OY
D(0, 4, 3) pertence ao plano YOZ
E(0, 0, 3) pertence ao eixo OZ
F(2, 0, 3) pertence ao plano XOZ
O(0, 0, 0) origem
P(2, 4, 3) pertence aos 3 eixos
Exercícios B
1) Represente os seguintes vetores no espaço cartesiano:
a)
5,3,2
u
b)
0,1,3
u
c)
kjiu 2
2) Dados os pontos
1,3,2 A
e
2,5,4 B
, determinar o ponto P tal que PBAP .
3) Dados os pontos
3,2,2 A
,
5,1,1B
e o vetor
4,3,1
v
, calcular:
a)
vA 3
b)
vBA
4) Dados os pontos
2,4,3 A
e
0,1,2B
, determinar o ponto N pertencente ao
segmento AB tal que
ABAN
5
2
.
5) Dados os pontos
3,2,1 A
,
4,1,2 B
e
1,3,1 C
, determinar o ponto D
tal que
0CDAB
.
6) Sabendo que
wvu 243
, determinar a, b e c, sendo
cu ,1,2
,
3,2,
bav
e
0,1,4
w
.
7) Sabendo que o módulo do vetor formado pelos pontos
3,2,1A
e
mB ,1,1
é 7,
calcular m.
8) Determinar a e b de modo que os vetores
3,1,4
u
e
bav ,,6
sejam paralelos.
9) Dado o vetor
5,2,3
w
, determinar a e b de modo que os vetores
1,2,3
u
e
wbav 2,6,
sejam paralelos.
38
10) Dados os vetores abaixo,
u
e
v
, determinar:
a) as expressões analíticas dos vetores,
b) os módulos dos vetores,11) Dados os pontos A(2, -1) e B(-1, 4), determinar a distância entre os pontos A e B
12) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para: A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5)
13) Um projétil é lançado do solo segundo uma direção que forma 53° com a horizontal com uma
velocidade de 200 m/s. Determine o módulo dos componentes horizontal,
xv
, e vertical,
yv
, dessa
velocidade. (Dados: sen(53°) = 0,80; cos(53°) = 0,60)
14) Um vetor velocidade é decomposto em dois outros, perpendiculares entre si. Sabendo que o
módulo do vetor é 10 m/s e que um dos componentes tem módulo igual a 8 m/s, determine o módulo
do vetor correspondente ao outro componente.
Respostas:
2)
2/1,1,3 P
3) a)
9,7,5
b)
2,6,0
4)
5/6,2,1 N
5)
8,6,2 D
6) a = -1/2, b = 7/4 e c = 4 7) m = -3 e m = 9 8) a = 3/2 e b = -9/2
9) a = 9 e b = -15
10) a)
u
=(3, 2)
v
= (-1, 2) b) |
u
| =
13
|
v
| =
5
11)
34
12) D(2, -2) 13)
xv
= 120 m/s
yv
= 160 m/s 14) 6 m/s
39
1) Determine se
u
e
v
fazem um ângulo agudo, um ângulo obtuso ou se são ortogonais.
a)
4,1,6
u
,
3,0,2
v
c)
4,0,6
u
,
6,1,3
v
b)
1,0,0
u
,
1,1,1
v
d)
8,4,2
u
,
7,3,5
v
2) Dados os vetores
1,3,2
u
e
4,1,1
v
, calcular:
a)
vu .2
b)
uvvu 2.3
c)
vuvu .
d
uvvu .
3) Sejam os vetores
1,,2
au
,
2,1,3
v
e
4,2,12
aw
. Determinar a de
modo que
wvvuvu ..
4) Qual o valor de para que os vetores
kjia 42
e
kjib 3212 sejam
ortogonais?
5) Provar que os pontos A = (-1, 2, 3), B = (-3, 6, 0) e C = (-4, 7, 2) são vértices de um triângulo
retângulo.
6) Determinar o ângulo entre os vetores:
a)
1,1,2
u
e
2,1,1
v
b)
1,2,1
u
e
0,1,1
v
7) Determinar o vetor
v
, paralelo ao vetor
3,1,2
u
, tal que
42.
uv
.
8) Dados os vetores
3,2,1
u
,
1,0,2
v
e
0,1,3
w
, determinar o vetor
x
tal
que
16.
ux
,
0.
vx
e
3.
wx
.
9) Verificar se são unitários os seguintes vetores:
a)
1,1,1
u
b)
6
1
,
6
2
,
6
1
v
10) Seja o vetor
kjmimv 527
. Calcular m para que
38
v
.
11) Dados os pontos A (1, 0, -1), B (4, 2, 1) e C (1, 2, 0), determinar o valor de m para que
7
v
,
sendo
BCACmv
.
12) Determinar os ângulos do triângulo de vértices A (2, 1, 3), B (1, 0, -1) e C (-1, 2, 1).
13) Determinar o vetor projeção do vetor
3,2,1
u
na direção de
2,1,2
v
.
Lista de Exercícios 03
40
14) Dados os vetores
1,0,3
u
e
2,1,2
v
, determinar
uproj
v
e
vproj
u
.
15) Sejam A (2, 1, 3), B (m, 3, 5) e C (0, 4, 1) vértices de um triângulo (figura abaixo):
Para que valor de m o triângulo ABC é retângulo em A?
b) Determinar o ponto H, pé da altura relativa ao vértice A.
16) Determinar o valor de k para que os vetores
)3,2(
u
e
)4,(
kv
sejam:
a) paralelos b) ortogonais
17) Determinar o valor de a para que seja 45º o ângulo entre os vetores
)1,2(
u
e
),1( av
.
18) Dados os pontos A (2, 2, -3) e B (3, 1, -3), calcular os ângulos diretores AB .
19) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45º, 60º e 90º? Justifique.
20) Os ângulos diretores de um vetor são 45º, 60º e . Determinar .
Respostas:
1) a) são ortogonais b) ângulo obtuso c) ângulo agudo d) ângulo obtuso
2) a) -2 b) 21 c) -4 d) 4
3) a = 5/8 4)
5
6) a) 120º b) 150º 7)
9,3,6
v
8)
4,3,2
x
9) a) não é unitário b) é unitário 10) m = -4 ou m = -5
11) m = 3 ou m = -13/5 12)
º95,50
A
º02,57
B
º02,72
C
13)
9
20
,
9
10
,
9
20
uproj
v
14)
9
8
,
9
4
,
9
8
uproj
v
e
5
2
,0,
5
6
vproj
u
15) a) m = 3 b)
26
94
,
26
87
,
26
51
H
16) a) k = 8/3 b) k = -6
17) a = -1/3 ou a = 3 18)
º45
,
º135
e
º90
19) Não, pois
1º90cosº60cosº45cos 222
20) = 60º ou = 120º
41
1) Se
kjiu 23
,
kjiv 42
e
kiw
, determinar:
a)
vv 32
b)
wvu
c)
wvu
d)
vvu .
2) Dados os pontos
1,1,2 A
,
1,0,3B
e
3,1,2 C
, determinar o ponto D tal
que
ACBCAD
.
3) Dados os vetores
0,1,1
u
e
2,1,1
v
, determinar: um vetor unitário
simultaneamente ortogonal a
u
e
v
;
4) Determinar um vetor de módulo 2 ortogonal a
2,2,3
u
e a
1,1,0
v
.
5) Sendo
22
u
,
4
v
e 45º o ângulo entre
u
e
v
, calcular:
a)
vu
b)
vu
2
1
6) Dados os vetores
2,1,3
u
e
1,2,2
v
, calcular a área do paralelogramo
determinado por
u
e
v
;
7) Calcular o valor de m para que a área do paralelogramo determinado por
1,3,
mu
e
2,2,1
v
seja igual a
26
.
8) Sabendo que
6
u
,
4
v
e 30º é o ângulo entre
u
e
v
, calcular:
a) a área do triângulo determinado por
u
e
v
;
b) a área do paralelogramo determinado por
u
e
v
.
9) Calcular a área do triângulo ABC , sendo dados:
a)
1,1,4A
,
1,0,1B
e
3,1,0 C
;
b)
1,2,4A
,
1,0,1B
e
0,2,1C
.
10) Se
33
vu
,
3
u
e 60º é o ângulo entre
u
e
v
, determinar
v
.
Respostas:
1) a)
0
b) (-5, 0, -5) c) (8, -2, 13) d) 0
2) D = (-4, -1, 1) 3)
3
1
,
3
1
,
3
1
1u
ou
3
1
,
3
1
,
3
1
2u
4)
2,2,0
ou
2,2,0
5) a) 8 b) 4
6) A =
103
u. a. 7) m = 0 ou m = 2
Lista de Exercícios 04
42
8) a) A = 6 u. a. b) A = 12 u.a. 9) a) A =
35
u.a. b) A = 7/2 u.a. 10)
2
v
1) Dados os vetores
1,1,3
u
,
2,2,1
v
e
3,0,2
w
, calcular:
a)
wvu ,,
b)
vuw ,,
2) Verificar se são coplanares os vetores:
a)
2,1,1
u,
1,2,2
v
e
4,0,2
w
b)
3,1,2
u
,
2,1,3
v
e
4,1,7
w
3) Determinar o valor de k para que sejam coplanares os seguintes vetores:
a)
ku ,1,2
,
2,0,1
v
e
kkw ,3,
b)
1,,2 ku
,
kv ,2,1
e
3,0,3
w
4) Para que valor de m os pontos
2,1,mA
,
3,2,2 B
,
11,5 C
e
2,2,3 D
são coplanares?
5) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores
4,1,3
u
,
1,0,2
v
e
5,1,2
w
. Calcular seu volume.
6) Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores
2,1,01
v
,
1,2,42
v
e
2,,33
mv
seja igual a 33.
7) O ponto
3,2,1 A
é um dos vértices de um paralelepípedo e os três vértices adjacentes são
4,1,2 B
,
0,2,0C
e
1,,1 mD
. Determinar o valor de m para que o volume
deste paralelepípedo seja igual a 20 u.v. (unidades de volume).
8) Calcular o volume do tetraedro ABCD, sendo
0,1,1A
,
1,4,6B
,
0,5,2C
e
3,3,0D
.
9) Três vértices de um tetraedro de volume 6 são
1,4,2 A
,
3,2,3B
e
1,2,1 C
. Determinar o quarto vértice D, sabendo que ele pertence ao eixo 0y.
10) Determinar m e n para que se tenha:
a)
23,1,4.2,, nm
b)
11,1,83,1,42,, nm
c)
91,1,02,1,3.2,, nm
Respostas:
1) a) -29 b) -29 2) a) Não são coplanares b) São coplanares
Lista de Exercícios 05
43
3) k = 6 b) k = 2 ou k = -3 4) m = 4
5) V = 17 u.v. 6) m = 4 ou m = -17/4
7) m = 2 ou m = 6 8) Vt = 19/2 u.v. 9)
0,2,0D
ou
0,4,0 D
10) a) n = 8 + 4m b) n = 2 e m = 3 c) n = 1 + mMateriais relacionados
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