CÁLCULO DO MOMENTO FLETOR EM LAJES

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL - PCV 
 
 
 
 
CELSO PISSINATTI CARDOSO 
ANÁLISE DE ESTRUTURAS AUXILIADO POR COMPUTADOR – CÁLCULO 
DO MOMENTO FLETOR EM LAJES PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS 
FINITOS 
 
 
 
 
 
 
MARINGÁ 
2017 
1. PROPRIEDADES DO CONCRETO 
 
𝑓ck = 25 𝑀𝑃𝑎 
𝐸𝑐𝑖 = 5600√𝑓ck 
𝐸𝑐𝑖 = 5600 ∗ √25 = 28.000 𝑀𝑃𝑎 
 = 0,2 
G = 
𝐸
2(1 + )
 
G = 
28000
2(1 + 0,2)
= 11.666,67 𝑀𝑃𝑎 
 
2. PROPRIEDADES DA LAJE 
 
 O exemplo escolhido foi uma laje maciça, com 200 x 200 cm, com 10 cm 
de espessura. 
 
 A discretização foi feita pela analogia de grelhas com vigas equivalentes, 
onde as vigas do bordo tem seção de 25 x 10 cm e as vigas centrais tem 50 x 
10 cm. Estão espaçadas entre si a cada 50 cm. 
 
Figura 1 – Grelha com vigas equivalentes e suas respectivas seções 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 Devido ao uso das vigas equivalentes, onde há sobreposição dos 
elementos, a rigidez a flexão foi majorada em (1 (1 − 2)⁄ ) = 1,0417 e a 
rigidez a torção foi reduzida a 50%. 
 
 A grelha está engastada nos quatro vértices, e simplesmente apoiada 
nos demais pontos do bordo. 
 
 A carga aplicada foi de 1 tf/m², está linearmente distribuída nas barras 
da grelha pela analogia da área de influência. 
 
Figura 2 – Grelha com os apoios e cargas distribuídas 
Fonte: próprio autor. 
 
3. ANÁLISE PELO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS 
A análise da grelha foi feita pelo método dos elementos finitos, com 
auxílio de uma planilha no Excel. Para tanto, criou-se algumas convenções. 
 
A convenção de numerar as barras e seus respectivos nós foi feita com 
o intuito de facilitar a organização da matriz de rigidez final. Os nós estão 
numerados em verde, e as barras tem o prefixo B. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Numeração das barras e dos nós 
Fonte: próprio autor. 
Quanto às barras, utilizaram-se duas matrizes de rigidez, onde as linhas 
e colunas foram invertidas com intuito de organizar os esforços e deixar as 
solicitações referenciadas de acordo com os eixos globais. 
 
A primeira matriz representa as barras paralelas ao eixo X (com 
momento fletor em torno do eixo Y) e a segunda matriz representa as barras 
paralelas ao eixo Y (com momento fletor em torno do eixo X). 
 
Figura 4 – Matriz de rigidez das barras paralelas ao eixo X (B1 a B20)
Fonte: AVANCINI (2015). 
 
Figura 5 – Matriz de rigidez das barras paralelas ao eixo Y (B21 a B40)
Fonte: AVANCINI (2015). 
 
 
 
 
Figura 6 – Convenção de esforços na laje e nas barras 
Fonte: CASTRO. 
 
Figuras 7 – Esforços nas barras bi engastadas, com carga linearmente distribuída 
Fonte: Martins (2017). 
Com a matriz de rigidez de cada barra, foi possível construir duas 
matrizes de rigidez, uma representando as barras paralelas ao eixo X e outra 
para o eixo Y, somando as rigidezes em cada um dos nós. 
Figura 8 – Matriz de rigidez de uma barra paralela ao eixo X 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 
 
Figura 9 – Matriz de rigidez de uma barra paralela ao eixo Y 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 Pela soma das matrizes das barras do eixo X e do eixo Y, obtêm-se a 
matriz de rigidez da grelha nas duas direções. Aplicando-se as condições de 
apoio, é possível obter o deslocamento e as rotações em cada um dos pontos 
da grelha. Serão apresentadas em anexo: 
 Matriz de rigidez de cada uma das barras; 
 Matriz de rigidez das duas direções; 
 Tabela com o deslocamento e rotação de cada um dos pontos. 
 
4. ESFORÇOS E VALIDAÇÕES 
 
 Para validar os resultados obtidos, modelou-se uma grelha no programa 
SAP2000, para comparar os deslocamentos e os esforços. 
 
Figura 10 – Deslocamento e rotação em cada um dos nós 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 11 – Deslocamento do nó 13 obtido através do programa SAP2000 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 O deslocamento do nó 13 obtido através da planilha foi igual a 
0,3040mm, enquanto o deslocamento obtido através do programa SAP2000 foi 
igual a 0,3312mm. Diferença de aproximadamente 10%. 
 
Figura 12 – Matriz de rigidez, rotações, deslocamentos e esforços da barra 10 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 13 – Esforços da barra 10 obtidos através do programa SAP2000 
 
Fonte: próprio autor. 
 
 Quanto aos esforços, o momento fletor obtido através da planilha foi 
igual a 0,09336 tf.m (ou 0,1867 tf.m/m), enquanto o momento fletor obtido 
através do programa SAP2000 foi igual a 0,09632 tf.m (ou 0,1926 tf.m/m). 
Diferença de 3%. 
 
5. BIBLIOGRAFIA 
 
AVANCINI, Giovane. Formulação do Método dos Elementos Finitos para a 
análise elástica linear de grelhas. 2015. 91 f. Trabalho de Conclusão de 
Curso (Graduação) – Engenharia Civil, Universidade Tecnológica Federal do 
Paraná. Campo Mourão, 2015. 
 
CASTRO, L. M. S. Modelação de lajes com elementos de grelha. 
 
MARTHA, L. F. Notas de aula: Método da rigidez direta para modelos 
estruturais lineares e elásticos. Pontifícia Universidade Católica do Rio de 
Janeiro – PUC-Rio. 
 
MARTINS, C. H. Notas de aula: método dos elementos finitos. Maringá: 
Universidade Estadual de Maringá, 2017. 
 
NEVES, L. F. C. S. Comparação de modelos de grelha e de elementos 
finitos de laje na modelação de estruturas de edifícios de betão armado. 
2010. 102 f. Dissertação para obtenção do Grau de Mestre. Engenharia Militar, 
Instituto Superior Técnico da Universidade Técnica de Lisboa. Portugal, 2015. 
 
6. ANEXOS