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CRITÉRIOS DE RUPTURA DO CONCRETO Celso Augusto Pissinatti Cardoso 1 RESUMO O presente artigo é uma revisão bibliográfica sobre critérios de ruptura e sua aplicação para o uso no concreto, que é o material construtivo mais utilizado no Brasil, gerando a maior demanda de trabalho entre os engenheiros projetistas. O aumento da capacidade resistente do concreto possibilitou estruturas cada vez mais complexas, sendo imprescindível que o processo de dimensionamento destes elementos considere o estado limite último de instabilidade e deformabilidade. Um critério de ruptura ou de resistência permite identificar situações de ruptura local, a compreensão clara destes mecanismos é necessária para se verificar os valores de tensão e deformação que levarão o elemento estrutural a falha, e determinar seu coeficiente de segurança. Com esse propósito, o artigo discorre sobre os seguintes critérios: (1) Teoria da tensão normal máxima (Critério de Rankine); (2) Critério de falha de Mohr; (3) Máxima tensão cisalhante (Critério de escoamento de Tresca); (4) Teoria da energia de distorção máxima (Critério de von Mises). Palavras-chave: Critérios de ruptura. Rankine. Mohr. Tresca. von Mises. 1 Mestrando, Universidade Estadual de Maringá-UEM, Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - PCV, celsopissinatti@hotmail.com. petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 2 1. INTRODUÇÃO Os materiais mais utilizados na engenharia civil podem ser classificados em dois grupos quanto sua capacidade de absorver deformações. Nos materiais frágeis, a falha é caracterizada pela fratura ou ruptura frágil, que ocorre de forma brusca, com pouco ou nenhum escoamento. Nos materiais dúcteis, a falha é caracterizada pelo início do escoamento, admitindo-se deformações maiores em comparação aos materiais frágeis. Determinados materias, como o concreto, são mais bem representados pela associação das características dos dois grupos anteriormente citados, onde a ruptura é frágil quando o material é solicitado à tração e dúctil quando solicitado à compressão. Do mesmo modo, cada material apresenta uma capacidade própria de resistir a um determinado estado tensional, identificar estados de solicitação que possam exceder a capacidade resistente dos materiais é uma tarefa de grande importância para a realização de projetos estruturais seguros. Assim, surgiu à necessidade de desenvolver métodos para identificar, no estado multiaxial, qual a combinação das componentes de tensão atuante no elemento estrutural o levará a ruptura, seja por que a tensão normal máxima atingiu seu valor limite, ou a tensão de cisalhamento máxima, ou a energia de deformação máxima, ou qualquer outra variável atingiu o seu valor crítico. Essa análise é fundamental para determinar o coeficiente de segurança de um estado tensional. 2. DESENVOLVIMENTO 2.1. Características do material – Concreto A estrutura interna do concreto é heterogênea, adquire forma de retículos espaciais de gel endurecido, de grãos de agregados graúdo e miúdo, de várias formas e dimensões, envoltos por grande quantidade de poros e capilares, portadores de água que não entrou na reação química, vapor d’água e ar. Fisicamente, o concreto representa um material capilar, pouco poroso, sem continuidade da massa, no qual se acham presentes os três estados da agregação: sólido, líquido e gasoso. 2.1.1. Classes Com a revisão da norma ABNT NBR 6118:2014, passou-se a admitir concretos do grupo II, com classe de resistência característica fck na faixa de 55 MPa até 90 MPa. Para concretos da classe I (20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) as deformações limites são: 𝜀𝑐2 = 2 ‰ (1) 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ (2) 𝑛 = 2 (3) E para concretos da classe II, onde 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎: 𝜀𝑐2 = 2‰ + 0,085‰ (𝑓𝑐𝑘 − 50) 0,53 (4) petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 3 𝜀𝑐𝑢 = 2,6‰ + 35‰ ( 90 − 𝑓𝑐𝑘 100 ) 4 (5) 𝑛 = 1,4 + 23,4 ( 90 − 𝑓𝑐𝑘 100 ) 4 (6) 2.1.2. Resistência à compressão Para o estado limite último, a lei constitutiva do concreto é dada pelo diagrama parábola- retângulo, cf. item 8.2.10.1 da ABNT NBR 6118:2014, onde se obtém melhores resultados nas análises de deformações e curvaturas. Nesta lei, a resistência do concreto apresentará o seguinte valor para o estado limite último: 𝑓𝑐𝑑 = 𝑓𝑐𝑘 1,4 (7) Com relação ao comportamento mecânico, a ABNT NBR 6118:2014 apresenta a seguinte simplificação da relação tensão-deformação do concreto, considerando a distribuição de tensões segundo o diagrama parábola-retângulo: Figura 1 - Diagrama tensão-deformação idealizado do concreto Fonte: Figura 8.2 da ABNT NBR 6118:2014 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑 [1 − ( 𝜀𝑐 𝜀𝑐2 ) 𝑛 ] se 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐2 (8) 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑 se 𝜀𝑐2 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢 (9) 2.1.3. Resistência à tração De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, para o concreto não fissurado, pode ser adotado o diagrama tensão-deformação bilinear de tração, indicado na figura abaixo: petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 4 Figura 2 – Diagrama tensão-deformação bilinear de tração do concreto Fonte: Figura 8.3 da ABNT NBR 6118:2014 𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,3𝑓𝑐𝑘 2 3 (10) 2.1.4. Resistência no estado multiaxial de tensões Estando o concreto submetido às tensões principais 𝜎3 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎1, com as tensões de compressão convencionadas como positivas e as de tração como negativas, a ABNT NBR 6118:2014 indica que o estado multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado abaixo: Figura 3 - Resistência no estado multiaxial de tensões Fonte: Figura 8.1 da ABNT NBR 6118:2014 2.2. Critérios de ruptura 2.2.1. Teoria da tensão normal máxima – Teoria de Rankine O critério de ruptura proposto por Rankine tem por objetivo a previsão da falha de corpos formados por materiais frágeis. O critério de Rankine se enuncia como: “Nos materiais frágeis, a ruptura ocorre quando a petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 5 tensão principal máxima alcança a resistência última que o material pode suportar. Assim, a falha ocorrerá quando a tração aplicada σ1 ultrapassar a tensão última do material, σu. No caso de uma barra solicitada por torção pura, a falha ocorrerá em um plano inclinado de 45° com o eixo da barra. E ocorrerá nessa posição pois é a inclinação em que atuam as tensões principais σ1”. Para Beer e Johnston (2008), esse critério tem uma séria deficiência, pois se baseia na teoria que a falha em compressão ocorre na mesma tensão máxima que a falha em tração, fato que raramente ocorre, principalmente devido a fissuras e imperfeições microscópicas, que debilitam o material tracionado, fato não apreciável no material sujeito a compressão. Figura 4 - Diagrama de falha para a teoria da tensão normal máxima (tensão plana) Fonte: CURY, 2015 2.2.2. Critério de falha de Mohr Como no concreto ciclópico (sem aço) a resistência máxima à compressão não é igual à resistência máxima a tração, a teoria da tensão normal máxima de Rankine não é adequada. O critério de falha deMohr separa as duas situações, realizando ensaios de tração uniaxial, compressão uniaxial e de torção. Com os respectivos resultados, o círculo de Mohr é construído para cada uma dessas condições de tensão, uma envoltória é obtida tangenciando-se cada um dos círculos, delimitando um conjunto de estados de tensão admissível. Figura 5 - Círculos de Mohr para o traçado do critério de ruptura de Mohr Fonte: LIMA, SD petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 6 Uma vez traçada a envoltória de Mohr, caso o estado plano de tensões em determinado ponto seja representado por um círculo contido dentro da envoltória, diz-se que o material não falhará. Se o círculo estiver um ponto de tangencia com a envoltória ou se estender além deste, então ocorrerá falha. Figura 6 - Representação gráfica do critério de falha de Mohr para o caso plano de tensão Fonte: LIMA, SD Segundo Hibbeler (2004), para o concreto, a utilidade deste critério na verificação da tração é bastante limitada, já que a fratura ocorre repentinamente, e seu início depende das concentrações de tensão desenvolvidas em imperfeições microscópicas do material, tais como inclusões ou vazios, entalhes na superfície e pequenas trincas. Essas irregularidades variam para cada corpo de prova, assim, torna-se difícil definir a falha com base em um único teste. Nota-se também que trincas e irregularidades tendem a se fechar quando o corpo de prova é comprimido, e não constituem pontos de falha como ocorreria se o corpo de prova fosse submetido à tração. 2.2.3. Máxima tensão cisalhante - Critério de escoamento de Tresca O critério de ruptura proposto por Tresca tem por objetivo prever a tensão de falha de um material dúctil submetido a um tipo de carregamento qualquer. Nesses materiais, a falha ocorre quando a estrutura entra em regime de escoamento, com o deslizamento dos cristais que formam o material. O critério de Tresca se enuncia como: “o escoamento começa quando a tensão de cisalhamento máxima absoluta atinge o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento do material quando submetido apenas à tensão axial”. Segundo Hibbeler (2004), o fenômeno do deslizamento é facilmente observado em ensaios experimentais de tração uniaxial em tiras de aço altamente polidas, onde a falha ocorre em um plano inclinado de 45° do eixo da tira. Esse critério de ruptura relaciona a condição de falha à tensão de cisalhamento resistente do material, uma vez que a falha ocorre nos planos onde essas tensões são máximas. Desta maneira, tem-se: 𝜏𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 ≤ 𝜏𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 (11) petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 7 |𝜎1 − 𝜎3| 2 ≤ 𝜎𝑒 2 (12) 𝜎1 − 𝜎3 ≤ 𝜎𝑒 (13) Onde σe representa a tensão de escoamento do material quando submetido a um ensaio de tração uniaxial. Se o problema analisado está no estado plano de tensões, as expressões apresentadas possuem representação gráfica. Considerando que o sistema de coordenadas seja definido pelas tensões principais: Figura 7 - Representação gráfica do critério de Tresca para o estado plano de tensões Fonte: LIMA, SD 2.2.4. Teoria da energia de distorção máxima - Critério de von Mises Para Hibbeler (2004), embora a teoria da tensão cisalhante máxima de Tresca forneça uma hipótese razoável para a ruptura em materiais dúcteis, a teoria da energia de distorção máxima de von Mises foi concebida com base em evidências experimentais, sendo preferida na previsão da falha de materiais dúcteis. O critério de von Mises se enuncia como: “o escoamento ocorre quando a energia de distorção no ponto crítico de um elemento submetido a um carregamento multiaxial atingir o mesmo valor da energia de distorção do corpo de prova no momento no seu escoamento, submetido a um carregamento uniaxial.” Vale ressaltar que a energia está relacionada à mudança de forma do elemento, e não do volume. No caso de tensão plana, correlacionando a densidade de energia de deformação, a lei de Hooke e a hipótese de que a energia armazenada no elemento como resultado da sua mudança de volume é provocada pela tensão principal média, a expressão correspondente para o critério de falha da energia de distorção máxima em termos das tensões principais é: 𝜎1 2 + 𝜎3 2 − 𝜎1𝜎3 ≤ 𝜎𝑒 2 (14) petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 8 Figura 8 - Representação gráfica do critério de Von Mises para o estado plano de tensões Fonte: LIMA, SD Se um material estiver tracionado de tal forma que a coordenada da tensão (𝜎1; 𝜎3) esteja posicionada no limite ou fora da área sombreada, diz-se que o material falhou. 2.2.5. Comparação entre os critérios Os critérios de ruptura de Rankine e Mohr, utilizados para previsão da falha de corpos formados por materiais frágeis. . Figura 9 - Representação gráfica dos critérios de Rankine e Mohr para o estado plano de tensões Fonte: Hibbeler (2004) A discrepância na previsão da falha entre os métodos se baseia na hipótese de que a tensão última do material é a mesma na tração e na compressão. Os critérios de ruptura de Tresca e Von Mises, utilizados para previsão da falha de corpos formados por materiais dúcteis. petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 9 Figura 10 - Representação gráfica dos critérios de Tresca e Von Mises para o estado plano de tensões Fonte: Hibbeler (2004) Quando 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎𝑒 ou quando uma das tensões principais for 𝜎𝑒 e a outra for zero, as duas teorias levam aos mesmos resultados. Se o material estiver submetido a cisalhamento puro, as teorias apresentam discrepância na previsão da falha. Segundo Hibbeler (2004), testes de torção em um corpo de prova dúctil mostram que a teoria da distorção máxima oferece resultados mais precisos para a falha de cisalhamento puro. 3. CONCLUSÃO Após a apresentação das teorias frequentemente usadas pra prever a falha de materiais submetidos a um estado de tensão multiaxial, conclui-se que nenhuma delas apresenta resultados mais precisos para todos os casos ou se aplica preferencialmente ao concreto. Para melhorar os resultados obtidos, novos estudos devem levar em consideração à complexidade do comportamento mecânico do concreto, seu comportamento sob variação de temperatura, taxa de carga aplicada e seu processo de fabricação. AGRADECIMENTOS Em primeiro lugar, agradeço a Deus pelo dom da vida, e a tudo que me proporcionou. Sou grato a meus pais Celso Cardoso e Vera Lucia Pissinatti, principalmente pela paciência e pela parte de suas vidas que foi dedicada ao meu desenvolvimento. Agradeço toda minha família, que fazem minha vida melhor do que eu seria capaz de fazer por mim mesmo. E, por fim, agradeço todos meus professores e amigos que contribuíram ou me influenciaram neste trabalho. petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 10 REFERÊNCIAS ______. ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2014. BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Mecânica dos Materiais. 5a edição. Mc Graw Hill. 2008. BUFFONI,Salete Souza de Oliveira. Critérios de falha. SD. Disponível em: <www.ufjf.br/mac003/files/2015/01/criterios.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. CURY, Alexandre. Notas de aula. Capítulo 5. Critérios de falha. 2015. Disponível em: <www.ufjf.br/mac003/files/2015/01/criterios_falha.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7a edição. Pearson. 2004. LIMA, Luciano Rodrigues Ornelas. Notas de aula. Capítulo 2. Critérios de resistência. SD. Disponível em: <www.labciv.eng.uerj.br/rm4/Cap_2_criterios.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. PISSINATTI, A. Celso. Obtenção do máximo momento disponível de primeira ordem em pilares esbeltos de seção circular e anelar com 𝐟𝐜𝐤 até 90 MPa, comparando métodos aproximados com métodos exatos. 2017. 74 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Engenharia Civil) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2017.
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