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CRITÉRIOS DE RUPTURA DO CONCRETO

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CRITÉRIOS DE RUPTURA DO CONCRETO 
 
 
Celso Augusto Pissinatti Cardoso
 1
 
 
 
 
RESUMO 
 
O presente artigo é uma revisão bibliográfica sobre critérios de ruptura e sua aplicação para o uso 
no concreto, que é o material construtivo mais utilizado no Brasil, gerando a maior demanda de 
trabalho entre os engenheiros projetistas. O aumento da capacidade resistente do concreto 
possibilitou estruturas cada vez mais complexas, sendo imprescindível que o processo de 
dimensionamento destes elementos considere o estado limite último de instabilidade e 
deformabilidade. Um critério de ruptura ou de resistência permite identificar situações de ruptura 
local, a compreensão clara destes mecanismos é necessária para se verificar os valores de tensão e 
deformação que levarão o elemento estrutural a falha, e determinar seu coeficiente de segurança. 
Com esse propósito, o artigo discorre sobre os seguintes critérios: (1) Teoria da tensão normal 
máxima (Critério de Rankine); (2) Critério de falha de Mohr; (3) Máxima tensão cisalhante 
(Critério de escoamento de Tresca); (4) Teoria da energia de distorção máxima (Critério de von 
Mises). 
 
 
Palavras-chave: Critérios de ruptura. Rankine. Mohr. Tresca. von Mises. 
 
1
 Mestrando, Universidade Estadual de Maringá-UEM, Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil - 
PCV, celsopissinatti@hotmail.com. 
petciviluem.com Avenida Colombo, 5790 (UEM) 
 petciviluem@gmail.com Bloco C67 (DEC) – Sala 102A 
facebook.com/petciviluem (44) 3011-5865 
2 
1. INTRODUÇÃO 
 
 Os materiais mais utilizados na engenharia civil podem ser classificados em dois grupos 
quanto sua capacidade de absorver deformações. Nos materiais frágeis, a falha é caracterizada pela 
fratura ou ruptura frágil, que ocorre de forma brusca, com pouco ou nenhum escoamento. Nos 
materiais dúcteis, a falha é caracterizada pelo início do escoamento, admitindo-se deformações 
maiores em comparação aos materiais frágeis. 
 Determinados materias, como o concreto, são mais bem representados pela associação das 
características dos dois grupos anteriormente citados, onde a ruptura é frágil quando o material é 
solicitado à tração e dúctil quando solicitado à compressão. 
 Do mesmo modo, cada material apresenta uma capacidade própria de resistir a um 
determinado estado tensional, identificar estados de solicitação que possam exceder a capacidade 
resistente dos materiais é uma tarefa de grande importância para a realização de projetos estruturais 
seguros. 
 Assim, surgiu à necessidade de desenvolver métodos para identificar, no estado multiaxial, 
qual a combinação das componentes de tensão atuante no elemento estrutural o levará a ruptura, 
seja por que a tensão normal máxima atingiu seu valor limite, ou a tensão de cisalhamento máxima, 
ou a energia de deformação máxima, ou qualquer outra variável atingiu o seu valor crítico. Essa 
análise é fundamental para determinar o coeficiente de segurança de um estado tensional. 
 
 
2. DESENVOLVIMENTO 
 
2.1. Características do material – Concreto 
 
 A estrutura interna do concreto é heterogênea, adquire forma de retículos espaciais de gel 
endurecido, de grãos de agregados graúdo e miúdo, de várias formas e dimensões, envoltos por 
grande quantidade de poros e capilares, portadores de água que não entrou na reação química, vapor 
d’água e ar. 
 Fisicamente, o concreto representa um material capilar, pouco poroso, sem continuidade da 
massa, no qual se acham presentes os três estados da agregação: sólido, líquido e gasoso. 
 
2.1.1. Classes 
 
 Com a revisão da norma ABNT NBR 6118:2014, passou-se a admitir concretos do grupo II, 
com classe de resistência característica fck na faixa de 55 MPa até 90 MPa. 
 Para concretos da classe I (20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎) as deformações limites são: 
 
 𝜀𝑐2 = 2 ‰ (1) 
 𝜀𝑐𝑢 = 3,5 ‰ (2) 
 𝑛 = 2 (3) 
 
 E para concretos da classe II, onde 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎: 
 
 𝜀𝑐2 = 2‰ + 0,085‰ (𝑓𝑐𝑘 − 50)
0,53 (4) 
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3 
 
𝜀𝑐𝑢 = 2,6‰ + 35‰ (
90 − 𝑓𝑐𝑘
100
)
4
 (5) 
 
𝑛 = 1,4 + 23,4 (
90 − 𝑓𝑐𝑘
100
)
4
 (6) 
 
2.1.2. Resistência à compressão 
 
 Para o estado limite último, a lei constitutiva do concreto é dada pelo diagrama parábola-
retângulo, cf. item 8.2.10.1 da ABNT NBR 6118:2014, onde se obtém melhores resultados nas 
análises de deformações e curvaturas. Nesta lei, a resistência do concreto apresentará o seguinte 
valor para o estado limite último: 
 
 
𝑓𝑐𝑑 =
𝑓𝑐𝑘
1,4
 (7) 
 
 Com relação ao comportamento mecânico, a ABNT NBR 6118:2014 apresenta a seguinte 
simplificação da relação tensão-deformação do concreto, considerando a distribuição de tensões 
segundo o diagrama parábola-retângulo: 
 
 
Figura 1 - Diagrama tensão-deformação idealizado do concreto 
Fonte: Figura 8.2 da ABNT NBR 6118:2014 
 
 𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑 [1 − (
𝜀𝑐
𝜀𝑐2
)
𝑛
] se 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐2 (8) 
 
𝜎𝑐 = 𝑓𝑐𝑑 se 𝜀𝑐2 ≤ 𝜀𝑐 ≤ 𝜀𝑐𝑢 
(9) 
 
2.1.3. Resistência à tração 
 
 De acordo com a ABNT NBR 6118:2014, para o concreto não fissurado, pode ser adotado o 
diagrama tensão-deformação bilinear de tração, indicado na figura abaixo: 
 
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4 
 
Figura 2 – Diagrama tensão-deformação bilinear de tração do concreto 
Fonte: Figura 8.3 da ABNT NBR 6118:2014 
 
𝑓𝑐𝑡𝑘 = 0,3𝑓𝑐𝑘
2
3 
(10) 
 
2.1.4. Resistência no estado multiaxial de tensões 
 
 Estando o concreto submetido às tensões principais 𝜎3 ≥ 𝜎2 ≥ 𝜎1, com as tensões de 
compressão convencionadas como positivas e as de tração como negativas, a ABNT NBR 
6118:2014 indica que o estado multiaxial de tensões deve ser verificado conforme ilustrado abaixo: 
 
 
Figura 3 - Resistência no estado multiaxial de tensões 
Fonte: Figura 8.1 da ABNT NBR 6118:2014 
 
2.2. Critérios de ruptura 
 
2.2.1. Teoria da tensão normal máxima – Teoria de Rankine 
 
 O critério de ruptura proposto por Rankine tem por objetivo a previsão da falha de corpos 
formados por materiais frágeis. 
 O critério de Rankine se enuncia como: “Nos materiais frágeis, a ruptura ocorre quando a 
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5 
tensão principal máxima alcança a resistência última que o material pode suportar. Assim, a falha 
ocorrerá quando a tração aplicada σ1 ultrapassar a tensão última do material, σu. No caso de uma 
barra solicitada por torção pura, a falha ocorrerá em um plano inclinado de 45° com o eixo da barra. 
E ocorrerá nessa posição pois é a inclinação em que atuam as tensões principais σ1”. 
 Para Beer e Johnston (2008), esse critério tem uma séria deficiência, pois se baseia na teoria 
que a falha em compressão ocorre na mesma tensão máxima que a falha em tração, fato que 
raramente ocorre, principalmente devido a fissuras e imperfeições microscópicas, que debilitam o 
material tracionado, fato não apreciável no material sujeito a compressão. 
 
 
Figura 4 - Diagrama de falha para a teoria da tensão normal máxima (tensão plana) 
Fonte: CURY, 2015 
 
2.2.2. Critério de falha de Mohr 
 
 Como no concreto ciclópico (sem aço) a resistência máxima à compressão não é igual à 
resistência máxima a tração, a teoria da tensão normal máxima de Rankine não é adequada. O 
critério de falha deMohr separa as duas situações, realizando ensaios de tração uniaxial, 
compressão uniaxial e de torção. 
 Com os respectivos resultados, o círculo de Mohr é construído para cada uma dessas 
condições de tensão, uma envoltória é obtida tangenciando-se cada um dos círculos, delimitando 
um conjunto de estados de tensão admissível. 
 
 
Figura 5 - Círculos de Mohr para o traçado do critério de ruptura de Mohr 
Fonte: LIMA, SD 
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 Uma vez traçada a envoltória de Mohr, caso o estado plano de tensões em determinado 
ponto seja representado por um círculo contido dentro da envoltória, diz-se que o material não 
falhará. Se o círculo estiver um ponto de tangencia com a envoltória ou se estender além deste, 
então ocorrerá falha. 
 
 
Figura 6 - Representação gráfica do critério de falha de Mohr para o caso plano de tensão 
Fonte: LIMA, SD 
 
 Segundo Hibbeler (2004), para o concreto, a utilidade deste critério na verificação da tração 
é bastante limitada, já que a fratura ocorre repentinamente, e seu início depende das concentrações 
de tensão desenvolvidas em imperfeições microscópicas do material, tais como inclusões ou vazios, 
entalhes na superfície e pequenas trincas. Essas irregularidades variam para cada corpo de prova, 
assim, torna-se difícil definir a falha com base em um único teste. Nota-se também que trincas e 
irregularidades tendem a se fechar quando o corpo de prova é comprimido, e não constituem pontos 
de falha como ocorreria se o corpo de prova fosse submetido à tração. 
 
2.2.3. Máxima tensão cisalhante - Critério de escoamento de Tresca 
 
 O critério de ruptura proposto por Tresca tem por objetivo prever a tensão de falha de um 
material dúctil submetido a um tipo de carregamento qualquer. Nesses materiais, a falha ocorre 
quando a estrutura entra em regime de escoamento, com o deslizamento dos cristais que formam o 
material. 
 O critério de Tresca se enuncia como: “o escoamento começa quando a tensão de 
cisalhamento máxima absoluta atinge o valor da tensão de cisalhamento que provoca escoamento 
do material quando submetido apenas à tensão axial”. 
 Segundo Hibbeler (2004), o fenômeno do deslizamento é facilmente observado em ensaios 
experimentais de tração uniaxial em tiras de aço altamente polidas, onde a falha ocorre em um 
plano inclinado de 45° do eixo da tira. 
 Esse critério de ruptura relaciona a condição de falha à tensão de cisalhamento resistente do 
material, uma vez que a falha ocorre nos planos onde essas tensões são máximas. Desta maneira, 
tem-se: 
 
 𝜏𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 ≤ 𝜏𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 
 
(11) 
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 |𝜎1 − 𝜎3|
2
≤ 
𝜎𝑒
2
 (12) 
 
𝜎1 − 𝜎3 ≤ 𝜎𝑒 
 
(13) 
 Onde σe representa a tensão de escoamento do material quando submetido a um ensaio de 
tração uniaxial. 
 Se o problema analisado está no estado plano de tensões, as expressões apresentadas 
possuem representação gráfica. Considerando que o sistema de coordenadas seja definido pelas 
tensões principais: 
 
 
Figura 7 - Representação gráfica do critério de Tresca para o estado plano de tensões 
Fonte: LIMA, SD 
 
2.2.4. Teoria da energia de distorção máxima - Critério de von Mises 
 
 Para Hibbeler (2004), embora a teoria da tensão cisalhante máxima de Tresca forneça uma 
hipótese razoável para a ruptura em materiais dúcteis, a teoria da energia de distorção máxima de 
von Mises foi concebida com base em evidências experimentais, sendo preferida na previsão da 
falha de materiais dúcteis. 
 O critério de von Mises se enuncia como: “o escoamento ocorre quando a energia de 
distorção no ponto crítico de um elemento submetido a um carregamento multiaxial atingir o 
mesmo valor da energia de distorção do corpo de prova no momento no seu escoamento, submetido 
a um carregamento uniaxial.” Vale ressaltar que a energia está relacionada à mudança de forma do 
elemento, e não do volume. 
 No caso de tensão plana, correlacionando a densidade de energia de deformação, a lei de 
Hooke e a hipótese de que a energia armazenada no elemento como resultado da sua mudança de 
volume é provocada pela tensão principal média, a expressão correspondente para o critério de falha 
da energia de distorção máxima em termos das tensões principais é: 
 
 𝜎1
2 + 𝜎3
2 − 𝜎1𝜎3 ≤ 𝜎𝑒
2 (14) 
 
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Figura 8 - Representação gráfica do critério de Von Mises para o estado plano de tensões 
Fonte: LIMA, SD 
 
 Se um material estiver tracionado de tal forma que a coordenada da tensão (𝜎1; 𝜎3) esteja 
posicionada no limite ou fora da área sombreada, diz-se que o material falhou. 
 
2.2.5. Comparação entre os critérios 
 
 Os critérios de ruptura de Rankine e Mohr, utilizados para previsão da falha de corpos 
formados por materiais frágeis. 
. 
 
Figura 9 - Representação gráfica dos critérios de Rankine e Mohr para o estado plano de 
tensões 
Fonte: Hibbeler (2004) 
 
 A discrepância na previsão da falha entre os métodos se baseia na hipótese de que a tensão 
última do material é a mesma na tração e na compressão. 
 Os critérios de ruptura de Tresca e Von Mises, utilizados para previsão da falha de corpos 
formados por materiais dúcteis. 
 
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Figura 10 - Representação gráfica dos critérios de Tresca e Von Mises para o estado plano de 
tensões 
Fonte: Hibbeler (2004) 
 
 Quando 𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎𝑒 ou quando uma das tensões principais for 𝜎𝑒 e a outra for zero, as 
duas teorias levam aos mesmos resultados. 
 Se o material estiver submetido a cisalhamento puro, as teorias apresentam discrepância na 
previsão da falha. Segundo Hibbeler (2004), testes de torção em um corpo de prova dúctil mostram 
que a teoria da distorção máxima oferece resultados mais precisos para a falha de cisalhamento 
puro. 
 
 
3. CONCLUSÃO 
 
 Após a apresentação das teorias frequentemente usadas pra prever a falha de materiais 
submetidos a um estado de tensão multiaxial, conclui-se que nenhuma delas apresenta resultados 
mais precisos para todos os casos ou se aplica preferencialmente ao concreto. Para melhorar os 
resultados obtidos, novos estudos devem levar em consideração à complexidade do comportamento 
mecânico do concreto, seu comportamento sob variação de temperatura, taxa de carga aplicada e 
seu processo de fabricação. 
 
 
AGRADECIMENTOS 
 
 Em primeiro lugar, agradeço a Deus pelo dom da vida, e a tudo que me proporcionou. 
 Sou grato a meus pais Celso Cardoso e Vera Lucia Pissinatti, principalmente pela paciência 
e pela parte de suas vidas que foi dedicada ao meu desenvolvimento. 
 Agradeço toda minha família, que fazem minha vida melhor do que eu seria capaz de fazer 
por mim mesmo. 
 E, por fim, agradeço todos meus professores e amigos que contribuíram ou me 
influenciaram neste trabalho. 
 
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REFERÊNCIAS 
 
______. ABNT NBR 6118: Projeto de estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2014. 
BEER, Ferdinand, JOHNSTON, E. Russell. Mecânica dos Materiais. 5a edição. Mc Graw Hill. 
2008. 
BUFFONI,Salete Souza de Oliveira. Critérios de falha. SD. Disponível em: 
<www.ufjf.br/mac003/files/2015/01/criterios.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. 
CURY, Alexandre. Notas de aula. Capítulo 5. Critérios de falha. 2015. Disponível em: 
<www.ufjf.br/mac003/files/2015/01/criterios_falha.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. 
HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. 7a edição. Pearson. 2004. 
LIMA, Luciano Rodrigues Ornelas. Notas de aula. Capítulo 2. Critérios de resistência. SD. 
Disponível em: <www.labciv.eng.uerj.br/rm4/Cap_2_criterios.pdf>. Acesso em: 25 mai. 2017. 
PISSINATTI, A. Celso. Obtenção do máximo momento disponível de primeira ordem em 
pilares esbeltos de seção circular e anelar com 𝐟𝐜𝐤 até 90 MPa, comparando métodos 
aproximados com métodos exatos. 2017. 74 p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em 
Engenharia Civil) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2017.

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