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Universidade Federal dos Vales do Jequitinhonha e Mucuri 1a lista de exerc´ıcios - Equac¸o˜es Diferenciais e Integrais - 2016/II Turma B: Responsa´vel - Michely Santos Oliveira 01) (Equac¸a˜o log´ıstica ou de Verhulst*) Mostre que o problema de valor inicial{ dp dt = ap− bp2 p(t0) = p0 tem como soluc¸a˜o p(t) = ap0 bp0+(a−bp0)e−a(t−t0) . Conclua que p(t)→ a b sempre que t→∞. * Esta equac¸a˜o e´ utilizada frequentemente para modelar o crescimento de populac¸o˜es isoladas. Aqui, a e b sa˜o coeficiente vitais, onde a representa a diferenc¸a entre as taxas de natalidade e mortalidade e bp2 e´ o fator inibidor ou termo de competic¸a˜o. 02) Mostre que o PVI* { dp dt = Ap2/3 −Bp p(0) = 0 tem como soluc¸a˜o p(t) = (A/B)3(1−B−Bt/3)3 e que p(t)→ (A/B)3 sempre que t→∞. * Esta equac¸a˜o e´ empregada para modelar o aumento de peixes em um viveiro. Aqui, A e B sa˜o as constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente. 03) Considere o PVI* { dx dt = α(p− x)(q − x) x(0) = 0 onde α, p e q sa˜o constantes positivas. * Esta equac¸a˜o fornece a concentrac¸a˜o da substaˆncia x no tempo t gerada pela colisa˜o de mole´culas de duas outras substaˆncias, P e Q, cujas concetrac¸o˜es iniciais sa˜o p e q, respecti- vamente. (a) Determine a soluc¸a˜o expl´ıcita para o problema para t > 0. (b) Desenhe o campo de direc¸o˜es do problema e fac¸a a ana´lise qualitativa do mesmo. 04) Considere a equac¸a˜o diferencial que descreve o movimento de queda de um corpo de massa m, sujeito a uma forc¸a proporcial ao quadrado da sua velocidade e sob ac¸a˜o da acelerac¸a˜o gravitacional g. (a) Escreva a equac¸a˜o diferencial que modela o movimento de queda deste objeto, justi- ficando. (b) Sendo v(0) = 0, obtenha a velocidade limite de queda do corpo. 05) (a) Considere o PVI* dp dt = −rp v , p(0) = p0. Mostre que p(t)→ 0 quando t→∞. (b) Considere agora dp dt = k − rp v , p(0) = p0. Mostre que p(t)→ vk/r quando t→∞. * O problema do item (a) modela a quantidade de poluentes dissolvidos na a´gua de uma lagoa num tempo t. Neste modelo, considera-se o volume v de a´gua da lagoa e as vazo˜es dos riachos r, constantes. No problema (b), considera-se que poluentes sa˜o depositados continuamente a` taxa constante k > 0. Em (a) a situac¸a˜o e´ resolvida com o aumento na vaza˜o dos riachos, e em (b), p(t) tende a se estabilizar no ponto de equil´ıbrio vk/r. 06) (Aquecimento e resfriamento de Newton) O objetivo e´ formular um modelo matema´tico que descreva o perfil de temperatura em 24 horas de um pre´dio como uma func¸a˜o da temperatura externa, do calor gerado dentro do pre´dio e do aquecimento do aquecedor ou o resfriamento do ar-condicionado. Um me´todo natural para modelar a temperatura dentro de um pre´dio e´ usar a ana´lise comportamental. Considere que T (t) represente a temperatura no instante t e veja o pre´dio como um u´nico compartimento. Enta˜o, a taxa de mudanc¸a na temperatura e´ determinada por todos os fatores que geram ou dissipam calor. Vamos considerar treˆs fatores principais que afetam a temperatura dentro do pre´dio. (1) O calor produzido por laˆmpadas, pessoas e ma´quinas. Isso causa um aumento na temperatura que sera´ indicada por H(t). (2) O aquecimento (ou resfriamento) fornecido pelo aquecedor (ou ar-condicionado). Essa taxa de aumento (ou diminuic¸a˜o) na temperatura sera´ representada por U(t). (3) O efeito da temperatura externaM(t) sobre a de dentro do pre´dio. A evideˆncia experi- mental tem mostrado que este fator pode ser modelado usando a Lei do Resfriamento de Newton, que afirma que a taxa de mudanc¸a na temperatura T (t) e´ proporcional a` diferenc¸a entre a temperatura externa M(t) e a interna T (t). Ou seja, a taxa de mudanc¸a na temperatura do pre´dio devido a M(t) e´ k[M(t)− T (t)]. A constante positiva k depende das propriedades f´ısicas do pre´dio, como o nu´mero de portas e janelas e o tipo de isolamento, mas k na˜o depende de M , T ou t. Logo, quando a temperatura externa e´ maior que a interna,M(t)−T (t) > 0 e ha´ um aumento na temperatura do pre´dio causado por M(t). Por outro lado, quando a temperatura externa e´ menor que a interna, enta˜o M(t)− T (t) < 0 e a temperatura do pre´dio diminui. Resumindo, encontramos dT dt = k[M(t)− T (t)] +H(t) + U(t), em que a taxa de aquecimento adicional H(t) e´ sempre na˜o negativa e U(t) e´ positiva para o aquecimento (causado pelo aquecedor) enegativa para o resfriamento (causado pelo ar- condicionado). 2 Determine a temperatura do pre´dio para qualquer instante t. 07) (Circuitos Ele´tricos) Os princ´ıpios f´ısicos que governam circuitos ele´tricos foram formulados por G. R. Kirchhoff em 1859. Eles sa˜o os seguintes: (i) Lei da corrente de Kirchhoff. A soma alge´brica das correntes que fluem para qualquer ponto de junc¸a˜o devera´ ser zero. (ii) Lei da tensa˜o de Kirchhoff. A soma alge´brica das mudanc¸as instantaˆneas no potencial (quedas de voltagem) em torno de qualquer lac¸o fechado devera´ ser zero. Para aplicar a lei da tensa˜o de Kirchhoff precisamos saber a queda de tensa˜o por cada elemento do circuito. Essas fo´rmulas de tensa˜o sa˜o apresentadas a seguir. (a) De acordo com a lei de Ohm, a queda de tensa˜oER atrave´s de um resistor e´ proporcional a` corrente I que passa pelo resistor: ER = RI. A constante de proporcionalidade R e´ chamada resisteˆncia. (b) Pode-se demonstrar, usando a lei de Faraday e a lei de Lenz, que a queda de tensa˜o EL em um indutor e´ proporcional a` taxa instantaˆnea de mudanc¸a da corrente I: EL = L dI dt . A constante de proporcionalidade L e´ chamada indutaˆncia. (c) A queda de tensa˜o EC atrave´s de um capacitor e´ proporcional a` carga ele´trica q no capacitor: EC = 1 C q. A constante C e´ chamada capacitaˆncia. Uma fonte de tensa˜o supostamente adiciona tensa˜o ou energia pontencial ao circuito. Se considerarmos que E(t) indica a vontagem fornecida ao circuito no instante t, enta˜o a aplicac¸a˜o da lei da tensa˜o de Kirchhoff ao circuito RL gera EL + ER = E(t). Determinar a corrente do sistema para qualquer instante t. Exerc´ıcios do Boyce: 9a Edic¸a˜o Sec¸a˜o 1.1: 21, 22, 24 Sec¸a˜o 1.3: 1 ao 20 Sec¸a˜o 2.1: 13 ao 20 e 38 Sec¸a˜o 2.2: 1 ao 20 (so´ resolver, sem esboc¸ar gra´ficos) e 30 ao 38. Sec¸a˜o 2.4: 27 ao 31 Sec¸a˜o 2.5: 18 (a e b), 20 (a e b), 21 (a e b), 22 Sec¸a˜o 2.6: 1 ao 12, 15, 16, 19, 20, 25 ao 31. 3
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