AD2 Q3 2017 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 3 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Questa˜o 3 (2,5 pontos) Esboce o conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem
as treˆs desigualdades:
|x− 2| < 1,
|y + 3| ≤ 1,
(x− 1)2 + (y + 2)2 ≤ 4.
Atenc¸a˜o!!! Nos esboc¸os, voceˆ deve deixar claro quais sa˜o os pontos de intersec¸a˜o entre os contornos
das regio˜es determinadas por cada uma das condic¸o˜es.
Soluc¸a˜o: A desigualdade |x− 2| < 1 pode ser escrita como
−1 < x− 2 < 1,
ou ainda, somando-se 2,
1 < x < 3.
Com isso, a regia˜o satisfeita e´ formada por todos os pontos (x, y) do plano que possuem coordenada
x entre 1 e 3. Abaixo, um esboc¸o da regia˜o:
A desigualdade |y + 3| ≤ 1 pode ser escrita como
−1 ≤ y + 3 ≤ 1,
ou ainda, subtraindo 3,
−4 ≤ y ≤ −2.
Com isso, a regia˜o satisfeita e´ formada por todos os pontos (x, y) do plano que possuem coordenada
y entre −4 e −2. Abaixo, um esboc¸o da regia˜o:
Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2017-2 2
A regia˜o dada pela inequac¸a˜o (x− 1)2 + (y + 2)2 ≤ 4, por sua vez, pode ser escrita como
(x− 1)2 + (y − (−2))2 ≤ 22,
que representa (veja EP 11) o conjunto dos pontos no interior do c´ırculo de centro (1,−2) e raio 2,
abaixo esboc¸ado:
Vamos esboc¸ar as treˆs regio˜es sobrepostas:
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Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 2 da AD 2 – 2017-2 3
Considerando o conjunto dos pontos que pertencem simultaneamente a`s treˆs regio˜es, isto e´, a
intersec¸a˜o entre elas, temos o seguinte esboc¸o:
Os pontos (1,−2), (3,−2) e (1,−4) na˜o pertencem a` intersec¸a˜o, uma vez que na˜o satisfazem a
desigualdade 1 < x < 3. O segmento de extremos em (1,−2) e (1,−4) tambe´m na˜o satisfaz esta
mesma desigualdade, logo na˜o pertence a` regia˜o.
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