AD2 Q4 2017 2 Gabarito

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Gabarito da Questa˜o 4 da AD 2 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2
Questa˜o 4 (2,5 pontos) O distribuidor das rac¸o˜es ”Boi na Sombra”fornece, semanalmente, dois
tipos de rac¸a˜o, A e B, para uma fazenda. Pelo que foi estabelecido no contrato, as quantidades de
cada tipo de rac¸a˜o podem ser escolhidas livremente pela ”Boi na Sombra”, desde que o total seja 6
toneladas.
Para a Boi na Sombra, cada tonelada da rac¸a˜o A custa R$ 6.000,00, e cada tonelada da B custa R$
2.000,00. Para a remessa ser via´vel, o custo total em cada semana na˜o pode ser maior do que R$
24.000,00.
Utilizando as varia´veis a e b, para as quantidades de toneladas das rac¸o˜es do tipo A e do tipo B,
respectivamente, fac¸a o que e´ pedido abaixo.
(a) Escreva a equac¸a˜o que modela a condic¸a˜o de que total de toneladas das rac¸o˜es fornecidas deve
ser de 6 toneladas.
Soluc¸a˜o: Denotando por a a quantidade de toneladas da rac¸a˜o A e por b a quantidade de
toneladas de B, temos a condic¸a˜o
a+ b = 6.
Observe tambe´m que as quantidades devem ser na˜o negativas.
(b) Esboce, no plano cartesiano, onde o eixos representam as os valores das varia´veis a (eixo hori-
zontal) e b (eixo vertical) de toneladas das rac¸o˜es do tipo A e do tipo B, a reta que satisfaz a
condic¸a˜o acima.
Soluc¸a˜o: Como trata-se de uma reta, basta obtermos dois de seus pontos para poder esboc¸a´-la.
Podemos obter um ponto da reta fazendo a = 0, que nos dara´ 0 + b = 6, logo b = 6. Assim,
temos o ponto (0, 6). Fazendo b = 0 para obter outro ponto, teremos a+ 0 = 6, logo a = 6 e,
portanto, obtemos o ponto (6, 0). Esboc¸ando a reta que une estes dois pontos, temos:
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No gra´fico acima, tomamos o cuidado de esboc¸ar apenas o segmento da reta em que a > 0 e
b > 0.
(c) Escreva a inequac¸a˜o que modela a condic¸a˜o de que o custo total em cada semana na˜o pode ser
maior do que R$ 24.000,00.
Soluc¸a˜o: Cada tonelada de rac¸a˜o A custa R$ 6.000,00, logo, o total desta rac¸a˜o custara´, em
reais, 6.000 · a. Da mesma forma, o total da rac¸a˜o B custara´ 2.000 · b. Assim, a condic¸a˜o sobre
o prec¸o total pode ser escrita como
6.000 · a+ 2.000 · b 6 24.000.
Devemos tambe´m observar que a > 0 e b > 0.
(d) Esboce, em um plano cartesiano como o do item (b), a regia˜o que satisfaz a condic¸a˜o do item (c).
Soluc¸a˜o: O custo total da rac¸a˜o, isto e´, a soma 6.000 · a + 2.000 · b sera´ menor ou igual a
24.000 abaixo da reta 6.000 · a+2.000 · b = 24.000 ou nesta reta (porque a condic¸a˜o e´ 6 e na˜o
so´ <). Simplificando a equac¸a˜o da reta, dividindo por 2.000, temos
6.000 · a+ 2.000 · b = 24.000⇔ 3a+ b = 12.
Para esboc¸ar esta reta, e depois a regia˜o abaixo dela, precisamos conhecer dois de seus pontos.
Fazendo a = 0, temos b = 12, logo o ponto (0, 12). Fazendo b = 0, temos a = 4, logo o ponto
(4, 0). Esboc¸ando a reta, temos:
Agora, a regia˜o abaixo e na reta:
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Note que a regia˜o atende tambe´m a`s condic¸o˜es a > 0 e b > 0.
(e) Esboce, em um plano cartesiano como o dos itens (b) e (d), a intersec¸a˜o entre as condic¸o˜es dos
itens (a) e (c), esboc¸adas em (b) e (d).
Soluc¸a˜o: Esboc¸ando em um mesmo plano a condic¸o˜es dos itens (b) e (d), temos:
Portanto, a intersec¸a˜o entre as condic¸o˜es e´ dada pelo esboc¸o abaixo:
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O ponto de intersec¸a˜o entre as retas pode ser encontrado resolvendo-se o sistema{
a+ b = 6
3a+ b = 12
A primeira equac¸a˜o nos da´ b = 6−a que, substituindo na segunda, nos leva a 3a+(6−a) = 12,
logo 2a = 6 e, portanto a = 3. Isto nos da´ b = 6− 3 = 3 e temos, portanto, o ponto (3, 3).
(f) A fazenda que recebera´ a rac¸a˜o prefere a rac¸a˜o do tipo A, e solicitou que, dentro das 6 toneladas,
fosse enviado o ma´ximo poss´ıvel desta rac¸a˜o. Se a Boi na Sombra pretende atender a solicitac¸a˜o
de seu cliente, pore´m sem extrapolar seu custo ma´ximo de R$ 24.000,00, qual a quantidade
ma´xima de rac¸a˜o do tipo A podera´ ser enviada? Deˆ a resposta e justifique com base no esboc¸o
do item (e).
Soluc¸a˜o: A maior quantidade de rac¸a˜o A e´ dada quando a coordenada horizontal a possui seu
maior valor dentro das condic¸o˜es acima. Pelo esboc¸o feito no item anterior, vemos que o maior
valor poss´ıvel de a e´ 3 (no ponto (3, 3)). Assim, a maior quantidade de rac¸a˜o A que pode ser
enviada, dentro das condic¸o˜es contratadas, e´ 3 toneladas.
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