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Métodos Estatísticos IIGabarito do Exercício Programado 1Profa. Ana Maria Farias
É importante que você defina as variáveis e os eventos de interesse, estabele-cendo as distribuições envolvidas. Isso facilita o cálculo das probabilidades.
1. (a) f (x) = y = a+ bxPonto 1: y = 0 e x = 2; ponto 2: y = 2 e x = 5
a+ b · 2 = 0a+ b · 5 = 2
Subtraindo a primeira equação da segunda, resulta 3b = 2 ⇒ b = 23 . Substituindona primeira equação, obtemos a+ 43 = 0⇒ a = −43 . Logo, a equação da reta é
y = −43 + 23 · x(b) Ponto 1: y = 1 e x = 3; ponto 2: y = 1 e x = 7Note que, para os 2 pontos, y = 1; logo, essa é uma reta horizontal, isto é, cominclinação 0 e a equação é f (x) = 1. Fazendo os cálculos para confirmar:
a+ b · 3 = 1a+ b · 7 = 1
Subtraindo a primeira equação da segunda, resulta 4b = 0 ⇒ b = 0. Substituindona primeira equação, obtemos a + 0 = 1 ⇒ a = 1, o que confirma a equação jáobtida.(c) Ponto 1: y = 5 e x = −4; ponto 2: y = 3 e x = 3
a+ b · (−4) = 5a+ b · 3 = 3
Subtraindo a primeira equação da segunda, resulta 7b = −2 ⇒ b = −27 . Substi-tuindo na segunda equação, obtemos a− 67 = 3⇒ a = 277 . Logo, a equação da retaé y = 277 − 27 · x2. f (x) = 2 + 3x
(a) Veja a Figura 1. Note que o intercepto ocorre em y=2 e quando y = 0, x = −23 .(b) (i) f (2) = 2 + 3 · 2 = 8 ∴ (2, 0) não está sobre a reta.(ii) f (1) = 2 + 3 · 1 = 5 ∴ (1, 5) está sobre a reta.(iii) f (−1) = 2 + 3 · (−1) = −1 ∴ (−1, 1) não está sobre a reta.
Curso de Administração 1
Figura 1 – f (x) = 2 + 3x – Questão 2a
(iv) f (−1) = 2 + 3 · (−1) = −1 ∴ (−1,−1) está sobre a reta.(v) f (−3) = 2 + 3 · (−3) = −7 ∴ (−3,−7) está sobre a reta.
3. Seja X o comprimento da barra. Então, X ∼ Unif (10; 12). Vamos definir os seguinteseventos:
S = barra vendida como sucataC = barra tem que ser cortadaP = barra perfeita
Temos as seguintes equivalências:
P(S) = P(X < 10, 5) = 10, 5− 1012− 10 = 0, 25P(C ) = P(X > 11, 5) = 12− 11, 512− 10 = 0, 25P(P) = P(10, 5 ≤ X ≤ 11, 5) = 11, 5− 10, 512− 10 = 0, 5
4. Nesse tipo de exercício, é importante lembrar as duas condições que uma função devesatisfazer para ser uma função densidade de probabilidade; em geral, vocês esquecemde verificar que a função é não negativa e só calculam a área. Outro ponto importanteé o processo de obtenção da expressão de f (x) : reta que passa por dois pontos. Façadesenhos!
(a) f (x) ≥ 0 – o gráfico da função encontra-se nos quadrantes superiores, correspon-dentes às ordenadas positivas.A área total sob f (x) é a área de um triângulo de altura 0,4 e base 5:
A = 12 × 5× 0, 4 = 1
Curso de Administração 2
(b) Sabemos que “dois pontos determinam uma reta”. Assim, “pense” como obter aequação da reta, sem tentar lembrar de fórmulas decoradas.Para 0 ≤ x ≤ 4, f (x) é uma reta que intercepta o eixo vertical em y = 0; logo, ointercepto é zero, ou seja, f (x) = b · x . Como a reta passa pelo ponto (4; 0, 4), resultaque 0, 4 = 4 · b⇒ b = 0, 1Logo, f (x) = 0, 1x 0 ≤ x ≤ 4Para 4 ≤ x ≤ 5, f (x) = a + bx é uma reta que passa pelos pontos (4; 0, 4) e (5, 0);isso nos dá o seguinte sistema de duas equações a duas incógnitas:0, 4 = a+ 4b0 = a+ 5bSubtraindo a primeira equação da segunda, obtemos que0, 4− 0 = (a− a) + (4b− 5b)⇒ 0, 4 = −b⇒ b = −0, 4Substituindo esse valor na segunda equação (poderia ser na primeira também!)obtemos que 0 = a+ 5× (−0, 4)⇒ a = 2Logo f (x) = 2− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 5Resumindo:
f (x) =
 0, 1x 0 ≤ x < 42− 0, 4x 4 ≤ x ≤ 50 x < 0 ou x > 5(c) Para x < 0, F (x) = 0 e para x > 5, F (x) = 1.• 0 ≤ x < 4 – F (x) é a área do triângulo sombreado na Figura 2:
F (x) = 12x · f (x) = 12x(0, 1x) = 0, 05x2• 4 ≤ x < 5 – F (x) é a área sombreada na Figura 3, que é a soma da área dotriângulo mais a área do trapézio:
F (x) = 0, 8 + 0, 4 + (2− 0, 4x)2 × (x − 4) = 0, 8 + (1, 2− 0, 2x)(x − 4)= 0, 8 + 1, 2x − 4, 8− 0, 2x2 + 0, 8x = −4 + 2x − 0, 2x2Outra forma de se obter F (x) para x ∈ [4, 5] é pela probabilidade do comple-mentar: a área sombreada é a área total (que é 1) menos a área de um triângulocom base 5− x e altura f (x) = 2− 0, 4x . Logo, F (x) = 1− 12 (5− x)(2− 0, 4x) =−4 + 2x − 0, 2x2. Resumindo (veja a Figura 4):
F (x) =

0 se x < 00, 05x2 se 0 ≤ x < 4−4 + 2x − 0, 2x2 se 4 ≤ x < 51 se x ≥ 5
Curso de Administração 3
x
0,4
Figura 2 – F (x) para 0 ≤ x < 4 – Questão 4c
x
0,4
Figura 3 – F (x) para 4 ≤ x ≤ 5 – Questão 4c
(d) A mediana tem que ser menor que 4, pois a área abaixo de 4 é 0, 8 > 0, 5. Ilustreesse resultado em um gráfico! Veja a Figura 5.Como a área abaixo de Q2 tem que ser 0,5 e essa área é a área de um triângulo,resulta que
0, 5 = 12×Q2×f (Q2)⇒ 0, 5 = 12×Q2×(0, 1Q2)⇒ 0, 1Q22 = 1⇒ Q22 = 10⇒ Q2 = ±√10Como Q2 > 0, resulta que Q2 = +√10 = 3, 162 3. Uma dificuldade que surge nestetipo de exercício é a identificação do ponto (Q2; f (Q2)), ou seja, em geral, vocês têmdificuldade de ver que a interseção da reta vertical (altura do triângulo) com a retaque define a função é f (Q2).Pode-se resolver esse problema usando a função de distribuição acumulada:
F (Q2) = 0, 5⇒ 0, 05Q22 = 0, 5⇒ Q22 = 0, 50, 05 = 10 =⇒ Q2 = ±√10
(e) (i)
P(X > 1, 5) = 1− P(X ≤ 1, 5) = 1− F (1, 5) = 1− 0, 05× (1, 5)2 = 0, 8875
Curso de Administração 4
Figura 4 – Função de distribuição acumulada – Questão 4c
Q2
Figura 5 – Cálculo da mediana – Questão 4d
(ii)
P(2 < X < 4) = P(2 < X ≤ 4) = P(X ≤ 4)− P(X ≤ 2)= F (4)− F (2) = 0, 05× 42 − 0, 05× 22 = 0, 8− 0, 2 = 0, 6
(iii)
P(X > 2, 1 |1 < X < 4, 5) = P(2, 1 < X < 4, 5)P(1 < X < 4, 5) = P(2, 1 < X ≤ 4, 5)P(1 < X ≤ 4, 5)= F (4, 5)− F (2, 1)F (4, 5)− F (1)
= (−4 + 2× 4, 5− 0.2× 4, 52)− 0, 05× 2, 12(−4 + 2× 4, 5− 0, 2× 4, 52)− 0, 05× 12
= 0, 95− 0, 22050, 95− 0, 05 = 0, 81056Cuidado para não confundir função densidade de probabilidade com função de dis-tribuição acumulada. Um erro comum é vocês calcularem probabilidade do tipo
Curso de Administração 5
P(X < k) substituindo o valor de k na função densidade. O correto é usar a funçãode distribuição acumulada. Ou seja: P(X ≤ k) = F (k)
5. Faça desenhos!
(a) O comprimento do intervalo (base do retângulo) é 20; logo, para a área ser 1, temosque ter altura igual a 120 = 0, 05. (Veja a Figura 6.) Logo,
f (x) = { 0, 05 20 ≤ x ≤ 400 caso contrário
20 40
0.05
Figura 6 – Função de densidade – Questão 5a
(b) Por simetria, a média é o ponto médio:
E(X ) = 30 minutos
(c) O problema pede P(X < 30|X ≥ 25) (veja a Figura 7)
P(X < 30|X ≥ 25) = P(25 ≤ X < 30)P(X ≥ 25) = 5× 0, 0515× 0, 05 = 515 = 13
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x
0.05
25 30
0.05
25 40
Figura 7 – Cálculo da probabilidade P(X < 30|X ≥ 25) – Questão 5c
Curso de Administração 7