Capítulo 4 – Análise integral de volumes de controle

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS (CTG)
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA (DEMEC)
MECÂNICA DOS FLUIDOS 2 – ME262
Prof. ALEX MAURÍCIO ARAÚJO
(Capítulo 4)
Recife - PE
Capítulo 4 – Análise integral de volumes de controle
1 – Leis básicas para um sistema. Lei da conservação da massa. Segunda lei de Newton.
Momento da quantidade de movimento. Primeira Lei da Termodinâmica. Segunda Lei da
Termodinâmica.
2 – Formulação das leis básicas para VC. Teorema de transporte de Reynolds. Significado físico
dos termos.
3 – Lei da conservação da massa (LCM) para VC. Casos especiais. Vazão volumétrica.
Velocidade média em uma seção. Vazão mássica. Influxos e efluxos de massa. Exemplos.
Critérios para seleção de (VC) e (SC) adequados.
4 – Quantidade de movimento para VC inercial. Fixo e com velocidade constante. Exemplos
práticos.
5 – Propulsão a jato. Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea.
Exemplos.
6 – Momento da quantidade de movimento. Máquinas de fluxo. Momento de Impulso.
Características. Turbinas. Bombas. Ventiladores, sopradores e compressores. Escoamento pelo
rotor. Exemplos. Análise das turbomáquinas. Equação de Euler das turbomáquinas. Exemplos.
Visualização das velocidades no rotor. Seccionamento de rotor e triângulos de velocidades em
máquinas de fluxo axial. Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo. Tipos de pás.
7 – Primeira Lei da Termodinâmica para VC. Trabalho do fluxo para realizar uma variação de
volume no S ou VC. Exemplos. Capacidades de geração elétrica (Potência instalada).
Composição da Matriz Energética Global Utilizada.
8 – Segunda Lei da Termodinâmica para VC. Exemplo.
Equações básicas, na forma integral, para um S
Conservação de Massa
A Segunda Lei de Newton
0 (LCM)
A Primeira Lei da Termodinâmica
O Princípio do Momento da Quantidade de Movimento / Princípio da Quantidade de 
Movimento Angular 
0
Convenção + : 
s
A Segunda Lei da Termodinâmica
Próximo objetivo: obtenção da formulação das leis básicas para VC, da formulação para S.
S
VC

N – qualquer propriedade extensiva do S (M, P, H, E, S) 
η – propriedade intensiva correspondente
Configurações do sistema e do volume de controle.
Total - Taxa de variação do parâmetro N extensivo do S
Temporal - Taxa de variação de N no VC
Fluxo – Vazão resultante de N através da SC
Teorema de transporte de Reynolds
(MÓVEL)
(FIXO)
(III – “massa” 
que sai)
(I – “massa 
nova” que entra
no VC)
Teorema de transporte de Reynolds
y
x
y
x
y
x
V
N NN
VV
( t – Δt) ( t + Δt)( t )
S SS e VC VCVC
SC1 SC2
Móvel com 
V do fluido
N – parâmetro físico ( ; ; M; E; S)
vetores escalares
Extensiva
η – N / m (independe da massa) Intensiva
Em ( t )
(1,2)
Análise dimensional:
OBJETIVO: expressar a taxa de variação da propriedade N para um S em termos das variações
dessa propriedade associadas com o VC.
t0 – fronteiras do S e VC coincidem. (t0 + dt) – o S ocupa as regiões II e III.
y
x
z
S e VC SVC
I II III
massa do S que deixou o
VC durante dt
massa que entra no VC
durante dt trazida pelo
“novo” S sucessor*.
* Há um “fluxo contínuo” de fluido S passando pelo VC!
Da definição de derivada:
Porém:
Então:
Associados ao fluxo do S pelo VC
Como o limite da soma é igual à soma dos limites:
Integral do fluxo da N
passando pelas SC’s do VC
com velocidade
N
“Teorema de transporte 
de Reynolds”
Lei da conservação da massa
N = M
η = 1
Taxa de variação
de M dentro do VC
Fluxo de massa
resultante pela SC
> 0 efluxo
< 0 influxo
= 0 tangencia a SC
VC
dA
V*
*
dA
dA V
V
V · dA > 0
(efluxo)
V · dA < 0
(influxo)
V · dA = 0
Casos especiais
1 – Escoamento incompressível ( ρ = ρ (x, y, z, t) = cte)
(÷ ρ)
Para um VC não deformável, = cte,
Vazão volumétrica
“ Em escoamento incompressível, a vazão volumétrica resultante QR (entra e sai) pelas SC do VC é nula.”
Velocidade média em uma seção
V
dA
V
dA
1 2
VC
= QR
Obs: deve-se sempre 
usar as SC normais ao 
fluxo.
Definição de Vazão 
Volumétrica: 
2 – Escoamento permanente ( ρ = ρ (x, y, z))
(vazão mássica)
“ Em escoamento permanente, a QM entrando em um VC deve ser igual à QM saindo.”
3 – Escoamento uniforme na seção ( velocidade cte . na área da seção )
Se a ρ também é cte., a integral de fluxo fica:
+ efluxo
- influxo
0
Vazão mássica
Obs: deve-se sempre usar as SC normais ao fluxo.
QM = ρ Q ( ρ = cte em A)Definição de Vazão Mássica: 
(Exercícios resolvidos do Fox)
Critérios para seleção de (VC) adequado
• o VC deve cortar o lugar onde a informação é desejada;
• o VC deve cortar lugares onde um máximo de informação é conhecida;
• se usar LCQM, o VC não deve cortar paredes sólidas, pois exporá tensão, forças e momentos
desconhecidos, dificultando o cálculo da força desejada;
• locar o VC em referencial em relação ao qual o escoamento seja permanente.
Critérios para seleção das (SC’s) adequada
• nas SC’s devem ser bem determinadas: ( ρ, V e p ) do fluxo em estudo
• as SC’s devem ser: - paralelas às velocidades do fluxo
- ortogonais às velocidades do fluxo
• as SC’s devem se localizar em trechos onde a distribuição das velocidades do fluxo seja
uniforme ou a mais simples possível.
V
A
AVV · dA = 0
SC
SC
V
V
A
A
V · dA = ± │V dA│
SC
A
∫ V · dA = ± │V A│ Perfil uniforme na seção da SC.V
Quantidade de movimento para VC inercial (2ª LN)
onde são atuantes sobre o (S).
N = 
η =
“ A soma de todas as forças atuando sobre um VC não submetido a aceleração, é igual à
soma da taxa de variação da quantidade de movimento dentro do VC com a taxa
resultante de fluxo da quantidade de movimento pelas superfícies de controle (SC).”
B) Determinar o sinal de cada componente da velocidade . O sinal depende
da escolha do sistema de coordenadas: .
Em relação a um sistema de coordenadas (x, y, z) os componentes escalares são:
Fluxo da quantidade de movimento na direção x:
A) Achar o sinal de :
Ancoragem
Força de arrasto em placa plana
Volume de controle móvel (inercial ≡ VVC = cte)
Y
y
x
(Referencial
fixo, absoluto ou inercial)
Vfl abs - Velocidade absoluta do fluido (ref. Fixo)
VVC abs - Velocidade absoluta do VC (ref. Fixo)
Wfl rel - Velocidade relativa do fluido (ref. Móvel)
A diferença entre as velocidades absolutas
é a velocidade do fluido vista do
referencial móvel ou Wfl rel .
Y
X
y
x
X
Vfl abs
VVC abs
Wfl rel
Wfl rel
VVC abs Vfl abs = Wfl rel + VVC absVfl abs
Wfl rel = Vfl abs - VVC abs
Volume de controle (VC) movendo-se a velocidade constante
X
y
x
Y
VC
S
A) Todas as velocidades sejam medidas em relação ao VC;
B) Todas as derivadas referidas ao tempo sejam medidas em relação ao VC.
As seriam vistas por um observador movendo-se a velocidade constante com o VC (Wfl rel ).
Teorema de transporte de Reynolds
Supor que a magnitude da velocidade relativa ao longo da aleta é constante. Desprezar atrito de contato.
Módulo do vetor velocidade na entrada e saída da pá defletora.
Componentes do vetor
velocidade na entrada (1) e
saída (2) do defletor.
V1 = 0 ; U1 = V – U
V2 = (V – U) senθ ; U2 = (V – U) cosθ
Turbina Pelton
Propulsão a jato
Pela LCM : ρ1V1 A1 = ρ2V2 A2  Pelo fluxo de calor recebido na turbina: ρ2 <<< ρ1V2 >>> V1
Fc = ρQ ΔV , onde ρQ = ρ1 Q1 = ρ2 Q2
Suprefície de controle adotada para obtenção da força
de propulsão de um turbo-jato. Supõe-sedistribuição
uniforme de velocidades transversais A1 e A2.
0 (RP)
A1 A2VC
Equação da quantidade de movimento para VC sob aceleração retilínea
Y
X
y
x
s
vc
Da equação do movimento relativo, ou vetorialmente:
- É a aceleração retilínea do sistema em relação ao
referencial inercial XYZ;
- É a aceleração retilínea do sistema em relação ao
referencial não-inercial xyz;
- É a aceleração retilínea do referencial não-inercial xyz
em relação ao referencial inercial XYZ.
“termo extra”
Ex: Em x:
Para y: vxyz
Para z: wxyz
Do Teorema de transporte de
Reynolds: N = , .
Sabe-se que:
- É a aceleração do VC vista por um observador no sistema de coord. YX.
É a taxa de variação com o tempo da quantidade de
movimento do fluido, segundo o eixo y, no VC, e medida
em relação a ele.
Fsy = 0
- ejeta gás a patm (patm atua em todas SC’s do VC!)
- despreza resistência do ar
( MVC é função de t!)
Para achar MVC (t), usa-se a LCM:
- o combustível não queimado e a estrutura do foguete têm quantidade de
movimento nula em relação ao foguete;
- a velocidade do gás na saída do bocal é constante no tempo.
Momento da quantidade de movimento
Momento da quantidade de movimento
Equação
Aplicações: Turbomáquinas de fluxo centrífugo / radial 
Exemplos:
Bomba centrífuga Soprador centrífugo
Turbocompressor centrífugo
Turbocompressor em motores a explosão
aproveita os gases de escape para injetar 
oxigênio nos cilindros ( camara de 
combustão). Um turbocompressor inclui 
um par de rotores axial, ligados num só
eixo, que giram de um lado como 
turbina e do outro como compressor.
Turbomáquinas de fluxo axial e misto
Turbinas hidráulicas
Aplicadas quando (Q↓ ; H↑)
Exemplos de rotores:
Turbina Francis
Turbina Kaplan Turbina Pelton
Estudos e 
análises
Máquinas de fluxo
1 – Generalidades:
a) 1/3 da energia consumida nos EUA é usada na indústria;
b) 40-50% da energia industrial é usada para acionar* bombas e compressores.
(*Custo da energia – “fator de competitividade” de setores industriais eletrointensivos (- Al; - Siderúrgicas))
2 – Atividades do Engenheiro Mecânico:
Seleção Projeto
Instalação
ConstruçãoAplicação
Manutenção
2 32 – Máquinas de Série 
(catálogos)
 desempenho
 vida útil
3 – Máquinas sob 
encomenda
 desempenho (?)
 vida útil (?)
3 – Características:
• são aquelas em que o escoamento é orientado pelas pás do rotor;
• as trocas de E entre o fluido e o rotor resultam de efeitos dinâmicos no escoamento;
• ao contrário das Máquinas Alternativas, as de fluxo não confinam o fluido.
4 – Turbinas  extraem energia do escoamento fluido.
4.1 – Tipos:
• Ação / Impulsão: são acionadas por um ou mais jatos livres acelerados em bocais
externos. O rotor gira sem estar cheio do fluido (Pelton);
• Reação: um conjunto de pás fixas externas ao rotor (distribuidor) e de pás móveis
(rotor) aceleram o fluido no 1° estágio. Eles funcionam cheios de fluido, por isto, para
um dado tamanho, podem produzir mais potência que as de Ação. (Francis, Kaplan)
5 – Bombas  entregam energia ao escoamento líquido ou pastoso.
6 – Ventiladores, sopradores e compressores  entregam energia ao escoamento de gás e vapor.
Ventilador: fluxo se dá sem compressão do fluido ( ≤ 1” H2O; 1 atm ≈ 10 mca 0,25% atm. )
Soprador: dá ligeira elevação de pressão no fluido ( ≈ 1” Hg; 1 atm ≈ 30 in Hg 3,3% atm)
Compressor: causam grandes elevações de pressão no fluido de trabalho (≤ 10 4atm 105mca)
Momento de Impulso
VC no rotor da máquina de fluxo
Análise das turbomáquinas
0 (1) 0 (3)0 (2)
Simplificações: 1 – ignorar torques das . (1ª aproximação)
2 – desprezar torques das . (simetria!)
3 – regime permanente.
Tei > 0  B, V, S, C.
Tei < 0  T.
V2 - velocidade absoluta do fluido na saída do rotor (2)
Vt2 - componente tangencial da velocidade absoluta em (2)
Vn2 - componente normal (radial) à área de saída (2)
U2 - velocidade linear do rotor na saída (2)
ω - velocidade angular do rotor
( potência)= ( U2Vt2 – U1Vt1 ) QM
Equação de Euler 
Visualização das velocidades em um rotor de turbomáquina
( Diagramas ou Polígonos de velocidades)
β1,2 - ângulos da veloc. relativa à pá (yx) do fluido ao entrar/sair do rotor (tangente à pá).
α1,2 - ângulos da veloc. absoluta (YX) do fluido ao entrar/sair do rotor.
U2 - velocidade tangencial linear absoluta da ponta do rotor observada do referencial inercial YX.
Vrb2 - veloc. relativa à pá (yx - ref. não-inercial ) do fluido, na saída (2) do rotor.
V2 = U2 + Vrb2 - velocidade absoluta do fluido observada do referencial inercial YX.
Vt2 ,Vn2 - componentes tangencial e normal da velocidade absoluta na saída (2).
Y
X
y x
Seccionamento de rotor e triângulos de velocidades em máquinas de fluxo axial
Altura de carga (H) adicionada /retirada ao fluxo 
= P = FV = pAV = pQ = ρgHQ
(altura)
Se o fluido entra no rotor com
V1 radial  Vt1 = 0, como
Vt2 = U2 – Vrb2 cos β2 , então:
1ª Lei da Termodinâmica para VC
s
N = E
η = e
Eixo
Móvel
(Tei ω)
Trabalho de fluxo Taxa de 
W realizado
pelo VC
(para fora! + )
Como:
Então:
I) A direção e sentido da força são as
do que coincidem com as do vetor .
II) A direção e sentido da força são da .
Modos de transferência de trabalho
VC
Trabalho do fluxo para realizar uma variação de volume no S ou VC
Como a taxa de W realizado pelo VC é positiva e estamos obtendo a realizada sobre o VC:
Porém, e como , onde , logo:v ρ= 1,0
(Taxa de trabalho ou 
potência do fluxo na 
SC por ação da tensão σ.) 
Observe que: ( fluxo de energia pela SC devido à )
p
τ
t = 0
t = 0 + Δt
S
Exterior
O sinal deve ser negativo porque se está obtendo a 
taxa de W realizada sobre o VC na SC.
2° membro:
h - entalpia
Finalmente:
Obs:
. Se toma a SC perpendicular ao fluxo, então:
Energia elétrica poderia ser acrescentada ao VC. Em geral, estão ausentes, porém se anota em uma
formulação geral.
SC
Exemplo: Estudo de caso - uso da LCE na análise global relativa das eficiências das máquinas de 
fluido de fluxo hidráulicas e térmicas.
Tese: a máquina mais eficiente seria a que extrairia maior potência de eixo! Modelo: LCE para VC
0 (1)0 (1)
0 (3)
Hipóteses do Modelo: 1) VC adequado e 2) fluido (ar ou gás) perfeito h = cpT
3) regime permanente.
Assim:
(h = cpT), ou separando em termos de fluxos de energias de vários modos:
Fluxo de 
entalpia (h).
Fluxo de Ec Fluxo de 
Epposição
Fazendo-se uma estimativa da magnitude das ordens de grandeza dos vários fluxos (dos modos) de energia:
1) O fluxo de Epposição fica desprezível em esc. de gases: (gz) ≈ 10m/s² × 10m ≈ 100 (m/s)²
2) O fluxo de Ec é pequeno em esc. à baixas velocidades: (V²/2) ≈ 80²/2 ≈ 3200 (m/s)²
3) O fluxo de h é dominante: (cpT) ≈ 1004 m²/s²K × (50°C + 273K) ≈ 325000 (m/s)²
10²
10³
Conclusões:
1) Quando se desconsidera os efeitos de trocas de calor é que as Ec e Ep tornam-se importantes!
Turbinas a vapor e a gás:
Turbinas hidráulicas ou eólicas:
Capacidades de geração elétrica (Potência instalada)
1) A maior Usina de Energia Renovável do Mundo – Torre ( H = 1000m; D = 130m) – Painel solar ( A =
20km²; D ≈ 5 km; 2p = 16 km) – deserto Austrália – 2009 – Var ≈ 14 m/s – 32 TE’s – Pinst. = 200MW –
Per capta consumo residencial: 250W/residência – 200MW/250W ≈ 800.000 consumidores residenciais.
2) Itaipu – 20 turbinas – cada uma com 700MW – Pinst. = 14000MW (2007) – (95% da energia consumida
no Paraguai e 25% no Brasil) – Cadaturbina de Itaipu fatura U$15 milhões/mês (R$1milhão/dia) – Em
07/2007: custo da energia industrial – R$206,00 MWh; operação contínua (24h/dia): 700MW –
R$3.460.800,00!
3) Complexo Rio Madeira (RO) – Sto. Antônio: 3150MW; Jirau: 3300MW
4) PE – Usinas termoelétricas - Porto Suape – usar coque de petróleo da refinaria Abreu e Lima ou carvão
– P = 350MW
Usina Solar - Austrália
Itaipu
Termoelétrica - Suape(www.enviromission.com.au)
5) Complexo Chesf
Parque gerador:
 14 UHE
 1 Térmica
Pinst. = 10.600 MW
Complexo Ano Potência (MW)
PA-I 1954 180
PA-IIA 1961 215
PA-IIB 1967 228
PA-III 1971 794
Apolônio Sales 1977 400
Sobradinho 1979 1050
Itaparica 1988 1480
Xingó 1994 3162
O parque eólico de Osório é um
parque de produção de energia
eólica na cidade de Osório, RS. É
composto por 75 torres de
aerogeradores de 98 metros de
altura e 810 toneladas cada uma. O
parque tem uma capacidade
instalada estimada em 150 MW
(energia capaz de atender uma
cidade de 700 mil habitantes),
sendo a maior usina eólica da
América Latina.
6) Matriz Energética Brasileira
Empreendimentos em Operação
Tipo
Capacidade Instalada 
%
Total
%
N.° de Usinas (kW) N.° de Usinas (kW)
Hidro 786 77.722.019 69,53 786 77.722.019 69,53
Gás
Natural 89 10.598.502 9,48
120 11.842.985 10,59
Processo 31 1.244.483 1,11
Petróleo
Óleo Diesel 762 3.715.894 3,32
782 4.981.088 4,46
Óleo Residual 20 1.265.194 1,13
Biomassa
Bagaço de Cana 268 3.832.278 3,43
329 5.194.375 4,65
Licor Negro 14 1.023.798 0,92
Madeira 32 265.017 0,24
Biogás 8 41.874 0,04
Casca de Arroz 7 31.408 0,03
Nuclear 2 2.007.000 1,80 2 2.007.000 1,80
Carvão 
Mineral
Carvão Mineral 8 1.455.104 1,30 8 1.455.104 1,30
Eólica 33 414.480 0,37 33 414.480 0,37
Importação
Paraguai 5.650.000 5,46
8.170.000 7,31
Argentina 2.250.000 2,17
Venezuela 200.000 0,19
Uruguai 70.000 0,07
Total 2.060 111.787.051 100 2.060 111.787.051 100
Dados da ANEEL de 04-05-2009
Composição da Matriz Energética Global Utilizada
≥ 80% → combustíveis fósseis
≥ 6% → energia nuclear
≈ 13% → energias renováveis
• Pela Constituição o Estado é obrigado a fornecer energia e proteger o meio ambiente.
• Hidreletricidade (BR):
- hoje operam 70.000MW ( PCH’s ≤ 30MW )
- há potencial para mais 200.000MW
Combustíveis fósseis
Energia Nuclear
Energia Eólica
www.e-architect.co.uk/bahrain/bahrain_wtc_wind_turbines.htm
Bahrain World Trade Center
2ª Lei da Termodinâmica para VC
N = S
η = s
S
T
dA
- Fluxo local de calor;
- T – temperatura local em A; extensiva intensiva
VC
- entropia total do sistema. 
RESUMO : Leis básicas para um VC
LCM:
Quantidade de movimento linear:
LCE:
2ª LTD:
( VC fixo)
( VC com = cte. - velocidades
observadas do VC.
( VC com )
( h = u + pv)
Y
X
y
x
Y
X
y
x
Ref. inercial
Ref. não-inercial
Quantidade de movimento angular: ( Equação de Euler) 
FIM