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FÍSICA MECÂNICA 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
As leis de Newton e suas aplicações são poderosas técnicas para 
resolução de problemas de mecânica, porém em sistemas onde alguma das 
forças atuantes não é constante, os métodos simples para resolução vistos nas 
aulas anteriores não são suficientes. Nestes casos, precisamos abordar outras 
técnicas para obter sucesso na resolução. 
Para isso utilizaremos conceitos que envolvem o conhecimento das 
formas de energia e com elas aplicaremos o conceito do princípio da 
conservação da energia em sistemas fechados. 
Este princípio mostra que em um sistema fechado a energia total do 
sistema se conserva, não podendo ser criada nem destruída, ou seja, a energia 
total do sistema pode ser transformada de um tipo de energia em outro, mas a 
energia total continua a ser a mesma. 
CONTEXTUALIZANDO 
Nesta aula será apresentado um novo método para solução de 
problemas de mecânica que envolvem a aplicação de forças variáveis, para 
isso serão utilizados conceitos de trabalho e energia. A razão para utilização do 
conceito de energia é o princípio da conservação da energia. Este princípio 
mostra que em um sistema fechado a energia total do sistema se conserva, 
não podendo ser criada nem destruída, ou seja, a energia total do sistema 
pode ser transformada de um tipo de energia em outro, mas a energia total 
continua a ser a mesma. Por exemplo, ao utilizar uma pilha para acender uma 
pequena lâmpada de lanterna a energia química armazenada na pilha através 
de uma reação química é transformada em corrente elétrica (energia 
eletromagnética) que percorre fios condutores até a lâmpada, a corrente 
elétrica passando pelo filamento da lâmpada acaba por aquecê-lo fazendo com 
que a energia eletromagnética seja transformada em energia luminosa (luz) e 
energia térmica (calor). Nesse e em outros processos energéticos a soma de 
todas as formas de energia envolvidas no sistema permanece constante, é o 
princípio da conservação da energia. 
Apesar de uma infinidade de formas de energia existentes na natureza, 
nesta aula, voltaremos nossa atenção para as energias envolvidas na 
 
 
3 
mecânica. Veremos como calcular a energia do movimento, chamada de 
energia cinética e sua relação com o conceito de trabalho, o teorema 
trabalho - energia cinética. Além disso, veremos também outra forma de 
energia mecânica, conhecida como energia de posição, a energia potencial, 
elástica e gravitacional. Fixados estes conceitos primários estenderemos o 
estudo relacionando essas formas de energia com o princípio da conservação 
da energia. 
TEMA 1 - TRABALHO 
Apesar da palavra “trabalho” ter um significado bastante conhecido na 
linguagem cotidiana popular, sendo visto como qualquer atividade que envolva 
esforço físico ou intelectual, na física, ele possui uma definição muito mais 
abrangente. 
Vimos de acordo com a primeira lei de Newton que para mudar o estado 
de movimento de determinado objeto necessitamos aplicar uma força. Se um 
bloco de madeira está em repouso sobre uma mesa, devemos aplicar uma 
força para colocá-lo em movimento, ou quando ele está em movimento, para 
aumentar sua velocidade, devemos aplicar uma força no mesmo sentido do 
movimento e para diminuir a velocidade, a força deve ser aplicada em sentido 
contrário ao movimento. Em termos de energia, quando aplicamos uma força, 
ou irá aumentar a energia do movimento, ou a força irá diminuir a energia do 
movimento. No caso, quando a velocidade está aumentando com a aplicação 
da força, a energia também está aumentando, ou quando a velocidade diminui, 
a energia também diminui. A ação de aplicar a força fisicamente é chamada de 
trabalho. Quando o trabalho for positivo a energia do sistema está 
aumentando e quando o trabalho for negativo, a energia do sistema está 
diminuindo. 
A definição física de trabalho baseia-se nessas observações. Para 
melhor compreensão, considere que com a aplicação de uma força ( ) uma 
partícula deslocou-se uma distância (d) em trajetória retilínea (eixo x). Durante 
o movimento o módulo da força (F) permaneceu constante e sua direção e 
sentido se manteve o mesmo do vetor deslocamento ( ). 
 
 
 
4 
 
 
Figura 1 – Trabalho realizado por uma força constante com a mesma direção e sentido do 
deslocamento 
Nestas condições define-se trabalho (W) realizado pela força constante 
como o produto do módulo da força (F) pelo módulo do deslocamento (d). 
 
Em homenagem ao físico inglês James Prescott Joule que muito 
contribuiu no estudo e compreensão da relação entre trabalho e energia, a 
unidade de trabalho no sistema internacional de unidades (SI) é o Joule, 
abreviado por J. 
De acordo com a equação de trabalho pode-se verificar que a unidade 
Joule é equivalente ao produto da unidade de força (Newton) pela unidade de 
deslocamento (metro). 
1 Joule = (1 Newton) . (1 metro) 
ou 
1 J = 1 N.m 
Já no sistema inglês de unidades, como a unidade de força é a libra (lb) 
e a unidade de deslocamento é o pés (pé), a unidade de trabalho será 
pés.libras (pé.lb). Para converter para o SI, as seguintes relações são muito 
úteis: 
1 J = 0,7376 pé.lb ou 1 pé.lb = 1,356 J 
 
 
5 
Deve-se ter cuidado ao calcular o trabalho realizado pela força quando 
essa não estiver na direção do deslocamento, veja a figura, onde o vetor força 
( ) forma um ângulo  com o vetor deslocamento ( ). 
 
Figura 2 – Trabalho realizado por uma força constante que forma um ângulo  em relação ao 
deslocamento. 
Nesta condição a força aplicada deve ser decomposta na direção do 
deslocamento pela relação trigonométrica ( ), o trabalho realizado por 
essa força será dado por: 
 
Esta relação será válida quando a força e o ângulo  permanecerem 
constante durante todo o deslocamento . 
A equação de trabalho escrita dessa forma, nada mais é que a definição 
de produto escalar entre dois vetores e pode ser escrita na forma: 
 
Como o resultado do produto escalar entre dois vetores é um escalar, 
logo trabalho (W) é uma grandeza escalar. 
Ao analisar a relação matemática para o cálculo do trabalho realizado 
pela força , note que para diferentes ângulos  o trabalho pode ser positivo ou 
negativo. 
 
Quando o ângulo  possuir um valor entre 0o e 90o, ou seja, quando 
for maior que 0o e menor que 90o o resultado de (cos ) será positivo e, 
 
 
6 
portanto, o trabalho será positivo. Já quando o ângulo  for maior que 90o e 
menor que 180o o resultado de (cos ) será negativo, então o trabalho também 
será negativo. 
Quando o trabalho da força for positivo a energia do sistema está 
aumentando e quando o trabalho da força for negativo, a energia do sistema 
está diminuindo. 
Um caso especial ocorre quando  = 90o, para esse valor de ângulo o 
(cos 90o) é igual a zero, a força não realiza trabalho, ou seja, sempre que o 
vetor força for perpendicular ao vetor deslocamento o trabalho realizado pela 
força é nulo. 
Como na maioria dos casos existem mais de uma força sendo aplicada 
no objeto, é muito importante, sempre que formos calcular o trabalho, 
especificar para qual força o cálculo está sendo feito. Por exemplo, ao 
erguermos determinado objeto do solo a um metro de altura precisamos 
exercer uma força de baixo para cima, essa força, como está no mesmo 
sentido do deslocamento,  = 0o, irá realizar um trabalho positivo, porém a 
força gravitacional, força peso do objeto, como está em sentido contrário ao 
deslocamento,  = 180o, de cima para baixo, irá realizar um trabalho negativo.Neste contexto, quando diversas forças estão sendo aplicadas sobre um 
objeto, para cada força existente, pode-se calcular o trabalho realizado por 
essa força. 
O trabalho total realizado sobre o objeto por todas as forças aplicadas a 
ele pode ser determinado pela soma algébrica de todos os trabalhos realizados 
por cada uma das forças individuais. Outra maneira para se determinar o 
trabalho total é primeiramente calcular a força resultante pela soma vetorial de 
todas as forças que atuam no objeto e a seguir calcular o trabalho com a 
equação do trabalho a força constante, utilizando a força resultante como a 
força . 
Em um gráfico que representa a força constante aplicada em função da 
coordenada x (veja figura abaixo), o trabalho realizado pela força é 
 
 
7 
representado pela área abaixo da curva entre a posição inicial (xi) e posição 
final (xf). 
 
Figura 3 – Gráfico da força constante aplicada da posição xi até a posição xf. 
Quando a força é constante, a figura geométrica representada pelo 
gráfico dessa força em função do deslocamento é um retângulo. A área 
geométrica do retângulo é calculada multiplicando-se a medida de um lado do 
retângulo (altura) pela medida do outro lado (base do retângulo). 
 
 
Figura 4 – Retângulo formado no gráfico da força constante pelo deslocamento 
Se analisarmos o retângulo formado no gráfico destacado (ver figura 4) a 
medida da altura é o módulo da força F e a medida da base desse retângulo 
será o módulo do deslocamento d. Logo ao calcular a área desse retângulo 
iremos multiplicar o módulo da força pelo módulo do deslocamento: 
 
A área do retângulo 
embaixo do gráfico 
representa o trabalho 
realizado pela força 
constante de módulo F 
durante o deslocamento d. 
 
 
8 
Esse produto nada mais é que a definição de trabalho. E, portanto, como 
queríamos provar, a área geométrica embaixo do gráfico da força em função do 
deslocamento é numericamente igual ao trabalho realizado por essa força. 
TEMA 2 - ENERGIA CINÉTICA E O TEOREMA TRABALHO – ENERGIA 
CINÉTICA 
Até aqui vimos que o trabalho total realizado pelas forças externas ao 
movimentar um determinado corpo está relacionado com o deslocamento do 
corpo. Agora iremos determinar uma equação, na qual o trabalho realizado 
pelas forças externas pode ser determinado com relações referente a 
velocidade de movimento do corpo. Considere o carro de brinquedo de massa 
m movendo-se em uma superfície horizontal ao longo do eixo x devido a ação 
da força resultante constante , com direção e sentido do eixo x positivo 
conforme mostra a figura abaixo. 
 
Figura 5 – Trabalho realizado pela força . 
Como a força será constante, de acordo com a segunda lei de Newton, 
, a aceleração do carro também será constante. Durante a aplicação 
da força o carro realizou um deslocamento (d = xf – xi) partindo da posição 
inicial xi onde a velocidade inicial do carro é para a posição final xf , onde a 
velocidade final variou para . Através da equação do movimento com 
aceleração constante da cinemática, obtemos: 
 
Logo: 
 
 
9 
Substituindo a aceleração na equação da segunda lei de Newton, 
, temos: 
 
Rearranjando a equação, temos: 
 
O termo a esquerda do sinal de igualdade (F.d) é o trabalho realizado 
pela força resultante, é o trabalho total, e cada um dos dois termos a direita do 
sinal de igualdade ( ) é uma grandeza física chamada energia cinética 
(k). 
 
Essa é a definição de energia cinética, também conhecida como 
energia de movimento, assim como o trabalho, a energia cinética também é 
uma grandeza escalar e depende apenas da massa e da velocidade do corpo. 
Se considerarmos os índices, a energia cinética no fim do movimento, na 
posição final xf , será e a energia cinética no início do movimento, 
na posição inicial xi , será . 
Nestas condições podemos escrever a equação do teorema trabalho - 
energia cinética substituindo na equação anterior. 
 
 
O trabalho realizado pela força resultante sobre a partícula é 
numericamente igual a variação da energia cinética da partícula. 
 
 
10 
Assim como Trabalho, a unidade de Energia Cinética no SI, é o Joule 
(J). 
Apesar da demonstração para obtenção do teorema trabalho - energia 
cinética ter sido feito utilizando um movimento retilíneo e com as forças 
aplicadas constantes, ele é válido para todos os casos, para qualquer trajetória 
e mesmo que as forças não sejam constantes. 
TEMA 3 - TRABALHO E ENERGIA COM FORÇAS VARIÁVEIS 
Até aqui, com exceção do teorema trabalho energia cinética, as 
equações vistas para o cálculo do trabalho são válidas somente quando a força 
aplicada é constante em módulo, direção e sentido. Mas, em algumas 
situações, a força que realiza trabalho em determinado sistema pode ser 
variável, por exemplo, quando estica-se uma mola. Nesse caso, quanto maior é 
a deformação da mola, maior é a força necessária para estica-la. Nessa 
configuração, como a força externa que estica a mola é variável, a relação 
matemática vista anteriormente para o cálculo do trabalho, não é válida. Nesta 
seção iremos analisar casos como esse da mola, e verificar como devemos 
proceder para o cálculo dessas grandezas quando a força aplicada for variável. 
Para isso, suponha que o carro de brinquedo representado na figura 
abaixo, seja puxado do ponto inicial xi até o ponto final xf por uma força 
variável, realizando o deslocamento . 
 
Figura 6 – Trabalho realizado por uma força variável. 
 
 
 
11 
A variação da força em função da coordenada x, F(x), para o 
deslocamento do carro de brinquedo do ponto xi até o ponto xf., está 
representada no gráfico abaixo. 
 
Figura 7 – Gráfico da força variável em função da posição x. 
Assim como foi feito para o gráfico da força constante em função da 
posição x, onde o trabalho realizado pela força externa foi determinado pela 
área abaixo do gráfico durante o deslocamento d (ver figura 3), para o gráfico 
da força variável em função da posição, F(x), também vamos determinar o 
trabalho pela área abaixo do gráfico. Porém, note que neste gráfico a figura 
geométrica formada não apresenta uma fórmula matemática conhecida, para 
calcular a área geométrica dessa figura iremos dividir o deslocamento entre xi e 
xf em pequenos deslocamentos x, veja a figura abaixo. 
 
 
12 
 
Figura 8 – Cálculo da área no gráfico da força variável em função da posição x 
Repare que cada deslocamento x marcado no gráfico irá formar um 
pequeno retângulo, e cada um deles possui uma altura diferente representado 
por Fi. Se calcularmos a área de cada pequeno retângulo e somarmos todas 
obteremos a área total do gráfico. 
A área do primeiro retângulo será determinada por a área 
do segundo retângulo por , do terceiro e assim por 
diante. 
A área total será dada pela soma de todas as áreas de cada retângulo, 
 
Como vimos o trabalho realizado pela força é numericamente igual a 
área embaixo do gráfico da força em função do deslocamento, F(x), logo, 
 
 
Ou seja, o trabalho é igual ao somatório do valor que a força assume 
para cada valor da coordenada x, do intervalo de xi até xf, multiplicado por x. 
Diminuindo o valor de x de maneira que ele tenda a zero a quantidade de 
 
 
13 
pequenos retângulos aumenta e o valor da soma aproxima-se da área da curva 
abaixo do gráfico. Esta é definição de integral e, portanto, podemos escrever: 
 
Vamos aplicar essa equação para calcular o trabalho realizado por uma 
força externa para deformar uma mola, primeiramente precisamos escrever a 
equação F(x) da força aplicada em funçãoda coordenada x para esticar a 
mola. O primeiro a observar como a força que estica a mola varia de acordo 
com a deformação da mola, quando a deformação não é muito grande, foi 
Robert Hooke. 
Segundo Hooke, para esticar uma mola uma distância x a partir da 
posição não deformada, deve-se aplicar uma força de módulo F nas 
extremidades da mola. Quando o alongamento da mola não é muito grande, o 
módulo da força é diretamente proporcional ao módulo do deslocamento x, 
matematicamente: 
 
A relação matemática acima é conhecida como lei de Hooke. O valor k 
é uma constante, chamada constante da mola. No SI a unidade de k é o 
Newton/metro (N/m) e no sistema inglês é o libras/pé (lb/pé). 
 
Figura 9 – (a) Mola não deformada presa a parede. 
(b) Ao aplicar a força F a mola deforma um deslocamento x 
 
 
14 
Ao esticar qualquer mola deve-se aplicar forças iguais e opostas nas 
extremidades da mola e aumentar gradualmente o módulo dessas forças. 
Como uma das extremidades da mola está presa à parede e, portanto, está em 
repouso, ela não realiza trabalho, apenas a força que atua na extremidade livre 
realiza trabalho. O trabalho realizado por essa força, F(x), quando a mola é 
deformada de zero até um valor máximo x, (conforme figura 9), pode ser 
calculado pela integral 
 
Substituindo a força F(x) pela equação da força da lei de Hooke e os 
limites de integração xi e xf respectivamente por zero e x, obtemos: 
 
Resolvendo a integral, sendo k constante, ele sai da integração, então: 
 
Resolvendo a integral: 
 
Substituindo na equação do trabalho, obtemos: 
 
Ou seja, o trabalho para uma força externa F(x) deformar uma mola de 
sua posição de equilíbrio (x = 0) até um comprimento x é igual ao produto da 
constante elástica da mola K pelo valor da coordenada x ao quadrado dividido 
por dois. 
Outra maneira de se obter esse resultado é analisando o gráfico da força 
F(x) aplicada pela deformação x da mola. 
 
 
15 
 
Figura 10 – Trabalho realizado pela força externa para esticar uma mola da posição 
não deformada até um comprimento x. 
Repare que a figura geométrica obtida pelo gráfico da força aplicada na 
mola para deformá-la é um triângulo. A área de um triângulo é calculada 
multiplicando-se a medida da altura do triângulo, no caso o valor da força (kx), 
pela medida da base do triângulo, no caso o valor do deslocamento x, dividido 
por dois. 
 
Substituindo os valores da altura e da base, respectivamente por kx e x, 
teremos: 
 
Como a área embaixo do gráfico representa o trabalho, escrevemos: 
 
Como queríamos provar, obtemos a mesma equação para o trabalho 
quando determinada pela integral. 
Para verificar a teoria do trabalho realizado por uma força externa para 
deformar uma mola, partimos do exemplo em que a força aplicada estica a 
A área abaixo do gráfico 
representa o trabalho 
realizado sobre a mola, 
quando essa é alongada de x 
= 0 até um valor máximo x. 
 
 
16 
mola, porém se existir espaço entre as espirais da mola, pode-se também a 
comprimir. Neste caso, valem também as relações vistas, tanto a lei de Hooke, 
como também a relação do trabalho. 
Deve-se ter especial atenção com cálculo do trabalho para deformar 
uma mola, podemos ter dois pontos de vista, o trabalho realizado pela força 
externa para deformar a mola e o trabalho realizado pela força da mola quando 
essa é deformada. No caso do trabalho da força externa para deforma a mola, 
a força aplicada e o deslocamento estão no mesmo sentido e neste caso o 
trabalho é positivo, já para o trabalho da força exercida pela mola, a força está 
em sentido contrário ao deslocamento e, portanto, neste caso, o trabalho é 
negativo. 
TEMA 4 - ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL 
O Bungee jumping é um esporte radical no qual o esportista salta de 
lugares altos para o vazio amarrado na cintura, ou nos tornozelos, pela 
extremidade de uma corda elástica. A outra extremidade da corda é presa em 
algum ponto na base do salto, que pode ser uma ponte, um viaduto, um 
guindaste, balões de ar quente, torres metálicas, helicopteros, etc. 
 
Figura 11 – Bungee Jumping 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:2009-07-28_Bungee_Scheveningen.JPG 
 
 
17 
No inicio do salto o saltador parte do repouso e conforme cai sua 
velocidade aumenta gradativamente e consequentemente sua energia cinética 
também aumenta. Uma explicação para isso, com base na dinâmica, seria 
considerar que a força peso (força gravitacional) realiza trabalho sobre o 
saltador durante a sua queda. A energia cinética do saltador, energia do 
movimento, aumenta em quantidade igual ao trabalho realizado sobre ele pela 
força peso. 
Quando a corda elástica estica, a força exercida pela corda, contrária ao 
movimento, realiza trabalho negativo ao movimento reduzindo a velocidade de 
queda, ou seja, diminuindo a energia cinética e evitando que o saltador atinja o 
solo. Neste caso a redução da energia cinética do saltador é igual ao trabalho 
realizado pela força elástica da corda. 
Outro modo de abordar as relações de trabalho e energia cinética seria 
considerar outro tipo de energia, relacionada com a posição da partícula, 
chamada energia potencial, ou energia de posição e não com o seu 
movimento. Nesta configuração, existe energia potencial gravitacional 
mesmo no momento em que o saltador está em repouso na base do salto. A 
partir do início do salto, conforme ocorre sua queda, a energia armazenada na 
forma de energia potencial gravitacional, no sistema saltador-Terra, irá 
gradativamente sendo transformada em energia cinética, aumentando a 
velocidade de queda. 
Outra forma de energia potencial pode ser evidenciada ao esticar a 
corda elástica, neste caso, a energia cinética da queda está sendo 
transformada e armazenada na forma de energia potencial elástica na corda. 
Outro modo de abordar as relações de trabalho e energia cinética seria 
considerar outro tipo de energia, relacionada com a posição da partícula, 
chamada energia potencial, ou energia de posição e não com o seu 
movimento. Neste contexto temos duas maneiras de analisar o que ocorre 
quando um objeto cai sem resistência do ar. A primeira seria considerar que a 
força peso realiza trabalho sobre o objeto em queda, fornecendo energia para 
ele e consequentemente aumentando sua energia cinética, e a segunda seria 
considerar que a energia potencial gravitacional diminui conforme ocorre a 
 
 
18 
queda à medida que a energia cinética aumenta. Nesta seção iremos explorar 
o teorema trabalho-energia e mostrar que as duas maneiras descritas são 
equivalentes. 
Primeiramente iremos deduzir uma expressão para calcular a energia 
potencial gravitacional. Como mostra a figura 12, iremos considerar que um 
objeto (maçã) se move pela ação da força gravitacional em queda livre na 
vertical ao longo do eixo y sem resistência do ar. 
 
Figura 12 – Maçã em queda livre 
Iremos calcular o trabalho realizado pela força gravitacional (peso) para 
mover a maçã do ponto yi até o ponto yf, ou seja, para percorrer o 
deslocamento y. 
 
 
Sendo: 
 
Como a força peso e o deslocamento y têm o mesmo sentido, o 
trabalho Wgrav realizado sobre a maçã por seu peso é positivo. 
 
 
19 
Segundo a equação, pode-se verificar que o trabalho da força peso é 
obtido em função das quantidades (m.g.y) no início e no fim do deslocamento. 
Essa grandeza, o produto da força peso (mg) pela coordenada (y) acima da 
origem do sistema de coordenadas, denomina-se energia potencial 
gravitacional, representada por, Ugrav. 
 
Substituindo essa quantidade na equação do trabalho da forçagravitacional, temos: 
 
 
Como a variação da energia potencial gravitacional (U) pode ser 
escrita como: 
 
Substituindo na equação anterior, 
 
O trabalho realizado pela força gravitacional é igual a variação da 
energia potencial gravitacional acrescida do sinal negativo. 
TEMA 5 - CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA 
Ainda considerando o movimento da maçã em queda livre, lembre-se 
das aulas de cinemática, que para cada posição na trajetória de queda, o 
objeto que descreve o movimento possui velocidades diferentes, essa 
mudança de velocidade ocorre porque nesse tipo de movimento não há 
resistência do ar e, portanto, está sujeito apenas a aceleração da gravidade 
(g). Vamos considerar que quando a maçã está na posição yi sua velocidade 
seja vi e quando a maçã se move na posição yf sua velocidade seja vf. 
Iremos aplicar o teorema trabalho - energia cinética, 
 
 
20 
 
Esse teorema demonstra que o trabalho realizado por uma força para 
deslocar um corpo é numericamente igual a variação da energia cinética. 
Como a única força atuante no movimento é a força gravitacional, e 
como vimos, o trabalho realizado é a variação da energia potencial. 
 
Podemos igualar, 
 
Desmembrando, 
 
Reescrevendo, 
 
Substituindo cada termo da equação por suas respectivas fórmulas, 
temos: 
 
Essas relações são válidas apenas se a única força que realiza trabalho 
for a força gravitacional, nessa condição a soma da energia cinética do objeto 
em movimento em determinado ponto da trajetória, com a energia potencial 
gravitacional no mesmo ponto, é denominada energia mecânica total do 
sistema (E). 
 
 
 
21 
De acordo com a equação da conservação da energia, quando apenas a 
força gravitacional realiza trabalho, a energia mecânica total do sistema é a 
mesma para qualquer ponto da trajetória, então: 
 
Neste caso, como a energia mecânica se mantém constante, dizemos 
que a energia mecânica se conserva. 
No entanto, quando outras forças ( ) além da força gravitacional 
atuarem no objeto em movimento, essas forças ( ) também irão realizar 
trabalho e portanto devemos incluir mais um termo de trabalho ( ) na equação 
da conservação da energia e igualá-lo a variação da energia cinética. 
 
Fazendo todas as substituições obtemos: 
 
Substituindo as equações de energia, 
 
Ou seja, o trabalho total realizado por todas as forças, além da 
gravidade é numericamente igual à variação da energia mecânica total. 
Energia Potencial Elástica 
Toda vez que um corpo elástico é deformado, forças externas devem 
realizar trabalho sobre o corpo para produzir essa deformação. A energia 
utilizada para deformá-lo, fica armazenada neste corpo elástico na forma de 
Quando somente a força gravitacional (peso do corpo) realiza trabalho, a 
energia mecânica total é conservada, ou seja, ela é a mesma em qualquer 
ponto da trajetória. 
 
 
22 
energia potencial elástica. Um corpo é dito elástico, quando ele volta a ter a 
mesma forma e mesmo tamanho que tinha antes de sofrer a deformação. 
Uma mola que obedece a lei de Hooke é chamada de mola ideal e é um 
bom exemplo de corpo elástico. 
Para chegarmos em uma equação que represente a energia potencial 
elástica iremos seguir o mesmo procedimento utilizado para energia potencial 
gravitacional. Primeiramente iremos calcular o trabalho realizado pela força 
elástica da mola e em seguida aplicaremos o teorema trabalho-energia 
cinética. 
A figura abaixo representa uma mola ideal presa a um bloco que desliza 
na superfície horizontal sem atrito, (a) representa a mola em equilíbrio, x = 0, 
neste momento não há deformação na mola pois não há nenhuma força sendo 
aplicada. Vamos deslocar o bloco até a posição xi (ver figura 13 – (b)), 
esticando a mola pela aplicação de uma força externa F. 
 
Figura 13 – Trabalho realizado pela força da mola. 
Ao liberar o sistema bloco-mola (c) a força da mola irá deslocar o bloco 
da posição xi até a posição xf, o trabalho realizado pela força da mola para 
deslocar o bloco x = xf - xi será dado por: 
 
 
 
 
23 
Reescrevendo, 
Assim como foi feito no cálculo do trabalho da força gravitacional, no 
trabalho da força da mola podemos fazer o mesmo raciocínio e escrever a 
energia potencial elástica em termos da posição x. 
 
Substituindo na equação anterior do trabalho da força da mola, podemos 
calcular o trabalho da força da mola em termos da variação da energia 
potencial elástica nas posições xi e xf. 
 
Sabendo que durante o movimento do bloco devido a ação da força da 
mola, a velocidade do bloco na posição xi é vi e na posição xf é vf, aplicando o 
teorema do trabalho –energia cinética, 
 
Quando a única força atuante no sistema bloco-mola é a força da mola, 
escrevemos: 
 
 
Substituindo a energia cinética (k) e a energia potencial elástica (Uel), 
por suas equações respectivas, 
 
Neste caso, a energia mecânica total do sistema será dada em termos 
da energia cinética e da energia potencial elástica, 
 
 
 
24 
Se, e somente se, a única força atuante no sistema massa-mola for a 
força da mola, a energia mecânica se conserva. 
Forças conservativas e forças não conservativas 
Como vimos, com a energia potencial gravitacional, e a energia potencial 
elástica, a energia mecânica será constante, irá se conservar, se e somente se, 
no primeiro caso a única força atuante para realizar trabalho for a força 
gravitacional, e no caso da energia potencial elástica, se somente a força da 
mola realizar trabalho. Devido a essa característica, essas forças são ditas 
forças conservativas. 
Por exemplo, quando se lança uma bola de baixo para cima, no instante 
em que a bola deixa a mão do lançador, ela possui determinada velocidade, 
conforme ela ganha altura sua velocidade diminui, até atingir a altura máxima, 
onde sua velocidade é nula. Em termos de energia, no momento em que a bola 
deixa a mão do lançador, ela possui energia cinética, conforme sobe, a energia 
cinética diminui e é transformada em energia potencial gravitacional, a qual 
aumenta. Na altura máxima a energia cinética é nula e toda ela foi 
transformada em energia potencial, a qual é máxima neste ponto. 
Desconsiderando a resistência do ar, se a única força atuante no 
sistema for a força gravitacional, a partir da altura máxima a bola começa a cair 
novamente e desse instante em diante, há a transformação inversa de energia 
potencial gravitacional em energia cinética e ao atingir a altura em que foi 
lançada, ela deverá possuir a mesma velocidade do lançamento. 
Em qualquer ponto da trajetória do movimento da bola a energia 
mecânica total, que é a soma da energia potencial com a energia cinética, será 
a mesma, permanece constante. Por essa razão a força gravitacional é uma 
força conservativa. 
O trabalho realizado por uma força conservativa possui quatro 
características: 
1 – Pode ser calculado pela diferença de energia potencial na posição 
inicial e na posição final. 
 
 
25 
2 – É reversível. 
3 – Não depende da trajetória do movimento, depende apenas da 
posição inicial e da posição final. 
4 – Quando o deslocamento é nulo, ou seja, a posição inicial e a posição 
final é a mesma, o trabalho realizado é zero. 
 
Figura 14 – O trabalho realizado por uma força conservativa é o mesmo independente 
da trajetória, depende apenas da posição inicial e da posição final. 
Por outro lado, quando a energia mecânica não é conservada, parte dela 
é convertida em outra forma de energia e essa parcela da energia convertida 
não pode ser recuperada pelo sistema. As forças que dissipam energia sãochamadas de forças não conservativas, um exemplo desse tipo de força é a 
força de atrito. 
Ao lançar um bloco de madeira que desliza sobre uma superfície 
horizontal com atrito, a velocidade do bloco é decrescente conforme ele se 
desloca, e consequentemente a energia cinética também é decrescente. A 
energia cinética perdida devido a força de atrito, não pode ser recuperada por 
nenhum processo, logo a energia mecânica não é conservada e a força de 
atrito é uma força não conservativa. 
 
O trabalho realizado pela força 
gravitacional é o mesmo para 
as três trajetórias, porque essa 
força é conservativa. 
 
 
26 
SÍNTESE 
Energia cinética: a energia cinética K associada ao movimento de uma 
partícula de massa m e velocidade escalar v, em que v é muito menor que a 
velocidade da luz, é dada por: 
 
Trabalho W é a energia transferida para um objeto ou de um objeto por 
uma força que age sobre o objeto. Quando o objeto recebe energia, o trabalho 
é positivo; quando o objeto cede energia, o trabalho é negativo. 
Trabalho realizado por uma força constante: o trabalho realizado 
sobre uma partícula por uma força constante durante um deslocamento é dado 
por: 
, em que é o ângulo constante entre F e d. Apenas a 
componente Fx de F na direção do deslocamento realiza trabalho sobre o 
objeto. 
Quando duas ou mais forças agem sobre um objeto, o trabalho total é a 
soma dos trabalhos realizados pelas forças, que também é igual ao trabalho 
que seria realizado pela força resultante Fres. 
Trabalho e energia cinética: No caso de uma partícula, uma variação 
ΔK da energia cinética é igual ao trabalho total W realizado sobre a partícula: 
, em que Ki é a energia cinética inicial da partícula e Kf é a 
energia cinética da partícula após o trabalho ter sido realizado. 
Trabalho realizado pela força gravitacional: o trabalho Wg realizado 
pela força gravitacional g sobre uma partícula (ou sobre um objeto que se 
comporta como uma partícula) de massa m durante um deslocamento é dado 
por: 
 
 
 
27 
Força elástica: A força de uma mola é: , em que x é o 
deslocamento da extremidade livre da mola em relação à posição que ocupa 
quando a mola está no estado relaxado (nem comprimida nem alongada) e k é 
a constante elástica (uma medida da rigidez da mola). 
A força elástica é, portanto, uma força variável: ela varia com o 
deslocamento da extremidade livre da mola. 
Trabalho realizado por uma força elástica: se um objeto está preso à 
extremidade livre de uma mola, o trabalho Ws realizado sobre o objeto pela 
força elástica quando o objeto é deslocado de uma posição inicial xi = 0 para 
uma posição final xf = x é dado por: 
 
Trabalho realizado por uma força variável: quando a força aplicada a 
um objeto que se comporta como uma partícula depende da posição do objeto, 
o trabalho realizado por sobre o objeto enquanto o objeto se move de uma 
posição inicial para uma posição final pode ser calculado integrando a força. 
 
 
REFERÊNCIAS 
YOUNG, H. D e FREEDMAN, R. A.; Sears e Zemansky; Física I - 
Mecânica. São Paulo - 12ª ed.: Pearson, 2008 
RESNICK, R., HALLIDAY, D. e MERRILL, J.; Fundamentos de Física 
Mecânica. São Paulo - 9ª ed. vol1: LTC, 2012