Física Mecânica Aula 5

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FÍSICA MECÂNICA 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Vimos nas primeiras aulas dois pontos de vista para solucionar questões 
que envolvem forças, uma delas utilizando as leis de Newton e a outra através 
do conceito de energia, pelo teorema trabalho - energia cinética, ou pelo 
teorema trabalho - energia potencial. Porém, há problemas que envolvem 
forças, que não podem ser solucionados com nenhuma das teorias descritas, 
por exemplo, quando um ônibus interestadual colide frontalmente com um carro 
popular a alta velocidade, sabemos que o estrago será grande, mas o que 
determina o sentido do movimento dos destroços depois da colisão? Ou em um 
jogo de boliche, o que determina o movimento do primeiro pino a fim de 
derrubar os outros pinos, após ser atingido pela bola? E quando, em um 
desastre aéreo, o avião colide com o solo, quanta energia cinética do avião é 
liberada no impacto? 
Algo comum entre as três situações, é a aplicação de forças entre dois 
corpos, entre o ônibus e o carro, entre a bola de boliche e o pino, e entre o 
avião e o solo, porém pouco se sabe sobre as características dessas forças. 
Nesta aula veremos que você não precisa ter nenhuma informação sobre 
essas forças para responder a estas perguntas. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Para solução de problemas que envolvem a aplicação de forças entre 
dois, ou mais corpos, iremos utilizar três novos conceitos, o momento linear, o 
impulso e a lei da conservação do momento linear. Esses conceitos 
permitem analisar situações que através das leis de Newton seriam muito 
difíceis de se obter resultados satisfatórios. Situações, as quais, envolvem 
colisões entre corpos e que durante essas colisões produzem forças de 
interação mútua durante intervalo de tempo muito curto. 
 
TEMA 01 DA ROTA - MOMENTO LINEAR E IMPULSO 
Na aula anterior utilizando a segunda lei de Newton, , 
como base, e obtemos o teorema trabalho-energia, o qual nos permitiu resolver 
 
 
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diversos e diferenciados problemas de física e também nos guiou a determinar 
o princípio da conservação da energia. Nesta aula também iremos partir da 
segunda lei de Newton, mas desta vez iremos obter uma grandeza chamada 
quantidade de movimento ou momento linear. 
Considerando uma partícula de massa constante m, sujeito a uma força 
. Devido a aplicação dessa força a partícula ficará sujeita a aceleração , 
sendo a aceleração , podemos escrever a segunda lei de Newton na 
forma: 
 
A quantidade entre parênteses , o produto da massa da partícula 
pela sua velocidade, é uma grandeza vetorial chamada de quantidade de 
movimento ou momento linear ( ) da partícula. 
 
Quanto maior a massa da partícula e quanto maior sua velocidade 
escalar, maior o módulo do momento linear, como momento linear é uma 
grandeza vetorial, sua direção e sentido é o mesmo da velocidade da partícula. 
Podemos expressar o momento linear em função de suas componentes 
retangulares, se a velocidade da partícula possui componentes , e , 
então as componentes do momento linear podem ser escritas por: 
 
A unidade do momento linear no sistema internacional de unidades (S.I.) 
é: 
 
Conhecendo o momento linear, podemos escrever a equação da 
segunda lei de Newton como: 
A soma vetorial de todas as forças que atuam sobre uma partícula (força resultante) é 
dada pela derivada do momento linear da partícula em relação ao tempo. 
 
 
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TEMA 2 - TEOREMA DO IMPULSO – MOMENTO LINEAR 
Assim como a energia cinética da partícula , o momento linear 
, também depende da massa e da velocidade da partícula. O momento 
linear é uma grandeza vetorial enquanto a energia cinética é uma grandeza 
escalar. Da mesma maneira que relacionamos a energia cinética com o 
trabalho, desenvolvendo o teorema trabalho-energia cinética, também iremos 
relacionar o momento linear com uma nova grandeza chamada impulso e obter 
o teorema impulso – momento linear. 
Inicialmente considere o movimento de um objeto pela ação de uma 
força resultante constante agindo no objeto da posição xi até a posição xf, no 
intervalo de tempo t = tf – ti conforme a figura abaixo. 
 
Figura 1 – Cálculo do impulso de uma força resultante 
O impulso da força resultante, designado por é definido pelo produto da 
força resultante multiplicada pelo intervalo de tempo no qual houve ação da 
força. 
 
O impulso é uma grandeza vetorial que possui a mesma direção e o 
mesmo sentido do vetor força resultante, com módulo igual ao produto do 
módulo da força pelo intervalo de tempo no qual a força resultante atua. A 
unidade de impulso no sistema internacional de unidades (S.I.) é Newton. 
segundo (N.s), substituindo , a unidade alternativa de impulso 
resulta em ( ) que é a mesma unidade de momento linear. 
 
 
5 
Analisando a segunda lei de Newton escrita em função do momento 
linear, temos: 
 
Como a força resultante é constante, a derivada do momento linear 
também é constante e resulta: 
 
Logo, 
 
Reescrevendo, 
 
Combinando as equações obtemos o teorema do impulso – momento 
linear 
 
As relações matemáticas obtidas para determinar o teorema do 
impulso – momento linear partiram do fato que a força resultante é constante, 
quando a força resultante for variável o teorema também deve ser válido, para 
verificar isso devemos integrar a segunda lei de Newton em relação ao tempo 
em ambos os lados da equação entre os limites ti e tf, da seguinte maneira: 
 
 
A variação do momento linear durante um intervalo de tempo é igual ao impulso 
da força resultante que atua sobre a partícula durante esse intervalo de tempo 
 
 
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A equação acima é a forma geral da equação do impulso, se o somatório 
das forças for uma constante, a equação se reduz a: 
 
TEMA 03 - CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR 
Quando falamos da terceira lei de Newton, vimos que durante a 
interação de forças entre dois corpos, as forças aplicadas produzem pares de 
força de ação e reação e essas forças atuam em corpos diferentes. Por 
exemplo, quando uma pessoa designada por A, sentada em um skate, empurra 
outra pessoa designada por B, sentada em outro skate alinhado à sua frente, a 
pessoa A aplica uma força de ação FAB na pessoa B, já por sua vez, a pessoa 
B, aplica uma força de reação FBA na pessoa A, veja figura 2 abaixo. 
 
Figura 2 – Duas pessoas empurram-se mutuamente enquanto deslizam sobre skates 
ao longo de uma trajetória retilínea em uma superfície horizontal. 
Neste ponto de vista cada pessoa exerce na outra pessoa uma força, e 
essas forças possuem o mesmo módulo, a mesma direção, porém seus 
sentidos são contrários, logo o impulso resultante e a variação do momento 
linear devido essas forças sobre cada pessoa também possuem o mesmo 
módulo a mesma direção e sentidos contrários. 
 
 
 
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Considerando outras forças que atuam no sistema, temos a força 
gravitacional, a qual é anulada pela força normal, resultando em uma força 
vertical nula e a força de atrito das rodas dos skates com o solo, a qual, iremos 
considerar igual a zero, ou seja sem atrito. Levando em conta essa situação 
ideal as únicas forças existentes no sistema pessoa A e pessoa B são as 
forças FAB e FBA, essas forças que uma partícula exerce em outra partícula do 
sistema são chamadas forças internas do sistema. As forças peso, normal e 
atrito, se houver, são chamadas forças externas, forças exercidas sobre 
qualquer parte do sistema por um corpo externo ao sistema. 
Devido as forças FAB eFBA exercidas, ocorre variação do momento 
linear da pessoa A e da pessoa B, dadas por: 
 
Como, de acordo com a terceira lei de Newton, podemos 
escrever: 
 
 
Considerando; 
 
Onde é definido como momento linear total do sistema, podemos 
escrever: 
 
Esse equação nos diz que a taxa de variação do momento linear total do 
sistema é igual a zero, ou seja, mesmo que os momentos lineares de cada 
Quando a soma vetorial das forças externas que atuam sobre o sistema é igual a 
zero, o momento linear total do sistema permanece constante 
 
 
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partícula do sistema variem, o momento linear total será constante. 
Essa é a lei da conservação do momento linear que, como vimos, tem 
ligação direta com a terceira lei de Newton e, portanto, só é válida para 
sistemas de referência inerciais, sistemas onde as leis de Newton são válidas. 
Generalizando, quando existem mais partículas no sistema, partícula A, 
B e C, por exemplo, que interagem entre si por forças internas, o momento 
linear do sistema será dado por: 
 
As forças internas podem alterar o momento linear interno das partículas 
individuais do sistema, mas não alteram o momento linear total do sistema. 
TEMA 04 - CONSERVAÇÃO DO MOMENTO LINEAR E COLISÕES 
Fisicamente o termo colisão significa a interação de dois corpos, duas 
partículas, que aplicam forças relativamente grandes mutuamente entre eles 
por um pequeno intervalo de tempo. Por exemplo, a bola de boliche colidindo 
com o pino, a colisão entre dois automóveis, a colisão entre o pé quando chuta 
a bola, um elétron colidindo com outro elemento atômico no interior de um 
átomo. 
Como na maioria das colisões as forças compartilhadas pelos corpos no 
momento da colisão são muito maiores que as forças externas, podemos 
considerar os corpos como um sistema isolado e desprezar as forças externas, 
logo, há conservação do momento linear, ou seja, o momento linear antes da 
colisão é igual ao momento linear depois da colisão. 
Nesta configuração temos dois tipos de colisões, uma na qual além da 
conservação do momento linear há também a conservação da energia 
mecânica, denominada colisão elástica e a outra, na qual a energia mecânica 
não é conservada, chamada colisão inelástica. 
Colisões Elásticas 
Este tipo de colisão ocorre quando as forças devido a colisão entre os 
corpos forem conservativas, nenhuma energia mecânica é adquirida ou perdida 
 
 
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devido a colisão, a energia cinética total do sistema antes ou depois da colisão 
é a mesma. Como exemplos desse tipo de colisão temos, a colisão entre a bola 
de boliche e o pino, entre duas bolas de bilhar, a colisão entre dois átomos de 
hélio aprisionados dentro de um balão, etc. 
 
Figura 3 – Duas bolas de bilhar colidem simulando uma colisão elástica. 
Na figura acima duas bolas de bilhar rolam sobre uma superfície 
horizontal, uma em direção a outra, a bola 4 desloca-se com uma velocidade 
 e a bola 3 com velocidade , o índice “i” representa o momento inicial, 
antes da colisão. Quando as bolas se encontram ocorre a colisão e neste 
momento há transferência da energia cinética de uma bola para outra, depois 
da colisão as bolas invertem seu sentido de movimento e afastam-se uma da 
outra, a bola 4 com velocidade e a bola 3 com velocidade . O índice “f” 
indica o momento final, depois da colisão. 
Neste caso como a colisão é elástica, há conservação do momento 
linear e também conservação da energia mecânica. Ou seja, o momento linear 
total do sistema antes da colisão é o mesmo depois da colisão e a energia 
cinética do sistema antes da colisão é a mesma depois da colisão. 
Momento Linear: 
 
 
 
 
 
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Energia Cinética: 
 
 
 
 
 
 
Colisões Inelástica 
Quando a energia cinética total do sistema de corpos que sofrem 
colisões não se conservar a colisão é dita inelástica. Colisões desse tipo 
podem ser observadas, por exemplo, quando uma porção de massa de 
vidraceiro colide com o solo, ou na colisão entre dois carros, neste caso, parte 
da energia do impacto é absorvida pela deformação na lataria do automóvel. A 
colisão inelástica será dita completamente inelástica quando os corpos que 
colidem permanecem e movimentam-se juntos após a colisão. Neste caso, a 
velocidade de ambos os corpos que colidem será a mesma após a colisão, veja 
figura abaixo. 
 
 
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Figura 4 – Colisão Totalmente Inelástica 
A velocidade do carro A, , após a colisão será a mesma do carro B, 
, a qual iremos chamar de . 
 
Como na colisão inelástica há conservação do momento linear então: 
 
 
Conhecendo-se as massas, e , e as velocidades iniciais, e 
, podemos calcular a velocidade final comum para os carros, . 
TEMA 05 - CENTRO DE MASSA 
Vimos como determinar a lei da conservação do momento linear de um 
sistema de partículas em função das massas de cada partícula e de suas 
velocidades, agora iremos reformular esta lei, mas desta vez utilizando o 
conceito de centro de massa. Observe a figura abaixo que representa um 
sistema de partículas (planetas) com suas posições determinadas por 
coordenadas no sistema cartesiano. 
 
 
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Figura 5 – Sistema de partículas (planetas) com seus centros de massa 
posicionados nos eixos cartesianos. 
As coordenadas do planeta Urano, com massa m1, identificada na figura 
como partícula 1, são determinadas pela posição do seu centro de massa c1 no 
sistema cartesiano, indicadas por (x1 , y1); já o planeta Saturno, partícula 2, 
com massa m2, possui coordenadas do seu centro de massa dadas por (x2 , y2) 
e do planeta Júpiter, partícula 3, a massa é m3 e suas coordenadas (x3 , y3). 
Podemos definir o centro de massa entre esses três planetas como o ponto 
localizado pelas coordenadas (xcm, ycm), que podem ser calculados pelas 
relações matemáticas abaixo. 
 
e 
 
Se as posições das partículas do sistema forem definidas através de 
vetores posição para cada partícula, o vetor posição do centro de massa do 
sistema de partículas será definido como: 
 
 Objetos com uma distribuição homogênea de massa possuem 
seu centro de massa em um ponto que coincide com o centro geométrico do 
objeto em questão, se este objeto possuir um eixo de simetria, o centro de 
 
 
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massa está posicionado sobre este eixo, mesmo que este ponto esteja 
localizado fora do objeto. 
Movimento do Centro de Massa 
 A determinação do centro de massa de um sistema de partículas 
é uma ferramenta bastante importante para analisar este sistema quando ele 
se encontra movimento. Essa abordagem permite prever o que irá ocorrer com 
o centro de massa dessas partículas durante o movimento do sistema. 
Para proceder a análise do proposto iniciaremos realizando a derivada 
das coordenadas de posição (xcm e ycm) do centro de massa do sistema de 
partículas em função do tempo descritas anteriormente e com isso determinar 
as componentes da velocidade do centro de massa ( e ), logo: 
 
e 
 
Como a derivada da posição da partícula em função do tempo é a 
velocidade da partícula e , temos: 
 
 
 
O mesmo ocorre com o vetor posição, a derivada do vetor posição em 
função do tempo fornece a velocidade vetorial, 
 
 
 
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Como a soma das massas de cada partícula fornece a massa total (M) 
do sistema, m1 + m2 + m3 = M, temos: 
 
Ou seja, o momento linear total do sistema ( ) é obtido pelo produto da 
massa total pela velocidade do centro de massa do sistema de partículas. 
Portanto quando a força resultante externa que atua em um sistema de 
partículas é igual a zero, o momento linear totalé constante e a velocidade 
do centro de massa também é constante. 
Já quando a força resultante que atua no sistema de partículas não é 
nula, o momento linear total não é conservado e a velocidade do centro de 
massa do sistema irá variar. De acordo com a segunda lei de Newton, a 
principal característica de uma força resultante não nula é que ela irá produzir 
uma aceleração no sistema, logo a influência da ação da força no movimento 
do centro de massa pode ser analisada aplicando-se a derivada em relação ao 
tempo na equação de velocidade e assim obter uma equação da 
aceleração resultante proporcionada pela força. 
 
 
 
 
Se você observar o membro direito da equação da aceleração do centro 
de massa, a parcela representa a força resultante que atua na partícula 1 
do sistema, a parcela é a força resultante que atua na partícula 2 e assim 
 
 
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por diante, logo o somatório sugerido no membro direito é a soma vetorial de 
todas as forças atuantes no sistema, forças externas e forças internas. 
 
Porém, como as forças internas entre as partículas do sistema, de 
acordo com a terceira lei de Newton, a forças de a ação e reação, anulam-se 
mutuamente, logo, o somatório dessas forças é igual a zero, . 
Resultando, portanto: 
 
A força resultante externa que atua em um sistema de partículas é igual 
a massa total do sistema multiplicado pela aceleração do centro de massa, ou 
seja, a ação do somatório de todas as forças que atuam no sistema de 
partículas provoca a mudança no movimento do centro de massa desse 
sistema exatamente da mesma maneira que mudaria, se toda a massa do 
sistema estivesse localizada neste ponto, no centro de massa. 
Um exemplo clássico para descrever o comportamento do centro de 
massa pode ser observado quando um morteiro de festa junina é lançado em 
movimento parabólico (desprezando a resistência do ar). Quando em 
determinado instante da sua trajetória ocorre a explosão do morteiro no ar, 
fragmentos são lançados em novos movimentos parabólicos, porém o centro 
de massa do sistema continua a descrever sua trajetória original, da mesma 
maneira como se toda a massa ainda estivesse localizada no centro de massa. 
 
 
 
 
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Figura 6 – O morteiro explode no ar em fragmentos, desprezando a resistência do ar, 
os fragmentos descrevem trajetórias parabólicas individuais, no entanto o centro de massa 
continua a descrever a mesma trajetória parabólica que possuía antes da explosão. 
A aceleração do centro de massa de um sistema de partículas também 
pode ser relacionada com o momento linear total do sistema, da seguinte 
maneira. 
Como, , podemos escrever: 
 
 
Logo: 
 
Essa equação descreve um sistema de partículas tal como um corpo 
rígido e demonstra que a interação entre as partículas através de forças 
internas somente alterar os momentos lineares de cada partícula individual, 
mas o momento linear total do sistema só pode ser alterado pela aplicação 
de forças externas ao sistema. 
Portanto, na ausência de força resultante externa, a aceleração do 
centro de massa do sistema é nula , isso nos leva a concluir que a 
 
 
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velocidade do centro de massa é constante , confirmando a 
lei da conservação do momento linear. 
 
SÍNTESE 
Momento Linear e a Segunda Lei de Newton 
No caso de uma partícula isolada, definimos , o momento linear, por 
meio da equação: 
 em função do qual podemos escrever a segunda lei 
de Newton na forma 
 
Colisão e Impulso 
A aplicação da segunda lei de Newton a um corpo que se comporta 
como uma partícula e envolvido em uma colisão leva ao teorema do impulso e 
momento linear: 
 
em que é a variação do momento linear do corpo e é 
o impulso produzido pela força F exercida sobre o corpo por outro corpo 
envolvido na colisão no intervalo de tempo 
Conservação do Momento Linear 
Se um sistema está isolado de tal forma que nenhuma força 
resultante externa atua sobre o sistema, o momento linear do sistema 
permanece constante: 
 
Colisões Elásticas em Uma Dimensão 
 
 
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Uma colisão elástica é um tipo especial de colisão em que a energia 
cinética de um sistema de corpos que colidem é conservada. 
 
Se o sistema é fechado e isolado, o momento linear também é 
conservado. 
 
Colisões Inelásticas em Uma Dimensão 
Em uma colisão inelástica de dois corpos, a energia cinética do sistema 
de dois corpos não é conservada. Se o sistema é fechado e isolado, o 
momento linear total do sistema é conservado, o que podemos expressar em 
forma vetorial como 
 
 em que os índices i e f se referem 
a valores imediatamente antes e imediatamente depois da colisão, 
respectivamente. 
Se os dois corpos se movem juntos após a colisão, a colisão 
é perfeitamente inelástica e os corpos têm a mesma velocidade final V (já que 
se movem juntos). 
Centro de Massa 
O centro de massa de um sistema de n partículas é definido como o 
ponto cujas coordenadas são dadas por: 
 
e 
 
Segunda Lei de Newton para um Sistema de Partículas 
 
 
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O movimento do centro de massa de qualquer sistema de partículas é 
governado pela segunda lei de Newton para um sistema de partículas, 
expressa pela equação. 
 
Aqui, FR é a resultante de todas as forças externas que agem sobre 
o sistema, M é a massa total do sistema, e acm é a aceleração do centro de 
massa do sistema. 
 
Movimento do Centro de Massa 
O centro de massa de um sistema fechado e isolado de dois corpos que 
colidem não é afetado pela colisão. Em particular, a velocidade do centro de 
massa Vcm é a mesma antes e depois da colisão. 
 
REFERÊNCIAS 
YOUNG, H. D e FREEDMAN, R. A.; Sears e Zemansky; Física I - 
Mecânica. São Paulo - 12ª ed.: Pearson, 2008. 
RESNICK, R., HALLIDAY,D. e MERRILL, J.; Fundamentos de Física 
Mecânica. São Paulo - 9ª ed. vol1: LTC, 2012.