Aula 6 Fisica Mecanica

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FÍSICA MECÂNICA 
AULA 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Cristiano Cruz 
 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Desde a invenção da roda, ou talvez muito antes disso, o 
movimento de corpos girando fascina o ser humano. A 
observação dos planetas, que em movimento de rotação, giram 
em torno de seu próprio eixo, mas ao mesmo tempo transladam 
em trajetória circular ao redor do sol, assim como o movimento 
de galáxias; o movimento de elétrons ao redor do núcleo dos 
átomos; a rotação da roda (do carro, da bicicleta, etc.); e até 
mesmo a rotação de rodas gigantes, ilustram perfeitamente o 
estudo em questão que iremos realizar. 
Todos os exemplos citados acima não podem ser tratados 
plenamente como o movimento de um ponto ou de uma partícula 
como até agora fizemos. Todos eles envolvem um objeto, corpo 
que gira em torno de um eixo estacionário, em determinado 
referencial inercial. Precisamos considerar os corpos com 
tamanho e forma definidos e imutáveis, que não sofrem 
deformação e que além do movimento de rotação também 
podem ter combinado um movimento de translação. Esse modelo 
idealizado de corpo é chamado de corpo rígido. 
Portanto, nesta aula iremos tratar do movimento de 
rotação de um corpo rígido. 
 
CONTEXTUALIZANDO 
Corpo rígido são objetos com tamanho e forma definidos e 
imutáveis, que não sofrem deformação, podemos considerar um 
corpo rígido o conjunto de partículas agrupadas de forma que a 
distância entre as partes que constituem o corpo ou o sistema 
não sofram mudança, ou seja, essas partículas não se alteram 
para um referencial fixado no próprio corpo. Além do movimento 
de rotação, o corpo rígido também pode ter combinado um 
movimento de translação. 
 
 
TEMA 1 - POSIÇÃO ANGULAR 
O movimento de rotação do corpo rígido ocorre em torno 
de um eixo fixo, entenda por eixo fixo, um eixo que permanece 
em repouso em relação à algum referencial inercial e que não 
muda de direção em relação a esse eixo. Por exemplo, o eixo de 
um motor, o eixo da roda gigante, o eixo onde estão presas as 
pás do liquidificador, etc. Analisando esse tipo de movimento, 
iremos determinar algumas grandezas para descrevê-lo. 
A figura abaixo apresenta um corpo rígido (uma pedra), 
girando em torno de um eixo fixo que passa pelo ponto O, 
perpendicular ao plano xy. Considerando a reta que liga o ponto 
O ao ponto P que se encontra sobre o corpo rígido, note que a 
linha OP fica fixa no corpo e gira com ele, podemos localizar a 
posição do corpo no plano xy pelo ângulo θ que essa linha OP 
forma em relação ao eixo positivo +Ox. 
 
Figura 1 – Uma pedra girando em sentido anti-horário em torno 
de um eixo fixo. 
O ângulo θ é a coordenada angular, ou posição angular. 
Este ângulo posiciona o corpo no plano de rotação e pode ser 
positivo ou negativo. Quando a rotação ocorrer no sentido anti-
horário o ângulo θ será positivo e quando a rotação for em 
sentido horário o ângulo é negativo. 
 
 
O ângulo θ deve ser medido em radianos, lembrando que 
1 rad é o ângulo em que o arco de circunferência possui o 
mesmo comprimento do raio da circunferência, sendo dado pela 
razão entre o arco de circunferência e o raio dessa 
circunferência. 
 ou 
 
Figura 2 – Um radiano é o ângulo em que o arco s possui o 
mesmo comprimento do raio r. 
 
Velocidade angular 
Como vimos a coordenada angular θ especifica a posição 
de rotação de um corpo rígido em dado instante. Suponha que 
na figura abaixo a posição do ponto P marcado na pedra, no 
instante de tempo t1, seja dada pela posição angular θ1 e no 
instante de tempo t2, a posição seja dada por θ2. Veja figura 
abaixo: 
 
 
 
Figura 3 – Deslocamento angular ∆θ da pedra em rotação (corpo 
rígido) 
O deslocamento angular ∆θ realizado pela pedra no 
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1, é dado por: 
∆θ = θ2 − θ1 
Definimos velocidade angular média ωm do corpo em um 
intervalo de tempo ∆t = t2 – t1 como a razão entre o deslocamento 
angular ∆θ = θ2 − θ1 e o intervalo de tempo ∆t: 
 
A velocidade angular instantânea ω é o limite de ωm 
quando ∆t tende a zero, ou seja, a derivada de θ em relação ao 
tempo: 
 
A velocidade angular instantânea ω é o limite de ωm 
quando ∆t tende a zero, ou seja, a derivada de θ em relação ao 
tempo: 
 
 
 
A velocidade angular pode ser positiva ou negativa, 
dependendo da direção em que o corpo rígido está girando. Se a 
rotação for em sentido anti-horário, o sinal da velocidade angular 
será positivo e quando for no sentido horário, a velocidade 
angular será negativa. Já a velocidade escalar angular, é o 
módulo da velocidade angular, destituída de sinal. 
Como todos os pontos de um corpo rígido giram o mesmo 
ângulo em relação a determinado referencial no mesmo instante, 
a velocidade angular é a mesma para todos os pontos desse 
corpo rígido. 
Se o ângulo θ for medido em radianos, a unidade de 
velocidade angular é o radiano por segundo (rad/s). Usualmente 
costuma-se utilizar como unidade revoluções por minuto 
(rev/min ou rpm). A relação de conversão entre elas é: 
 
e 
 
Aceleração angular 
Quando a velocidade angular de um corpo rígido varia em 
um intervalo de tempo, o movimento de rotação possui 
aceleração angular. 
Se o instante de tempo t1 a velocidade angular do 
movimento é t1 e no instante t2 passa a ser ω2, o movimento tem 
 
 
aceleração angular. A aceleração angular média αm é dada 
pela razão da variação da velocidade angular pelo intervalo de 
tempo. 
 
A aceleração angular instantânea α é o limite da αm 
quando ∆t tende a zero: 
 
A unidade de aceleração angular é o radiano por 
segundo ao quadrado, rad/s2. 
Assim como fizemos para descrever se o movimento linear 
era acelerado ou retardado, para o movimento de rotação valem 
as mesmas regras. 
O movimento de rotação será acelerado quando os sinais 
da aceleração angular e da velocidade angular forem iguais e 
será retardado quando os sinais da aceleração angular e da 
velocidade angular forem diferentes. 
Rotação com aceleração angular constante 
Assim como no movimento retilíneo com aceleração 
constante, visto nas aulas anteriores, o movimento de rotação 
com aceleração angular constante também é bastante simples. 
As equações envolvidas em ambos os movimentos são muito 
parecidas, basta apenas trocar x por θ, V por ω e a por α. Assim 
temos: 
A equação de posição angular em função do tempo: 
 
 
 
A equação de velocidade angular em função do tempo: 
E a equação que não depende do tempo, relacionando as 
velocidades angulares inicial e final, a aceleração angular e o 
deslocamento: 
 
Essas equações são válidas somente quando a 
aceleração angular α for constante, por isso tome cuidado para 
não as aplicar em problemas com aceleração angular variável. 
Vamos ver a explicação do professor Cristiano sobre tudo 
o que aprendemos até agora? Não perca! 
http://vod.grupouninter.com.br/2015/JUN/MT170008-A06-
P01.mp4?_ga=2.57141539.82408160.1505853188-
2110232531.1485448053 
 
TEMA 2 - RELAÇÕES ENTRE A CINEMÁTICA LINEAR E A 
CINEMÁTICA ANGULAR 
Muitas vezes ocorre a necessidade de expressar a 
velocidade linear de determinado ponto localizado em um corpo 
rígido em rotação. Para isso iremos relacionar a velocidade 
angular com a velocidade linear. 
Quando um corpo rígido realiza uma rotação em torno de 
um eixo fixo, cada ponto localizado neste corpo rígido gira com a 
mesma velocidade angular, no entanto a velocidade linear de 
 
 
2 
cada um desses pontos depende da distância em queesse ponto 
se encontra do eixo de rotação, ou seja, depende do raio da 
trajetória de rotação deste ponto, e sua velocidade linear é 
diretamente proporcional à velocidade angular do corpo. Na 
figura abaixo o ponto P está a uma distância r do eixo de 
rotação, identificado por O, de maneira que ele gira em trajetória 
circular de raio r. Para qualquer posição na trajetória de rotação 
do ponto P pode-se relacionar o comprimento do arco s e o 
ângulo θ (em radianos) pela equação: 
s = rθ 
 
 
Figura 4 – Velocidade linear de um ponto localizado em um corpo 
rígido girando em torno de um eixo fixo no ponto O. 
 
Como r é constante para o mesmo ponto P, iremos 
realizar a derivada dessa equação em relação ao tempo e 
tomando o módulo de ambos os lados, obtemos: 
 
 
Como é o valor da velociadade linear v da partícula 
em m/s, localizada no ponto P e é a velociade angular 
escalar θ em rad/s. Substituindo temos uma relação entre a 
velociadade linear de determinado ponto no corpo e a velocidade 
angular do corpo. 
 
 
 
3 
O módulo da velocidade linear é diretamente proporcional 
ao produto de r pelo módulo da velocidade angular , logo, 
quanto mais afastado do eixo de rotação o ponto P estiver, maior 
será o módulo de sua velocidade linear. A direção do vetor 
velocidade linear no ponto P, é tangente à sua trajetória circular 
neste ponto. 
A aceleração linear também pode ser representada em 
função dos componentes angulares. Tanto a aceleração 
tangencial atg , a qual têm direção paralela a velocidade linear 
instantânea e tangente à trajetória circular, alterando a 
velocidade linear da partícula, como a aceleração centrípeta arad 
, com direção radial, apontando ao centro da trajetória circular, 
responsável por alterar a direção da velocidade linear do ponto 
P. 
Derivando a equação da velocidade linear e velocidade 
angular em relação ao tempo, temos: 
 
Como e , então: 
 
Onde θ é a aceleração angular responsavel pela variação 
da velocidade escalar angular. 
 Já a componente radial da aceleração arad, está 
associada a variação da direção da velocidade linear da partícula 
que encontra-se no ponto P. Pela relação: 
 
Substituindo: 
 
Temos: 
 
A soma vetorial da aceleração centripeta com a 
aceleração tangencial fornece a aceleração linear . 
 
 
4 
 
Figura 5 – Aceleração linear do ponto P – Soma vetorial da 
aceleração tangencial atg e aceleração radial arad 
 
Vamos complementar nossos estudos, assistindo ao vídeo 
do professor Cristiano! 
http://vod.grupouninter.com.br/2015/JUN/MT170008-A06-
P02.mp4?_ga=2.121170945.82408160.1505853188-
2110232531.1485448053 
 
 
TEMA 03 - ENERGIA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 
Considerando que um corpo rígido é formado por 
pequenas partículas, cada uma contribuindo com uma parcela da 
massa total do corpo, quando esse corpo gira, essas partículas 
possuem velocidade angular, outra característica que se deve as 
partículas que formam o corpo é o momento de inércia, essa 
grandeza é mensurada de acordo com a distribuição da massa 
do corpo em relação ao eixo de rotação, ou seja, como essas 
pequenas partículas de massa estão distribuídas ao redor do 
eixo fixo. Podemos escrever a energia cinética do corpo em 
termos de sua velocidade angular do corpo e de seu momento de 
inércia. 
Para obter essa equação continuaremos a considerar o 
corpo rígido formado por diversas partículas, cada uma delas 
 CUIDADO - É importante lembrar que as relações 
matemáticas vistas até agora, como s = rθ e qualquer outra 
deduzida a partir dessa, valem somente quando o ângulo θ é 
 
 
 
5 
com massas m1 para primeira partícula, m2 para segunda e 
assim por diante, m3, m4, ... mi. Cada uma dessas partículas é 
posicionada perpendicularmente em relação ao eixo de rotação 
pelas distâncias r1, r2, r3, r4 ... ri, podemos escrever a energia 
cinética de uma das partículas, por exemplo a primeira partícula, 
como: 
 
Substituindo a velocidade linear pela relação: 
 
Temos: 
 
Se considerarmos cada uma das partículas que 
constituem o corpo, a energia cinética total será dada pela soma 
da energia cinética de todas as partículas. 
 
Reescrevendo a equação e colocando em evidencia o 
fator comum para todos os termos da equação, temos: 
 
A quantidade entre parênteses, dada pelo somatório do 
produto da massa de cada partícula pelo quadrado da distância r 
ao eixo de rotação, é chamada de momento de 
inércia do corpo em relação a este eixo de rotação, 
representado por I. 
 
O momento de inercia depende de como a massa do 
corpo está distribuída no espaço em relação ao eixo de rotação, 
quanto mais afastada a massa estiver em relação ao eixo, maior 
será o momento de inércia. A unidade do momento de inércia no 
 
 
6 
S.I. é o quilograma vezes metro ao quadrado (kg.m2). 
Conhecendo-se o momento de inércia, pode-se escrever a 
energia cinética do corpo rígido como: 
 
 
Ao usarmos essa equação devemos ter cuidado para 
expressar a velocidade angular , pois a unidade desta deve ser 
radianos por segundo. Assim obteremos a energia cinética K em 
Joules. 
A interpretação física para essa equação mostra que 
quanto maior for o momento de inércia do corpo, maior será sua 
energia cinética quando girar com determinada velocidade 
angular. De acordo com o teorema trabalho-energia cinética, 
quanto maior o trabalho realizado para acelerar o corpo até a 
velocidade considerada, maior será sua energia cinética. Dessa 
maneira, quanto maior for o momento de inércia de um corpo, 
mais difícil será fazê-lo girar a partir do repouso, ou mais difícil 
será pará-lo quando estiver girando. 
 Para um conjunto de massas que podem ser 
consideradas puntiformes, o cálculo do momento de inércia é 
feito pela relação , o somatório do produto de cada massa 
pela distância r, por exemplo, a figura abaixo representa um 
sistema de duas massas, mA e mB, que giram em relação ao eixo 
C fixadas por hastes de massa desprezível. 
 
 O momento de inércia do conjunto em relação ao eixo de 
rotação C será: 
 
 
 
7 
 
 
 
No entanto, quando o corpo é uma distribuição uniforme e 
contínua de matéria, como um eixo cilíndrico, a soma do produto 
de cada elemento de massa pela sua coordenada r em relação 
ao eixo, torna-se uma integral, ou seja, necessitamos usar o 
cálculo integral para obter o momento de inércia. Para algumas 
formas geométricas conhecidas o cálculo do momento de inércia, 
encontra-se em tabelas. 
 
Tabela 1 – Momento de inércia para corpos com distribuição uniforme 
de massa. 
 
Teorema dos Eixos Paralelos 
O momento de inércia de um corpo não possui um valor 
único, pois depende da posição do eixo de rotação, logo 
determinado corpo possui diversos momentos de inércia, um 
para cada eixo de rotação possível. O teorema dos eixos 
paralelos relaciona o momento de inércia do corpo em relação 
ao eixo que passa pelo centro de massa do corpo Icm com o 
momento de inércia em outro eixo paralelo a esse Ip, afastado 
uma distância d, pela relação: 
 
 
 
8 
 
Figura 6 – Eixo de rotação paralelo ao eixo que passa pelo centro de 
massa. 
 
Segundo a equação do teorema dos eixos paralelos, o 
momento de inércia em relação ao eixo que passa no centro de 
massa é menor que o momento de inércia em qualquer outro 
eixo paralelo. Isso mostra que é mais fácil girar um corpo quando 
o eixo passa pelo centro de massa que qualquer outro eixo 
paralelo. 
Chegou a hora de ver o que o professor Cristiano vai 
acrescentar a nossa aula, vamos conhecer mais sobre energia 
no movimento de rotação e teoremados eixos paralelos. 
Confira! 
http://vod.grupouninter.com.br/2015/JUN/MT170008-A06-
P03.mp4?_ga=2.157910451.82408160.1505853188-
2110232531.1485448053 
 
TEMA 04 - DINÂMICA DO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO 
De acordo com a segunda lei de Newton, quando uma 
força resultante atua em um corpo provocando o movimento de 
translação, essa força produz aceleração no corpo em questão 
durante o movimento. Da mesma maneira se a força resultante 
aplicada produzir um movimento de rotação, isso implicará em 
uma aceleração angular. A força que provoca a ação giratória no 
corpo, produz uma torção. 
 
 
9 
A grandeza física que mede o quanto de torção a força 
aplicada produziu no corpo é chamada torque. O torque 
resultante produzido pela força determina a aceleração angular 
sofrida por esse corpo. 
 
Torque (τ) 
A grandeza física que fornece a medida quantitativa de 
como a ação de uma força pode provocar ou alterar o movimento 
de rotação de um corpo é chamada torque, ou momento. Para 
provocar o movimento de rotação em um corpo, ou para alterar 
um movimento já iniciado, não só o módulo, a direção e o sentido 
da força aplicada são importantes, mas também o ponto de 
aplicação dessa força no corpo. Veja na figura abaixo, uma 
chave de grifo amarela é utilizada para apertar um parafuso de 
três maneiras diferentes. Na primeira a força é aplicada na 
extremidade do cabo da chave, afastada do eixo de rotação do 
parafuso, ponto O, na figura do meio à força é aplicada no 
eixo de rotação do parafuso e na última, a força é aplicada 
mais próximo ao eixo de rotação do parafuso, mais próxima de 
O. 
 
Figura 7 – Torques diversos para apertar um parafuso. 
 
A força que irá provoca o maior torque no parafuso em 
relação ao ponto O é a força , pois ela está aplicada mais 
afastada do eixo de rotação do parafuso, a força aplica um 
torque nulo, pois quando a força é aplicada no eixo de rotação 
esta força não produz torque e a força é a força que realiza 
menor toque, isso porque, além de possuir menor módulo, ela é 
aplicada a uma distância menor em relação ao eixo de rotação. 
 
 
10 
A distância em relação ao eixo de rotação e o ponto de 
aplicação da força é chamada braço da alavanca e é 
representado por l. O esforço de torção depende mutuamente do 
módulo da força aplicada perpendicular ao braço da alavanca e 
também do valor de l. Portanto para uma força de módulo F 
aplicada com linha de ação perpendicular ao braço da alavanca a 
uma distância l ao ponto do eixo de rotação o torque (τ) 
produzido é dado por: 
 
Repare que o torque é sempre calculado em relação a um 
ponto específico, geralmente o eixo de rotação, porém se 
deslocarmos a posição deste ponto, escolhendo outro ponto 
como referência o torque da força também irá mudar. Outra 
observação a ser feita é em relação ao sentido de rotação, toda 
vez que a força aplicada produzir uma rotação em torno do ponto 
O no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio (sentido anti-
horário) o torque será positivo e quando essa força girar o corpo 
no sentido horário o torque será negativo. 
A unidade de torque no S.I. é o Newton.metro, apesar de 
já termos utilizado essa combinação de unidades quando 
discutimos sobre trabalho e energia, na qual essa combinação de 
unidades era chamada de Joule, como torque não é trabalho, 
nem energia, ele deve ser expresso como Newton.metro. 
Quando a força aplicada no braço da alavanca não for 
perpendicular a ela, veja figura abaixo: 
 
Figura 8 – Torque devido uma força inclinada em relação ao braço da 
alavanca. 
 
 
11 
Nesse caso, o módulo do torque realizado pela força em 
relação ao ponto O, deve ser calculado pela relação: 
 
 
Torque e Aceleração Angular de um Corpo Rígido 
Assim como a segunda lei de Newton é fundamental para 
o movimento de translação de uma partícula, a equação que 
relaciona o torque com a aceleração angular é para a dinâmica 
de rotação de um corpo rígido. Veremos que o somatório dos 
componentes do torque ao longo do eixo de rotação de um corpo 
que gira é diretamente proporcional ao produto do momento de 
inércia do corpo pela sua aceleração angular. 
Para isso iremos considerar que o corpo rígido é 
constituído por um grande número de partículas que interagem 
entre si por forças internas e giram ao redor do eixo de rotação 
posicionado no eixo cartesiano Oz. 
 
Figura 9 – Corpo rígido girando em torno do eixo z, a partícula m1 que 
constitui o corpo, está sujeita a uma força F1. 
A figura mostra uma partícula m1 que constitui o corpo 
rígido. Quando esse corpo gira, a partícula m1 descreve uma 
trajetória circular de raio r1 e está sujeita a força F1 tangente a 
trajetória de rotação. 
De acordo com a segunda lei de Newton a força externa 
aplicada na partícula m1 produz nesta uma aceleração tangencial 
a1, dada por: 
 
Substituindo a aceleração tangencial a1 em termos da 
aceleração angular  do corpo, 
 
 
12 
 
E multiplicando ambos os lados da equação por , temos: 
 
O lado direito desta equação é o módulo do torque 1 da 
força F1 em relação ao eixo de rotação. Como a rotação 
acontece no plano xy o torque tem direção do eixo de rotação, no 
caso, eixo z. Como não há outra força que afete o movimento de 
rotação da partícula no eixo z, então o torque resultante que atua 
sobre a partícula 1 em relação a esse eixo será: 
 
Como a quantidade é o momento de inércia da 
partícula 1 em relação ao eixo de rotação, podemos escrever: 
 
Para as outras partículas o torque resultante sobre cada 
partícula pode ser calculado por uma equação semelhante a 
essa, para partícula 2, o torque será: 
 
Para partícula 3: 
 
E assim por diante para todas as outras partículas que 
fazem parte do corpo rígido. 
 O torque total será dado pela soma de todos os 
torques individuais de cada partícula: 
 
 
Pela equação, é o somatório de todos os torques em 
torno do eixo de rotação que atua sobre todas as partículas e 
 é o momento de inércia total do corpo em torno do eixo 
de rotação, que multiplica a aceleração angular  do corpo 
rígido. Resultando na equação abaixo: 
 
 
 
13 
Essa equação é a segunda lei de Newton para o 
movimento de rotação. O torque resultante sobre um corpo rígido 
de vido a forças externas é igual ao momento de inércia do corpo 
em relação ao eixo de rotação vezes a sua aceleração angular 
em rad/s2. 
 
Momento Angular 
No decorrer desta aula relacionamos algumas grandezas 
do movimento de rotação de um corpo rígido com grandezas 
semelhantes encontradas no movimento de translação de uma 
partícula. Neste sentido, a grandeza relacionada ao momento 
linear de uma partícula, vista no movimento retilíneo, relaciona-
se com o movimento de rotação pelo momento angular, uma 
grandeza vetorial representada por . 
 Seja uma partícula m com massa constante, 
localizada em relação a um sistema de referencial inercial pelo 
vetor posição , que se movimenta com velocidade  e possui 
momento linear dado por no plano xy. O momento 
angular dessa partícula será determinado por: 
 
 
Figura 10 – Momento angular de uma partícula de massa m. 
 
Nas condições descritas, o movimento da partícula ocorre 
no plano xy e neste caso a direção do vetor momento angular é 
perpendicular ao plano xy, se o eixo de rotação estiver localizado 
na origem dos eixos cartesianos e a rotação em sentido anti-
 
 
14 
horário, sua direção será ao longo do eixo +Oz e seu módulo 
será determinado por: 
 
Sendo l o braço da alavanca, determinado pela a distância 
perpendicular do ponto O à linha da direçãodo vetor . 
Se uma força resultante for aplicada na partícula de massa 
m, realizando um torque, sua velocidade e seu momento linear 
variam, podendo variar também seu momento angular. Se 
derivarmos a equação do momento angular em relação ao 
tempo, obteremos a taxa de variação do momento angular. 
 
O termo é o produto vetorial da velocidade por ela 
mesmo, e devido a definição de produto vetorial seu resultado é 
zero. E no termo , substituindo pela força resultante , 
obtemos: 
 
Ou seja, a taxa de variação do momento angular de uma 
partícula é igual ao torque da força resultante que atua sobre ela. 
Iremos estender essa ideia para determinar o momento 
angular para um corpo rígido que gira em torno do eixo Oz com 
velocidade angular ω. Considere uma partícula de massa mi que 
pertence ao corpo rígido que gira no plano xy com o eixo de 
rotação posicionado no eixo cartesiano Oz. A velocidade dessa 
partícula é em qualquer posição é sempre perpendicular ao 
vetor posição , neste caso, o ângulo ϕ = 90ο para qualquer 
partícula pertencente ao corpo rígido. Sendo a velocidade 
, o módulo do momento angular Li, será: 
 
 
Nesta configuração, sendo a rotação no plano xy, o 
sentido do vetor momento angular de cada partícula, de acordo 
com a regra da mão direita, será o eixo +Oz. Veja a figura: 
 
 
15 
 
 
Figura 11 – Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor 
momento angular. 
 
Para determinar o momento angular do corpo rígido como 
um todo, precisamos somar a contribuição do momento angular 
de cada uma das partículas pertencentes ao corpo rígido, logo, 
somando ambos os membros da equação do momento angular, 
temos: 
 
Essa relação será válida quando o eixo de rotação do 
corpo for um eixo de simetria, logo quando um corpo rígido gira 
em torno do eixo de simetria, seu vetor momento angular 
permanecerá ao longo desse o eixo, com o seu módulo 
determinado por: 
 
Sendo I o momento de inércia do corpo rígido e  o 
módulo do vetor velocidade angular que possui a mesma direção 
e o mesmo sentido do vetor momento angular, logo a relação 
será válida: 
 
 
 
16 
Como visto, para qualquer sistema de partículas, corpos 
rígidos ou não, a taxa de variação do momento angular total é 
igual à soma dos torques de todas as forças que atuam sobre as 
partículas, matematicamente: 
 
Substituindo o momento angular por sua equação 
correspondente, temos: 
 
 
Conservação do Momento Angular 
A lei da conservação do momento angular será válida 
quando o torque externo resultante que atua em um sistema de 
partículas ou corpo rígido for igual a zero, neste caso, o momento 
angular do sistema permanece constante. 
 
 
Quando há conservação do momento angular, podemos 
escrever que o momento angular do sistema em determinado 
instante inicial é igual ao momento angular em outro instante 
qualquer final: 
 
 
Para saber mais sobre tudo o que estudamos até agora, 
assista ao vídeo do professor Cristiano! Não perca! 
http://vod.grupouninter.com.br/2015/JUN/MT170008-A06-
P04.mp4?_ga=2.161541429.82408160.1505853188-
2110232531.1485448053 
 
SÍNTESE 
Posição Angular - Para descrever a rotação de um corpo 
rígido em torno de um eixo fixo, chamado eixo de rotação, 
 
 
17 
supomos que uma reta de referência está fixa no corpo, 
perpendicular ao eixo e girando com o corpo. Medimos a posição 
angular θ da reta em relação a uma direção fixa. 
Deslocamento Angular - Um corpo que gira em torno de 
um eixo de rotação, mudando de posição angular de θ1 para θ2, 
sofre um deslocamento angular em que ∆θ é positivo para 
rotações no sentido anti-horário e negativo para rotações no 
sentido horário. 
Velocidade Angular - Se um corpo sofre um 
deslocamento angular ∆θ em um intervalo de tempo ∆t, 
a velocidade angular média do corpo, ωméd, é dado pela razão 
entre o deslocamento angular e o intervalo de tempo. 
Aceleração Angular - Se a velocidade angular de um 
corpo varia de ω1 para ω2 em um intervalo de tempo Δt = t2 − t1, 
a aceleração angular média αméd do corpo é dado pela razão 
entre a variação da velocidade angular e o intervalo de tempo. 
Equações Cinemáticas para Aceleração Angular 
Constante - O movimento com aceleração angular 
constante (α = constante) é um caso especial importante de 
movimento de rotação. 
Relações entre as Variáveis Lineares e Angulares - Um 
ponto de um corpo rígido em rotação, a uma distância 
perpendicular r do eixo de rotação, descreve uma circunferência 
de raio r. Se o corpo gira de um ângulo θ, o ponto descreve um 
arco de circunferência de comprimento s dado por: 
s = r. θ 
em que θ está em radianos. 
A velocidade linear do ponto é tangente à circunferência; a 
velocidade linear escalar v do ponto é dada por 
v = r. ω 
em que ω é a velocidade angular escalar do corpo em 
radianos por segundo. 
 
 
 
 
 
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Energia Cinética de Rotação e Momento de Inércia 
A energia cinética K de um corpo rígido em rotação em 
torno de um eixo fixo depende da velocidade de rotação e do 
momento de inércia do corpo. 
Teorema dos Eixos Paralelos 
O teorema dos eixos paralelos relaciona o momento de 
inércia I de um corpo em relação a qualquer eixo ao momento de 
inércia do mesmo corpo em relação a um eixo paralelo ao 
primeiro passando pelo centro de massa. 
Torque 
É uma ação de girar ou de torcer um corpo em torno de 
um eixo de rotação, produzida por uma força. 
A unidade de torque do SI é o newton-metro (N·m). O 
torque é positivo, se tende a fazer um corpo inicialmente em 
repouso girar no sentido anti-horário, e negativo, se tende a fazer 
o corpo girar no sentido horário. 
 
REFERÊNCIAS 
YOUNG, H. D e FREEDMAN, R. A.; Sears e Zemansky; 
Física I - Mecânica. São Paulo - 12ª ed.: Pearson, 2008. 
RESNICK, R., HALLIDAY,D. e MERRILL, J.; 
Fundamentos de Física Mecânica. São Paulo - 9ª ed. vol1: 
LTC, 2012. 
 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	Tema 1 - Posição angular
	tema 2 - Relações entre a cinemática linear e a cinemática angular
	Tema 03 - Energia no Movimento de Rotação
	Tema 04 - Dinâmica do Movimento de Rotação
	Síntese
	Referências