Aula 02

Prévia do material em texto

MÉTODOS QUANTITATIVOS 
AULA 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Olá! Aprendemos na aula anterior que as funções são importantes 
ferramentas matemáticas versáteis na resolução de problemas reais. Além das 
funções, limites e derivadas também são muito eficientes em situações do 
cotidiano. Quando precisamos saber o comportamento de uma função quando a 
variável independente se aproxima de um certo número, podemos utilizar 
conceitos relacionados a limites. Se precisamos, por exemplo, estimar o custo 
unitário de produção de camisetas estampadas quando essa produção aumenta, 
os limites são muito úteis. Em relação às derivadas, a importância consiste em 
determinarmos máximos e mínimos de funções tais como situações envolvendo 
lucro máximo ou custo mínimo. Também podemos utilizar derivadas para 
estudarmos situações relacionadas a taxas de crescimento. Para começarmos, 
veremos o que são limites! 
TEMA 1 – LIMITES 
Na matemática, o conceito de limite separa a matemática elementar da 
matemática avançada e está diretamente relacionado ao comportamento de uma 
função quando x se aproxima de um determinado valor. Podemos utilizar o 
conceito de limite para fazermos o estudo do custo de remoção de poluentes de 
um rio quando a porcentagem de poluentes aumenta. Também é possível 
determinarmos qual é o comportamento do custo unitário de um determinado 
item quando a produção aumenta. 
Quando pensamos em limites, não nos interessa o valor da função em um 
determinado ponto, mas sim o comportamento dessa função quando a variável 
independente x está próxima desse ponto. 
Para entendermos melhor, vamos começar com um exemplo relacionado 
à produção de camisetas estampadas. 
Vimos na aula 1 um exemplo em que uma indústria produz camisetas 
estampadas com um custo de R$ 100,00 referente ao cliché e um custo de R$ 
10,00 referente a cada camiseta sem estampa. A função que associa o custo 
total C de produção de x camisetas é dada por: 
C(x)=10x+100. 
 
 
3 
E se quisermos saber o custo unitário U de produção? Nesse caso, 
precisamos dividir o custo total C pelo número de camisetas produzidas x. Logo, 
a função que fornece o custo unitário U a partir da produção x corresponde a 
x
x
xU
10010
)(


. 
 Podemos dividir cada termo do numerador por x, o que resulta em 
x
xU
100
10)( 
. 
que é a função que relaciona o custo unitário U com a quantidade x de 
camisetas estampadas produzidas pela indústria. 
 Podemos fazer uma tabela contendo alguns valores relacionados à 
produção, custo total e custo unitário para observarmos o que acontece com os 
custos quando a produção aumenta. 
Tabela 1 – Custos 
x C(x) U(x) 
1 R$ 110,00 R$ 110,00 
10 R$ 200,00 R$ 20,00 
20 R$ 300,00 R$ 15,00 
30 R$ 400,00 R$ 13,33 
40 R$ 500,00 R$ 12,50 
50 R$ 600,00 R$ 12,00 
100 R$ 1.100,00 R$ 11,00 
200 R$ 2.100,00 R$ 10,50 
300 R$ 3.100,00 R$ 10,33 
1000 R$ 10.100,00 R$ 10,10 
10000 R$ 100.100,00 R$ 10,01 
 É fácil perceber que com o aumento da produção o custo total também 
aumenta. Também é possível verificar que com esse aumento o custo unitário 
está diminuindo. Mas para quanto esse custo tende quando a produção 
aumenta? 
 Podemos pensar então no limite de U(x) quando x tende a infinito. Essa 
expressão pode ser escrita como 







 xx
100
10lim
. 
 
 
4 
 Substituindo x por infinito, a expressão 100/x tende a zero. Isso ocorre por 
que quanto maior for o denominador, menor é o resultado da divisão de 100 por 
esse número. 
 Sendo assim, 
10
100
10lim 






 xx
. 
 Logo, quanto maior for a produção, menor será o custo unitário, e, quando 
x tende a infinito, esse custo tende a R$ 10,00. 
 Graficamente, é possível observarmos esse comportamento da função 
U(x). 
Figura 1 – Gráfico da função U(x) 
 
TEMA 2 – APLICAÇÕES E O GEOGEBRA NO ESTUDO DE LIMITES 
 Podemos resolver diversos problemas práticos e teóricos relacionados 
aos limites por meio do GeoGebra. 
 O comando é Limite[<função>, <número>]. Para que o GeoGebra forneça 
o limite de uma função quando x tende a um certo número, basta utilizar o 
comando Limite e informar a função e o número para o qual x está tendendo. 
 Como exemplo, podemos imaginar uma situação onde é necessário que 
os poluentes de um rio sejam removidos. Um possível custo de remoção dos 
poluentes C é dado em função da porcentagem removida x. A função que 
relaciona esse custo de remoção com a porcentagem removida é 
x
x
xC


100
50000
12000)(
. 
 
 
5 
 Determine o custo de remoção de 50% e 90% dos poluentes e o que 
acontece com o custo quando x tende a 100%. Podemos fazer o gráfico da 
função e resolver esse problema utilizando o GeoGebra. 
 O primeiro passo é digitarmos C(x)=12000+50000x/(100-x) na caixa de 
entrada do GeoGebra. A função e o respectivo gráfico são apresentados. 
 
 Para o gráfico, é interessante utilizarmos a proporção 1 : 1000. 
Figura 2 – Gráfico da função 
 
 O custo para a remoção de 50% dos poluentes pode ser obtido digitando 
C(50) na caixa de entrada do GeoGebra. 
 
 Esse custo corresponde a R$ 62.000,00. 
 O custo referente a 90% é obtido digitando C(90) no GeoGebra. 
 
 
6 
 
 Esse custo corresponde a R$ 462.000,00. 
 Quando x tende a 100, precisamos utilizar o conceito de limite. No 
GeoGebra, se digitarmos Limite[C,100], aparecerá o termo “indefinido”. Isso 
ocorre porque quando x se aproxima de 100 por valores menores do que 100, a 
função tende a infinito, e quando x se aproxima de 100 por valores maiores do 
que 100, a função tende a menos infinito. Isso é fácil de se perceber ao 
observarmos o gráfico. Nesse caso, precisamos utilizar o comando 
LimiteInferior[C,100], pois estamos pensando em x que se aproxima de 100 por 
valores menores do que 100. 
 Como resultado, o GeoGebra apresenta ∞ (infinito). Isso significa que, 
quanto maior a porcentagem de poluentes a ser removida, maior o custo, e 
quando a porcentagem está próxima de 100%, o custo é extremamente elevado. 
Figura 3 – Gráfico de custos da despoluição 
 
 Vamos pensar agora em um problema em que o objetivo é calcular, por 
meio do GeoGebra, o limite: 
 
 
7 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
. 
 O primeiro passo é digitarmos f(x)=(x^2-1)/(x^2-3x+2). Teremos a função 
e o respectivo gráfico. 
Figura 4 – Gráfico de limite 
 
Utilizando o comando Limite[f,1], o resultado é -2. Logo, para a função 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf
, 
f tende a -2 quando x tende a 1. 
 Considerando a função 
1
1
)(
2



x
x
xf
, 
qual é o limite de f quando x tende a 1? 
 No GeoGebra, o primeiro passo é digitar f(x)=(x^2-1)/(x-1) na caixa de 
entrada. Em seguida, basta digitar Limite[f,1]. O resultado é 2. Podemos dizer 
então que o limite de f(x) quando x tende a 1 é igual a 2. 
 
 
8 
Figura 5 – Gráfico de limite 
 
 Se formos calcular 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
sem o uso do GeoGebra, inicialmente podemos substituir x por 1 na função 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf
. Fazendo isso, temos 
23
1
)(
2
2



xx
x
xf
 
21.31
11
)(
2
2


xf
 
231
11
)(


xf
 
0
0
)( xf
 
 O resultado 0/0 é uma indeterminação. Isso significa que não temos como 
saber qual é o limite da função f quando x tende a 1. 
 Para resolvermos isso,é preciso fatorar numerador e denominador para 
efetuar, se possível, uma simplificação. 
 Nesse caso, podemos escrever 
23
1
lim
2
2
1 

 xx
x
x
 
 
 
9 
como 
)2)(1(
)1)(1(
lim
1 

 xx
xx
x
 
 Simplificando (x-1) do numerador com (x-1) do denominador, temos: 
2
1
lim
1 

 x
x
x
 
 Substituindo x por 1, temos 
21
11


 
1
2

 
2
 
 Logo, 
2
23
1
lim
2
2
1



 xx
x
x
. 
TEMA 3 – DERIVADAS 
 A derivação é uma importante ferramenta matemática muito útil na 
resolução de problemas que envolvem movimento ou taxa de variação. Também 
é possível utilizarmos derivadas para obter máximos ou mínimos de funções e 
também para realizar o traçado de curvas, algo muito útil em imagens feitas por 
computador. 
 A definição de derivada de uma função que é utilizada atualmente foi 
elaborada pelo matemático Cauchy no século XIX. Se f é uma função e f’ é a sua 
derivada, temos que 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
 
 
 
10 
Figura 6 – Gráfico de derivada 
 
Podemos interpretar geometricamente a derivada como sendo a 
inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto x. 
A partir de dois pontos dados, temos uma reta tangente, mas quando 
0x
 esses pontos se aproximam, a inclinação da secante fica cada vez mais 
próxima da inclinação da tangente. 
Figura 7 – Gráfico de derivada 
 
 
 
11 
A partir dessa definição, é possível obtermos a derivada de diversas 
funções. Por exemplo, a derivada de f(x) = x2 corresponde a f’(x) = 2x, e a 
derivada de f(x) = x3 corresponde a f’(x) = 3x2, entre outras. 
Temos regras de derivação obtidas a partir da definição e que facilitam a 
obtenção das respectivas derivadas. 
Antes de estudarmos as regras de derivação, vamos ver como é possível 
obtermos a derivada de uma função por meio da definição de derivada. 
Exemplo: 
Mostre, utilizando a definição de derivada, que se f(x) = 5x2, então f’(x) = 
10x. 
Resolução: 
A definição de derivada de Cauchy é dada por 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
Como 25)( xxf  , 222 )(5105)(5)( xxxxxxxxf  
Substituindo essas funções na definição de derivada, temos 
x
xxxxx
xf
x 



222
0
5)(5105
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



2
0
)(510
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



)510(
lim)('
0 
)510(lim)('
0
xxxf
x

 
Como 0x 
xxf 10)('  
TEMA 4 – REGRAS DE DERIVAÇÃO 
 Vimos que é possível calcular a derivada de uma função utilizando a 
definição. No entanto, esse processo é bastante trabalhoso e, dependendo da 
função, exige tempo e dedicação. 
 
 
12 
 No entanto, com base nas regras de derivação, o cálculo da derivada 
passa a ser mais rápido e muitas vezes mais fácil. 
 Pela definição, podemos verificar que a derivada de uma função constante 
é igual a zero. 
 Sabemos que a definição de derivada corresponde a 
x
xfxxf
xf
x 



)()(
lim)('
0 
Como a função f é uma constante, então f(x)=c. Sendo assim, f(x+x)=c. 
Isso ocorre porque como a função é constante, sempre é igual a c para qualquer 
valor de x. 
 Logo 
x
cc
xf
x 


 0
lim)('
 
x
xf
x 


0
lim)('
0
 
00lim)('
0

x
xf
 
 Exemplo: 
 Calcule a derivada da função f(x)=10. 
 Resolução: 
 Como a derivada de uma constante é zero, se f(x)=10, então f’(x)=0. 
 Pela definição de derivada, podemos mostrar que se f(x)=x2, então 
f’(x)=2x. 
Como 
2)( xxf 
, 
222 )(2)()( xxxxxxxxf 
 
Logo 
x
xxxxx
xf
x 



222
0
)(2
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



2
0
)(2
lim)('
 
x
xxx
xf
x 



)2(
lim)('
0
 
)2(lim)('
0
xxxf
x


 
Sabendo que 
0x
 
xxf 2)(' 
 
 
 
13 
 De maneira análoga, se f(x)=x3, então f’(x)=3x2. Quando f(x)=x4, f’(x)=4x3 
e assim por diante. 
 Logo, a regra da potência afirma que se f(x)=xn, então f’(x)=nxn-1. 
Podemos dizer então que para calcular a derivada de xn, basta subtrair 1 unidade 
do expoente e multiplicar a expressão resultante por n. 
 Observação: Se f(x)=cxn, então f’(x)=cnxn-1. 
 Exemplo: 
 Calcule a derivada das seguintes funções: 
a. f(x)=x7 
b. f(x)=5x3 
c. f(x)=x-2 
d. f(x)=4x2 
e. f(x)=-3x-4 
 Resolução: 
a. Se f(x)=x7, então f’(x)=7x7-1 que resulta em f’(x)=7x6 
b. Se f(x)=5x3, então f’(x)=3.5x3-1 que resulta em f’(x)=15x2 
c. Se f(x)=x-2, então f’(x)=-2x-2-1 que resulta em f’(x)=-2x-3 
d. Se f(x)=4x2, então f’(x)=2.4x2-1 que resulta em f’(x)=8x 
e. Se f(x)=-3x-4, então f’(x)=(-4)(-3)x-4-1 que resulta em f’(x)=12x-5 
 A derivada da soma é a soma das derivadas, ou seja, se f(x)=2x5+7x3, 
então f(x)=10x4+21x2. Assim sendo, basta calcular a derivada de cada termo 
utilizando as regras de derivação. 
 Quando temos o produto de duas funções, f.g, então a derivada do 
produto é dada por f’.g+f,g’. 
 No caso do quociente de duas funções, f/g, a derivada é dada por (f’.g-
f,g’)/g2. 
 Por exemplo, se 
2
13 2



x
x
y
, então para calcularmos a respectiva derivada 
precisamos das seguintes informações: 
f(x)=3x2+1 
f’(x)=6x 
 
 
14 
g(x)=x-2 
g’(x)=1 
 Logo 
2
''
'
g
fggf
y


 
2
2
)2(
1)13()2(6
'



x
xxx
y
 
44
13126
'
2
22



xx
xxx
y
 
44
1123
'
2
2



xx
xx
y
 
TEMA 5 – APLICAÇÕES DAS DERIVADAS E O USO DO GEOGEBRA 
 É possível resolver problemas reais e calcular derivadas por meio do 
GeoGebra. O comando Derivada permite que isso seja feito de maneira prática 
e eficiente. 
 Inicialmente, vamos ver como é possível calcular a derivada de uma 
função fazendo uso do GeoGebra. Em seguida, veremos aplicações 
relacionadas às derivadas. 
Exemplo: 
Obtenha, por meio do GeoGebra, a derivada primeira da função f(x)=4x3-
5x2+19x+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na caixa de entrada do GeoGebra, digite “f(x)=4x^3-
5x^2+19x+12” e aperte “Enter”. Em seguida, na caixa de entrada, digite 
“Derivada[f(x)]” e aperte “Enter”. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a 
proporção “1 : 50”. 
 
 
 
15 
Figura 8 – Gráfico feito com o GeoGebra 
 
 
Exemplo: 
Obtenha, por meio do GeoGebra, a derivada segunda da função f(x)=4x3-
5x2+19x+12. 
Resolução: 
Inicialmente, na caixa de entrada, digite “f(x)=4x^3-5x^2+19x+12” e aperte 
“Enter”. Em seguida, na caixa de entrada”, digite “Derivada[f(x),2]” e aperte 
“Enter”. O número 2 indica que é a derivada segunda da função que está sendo 
calculada. 
Para melhor visualização do gráfico, na opção “EixoX : EixoY”, escolha a 
proporção “1 : 50”. 
 
 
 
16 
Figura 9 – Gráfico feito com o GeoGebra 
 
Exemplos: 
1. Calcule, por meio do GeoGebra, a derivada primeira de cada uma das 
seguintes funções: 
a. f(x)=-2x3-4x2+13x-1 
Resolução: 
f(x)=-2x^3-4x^2+13x-1 
Derivada[f(x)] 
 
 
 
 
 
17 
b. g(x)=2x+ln(x) 
Resolução: 
g(x)=2x+ln(x) 
Derivada[g(x)] 
 
c. h(x)=sen(x) 
Resolução: 
h(x)=sen(x) 
Derivada[h(x)] 
 
 
d. r(x)=tg(x) 
Resolução: 
r(x)=tg(x) 
Derivada[r(x)] 
 
 
e. q(x)=sen(x)cos(x) 
Resolução: 
q(x)=sen(x)cos(x) 
Derivada[q(x)] 
 
 
 
 
 
18 
f. p(x)=cotg(x) 
Resolução: 
p(x)=cotg(x)Derivada[p(x)] 
 
 
g. v(x)=
xx 52 
 (a raiz quadrada é dada por “sqrt”) 
Resolução: 
v(x)=sqrt(x^2-5x) 
Derivada[v(x)] 
 
 
h. t(x)= 
62
43
3
2


x
xx
 
Resolução: 
t(x)=(3x^2-4x)/(2x^3+6) 
Derivada[t(x)] 
 
 
 
 
 
19 
2. Calcule, por meio do GeoGebra, a derivada segunda de cada uma das 
seguintes funções: 
a. f(x)=-2x3-4x2+13x-1 
Resolução: 
f(x)=-2x^3-4x^2+13x-1 
Derivada[f(x),2] 
 
b. g(x)=2x+ln(x) 
Resolução: 
g(x)=2x+ln(x) 
Derivada[g(x),2] 
 
c. h(x)=sen(x) 
Resolução: 
h(x)=sen(x) 
Derivada[h(x),2] 
 
d. r(x)=tg(x) 
Resolução: 
r(x)=tg(x) 
Derivada[r(x),2] 
 
 
 
 
 
20 
e. q(x)=sen(x)cos(x) 
Resolução: 
q(x)=sen(x)cos(x) 
Derivada[q(x),2] 
 
f. p(x)=cotg(x) 
Resolução: 
p(x)=cotg(x) 
Derivada[p(x),2] 
 
g. v(x)=
xx 52 
 (Obs.: a raiz quadrada é dada por “sqrt”) 
Resolução: 
v(x)=sqrt(x^2-5x) 
Derivada[v(x),2] 
 
h. t(x)= 
62
43
3
2


x
xx
 
Resolução: 
t(x)=(3x^2-4x)/(2x^3+6) 
Derivada[t(x),2] 
 
 
 
 
21 
 Exemplo: 
 Atualmente, estima-se que daqui a x meses contados a partir da data atual 
o nível de produção de sacas de cimento Portland de uma determinada indústria 
será de P(x)=20x2+100x+3000. A que taxa a produção estará variando em 
relação ao tempo 10 meses contados a partir de agora? 
 Resolução: 
 A taxa de variação da produção de sacas de cimento em relação ao tempo 
é a derivada da função P, ou seja, a taxa de variação é dada por P’(x)=40x+100. 
 Para sabermos qual será a taxa de variação daqui a 10 meses, basta 
substituirmos x por 10 na função P’(x)=40x+100, ou seja, 
P’(x)=40x+100 
P’(10)=40(10)+100 
P’(x)=400+100 
P’(x)=500 
Isso significa que a taxa de variação é de 500 sacas por mês. 
 No GeoGebra, basta digitar: 
P(x)=20x^2+100x+3000 
Derivada[P(x)] 
P’(10) 
 
 Exemplo: 
 Podemos utilizar derivadas para calcular máximos e mínimos de funções. 
Para isso, basta calcular a derivada da função e igualar essa derivada a zero. 
Supondo que a relação entre o preço de venda e o lucro de um certo produto é 
dado pela função 
L(x)=-2x2+800x-1100, 
 
 
22 
determine o preço que maximiza o lucro. 
 Resolução: 
 Se L(x)=-2x2+800x-1100, então a derivada L’(x)=-4x+800. 
 Igualando -4x+800 a zero, temos: 
-4x+800=0 
-4x=-800 
4x=800 
x=800/4 
x=200 
 Logo, o preço que maximiza o lucro é R$ 200,00. 
FINALIZANDO 
 Nessa aula, vimos que podemos utilizar limites para resolver diversos 
problemas reais, e o GeoGebra é muito útil na resolução desses problemas. 
Também vimos que as derivadas são muito importantes e estão relacionadas a 
problemas de máximos e mínimos, taxa de variação e outras aplicações. Ainda 
é possível resolver problemas relacionados a derivadas utilizando o GeoGebra. 
 
 
 
23 
REFERÊNCIAS 
CASTANHEIRA, N. P. Matemática Aplicada. 3. ed. Curitiba: Ibpex, 2010. 
DEMANA, F.D.; WAITS, B.K.; FOLEY, G.D.; KENNEDY, D. Pré-Cálculo. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2013. 
FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Função de uma variável. 2. 
ed. São Paulo: Pearson, 2007.