A1 Matemática Aplicada UVA

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Situação problema:
Considere que você foi contratado (a) pelos proprietários da Fábrica Sucos Saudável Ltda. para ajudá-los com a análise quanto aos preços praticados na comercialização de sucos naturais. Atualmente, a fábrica vende 950 litros de sucos naturais por dia, operando no sistema de entrega expressa com o preço de venda de R$ 2,00 por 100 ml de suco de qualquer sabor. No entanto, após a realização de uma pesquisa de mercado, os empresários verificaram que seus preços são os menores entre os concorrentes, fato que demandou a realização de um estudo para compreensão quanto à possibilidade um aumento.
A pesquisa realizada junto ao mercado consumidor concluiu que, para um aumento de R$ 0,15 no preço de 100 ml, 16 litros de sucos deixariam de ser vendidos por dia, despertando, então, o interesse dos empresários quanto à obtenção de mais informações sobre o referido cenário.
Assim, na função de contratado (a) para essa consultoria, estabeleça as informações requeridas pelo cliente e apresentadas a seguir.
 
Procedimentos para elaboração do TD:
1. Determine a função do preço do litro do suco em função do aumento.
Nesta fábrica, o preço por 100 ml de suco é de R$ 2,00 e preço litro equivale ao valor de R$ 20,00. Desta forma, chegamos a seguinte função:
P(x) = 20 + x
Onde x representa o valor do aumento do litro do suco. Como descrito no problema, o aumento seria de R$ 0,15 no preço de 100 ml ou R$ 1,50 no preço do litro. Substituindo o valor do aumento na função, teremos o valor do suco já considerando o aumento:
P(x) = 20 + x
P(1,50) = 20 + 1,50
P(1,50) = 21,50
O novo preço do litro do suco é de R$ 21,50
2. Aponte a função da quantidade de suco (em litro) vendido em relação ao aumento.
Uma pesquisa junto ao mercado consumidor constatou que um aumento de R$ 0,15 no preço de 100 ml, ou seja R$ 1,50 em 1 litro, 16 litros de suco deixariam de ser vendidos por dia. A quantidade vendida por dia é de 950 litros.
Q(x) = a – b(x)
934 = 950 – b*1,50
b = 950 - 934 / 1,50
b = 16 / 1,50
b = 10,67
Considerando que x é o valor do aumento e substituindo o “b” da função, teremos:
Q(x) = 950 – 10,67x
Q(1,50) = 950 – 10,67 * 1,50 = 934
3. Desenvolva a função da receita da fábrica em relação ao aumento.
A função da receita é dada pelo produto do preço pela quantidade vendida, e podemos escrever assim:
R = p . q
R = (20 + x) . (950 – 10,67x)
R = -10,67x2 + 736,60x + 19000
4. Defina qual deveria ser o preço por 100 ml de suco para maximização da receita dos empresários.
 Xv = 
 
 Xv = 
Xv = 
Xv = 34,52
O preço que maximiza a receita (em litros) pode ser encontrado da seguinte forma:
P(x) = 20 + x
P(x)= 20,00 + 34,52
P(x) = 54,52
5. Considerando que seus três principais concorrentes vendem os sucos naturais aos preços de R$41,20, R$38,60 e R$44,00, desenvolva um parecer quanto ao possível aumento no preço dos sucos.
Ao considerar o valor de R$ 54,52 no litro do suco, a fábrica ficaria com um valor maior do que os concorrentes e isso não seria bom para a empresa pois a demanda diminuiria de forma significativa.