AD1 Pré-Calculo Engenharia de Produção 2018 1 gabarito - CEDERJ

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Gabarito da AD 1 Pre´-Ca´lculo para Engenharia - 2018/1
Questa˜o 1 [2,0 pontos]
Considere a expressa˜o abaixo e fac¸a o que se pede:
E =
−y
x3 − y2x −
1
x2 + xy
.
a. [1,0] Simplifique a expressa˜o E.
b. [1,0] Se y = 1, obtenha algum valor de x tal que
√
2 ≤ E ≤
√
5, justificando sua resposta.
Soluc¸a˜o:
a)
E =
−y
x3 − y2x −
1
x2 + xy
.
Note que x3 − y2x = x(x2 − y2) = x(x − y)(x + y), e x2 + xy = x(x + y), onde estes sa˜o
denominadores na expressa˜o E. Considerando o mmc entre estes denominadores, que e´
x(x− y)(x + y), temos
E =
−y
x(x− y)(x + y) −
(x− y)
x(x + y)(x− y) =
−y − x + y
x(x− y)(x + y) =
=
−x
x(x− y)(x + y) =
−1
(x− y)(x + y) =
−1
x2 − y2 .
b) Como, pelo item anterior, E =
−1
x2 − y2 , fazendo y = 1 temos E =
−1
x2 − 1. Ale´m disso,
sabemos que
√
2 ≤ 2 ≤
√
5, por exemplo. Enta˜o seja E = 2:
E =
−1
x2 − 1 = 2 =⇒ x
2 − 1 = −1/2 =⇒ x2 = 1/2,
donde x =
√
2/2 ou x = −√2/2.
Questa˜o 2 [3,0 pontos] Considere a expressa˜o E(x) =
2− 5x
|1− 5x| − |x| . Fac¸a o que se pede:
a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0.
b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0.
c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0.
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Sugesta˜o: Fac¸a a tabela do estudo do sinal da expressa˜o E(x).
Soluc¸a˜o:
Dada a expressa˜o |1− 5x| − |x|, sabemos que |1− 5x| =

1− 5x, se 1− 5x > 0
0, se 1− 5x = 0
−(1− 5x), se 1− 5x < 0
⇒ |1− 5x| =

1− 5x, se x < 1
5
0, se x = 1
5
−1 + 5x, se x > 1
5
e |x| =
{
x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
Encontrando a expressa˜o |1− 5x| − |x| sem uso do valor absoluto.
x < 0 0 < x < 1
5
x > 1
5
|1− 5x| 1− 5x 1− 5x −1 + 5x
|x| −x x x
|1− 5x| − |x| 1− 4x 1− 6x −1 + 4x
Assim, |1− 5x| − |x| =

1− 4x, se x < 0
1− 6x, se 0 < x < 1
5
−1 + 4x, se x > 1
5
Observe que a expressa˜o do enunciado na˜o esta´ definida para x = 1
4
e x = 1
6
.
a. E(x) = 0 se 2− 5x = 0, ou seja, para x = 2
5
.
b. A expressa˜o 2 − 5x muda de sinal em x = 2
5
. Logo, como 0 < 1
6
< 1
5
< 1
4
< 2
5
, temos a
seguinte tabela do estudo do sinal da expressa˜o E(x):
x < 0 0 < x < 1
6
1
6
< x < 1
5
1
5
< x < 1
4
1
4
< x < 2
5
x > 2
5
2− 5x + + + + + + + + + + + + + + + −−−
|1− 5x| − |x| + + + + + + −−− −−− + + + + + +
E(x) =
2− 5x
|1− 5x| − |x| + + + + + + −−− −−− + + + −−−
2− 5x
|1− 5x| − |x| > 0 em
(−∞, 1
6
) ∪ (1
4
, 2
5
)
;
2− 5x
|1− 5x| − |x| = 0, para x = 2/5
2− 5x
|1− 5x| − |x| < 0 em
(
1
6
, 1
4
) ∪ (2
5
; +∞)
2− 5x
|1− 5x| − |x| na˜o esta´ definida para x =
1
6
e x = 1
4
.
Questa˜o 3 [3,0 pontos] Considere a equac¸a˜o
√
1− |x− 1|
x + 1
= 2.
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Fac¸a o que se pede:
a. [2,0 pontos] Determine os valores reais de x para os quais
√
1− |x− 1|
x + 1
existe.
b. [1,0 ponto] Resolva a equac¸a˜o
√
1− |x− 1|
x + 1
= 2. Caso na˜o exista soluc¸a˜o real, justifique.
Soluc¸a˜o:
a) Primeiro, o denominador x + 1 deve ser na˜o nulo, ou seja, x 6= −1. Segundo,
1− |x− 1|
x + 1
≥ 0.
Isto ocorre somente se o numerador e o denominador possu´ırem o mesmo sinal, caso o
numerador na˜o seja igual a 0. Temos enta˜o dois casos:
(i) Ambos teˆm sinal positivo (ou o numerador e´ 0): x + 1 > 0⇒ x > −1. Ale´m disso,
1− |x− 1| ≥ 0⇒ |x− 1| ≤ 1⇒ −1 ≤ x− 1 ≤ 1⇒ 0 ≤ x ≤ 2.
Considerando a intersec¸a˜o dos requisitos, temos 0 ≤ x ≤ 2.
(ii) Ambos teˆm sinal negativo: para o denominador, x+1 < 0⇒ x < −1. Para o numerador,
1− |x− 1| < 0⇒ |x− 1| > 1,
o que nos da´ duas possibilidades:
x− 1 > 1⇒ x > 2,
ou
x− 1 < −1⇒ x < 0.
Considerando a intersec¸a˜o das condic¸o˜es, temos x < −1.
Portanto, unindo (i) e (ii), temos que a expressa˜o na raiz quadrada esta´ bem definida se
x < −1 ou 0 ≤ x ≤ 2.
b) Elevando ambos os membros ao quadrado em
√
1− |x− 1|
x + 1
= 2, temos
1− |x− 1|
x + 1
= 4⇒ 1− |x− 1| = 4(x + 1) = 4x− 4.
Temos dois casos:
(1) x− 1 ≥ 0 (ou x ≥ 1): a equac¸a˜o acima fica
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1− (x− 1) = 4x− 4⇒ 2− x = 4x− 4⇒ 5x = 6⇒ x = 6/5.
De acordo com o item (a), esta e´ uma soluc¸a˜o aceita´vel ja´ que 0 < 1 < 6/5 < 2.
(2) x− 1 < 0 (ou x < 1): a equac¸a˜o fica
1− [−(x− 1)] = 4x− 4⇒ x = 4x− 4⇒ 3x = 4⇒ x = 4/3.
Esta soluc¸a˜o contradiz o item, ja´ que estamos considerando o caso x < 1, e 4/3 > 1.
Assim, a u´nica soluc¸a˜o para a equac¸a˜o e´ x = 6/5.
Questa˜o 4 [2,0 pontos] Em uma certa cidade, uma regia˜o esta´ sendo urbanizada e os
engenheiros representam a mesma no plano cartesiano, onde os locais sa˜o pontos e as vias sa˜o
representadas por retas ou segmentos de reta. Considere uma certa rua r1 que sera´ asfaltada,
e passa pelo posto de gasolina, representado por (1, 3), e pela farma´cia, no ponto (−2, 1).
a. [1,0 ponto] Encontre a equac¸a˜o da reta que representa a rua r2 a ser constru´ıda, que
cruzara´ r1 perpendicularmente e passara´ pelo Centro Esportivo (1, 1).Sabendo que a escola
da regia˜o esta´ localizada no ponto (3, 2), a rua r2 passara´ por essa escola?
b. [1,0 ponto] Na rua r2 do item (a), existe um supermercado cuja abcissa no plano e´ x0 = 2.
Suponha que a casa do Sr. Jose´ se encontra na rua r1 e tem ordenada y0 = −4, e que
passa um riacho entre o supermercado e a casa do Sr. Jose´. Determine o comprimento
da ponte que sera´ constru´ıda entre a casa e o supermercado.
a) Precisamos encontrar a equac¸a˜o da reta r1. Seja m1 sua inclinac¸a˜o (coeficiente angular).
Ela passa por A = (1, 3) e por B = (−2, 1). Aplicando a fo´rmula
m1 =
y2 − y1
x2 − x1
a A e B, temos
m1 =
1− 3
−2− 1 =
2
3
,
e assim, a equac¸a˜o de s e´ y =
2x
3
+ b1, onde b1 e´ o termo independente. Como a reta
passa por A = (1, 3), podemos substituir estes valores na equac¸a˜o de r1 para encontrar b1:
3 =
2
3
+ b1, o que nos da´ b1 =
7
3
.
Se r2 e´ uma reta perpendicular a` reta r1, enta˜o sua inclinac¸a˜o e´ − 1
m
= −3
2
. Aplicando a
equac¸a˜o do coeficiente angular citada acima para a reta r2, que passa por (1, 1), temos
y − 1
x− 1 = −
3
2
,
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e a partir desta igualdade conclu´ımos que a equac¸a˜o da reta r2 e´
y = −3x
2
+
5
2
.
Ou seja, na˜o, a rua r2 na˜o passara´ pelo cinema, ja´ que (3, 2) na˜o satisfaz a equac¸a˜o encontrada
acima.
b) Se o ponto esta´ em r2 e a abcissa e´ x0 = 2, enta˜o sua ordenada e´ y = −1/2. Assim, o
supermercado e´ representado pelo ponto (2,−1/2). A casa do Sr. Jose´ fica na rua r1, de
equac¸a˜o
y =
2
3
x +
7
3
.
Se a ordenada deste ponto e´ −4, enta˜o temos
−4 = 2
3
x +
7
3
,
donde
−4− 7
3
= −19
3
=
2
3
x.
Logo, sua abcissa e´ x = −19/2. O comprimento da ponte e´ a distaˆncia entre os pontos
(2,−1/2) e (−19/2,−4):
d(P,Q) =
√
(2− (−19/2))2 + (−1/2− (−4))2 =
√
(23/2)2 + (7/2)2
=
√
529 + 49
4
=
√
578
4
=
√
578
2
.
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