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Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 1 Professora: Tayana Rigueira MÚLTIPLOS DECREMENTOS Em disciplinas anteriores, trabalhou-se com problemas envolvendo somente a mortalidade, a saída dos indivíduos da tábua era a morte. Quando isso acontece dizemos que a tábua só tem uma causa de saída ou que a tábua está sujeita a um único decremento. Contudo, é possível estender a abordagem para uma teoria mais geral envolvendo várias causas de saídas que agem simultaneamente. Por exemplo, existem seguros com cobertura por invalidez e por falecimento. Outro exemplo é querer estudar a morte do indivíduo por tipo de doença que a causou, tratando cada causa da morte como um decremento (saída). Em fundos de pensão, também é possível avaliar morte, invalidez e aposentadoria operando como força decremental num empregado. O modelo matemático que estuda algo desta espécie é conhecido como tábua de serviços ou tábua de múltiplos decrementos. 1- Funções Elementares Considere um conjunto fechado de pessoas, não admitindo novos entrados e nem o retorno ao grupo após a saída por qualquer causa. Além disso, as causas agem simultaneamente e independentemente. Por representação: • ��(�) – número de vivos na idade � sujeitos a � causas; • ��( ) – número de pessoas atingidas pela causa entre as idades � e � + 1; • ��(�) – número total das pessoas que foram atingidas por qualquer das causas entre as idades � e � + 1. Segue as relações entre as funções ��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�) + ⋯ + ��(�) = � ��( ) � �� ����(�) = ��(�) − ��(�) 2- Probabilidades As probabilidades a serem consideradas no estudo de populações sujeitas a múltiplos decrementos são: • ��( ) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo devido a causa antes de atingir a idade � + 1 Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 2 Professora: Tayana Rigueira ��( ) = �� ( ) ��(�) • ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo por qualquer causa antes de atingir a idade � + 1 �� ��� �� ��� �� ��� • �� ��� – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � 1 no grupo �� ��� 1 � �� ��� ���� ��� �� ��� Analogamente, • �� ��� � – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � � no grupo �� ��� � ���� ��� �� ��� • �� ��� � – probabilidade de um indivíduo de idade � sair do grupo entre as idades � e � � � �� ��� � 1 � �� ��� � �� ��� � ���� ��� �� ��� • �� ��� �| – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � � e sair do grupo antes de atingir a idade � � � � 1 �� ��� �| ���� ��� �� ��� Se os valores de �� � � são conhecidos para todas as causas, a tábua de múltiplos decrementos é facilmente construída: uma raiz (valor inicial do número dos vivos na tábua) é assumida e os valores de �� � � , �� ��� e �� ��� são obtidos para cada idade pelas fórmulas descritas anteriormente. Exemplo 1: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, com duas causas, e calcule o que se pede � �� ��� �� ��� �� ��� 24 901.020 299 92.762 25 807.959 314 86.632 26 721.013 324 80.365 27 640.304 329 74.117 28 565.858 329 67.909 29 497.620 324 61.839 Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 3 Professora: Tayana Rigueira a) ���(�) b) ���(�) c) ���(�)� d) ���(�)� 3- Taxa Central de Decremento A taxa central de todos os decrementos para a idade � é definida como ��(�) = �� (�) �(�) onde �(�) representa o valor médio da função ��(�). Essa função é análoga para a taxa central de morte �� da tábua de mortalidade. A taxa central da causa é ��( ) = �� ( ) �(�) sendo equivalente dizer que ��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�) … + ��(�) = � ��( ) � �� Para avaliar ��( ) assume-se que o decremento total de cada idade é uniformemente distribuído para cada idade, isso equivale a ���"(�) ≈ ��(�) − $ ∗ ��(�) 0 < $ < 1 (�( )�() Como �(�) = * ���"(�) � + �$ ≈ *,��(�) − $ ∗ ��(�)-�$ � + = ��(�) − 12 ∗ �� (�) Logo, ��(�) = �� (�) ��(�) − 12 ∗ ��(�) Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 4 Professora: Tayana Rigueira Dividindo por ��(�), temos ��(�) = �� (�) 1 − 12 ∗ ��(�) = 2 ∗ �� (�) 2 − ��(�) 4- Tábua com Decrementos Secundários No cálculo de valores de certos benefícios, o atuário precisa fazer algumas hipóteses sobre a subseqüente sobrevivência das vidas após elas terem saído por causas que não a morte. Um exemplo desse cálculo é o valor de uma renda de invalidez que é paga ao segurado após ocorrer o evento de invalidez. O modelo para esta situação é uma tábua de duplo decremento para a mortalidade e para invalidez. Nessa tábua, os indivíduos estão sujeitos a dois decrementos primários, morte e invalidez, e os inválidos estão sujeitos a duas saídas secundárias morte e reabilitação. A seguir, considere uma aplicação da tábua de múltiplos decrementos que é a usada nos planos de pensão, por exemplo. Será utilizada uma tábua de múltiplos decrementos com duas causas de saídas, onde essas saídas serão a morte e a invalidez. As funções dessa tábua têm notação própria precisando ser definida. � Notação Nas tábuas de múltiplos decrementos existe uma convenção que é a utilização de sobrescritos nas probabilidades, nas anuidades e nos números de mortos e vivos. Quando existem dois sobrescritos, a primeira letra indica o presente estado e a segunda representa o estado futuro. Quando existe uma única letra sobrescrita, o estado futuro não é especificado. ��// - número de ativos na idade �; ��// – número de ativos que morreram ativos entre as idades � e � + 1; 0� – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1; ��/1 – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1 e permaneceram vivos. As probabilidades da tábua de múltiplos decrementos podem ser divididas em 2 grupos: 1- Probabilidades em que há permanência de status (condição em relação ao decremento da tábua) 2- Probabilidade em que há alteração de status Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 5 Professora: Tayana Rigueira 4.1- Tábuas de Múltiplos Decrementos associadas às duas saídas � Probabilidades que pertencem ao grupo 1 (sem alteração de status) ��// - probabilidade de um ativo de idade � permanecer ativo ao atingir a idade � + 1 ��// – probabilidade de um ativo de idade � morrer ativo antes de atingir a idade � + 1 Atenção: a soma das duas probabilidades não é igual a 1. ��1 - probabilidade de um inválido de idade � atingir a idade � + 1 inválido ��1 - probabilidade de um inválido de idade � falecer como inválido antes de atingir a idade � + 1 � Probabilidades que pertencem ao grupo 2 (com alteração de status) ��/1 - probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e permanecer vivo ao atingir a idade � + 1 ��/1 – probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e falecer inválido antes de atingir a idade � + 1 ��/ - probabilidade de um ativo de idade � sobreviver a idade � + 1, como ativo ou inválido; ��/ - probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 1, como ativo ou inválido. ��/ + ��/ = 1 � Relação entre as probabilidades 2� - probabilidade de um ativo de idade � se invalidar (morrendo ou não) antes de atingir a idade � + 1 2� = ��/1 + ��/1 ��/ = ��// + ��/1 ∴ ��// = ��/ − ��/1 ��/ = ��// + ��/1 ∴ ��// = ��/ − ��/1 Como 1 = ��/ + ��/ = ��// + ��/1 + ��// + ��/1 = ��// + ��// + 2� ��// + ��//= 1 − 2� Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 6 Professora: Tayana Rigueira � Determinação das probabilidades através das taxas pelo método de Hamza ���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e morrer inválido antes de atingir a idade � + 1. Admita que a morte dos inválidos ocorre no meio do ano. ��/1 = 2� ∗ 12 ∗ ��1 ���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e sobreviver inválido antes da idade � + 1 Como 〈5〉 2� = ��/1 + ��/1 〈7〉 ��/1 = 2� ∗ 12 ∗ ��1 então de 〈5〉 e 〈7〉 ��/1 = 2� − ��/1 = 2� − 2� ∗ 12 ∗ ��1 ∴ ��/1 = 2� ∗ 81 − 1 2 ∗ ��1 9 ���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � falecer ativo antes da idade � + 1 Como ��/ = ��// + ��/1 e usando a equação 〈7〉 ��// = ��/ − 2� ∗ 12 ∗ ��1 ���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � sobreviver ativo a idade � + 1 Como ��/ = ��// + ��/1 e por ser a tábua associada a dois decrementos 〈:〉 1 = ��/ + ��/ ∴ ��/ = 1 − ��/ e ��/1 = 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 substituindo na equação 〈:〉 ��/ = 1 − ��/ = ��// + ��/1 = ��// + 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 ��// = 1 − ��/ − 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 7 Professora: Tayana Rigueira Sendo assim, com as probabilidades ��/, 2� e ��1 , é possível definir todas as probabilidades vistas. Para a construção de uma tábua de serviço, ou seja, uma tábua que considere mais de um fator determinante de saída (decremento) em uma população de ativos utiliza-se, em geral, taxas obtidas em outras três tábuas básicas: Tábua de Mortalidade Geral, Tábua de Entrada em Invalidez e Tábua de Mortalidade de Inválidos. A combinação dessas três tábuas permite construir uma única tábua, influenciada não somente pelo decremento morte ou invalidez, mas pela ação conjunta dessas forças. 4.2- Construção da Tábua Esta é uma tábua construída por uma população fechada que diminui não somente pela causa de morte, mas também pela causa de invalidez. A partir dos valores de ��// e 2� calculados através das fórmulas apresentadas, constrói- se a coluna dos ��//. O número dos ativos na idade � resulta: • Um valor arbitrário qualquer, geralmente uma potência positiva de 10 não inferior a 10�, é escolhido para o valor de ��// inicial (raiz da tábua=�+//) • Então para a idade x=1 ��// = �+// ∗ (1 − �+// − 2+) e generalizando ��// = ��;�// ∗ (1 − ��;�// − 2�;�) Na tábua de múltiplos decrementos discutida, cada vida é observada até ela sair do grupo devido a uma das causas. O modelo não inclui o subconjunto dos vivos que saem por causas diferentes da morte. No cálculo dos valores de alguns benefícios o atuário precisa fazer hipóteses a respeito do subconjunto dos vivos. Como exemplo o cálculo do benefício de invalidez. Um possível modelo para essa situação é uma tábua de duplo decremento para morte e invalidez com colunas adicionais mostrando os efeitos da mortalidade e o restabelecimento dos vivos que se invalidaram. Para podermos calcular as anuidades associadas às tábuas de múltiplos decrementos, necessitamos conhecer uma tábua ainda não abordada que é a tábua específica para inválidos Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 8 Professora: Tayana Rigueira Exemplo 2: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, e calcule as probabilidades ��//, ��/1, ��// e ��/1 pelo método de Hamza. � 2� �� ��1 30 0,000581 0,001173 0,0565 31 0,000598 0,001208 0,0558 32 0,000642 0,001297 0,0550 33 0,000692 0,001398 0,0543 34 0,000749 0,001513 0,0536 35 0,000813 0,001643 0,0529
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