Aula 01 - Múltiplos Decrementos

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Matemática Atuarial IV– Período 2014/01 
 
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Professora: Tayana Rigueira 
 
MÚLTIPLOS DECREMENTOS 
 
Em disciplinas anteriores, trabalhou-se com problemas envolvendo somente a 
mortalidade, a saída dos indivíduos da tábua era a morte. Quando isso acontece 
dizemos que a tábua só tem uma causa de saída ou que a tábua está sujeita a um 
único decremento. Contudo, é possível estender a abordagem para uma teoria mais 
geral envolvendo várias causas de saídas que agem simultaneamente. 
Por exemplo, existem seguros com cobertura por invalidez e por falecimento. Outro 
exemplo é querer estudar a morte do indivíduo por tipo de doença que a causou, 
tratando cada causa da morte como um decremento (saída). 
Em fundos de pensão, também é possível avaliar morte, invalidez e aposentadoria 
operando como força decremental num empregado. O modelo matemático que estuda 
algo desta espécie é conhecido como tábua de serviços ou tábua de múltiplos 
decrementos. 
1- Funções Elementares 
Considere um conjunto fechado de pessoas, não admitindo novos entrados e nem o 
retorno ao grupo após a saída por qualquer causa. Além disso, as causas agem 
simultaneamente e independentemente. 
Por representação: 
• ��(�) – número de vivos na idade � sujeitos a � causas; 
• ��(	) – número de pessoas atingidas pela causa 
 entre as idades � e � + 1; 
• ��(�) – número total das pessoas que foram atingidas por qualquer das causas 
entre as idades � e � + 1. 
Segue as relações entre as funções 
��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�) + ⋯ + ��(�) = � ��(	)
�
	��
 
����(�) = ��(�) − ��(�) 
2- Probabilidades 
As probabilidades a serem consideradas no estudo de populações sujeitas a múltiplos 
decrementos são: 
• ��(	) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo devido a causa 
 
antes de atingir a idade � + 1 
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��(	) = ��
(	)
��(�)
 
• ��(�) – probabilidade de um indivíduo de idade � deixar o grupo por qualquer 
causa antes de atingir a idade � + 1 
��
���
��
���
��
���
 
• ��
���
 – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � 1 no grupo 
��
���
 1 � ��
���
����
���
��
���
 
Analogamente, 
• ��
���
� – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � � no grupo 
��
���
� 
����
���
��
���
 
• ��
���
� – probabilidade de um indivíduo de idade � sair do grupo entre as idades � 
e � � � 
��
���
� 
 1 � ��
���
� 
��
���
� ����
���
��
���
 
• ��
���
�| – probabilidade de um indivíduo de idade � atingir a idade � � � e sair do 
grupo antes de atingir a idade � � � � 1 
��
���
�| 
����
���
��
���
 
Se os valores de ��
�	�
 são conhecidos para todas as 
 causas, a tábua de múltiplos 
decrementos é facilmente construída: uma raiz (valor inicial do número dos vivos na 
tábua) é assumida e os valores de ��
�	�
, ��
���
 e ��
���
	são obtidos para cada idade pelas 
fórmulas descritas anteriormente. 
Exemplo 1: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, com duas causas, e 
calcule o que se pede 
� ��
���
 ��
���
 ��
���
 
24 901.020 299 92.762 
25 807.959 314 86.632 
26 721.013 324 80.365 
27 640.304 329 74.117 
28 565.858 329 67.909 
29 497.620 324 61.839 
 
 
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a) ���(�) 
b) ���(�) 
c) ���(�)� 
d) ���(�)� 
3- Taxa Central de Decremento 
A taxa central de todos os decrementos para a idade � é definida como 
��(�) = ��
(�)
 �(�)
 
onde �(�) representa o valor médio da função ��(�). 
Essa função é análoga para a taxa central de morte �� da tábua de mortalidade. 
A taxa central da causa 
 é 
��(	) = ��
(	)
 �(�)
 
sendo equivalente dizer que 
��(�) = ��(�) + ��(�) + ��(�) … + ��(�) = � ��(	)
�
	��
 
Para avaliar ��(	) assume-se que o decremento total de cada idade é uniformemente 
distribuído para cada idade, isso equivale a 
���"(�) ≈ ��(�) − $ ∗ ��(�) 0 < $ < 1 (�( )�() 
Como 
 �(�) = * ���"(�)
�
+
�$ ≈ *,��(�) − $ ∗ ��(�)-�$
�
+
= ��(�) − 12 ∗ ��
(�)
 
Logo, 
��(�) = ��
(�)
��(�) − 12 ∗ ��(�)
 
 
 
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Dividindo por ��(�), temos 
��(�) = ��
(�)
1 − 12 ∗ ��(�)
= 2 ∗ ��
(�)
2 − ��(�)
 
4- Tábua com Decrementos Secundários 
No cálculo de valores de certos benefícios, o atuário precisa fazer algumas hipóteses 
sobre a subseqüente sobrevivência das vidas após elas terem saído por causas que não 
a morte. Um exemplo desse cálculo é o valor de uma renda de invalidez que é paga ao 
segurado após ocorrer o evento de invalidez. 
O modelo para esta situação é uma tábua de duplo decremento para a mortalidade e 
para invalidez. Nessa tábua, os indivíduos estão sujeitos a dois decrementos primários, 
morte e invalidez, e os inválidos estão sujeitos a duas saídas secundárias morte e 
reabilitação. 
A seguir, considere uma aplicação da tábua de múltiplos decrementos que é a usada 
nos planos de pensão, por exemplo. Será utilizada uma tábua de múltiplos decrementos 
com duas causas de saídas, onde essas saídas serão a morte e a invalidez. As funções 
dessa tábua têm notação própria precisando ser definida. 
� Notação 
Nas tábuas de múltiplos decrementos existe uma convenção que é a utilização de 
sobrescritos nas probabilidades, nas anuidades e nos números de mortos e vivos. 
Quando existem dois sobrescritos, a primeira letra indica o presente estado e a segunda 
representa o estado futuro. Quando existe uma única letra sobrescrita, o estado futuro 
não é especificado. 
��// - número de ativos na idade �; 
��// – número de ativos que morreram ativos entre as idades � e � + 1; 
0� – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1; 
��/1 – número de ativos que entraram em invalidez entre as idades � e � + 1 e 
permaneceram vivos. 
As probabilidades da tábua de múltiplos decrementos podem ser divididas em 2 grupos: 
1- Probabilidades em que há permanência de status (condição em relação ao 
decremento da tábua) 
2- Probabilidade em que há alteração de status 
 
 
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4.1- Tábuas de Múltiplos Decrementos associadas às duas saídas 
� Probabilidades que pertencem ao grupo 1 (sem alteração de status) 
��// - probabilidade de um ativo de idade � permanecer ativo ao atingir a idade � + 1 
��// – probabilidade de um ativo de idade � morrer ativo antes de atingir a idade � + 1 
Atenção: a soma das duas probabilidades não é igual a 1. 
��1 - probabilidade de um inválido de idade � atingir a idade � + 1 inválido 
��1 - probabilidade de um inválido de idade � falecer como inválido antes de atingir a 
idade � + 1 
� Probabilidades que pertencem ao grupo 2 (com alteração de status) 
��/1 - probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e permanecer vivo ao 
atingir a idade � + 1 
��/1 – probabilidade de um ativo de idade � tornar-se inválido e falecer inválido antes de 
atingir a idade � + 1 
��/ - probabilidade de um ativo de idade � sobreviver a idade � + 1, como ativo ou 
inválido; 
��/ - probabilidade de um ativo de idade � morrer antes de atingir a idade � + 1, como 
ativo ou inválido. 
��/ + ��/ = 1 
� Relação entre as probabilidades 
2� - probabilidade de um ativo de idade � se invalidar (morrendo ou não) antes de atingir 
a idade � + 1 
2� = ��/1 + ��/1 
��/ = ��// + ��/1 ∴ ��// = ��/ − ��/1 
��/ = ��// + ��/1 ∴ ��// = ��/ − ��/1 
Como 
1 = ��/ + ��/ = ��// + ��/1 + ��// + ��/1 = ��// + ��// + 2� 
��// + ��//= 1 − 2� 
 
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� Determinação das probabilidades através das taxas pelo método de Hamza 
 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e morrer inválido 
antes de atingir a idade � + 1. 
Admita que a morte dos inválidos ocorre no meio do ano. 
��/1 = 2� ∗ 12 ∗ ��1 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � se tornar inválido e sobreviver 
inválido antes da idade � + 1 
Como 
〈5〉 2� = ��/1 + ��/1 
〈7〉 ��/1 = 2� ∗ 12 ∗ ��1 
então de 〈5〉 e 〈7〉 
��/1 = 2� − ��/1 = 2� − 2� ∗ 12 ∗ ��1 ∴ ��/1 = 2� ∗ 81 −
1
2 ∗ ��1 9 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � falecer ativo antes da idade � + 1 
Como ��/ = ��// + ��/1 e usando a equação 〈7〉 
��// = ��/ − 2� ∗ 12 ∗ ��1 
���� Cálculo da probabilidade de um ativo de idade � sobreviver ativo a idade � + 1 
Como ��/ = ��// + ��/1 e por ser a tábua associada a dois decrementos 
〈:〉 1 = ��/ + ��/ ∴ ��/ = 1 − ��/ 
e 
��/1 = 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 
substituindo na equação 〈:〉 
��/ = 1 − ��/ = ��// + ��/1 = ��// + 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 
��// = 1 − ��/ − 2� ∗ 81 − 12 ∗ ��1 9 
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Sendo assim, com as probabilidades ��/, 2� e ��1 , é possível definir todas as 
probabilidades vistas. 
Para a construção de uma tábua de serviço, ou seja, uma tábua que considere mais de 
um fator determinante de saída (decremento) em uma população de ativos utiliza-se, em 
geral, taxas obtidas em outras três tábuas básicas: Tábua de Mortalidade Geral, 
Tábua de Entrada em Invalidez e Tábua de Mortalidade de Inválidos. A 
combinação dessas três tábuas permite construir uma única tábua, influenciada não 
somente pelo decremento morte ou invalidez, mas pela ação conjunta dessas forças. 
4.2- Construção da Tábua 
Esta é uma tábua construída por uma população fechada que diminui não somente 
pela causa de morte, mas também pela causa de invalidez. 
A partir dos valores de ��// e 2� calculados através das fórmulas apresentadas, constrói-
se a coluna dos ��//. O número dos ativos na idade � resulta: 
• Um valor arbitrário qualquer, geralmente uma potência positiva de 10 não 
inferior a 10�, é escolhido para o valor de ��// inicial (raiz da tábua=�+//) 
• Então para a idade x=1 
��// = �+// ∗ (1 − �+// − 2+) 
e generalizando 
��// = ��;�// ∗ (1 − ��;�// − 2�;�) 
Na tábua de múltiplos decrementos discutida, cada vida é observada até ela sair do 
grupo devido a uma das causas. O modelo não inclui o subconjunto dos vivos que saem 
por causas diferentes da morte. No cálculo dos valores de alguns benefícios o atuário 
precisa fazer hipóteses a respeito do subconjunto dos vivos. Como exemplo o cálculo do 
benefício de invalidez. 
Um possível modelo para essa situação é uma tábua de duplo decremento para morte e 
invalidez com colunas adicionais mostrando os efeitos da mortalidade e o 
restabelecimento dos vivos que se invalidaram. 
Para podermos calcular as anuidades associadas às tábuas de múltiplos decrementos, 
necessitamos conhecer uma tábua ainda não abordada que é a tábua específica para 
inválidos 
 
 
 
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Exemplo 2: Considere a seguir a tábua de múltiplos decrementos, e calcule as 
probabilidades ��//, ��/1, ��// e ��/1 pelo método de Hamza. 
� 2� �� ��1 
30 0,000581 0,001173 0,0565 
31 0,000598 0,001208 0,0558 
32 0,000642 0,001297 0,0550 
33 0,000692 0,001398 0,0543 
34 0,000749 0,001513 0,0536 
35 0,000813 0,001643 0,0529