Lista de Derivadas 3 (UFOP)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Quarta lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral A - MTM 700
1. Encontre os pontos cr´ıticos e os intervalos abertos onde a func¸a˜o e´ crescente ou decrescente.
a) f(x) = −(x− 1)2 b) f(x) = √4− x2 c) f(x) = x
2 + 1
x
d) f(x) = x+ 1
x
.
2. Determine os extremos relativos e absolutos da func¸a˜o f(x) = x
2
2
− 2x em cada intervalo.
a) [0, 5] b) (0, 4) c) (0, 2) d) [2, 5]
3. Seja f : [−2, 2]→ R, dada por f(x) = x
4
4
− x
3
3
− x2 + 1.
a) Encontre os pontos cr´ıticos de f .
b) Classifique os pontos cr´ıticos em ma´ximo e mı´nimo relativo (local), dizendo qual resultado esta´
sendo utilizado.
c) Encontre o ponto de ma´ximo e mı´nimo absoluto (global) e os valores ma´ximo e mı´nimo
absolutos de f . Justifique a sua resposta.
4. Determine os extremos relativos de f , os extremos absolutos de f e os intervalos em que f e´
crescente ou decrescente, utilizando o teste da derivada primeira.
a) f(x) = 5− 7x− 4x2 b) f(x) = 2x√3− x c) f(x) = tgx− 2 sec x, x ∈ (−pi
4
, pi
4
)
d) f(x) =
2x
16− x2
5. Encontre a, b, c e d, tal que a func¸a˜o f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, tenha extremos relativos em
(1, 2) e (2, 3).
6. Encontre a, b e c, tal que a func¸a˜o f(x) = ax2 + bx+ c tenha um valor ma´ximo relativo y = 7 em
x = 1 e o gra´fico de y = f(x) passe pelo ponto (2,−2).
7. Determine os pontos de ma´ximo e mı´nimo relativo, os valores ma´ximo e mı´nimo, a concavidade e
os pontos de inflexa˜o, caso exista, de cada uma das func¸o˜es dadas abaixo:
a) f(x) =
x3
3
+
x2
2
− 6x+ 8 b) f(x) = x4 + 2x3 − 3x2 − 4x+ 4
c) f(x) = 2 + x2/3 d) f(x) =
1
x+ 2
e) f(x) =
x5
5
− x
3
3
f) f(x) =
x
x2 + 1
g) f(x) = x2(−x− 12)2
8. Determine, em cada caso, o(s) ponto(s) de inflexa˜o de f e os intervalos em que o gra´fico de f e´
coˆncavo para cima ou coˆncavo para baixo. Encontre os extremos relativos utilizando o teste da
derivada segunda.
a) f(x) =
x2
x2 + 4
b) f(x) =
√
9− x2 c) f(x) = 2x− 3
d) f(x) =
x
2
− sen x, x ∈ (0, 2pi)
2
9. Encontre as ass´ıntotas horizontal e vertical e trace um esboc¸o do gra´fico da func¸a˜o.
a) f(x) =
2√
x2 − 4 b) f(x) =
4− 3x
x+ 1
10. Considerando o gra´fico de f ′ abaixo determine os intervalos onde f e´ coˆncava para cima e coˆncava
para baixo.
O a cb d
11. Leve em conta as informac¸o˜es abaixo e o gra´fico da derivada f ′, dado na figura abaixo, de uma
func¸a˜o f para resolver esta questa˜o.
2
-2-4
4
f
(i) f(0) = 1
8
, f(−1) = f(1) = 0 (ii) lim
x→+∞
f(x) = lim
x→−∞
f(x) = 1
2
(iii) lim
x→−2+
f(x) = −∞ e lim
x→−2−
f(x) = +∞ (iv) lim
x→2+
f(x) = +∞ e lim
x→2−
f(x) = −∞.
a) Determine os pontos cr´ıticos de f .
b) Determine o(s) intervalo(s) em que f e´ crescente e decrescente.
c) Determine o(s) extremo(s) relativo(s) de f .
d) Determine o(s) intervalo(s) em que f e´ coˆncava para cima ou para baixo.
e) Determine o(s) ponto(s) de inflexa˜o do gra´fico de f , se existirem.
12. Esboce os gra´ficos das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = x3 − 9 b) f(x) = 2x
2
9− x2 c) f(x) =
4x
x2 − 4x+ 3
d) f(x) =
−3x√
x2 + 4
13. Considere a func¸a˜o f(x) = x3 − 3x− 2.
a) Analise o crescimento b) Ache os pontos cr´ıticos e classifique-os
c) Analise a concavidade d) Esboce o gra´fico .
14. Realize o estudo das seguintes func¸o˜es e fac¸a o esboc¸o do seu gra´fico:
a) f(x) =
x2√
x2 − 1 b) f(x) =
x2 + 1
x
c) f(x) =
2x
x2 + 1
d) f(x) = x+
9
x
e) f(x) =
x3 − x+ 1
x2
f) f(x) =
x
x2 + 1
g) f(x) =
4− x2
x+ 3
h) f(x) =
x3
3− x2 i) f(x) =
(x− 2)3
x2
j) f(x) =
lnx
x
k) f(x) = x
√
4− x2 l) f(x) = x2 − 1
x
3
15. Considere a func¸a˜o f(x) =
x2
x2 − 1 .
a) Determine o domı´nio de f e as intersecc¸o˜es de f com os eixos coordenados.
b) Mostre que f e´ uma func¸a˜o par, e que f ′(x) =
−2x
(x2 − 1)2 e f
′′(x) =
2(1 + 3x2)
(x2 − 1)3 .
c) Encontre, caso exista(m), o(s) intervalo(s) em que f e´ crescente e onde e´ decrescente.
d) Encontre, caso exista(m), o(s) ponto(s) cr´ıtico(s) de f e classifique-os, dizendo claramente
qual resultado utilizado.
e) Encontre, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde f e´ coˆncava para baixo e onde e´ coˆncava para
cima.
f) Encontre, caso exista(m), o(s) pontos de inflexa˜o de f, justificando o porque da existeˆncia ou
a na˜o existeˆncia.
g) Encontre, caso existam, as ass´ıntotas horizontais e verticais de f.
h) Fac¸a um esboc¸o do gra´fico de f .
16. Nos exerc´ıcios a seguir admita que todas as varia´veis sejam func¸o˜es de t.
a) Se x cos y = 5 e dx
dt
= −4, determine dy
dt
quando y = pi/3.
b) Se 2y3 − x2 + 4x = −10 e dy
dt
= −3 quando x = −2 e y = 1, determine dx
dt
.
c) Se 3x2y + 2x = −32 e dy
dt
= −4 quando x = 2 e y = -3, determine dx
dt
.
d) Se −x2y2 − 4y = −44 e dx
dt
= 5 quando x = −3 e y = 2, determine dy
dt
.
17. Uma pessoa parte do ponto A em direc¸a˜o sul a 4m/s. Um minuto depois, outra pessoa parte de
A em direc¸a˜o oeste a 3m/s. A que taxa esta´ variando a distaˆncia entre elas 1 minuto apo´s a
partida da segunda pessoa?
18. Joga-se uma pedra em um lago, produzindo ondas circulares cujos raios aumentam a uma raza˜o
constante de 0, 5m/s. A que taxa esta´ aumentando a circunfereˆncia da uma onda quando o raio
e´ de 4m?
19. Uma escada de 6m de comprimento esta´ apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada
comec¸a a deslizar horizontalmente, a` raza˜o de 0,6m/s, com que velocidade o topo da escada
percorre a parede, quando esta´ a 4m do solo?
20. Dois carros esta˜o se encaminhando em direc¸a˜o a um cruzamento, um seguindo a direc¸a˜o leste a
uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direc¸a˜o sul, a 60km/h. Qual a taxa segundo
a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro esta´ a 0,2km do
cruzamento e o segundo a 0,15km?
21. Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16m de altura e uma base com 4m de raio.
A a´gua “flui”no tanque a uma taxa de 2m3/min. Com que velocidade o n´ıvel da a´gua estara´ se
elevando quando sua profundidade for de 5m?
22. Um inceˆndio em um campo aberto se alastra em forma de c´ırculo. O raio do c´ırculo aumenta a`
raza˜o de 1m/min. Determine a taxa a` qual a a´rea incendiada esta´ aumentando quando o raio e´
de 20m.
4
23. Uma certa quantidade de areia e´ despejada a uma taxa de 10m3/min, formando um monte coˆnico.
Se a altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estara´ crescendo
quando o monte tiver 8m de altura?
24. Um radar da pol´ıcia rodovia´ria esta´ colocado atra´s de uma a´rvore que fica a 12m de uma rodovia
que segue em linha reta por um longo trecho. A 16m do ponto da rodovia mais pro´ximo do radar
da pol´ıcia, esta´ um telefone de emergeˆncia. Em um determinado instante o policial, que esta´
fiscalizando a rodovia, mira o canha˜o do radar no telefone de emergeˆncia e verifica que naquele
instante um automo´vel passa pelo telefone. O radar indica que a distaˆncia entre o policial e o carro
esta´ aumentando a uma taxa de 40 km/h. Utilizando taxas relacionadas determine a velocidade
do automo´vel neste instante. Se o limite de velocidade neste trecho da rodovia e´ de 80 km/h, o
policial deve ou na˜o multar o motorista?