Lista de Derivadas 1(UFOP)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Segunda lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral A - MTM 700
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Encontre, usando a definic¸a˜o, as derivadas das func¸o˜es abaixo no ponto x0 dado:
a) f(x) = 3
√
x+ 8, x0 = 0 b) f(x) =
√
4 + 3x, x0 = 7 c) f(x) = tgx, x0 = 0
d) f(x) = (x+ 1)3, x0 = 0 e) f(x) = sen (x− a), x0 = a f) g(x) = sen 2x, x0 = 0
g) f(x) = 5
√
x, x0 = 1 h) f(x) = cosx, x0 = 0 i) f(x) =
√
x+ 2, x0 = 0.
j) f(x) = 3
√
x, x0 = 1 k) f(x) =
√
x2 + 8, x0 = −1 l) f(x) = tg5x, x0 = 0
2. Encontre, usando a definic¸a˜o, as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) = 3 b) f(x) = x2 c) h(t) =
√
t− 1 d) g(s) = 1
s2
3. Considere a func¸a˜o f(x) =
5x
1 + x2
.
a) Determine, por definic¸a˜o, f ′(2) e use o resultado para encontrar a equac¸a˜o da reta tangente e
a reta normal a` curva y = f(x) no ponto (2, 2).
b) Usando a definic¸a˜o de derivada, encontre f ′(x).
c) Determine os pontos do gra´fico de f em que a reta tangente e´ uma reta horizontal.
4. Determine o coeficiente angular da reta tangente ao gra´fico de f no ponto indicado. Em seguida,
determine uma equac¸a˜o da reta tangente e da reta normal ao gra´fico de f nos mesmos pontos.
a) f(x) = 2x+ 4, P = (1, 6) b) f(x) = x3 + 3, P = (−2,−5)
c) f(x) =
1
x+ 1
, P = (0, 1) d) f(x) =
√
2x− 2, P = (9, 4).
5. Encontre as derivadas laterais em x0, se existirem, e determine se f e´ deriva´vel em x0.
a) f(x) = |x|, x0 = 0. b) f(x) = 3
√
x, x0 = 0.
c) f(x) = |x+ 5|, x0 = −2 d) f(x) = 6− 2x, x0 = 3.
e) f(x) =
{
x+ 2 se x ≤ −4
−x− 6 se x > −4 , x0 = −4. f) f(x) =

x3 − 1
x− 1 se x > 1
b2 − 6 se x ≤ 1
, x0 = 1
6. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
a) y(x) = 2x b) f(x) = −7x+ 2 c) h(t) = 1− 2t− t2
d) s(x) = x4 − 3x2 + 5 e) y(t) = 4t 23 f) g(x) = 5 4√x− x5
g) f(x) =
√
x(
√
x+ 2) h) h(p) =
p3
3
+
3
p3
i) g(t) = (2t4 − 1)(5t3 + 6t).
j) f(x) = (x+ 2)2 k) f(x) =
√
x(x2 + 1) l) y =
1
s− 2
m) h(t) = 2t
√
t+ 6t n) f(x) =
2
ex − e−x o) f(x) = e
ln(x+1)2 .
2
7. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo aplicando as regras de derivac¸a˜o:
a) f(x) = x2 − cos x b) f(x) = tgx− x c) f(x) = 5x sec x d) f(x) = sen2 x+ cos2 x
8. Encontre as derivadas das func¸o˜es abaixo, dizendo quais regras de derivac¸a˜o voceˆ utilizou.
a) f(x) =
4x− 5
3x+ 2
b) f(x) = tg3x− sec3 x c) f(x) = 7
x2 + 5
d) f(x) =
tgx
1 + x2
e) f(x) =
3x2 − 5x+ 8
7
f) f(x) =
1
senxtgx
g) f(x) = x3senx
9. Sejam as para´bolas y = x2 + ax+ b e y = −x2 + cx, a, b, c ∈ R. Determine os valores de a, b e c
de modo que as para´bolas tenham uma mesma reta tangente no ponto (1, 0).
10. Encontre, caso exista(m), o(s) intervalo(s) onde f ′(x) > 0, f ′(x) < 0 e o(s) ponto(s), caso ex-
ista(m), onde f ′(x) = 0, sendo f a func¸a˜o dada por:
a) f(x) =
x2 + 1
x
b) f(x) =
2x
x2 + 1
c) f(x) = x+
9
x
d) f(x) =
x3 − x+ 1
x2
e) f(x) =
x
x2 + 1
f) f(x) =
4− x2
x+ 3
g) f(x) =
x3
3− x2 h) f(x) = x
2 − 1
x
i) f(x) = 2x− 3
j) f(x) = tgx− 2 sec x, x ∈ (−pi/4, pi/4) k) f(x) = x
2
− senx, x ∈ (0, 2pi) l) f(x) = √x
m) f(x) = cos x+ senx, x ∈ (0, 2pi) n) f(x) = x
2
x2 + 4
.
11. Determine o valor das constante a e b de modo que a func¸a˜o f(x) =
{
x3 + ax, se x ≤ 1,
bx2, se x > 1
seja
deriva´vel em todo nu´mero real.
12. Considere a func¸a˜o f dada por f(x) =
{
−x2 + x+ 2, se x ≤ 3,
3x− 13, se x > 3 .
a) Verifique se f e´ cont´ınua em x = 3.
b) Verifique se existe f ′(3).
c) Esboce o gra´fico de f.
13. Considere a func¸a˜o definida por: f(x) =
{
x2 − 1, se x < 1,√
x− 1, se x ≥ 1 .
a) A func¸a˜o e´ cont´ınua em x = 1?
b) A func¸a˜o e´ deriva´vel em x = 1?
c) Determine, se poss´ıvel, a equac¸a˜o das retas tangente e normal a` curva y = f(x) em (3, f(3)).
d) Encontre a expressa˜o de f ′(x).
14. Seja f(x) =
 x2 − 1 se x ≥ 1(a− 2)(x− 1) se x < 1.
a) Encontre o valor de a para que f seja deriva´vel em x = 1.
b) Para o valor de a encontrado no item (a) encontre f ′(x).