Lista de Limites

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS E BIOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
Primeira lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral A - MTM 700
Professor: Vin´ıcius V. P. de Almeida
1. Dada a func¸a˜o f(x) =
2x+ 2
x2 − 3x− 4, determine: limx→−1+ f(x) e limx→−1− f(x). Existe limx→−1 f(x)?
Justifique.
2. Existe lim
x→0
|x|
x
? Por queˆ?
3. Sendo 1− x
2
4
≤ u(x) ≤ 1 + x
2
2
para qualquer x 6= 0, determine lim
x→0
u(x).
4. Calcule lim
x→0
x3sen
(
2
x
)
. Podemos utilizar a propriedade que lim
x→a
f(x)g(x) = lim
x→a
f(x) lim
x→a
g(x).
Por queˆ?
5. Sejam f e g duas func¸o˜es com mesmo domı´nio D tais que lim
x→a
f(x) = 0 e |g(x)| ≤M para todo x
em D, onde M > 0 e´ um nu´mero real fixo. Prove que lim
x→a
f(x)g(x) = 0.
6. Calcule os seguintes limites:
a) lim
x→−1
√
x2 + 8− 3
x+ 1
b) lim
x→−5
x2 + 3x− 10
x+ 5
c) lim
x→−2
−2x− 4
x3 + 2x2
d) lim
x→3
ln|x− 4| e) lim
x→1
x3 − 6x2 + 11x− 6
x2 − 1 f) limx→0−
1
x2
g) lim
x→0
cos(x)− 1
x
h) lim
x→0
sen(2x)
5x
i) lim
x→−√2
x2 − 2
x+
√
2
j) lim
x→4
3−√5 + x
1−√5− x k) limx→0
√
x+ 2−√2
x
l) lim
x→1
3
√
x− 1
x− 1
m) lim
y→5
y − 5
y2 − 25 n) limt→1
t4 − 1
t3 − 1 o) limx→0,5−
√
x+ 2
x+ 1
p) lim
x→−2+
{(
x
x+ 1
)(
2x+ 5
x2 + x
)}
q) lim
x→−2−
(x− 3) |x+ 2|
x+ 2
r) lim
x→1−
√
2x(x− 1)
|x− 1|
s) lim
x→1
x− 1√
x+ 3− 2 t) limx→−3x
√
x2 u) lim
x→0
√
x+ 1− 1
x
v) lim
x→−∞
2x+ 5√
2x2 − 5 w) limx→7
√
x−√7√
x+ 7−√14 x) limx→−pi−
x+ pi√
(x+ pi)2
7. Encontre, caso exista, os seguintes limites:
a) lim
x→0
x+ sen 3x√
4x2 − 5x6 + 3x8 b) limx→2
√
x2 − 3−√x− 1
x− 2 c) limx→+∞(x−
√
x2 + 1)
2
d) lim
x→−3−
x+ 3√
(x+ 3)2
e) lim
x→0
cos 5x− 1
1− cos 4x f) limh→0
tg (x+ h)− tgx
h
g) lim
x→0
4
√
x4 + 1−√x2 + 1
x2
h) lim
x→7
5−√4 + 3x
x− 7 i) limx→−2
x3 + 3x2 + 2x
2x2 − 2x− 12
j) lim
x→−∞
√
x2 + 4
x+ 2
k) lim
x→0
tg 5x
x
l) lim
x→0
3
√
x+ 8− 2
x
m) lim
x→0+
elnx
x
n) lim
x→+∞
(
√
x2 + 5x−
√
x2 + x) o) lim
x→0
x2 cos(1/x)
p) lim
x→a
√
x−√a√
x2 − a2 , a > 0 q) limx→2
cos(5x− 10)− 1
1− cos(4x− 8) r) limx→0
cos 5x− cos 3x
sen 4x
s) lim
x→0
x− senx
x+ sen x
t) lim
x→pi/4
√
1− 2 sen x cos x
cosx− senx u) limx→+∞(arctgx− arctgpi/4)
v) lim
x→−∞
e−x
2
w) lim
x→+∞
(ln(lnx)− ln(ln 2)) x) lim
x→+∞
x2
2x− 1sen (1/x)
8. Determine se as func¸o˜es abaixo sa˜o cont´ınuas ou descont´ınuas no ponto dado. No caso de descon-
tinuidade, verifique qual dos ı´tens da definic¸a˜o de continuidade na˜o e´ satisfeito.
a) f(x) =
1
x− 3z x0 = 3 b) g(x) =
1
x+ 3
x0 = −3
c) h(x) =
{
−x+ 1 x ≤ 0
x2 x > 0
x0 = 0 d) h(x) =
{
−x2 + 4 x ≥ 2
x2 − 4 x < 2 x0 = 2
e)P (x) =

−x+ 2 x > 0
2 x = 0
x+ 2 x < 0
x0 = 0 f) f(x) =

1
x− 3 x 6= 3
0 x = 3
x0 = 3
g) f(x) =

x2 + x− 2
x− 1 x 6= 1
2 x = 1
x0 = 1 h) f(x) =

2x2 + 1 x < 1
1 x = 1
x+ 1 x > 1
x0 = 1
i) f(x) = sen (x− sen x) x0 = 0 j) f(x) = tg
(pi
4
cos(sen θ
1
3 )
)
θ0 = 0
9. Dada a func¸a˜o f definida por f(x) =

3x2 − 5x− 2
x− 2 se x < 2
3− ax− x2 se x ≥ 2,
determine a ∈ R para que
exista lim
x→2
f(x).
10. Determine, se poss´ıvel, o(s) valor(es) para a constante real A de modo que a func¸a˜o
f(x) =
{
4Ax− (Ax)2, se x ≥ −2
A
√
2− x− 2x, se x < −2
seja cont´ınua para todos os valores de x ∈ R.
11. Se f e´ a func¸a˜o dada por f(x) = ln(2 + senx), determine os valores de x ∈ R para os quais f e´
cont´ınua, justificando sua resposta.
3
12. Considere a func¸a˜o definida por: f(x) =

√
(x+ 2)2, se x < 0
x2, se 0 ≤ x < 2
1, se x ≥ 2.
a) Esboce o gra´fico da func¸a˜o f .
b) Calcule lim
x→0
f(x), lim
x→2
f(x), lim
x→+∞
f(x) e lim
x→−∞
f(x).
c) Determine o(s) ponto(s) em que a func¸a˜o f(x) definida acima e´ descont´ınua. Justifique.
13. Dada a func¸a˜o f(x) =

x3 + 2x2
x+ 2
, se x < −2
ax+ 2, se x ≥ −2
, pede-se:
a) O valor de a para que f seja cont´ınua.
b) O gra´fico de f, utilizando-se do valor de a calculado no item a).
14. Determine L para que a func¸a˜o dada seja cont´ınua no ponto dado.
a) f(x) =

x3 − 8
x− 2 se x 6= 2
L se x = 2
, x0 = 2 b) f(x) =

√
x−√5√
x+ 5−√10 se x 6= 5
L se x = 5
, x0 = 5
15. Usando o teorema do valor intermedia´rio, prove que, se f e´ cont´ınua, enta˜o qualquer intervalo que
f muda de sinal conte´m uma raiz de f .
16. Prove que a func¸a˜o f dada por f(x) = 3x7 − x− 1 tem (pelo menos) uma raiz em [0, 1].
17. Mostre que a equac¸a˜o 2x− 1− sen x = 0 tem exatamente uma raiz real.
18. Algum nu´mero real somado a um e´ igual a seu cubo?
19. Encontre um intervalo no qual a equac¸a˜o x3 + x2 − 2x = 1 tem uma soluc¸a˜o.
20. Seja f : [0, 2]→ [0, 2] uma func¸a˜o cont´ınua. Mostre que existe a ∈ [0, 2] tal que f(a) = a.
21. Se f(x) = x3 − 8x+ 10, mostre que ha´ pelo menos um valor de c para o qual f(c) e´ igual a:
a) pi b) −√3 c) 0
22. Ache as ass´ıntotas verticais e horizontais das func¸o˜es dadas abaixo, caso existam.
a) f(x) =
x2 + 1
x2
b) f(x) =
2 + x
1− x c) f(x) =
x2 − 2
x2 − x− 2
d) f(x) = − 8
x2 − 4 e) f(x) = cotg x f) f(x) = 2senx+
1
x
23. Encontre, se existirem, as ass´ıntotas verticais e horizontais do gra´fico das func¸o˜es:
a) f(x) =
4x+
√
x2 + 1√
x2 − 4x+ 4 b) f(x) =
x2 + x
x− 1 .
24. Encontre as ass´ıntotas horizontais das func¸o˜es f(x) =
x
x2 + 2x− 3 e f(x) =
√
x2 + 1
3x− 5 . Alguma
dessas func¸o˜es possui ass´ıntota vertical? Deˆ exemplo de uma func¸a˜o que possua duas ass´ıntotas
verticais e uma horizontal.