3TRU020 Cap. 02 Estática dos Pontos Materiais (Reduzido)

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Mecânica das Estruturas
Revisão: José Antonio Oliveira do Nascimento
Projeto Gráfico: Leandro Schmidt
Nilson Magagnin Filho 
 CONTEÚDO 
2.1. FORÇAS NO PLANO .................................................................................... 02
 2.1.1. Ponto Material, Força e Resultante de Duas Forças ......................... 02
 2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais .......................................................... 03
 2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes ....................................... 04
 2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes ............................... 05
 2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários .................. 06
 2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes ............................... 07
 2.1.7. Equilíbrio de um Ponto Material ......................................................... 08
 2.1.8. Primeira Lei de Movimento de Newton .............................................. 09
 2.1.9. Diagrama de Corpo Livre ................................................................... 09
 2.1.10. Exercícios Resolvidos ...................................................................... 10
2.2. FORÇAS NO ESPAÇO .................................................................................. 20
 2.2.1. Componentes Cartesianas de uma Força no Espaço ........................ 20
 2.2.2. Força Definida por seu Módulo e Dois Pontos de 
 sua Linha de Ação .............................................................................. 25
 2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço ....................................... 26
 2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço ....................................... 27
 2.2.5. Exercícios Resolvidos ........................................................................ 27
ESTUDO DIRIGIDO .............................................................................................. 47
EXERCÍCIOS PROPOSTOS ................................................................................ 48
FONTES ................................................................................................................ 67
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais
 2.1. FORÇAS NO PLANO 
 2.1.1. Ponto Material, Força Resultante de Duas Forças
 Chama-se Ponto Material a uma pequena porção da matéria que ocupa 
apenas um ponto no espaço. A utilização do conceito de ponto material não 
significa restringir o estudo a pequenos corpos, mas sim que o tamanho e a forma 
de tais corpos não afetam a solução dos problemas de modo significativo. 
 Como já se sabe, Força representa a ação de um corpo sobre outro. Ela é 
caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, sua direção e sentido. 
 Uma ou mais forças atuando em um ponto material faz concluir que todas 
elas estão aplicadas em um só ponto no espaço, ou seja, possuem o mesmo ponto 
de aplicação. 
 Quando se tem duas forças, F1 e F2, atuando em um mesmo ponto material, 
constata-se experimentalmente que elas podem ser substituídas por uma única 
força R que tenha o mesmo efeito sobre esse ponto. Essa força R é chamada 
resultante e pode ser obtida utilizando-se de um paralelogramo cujos lados são as 
forças F1 e F2, como mostrado na figura abaixo. 
 A diagonal do paralelogramo é a resultante das duas forças, que podem ser 
obtidas como se segue: 
F2
B
Força F2 atuando no 
Ponto Material B.
?A ?
F1
Força F1 atuando no 
Ponto Material A.
F2
F1
A
R
?
?
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 02
1cos ? = x / F 
?1x = F cos ?
1sen ? = y / F 
?1y = F sen ?
? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
?
2 2 2
2
2 2 2 2 2
1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 2 1 1
2 2 2 2 2
1 2 2 1
2 2 2
1 2 1
R = y + (F + x)
R = F cos ? + F + 2 F x + y
R = F sen ? + F + 2 F F cos ? + F cos ?
R = F (sen ? + cos ?) + F + 2 F F cos ?
R = F + F + 2 F ? ?2 F cos ?
como ? e ? são suplementares, cos ? = - cos ? , daí, 
? ? ?2 2 21 2 1 2R = F + F - 2 F F cos ?
 2.1.2. Vetores e Operações Vetoriais
Vetores são entidades matemáticas que possuem intensidade, direção e 
sentido e que se somam de acordo com a lei do paralelogramo. 
 Forças são grandezas vetoriais pois seguem, também, a definição acima. 
Também o são os deslocamentos, as velocidades, as acelerações e os momentos. 
Todas essas grandezas podem ser representadas matematicamente por vetores. 
 A adição de vetores, como já se sabe, é realizada segundo a lei do 
paralelogramo. A diagonal do paralelogramo, formado pelas forças e suas 
paralelas, é o vetor soma, como na figura abaixo. 
 Observando-se o paralelogramo acima pode-se deduzir a chamada “regra 
do triângulo” que significa se utilizar de uma das paralelas para a determinação da 
soma, como abaixo. 
F2
F1 R
?
?
?
y
x
A
1F
?
2F
?
1 2F + F
? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 03
ou
 A subtração de vetores se dá pela soma do correspondente vetor oposto, 
que é o mesmo vetor com sentido oposto. 
 A multiplicação de um escalar por um vetor é definida como o produto de um 
número n pelo vetor qualquer F
?
 e representada por ?n F
?
. Se n é positivo, o vetor 
resultante mantém o mesmo sentido e a intensidade se multiplica por n. Se n é 
negativo, o vetor resultante tem seu sentido invertido e a sua intensidade também 
multiplicada por n, como na figura. 
Observação:
- a adição de três ou mais vetores é obtida pela construção de um polígono de 
forças eqüipolentes, como já visto em capítulo anterior. 
 2.1.3. Resultante de Várias Forças Concorrentes
 Considere-se um ponto material A sob a ação de diversas forças coplanares, 
isto é, contidas no mesmo plano. Elas são concorrentes por atuarem todas no 
mesmo ponto. 
A
1F
?
2F
?
1 2F + F
? ?
A
1F
?
2F
?
1 2F + F
? ?
1 2F - F
? ?
2F
?
1F
?
2F
?
1F
?
F
?
1,5 F
?
- 1,5 F
?
0,5 F
?
- 0,5 F
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 04
 Para a adição desse sistema de forças vale a regra do polígono em que se 
constrói o polígono de forças eqüipolentes, como abaixo. 
 Ligando-se os pontos inicial e final do polígono obtém-se o vetor soma, que 
é a própria resultante do sistema de forças, R
?
.
 A resultante R
?
 é a força única capaz de produzir o mesmo efeito sobre o 
ponto material A que as forças concorrentes originais dadas, 1F
?
, 2F
?
 e 3F
?
.
 2.1.4. Decomposição de uma Força em Componentes
 Uma força F
?
 que atua sobre um ponto material pode ser substituída por 
duas ou mais forças que tenham o mesmo efeito sobre o ponto. Tais forças são 
chamadas de componentes de F
?
 e o processo de substituição de F
?
 é chamado de 
decomposição de F
?
 em componentes. 
 Para cada força F
?
 existe um número infinito de conjuntos possíveis de 
componentes, mas as decomposições mais importantes são aquelas que 
conduzem a duas componentes. Existem dois casos importantes: 
 1º Caso: Uma das componentes da força é conhecida 
- a segunda componente é obtida pela regra do triângulo. 
1F
?
2F
?
3F
?
A
1F
?
3F
?
2F
?
A R
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 05
F
?
 e 1F
?
 ou 2F
?
 são conhecidos 
 2º Caso: A linha de ação de cada componente é conhecida 
- as componentes são obtidas pela lei do paralelogramo. 
 2.1.5. Componentes Cartesianas da Força e Vetores Unitários 
 Em muitos casos é desejável decompor a força em duas componentes 
normais uma à outra. O paralelogramo resultante nestes casos é um retângulo e as 
componentes são denominadascomponentes cartesianas. As figuras abaixo 
ilustram decomposições segundo os eixos x e y. 
 As componentes escalares de F
?
, que são a intensidade de F
?
 segundo as 
direções x e y são dadas por: 
A
1F
?
2F
?
F
?
1F
?
2F
?
F
?
A
Linha de Ação de 2F
?
Linha de Ação de 1F
?
F
?
O
y
x
yF
?
xF
?
?
F
?
O
y
x
yF
?
xF
?
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 06
?xF = F cos ? ?yF = F sen ?
 As componentes cartesianas de uma força F
?
 podem ser expressas em 
função de vetores unitários segundo as direções de suas componentes. Para tal 
definem-se os vetores unitários 
?
i e 
?
j , respectivamente nas direções x e y. As 
componentes cartesianas xF
?
 e yF
?
 podem, então, ser obtidas pelo produto das 
componentes escalares Fx e Fy pelos vetores de intensidade unitária i e j, como 
indicados a seguir. 
?x xF = F i
? ?
?y yF = F j
? ?
? ?x yF = F i + F j
? ? ?
 2.1.6. Adição de Forças pela Soma das Componentes 
 Quando se adicionam três ou mais forças não se pode obter uma solução 
trigonométrica da regra do polígono, como no caso de duas forças. A solução 
analítica recomendada é obtida pela decomposição de cada uma das forças em 
suas componentes cartesianas e a soma das respectivas componentes em cada 
direção, como na figura mostrada abaixo. 
y
xO
j
?
i
?
Vetores de Intensidade 
Unitária 
y
xO
j
?
i
?
F
?
yF
?
xF
?
?
y
x
1F
?
2F
?
3F
?
xR
?
R
?
yR
?
1 yF
?
1 xF
?
3 yF
?
3 xF
?
2 yF
?
2 xF
?
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Estática dos Pontos Materiais 07
x 1 x 2 x 3 xR = F + F + F y 1 y 2 y 3 yR = F + F + F
?
n
x i x
i = 1
R = F ?
n
y i y
i = 1
R = F 
Rx e Ry são as componentes escalares de R
?
, são obtidas pela adição algébrica 
das componentes escalares das forças dadas. 
 Vetorialmente a resultante R
?
 é definida pela relação: 
1 2 3R = F + F + F
? ? ? ?
que, expressa em componentes cartesianas adquiri a forma: 
x y 1 x 2 x 3 x 1 y 2 y 3 yR i + R j = (F + F + F ) i + (F + F + F ) j
? ? ? ?
de onde se obtêm as relações á indicadas acima: 
x 1 x 2 x 3 xR = F + F + F y 1 y 2 y 3 yR = F + F + F 
 2.1.7. Equilíbrio de um Ponto Material 
 O equilíbrio de um ponto material se dará quando o efeito global das forças 
que atuam sobre ele for nulo. Sabendo que o efeito de um sistema de forças pode 
ser substituído pelo da sua resultante pode-se afirmar, então, que: “quando a 
resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto 
está em equilíbrio”. 
 Para exprimir algebricamente as condições necessárias para o equilíbrio de 
um ponto material pode-se escrever: 
?R = F = 0
? ?
 Utilizando-se das componentes cartesianas tem-se: 
? x y(F i + F j) = 0
? ?
ou ? ? ? ?? ?x yF i + F j = 0
? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 08
 Logo, as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a forças no 
plano xy podem ser expressas por: 
?
n
x i x
i = 1
R = F = 0 ?
n
y i y
i = 1
R = F = 0 
 Uma série de problemas de engenharia pode ser resolvida utilizando-se do 
conceito de ponto material e de suas condições de equilíbrio. Isto se faz 
escolhendo-se um ponto material conveniente. Uma das aplicações práticas se dá 
no cálculo dos esforços em treliças.
 2.1.8. Primeira Lei do Movimento de Newton 
 A primeira lei de Newton é enunciada como abaixo. 
 “Se a força resultante que atua sobre um ponto material tem intensidade 
igual a zero, esse ponto permanece em repouso, se assim o estava originalmente 
ou se move ao longo de uma reta com velocidade constante, se assim o fazia 
originalmente.”
 Dessa lei e da definição das condições de equilíbrio de um ponto material 
conclui-se que o ponto material em equilíbrio está em repouso ou em movimento 
retilíneo e uniforme. 
 2.1.9. Diagrama de Corpo Livre 
 Diagrama de corpo livre é uma figura que esquematiza, em separado da 
situação física real, todas as forças que atuam no ponto material, de tal forma a 
propiciar melhor a compreensão e visualização do problema em questão. 
Diagrama Espacial Diagrama do Corpo Livre Triângulo de Forças 
C
B
A50º 30º 
ABT
ACT
A
30º50º
736 N
ABT
ACT
736 N
40º
60º
80º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 09
 2.1.10. Exercícios Resolvidos 
01. As forças P
?
 e Q
?
 abaixo agem sobre o parafuso como indicado. Determinar sua 
resultante.
Graficamente pode-se construir o paralelogramo de lados iguais a P
?
 e Q
?
, em 
escala, e se determinar a resultante. Também pode-se usar a regra do triângulo. 
R = 98 N 
? = 35º 
Paralelogramo Triângulo 
Trigonometricamente sabe-se que, da regra do triângulo, resulta: 
? ? ?2 2 2R = P + Q - 2 P Q cos ?
com ? = 155°
? ? ?2 2 2R = 40 + 60 - 2 40 60 cos 155°
R = 97,73 N
Também pode-se aplicar a Lei dos Senos como se segue: 
sen ? sen ? = 
Q R
 ? = ? - 20°
20º
25º
A
Q = 60N
?
P = 40N
?
P
?
R
?
Q
?
A
?
R
?
Q = 60N
?
A
C
B
P = 40N
?
?
25º
? = 155º
? = 20º
R
?
Q
?
A
?
P
?
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Estática dos Pontos Materiais 10
?? ?sen ? sen 155° 60 sen 155° = sen ? = ? = 15°
60 97,73 97,73
logo, ?? = ? + 20° ? = 35°
Trigonometricamente pode-se, também, construir o triângulo retângulo BCD como 
abaixo.
daí, ? ? ?CDsen 25° = CD = 60 sen 25° CD = 25,36 N
Q
? ? ?BDcos 25° = BD = 60 cos 25° BD = 54,38 N
Q
?25,36tg ? = ? = 15°
94,38
? ?25,36 25,36sen ? = R = R = 97,7N
R sen 15°
? ?? = ? + 20° ? = 15° + 20° ? = 35°
02. Uma barcaça é puxada por dois rebocadores como indica a figura abaixo. Se a 
resultante das forças exercidas pelos rebocadores é 5000 N e tem a direção do 
eixo da barcaça, determine: 
 (a) a força de tração em cada cabo de rebocador, sabendo que ? = 45° ;
(b) o valor de ? para que a tração no cabo 2 seja mínima. 
Q = 60N
?
R
B
C
A
D
25,36
54,38
40 94,38
20º
25º
? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 11
 (a) Graficamente pode-se usar a lei do paralelogramo com a resultante igual a 
5000 N. Assim, 
T1 = 3700 N 
T2 = 2600 N 
Trigonometricamente pode-se usar a lei dos senos: 
1 2T T R = = 
sen 45° sen 30° sen 105°
? ? ? ?1 1 1
sen 45° sen 45°T = R T = 5000 T = 3660 N
sen 105° sen 105°
? ? ? ?2 2 2
sen 30° sen 30°T = R T = 5000 T = 2588 N
sen 105° sen 105°
 (b) Valor de ? para T2 mínimo. Utilizando a regra do triângulo, como demonstra a 
figura abaixo com as possíveis posições de T2, é fácil perceber que o valor de T2
mínimo ocorre para T1 e T2 ortogonais. 
B
A
C
5000N
? = 45º
T1
T2
30º ?
A
C
B
1
2
?
30º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 12
? ? ?2 2 2
Tsen 30° = T = 5000 sen 30° T = 2500 N
5000
? ? ?1 1 1
Tcos 30° = T = 5000 cos 30° T = 4330 N
5000
?? + 30° + 90° = 180° ? = 60°
03. Um homem puxa, com força de 300 N, uma corda fixada a uma construção, 
como mostra a figura. Quais são as componentes horizontal e vertical da força 
exercida pela corda no ponto A? 
No ponto A tem-se o esquema abaixo. Assim, 
? ?xF = F cos ? = 300 cos ?
? ?yF = - F sen ? = - 300 sen ?
x
y
?
?
A
xF
yF
F = 300N
8m
6 m
A
B
?
B
?
5000 N
T1
30º
Mecânicadas Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 13
Da geometria vem: ?
2 2 2AB = 8 + 6 AB = 10 m 
6sen ? = = 0,6
10
8cos ? = = 0,8
10
Daí, ? ?x xF = 300 0,8 F = 240 N
? ?y yF = -300 0,6 F = - 180 N 
Pode-se escrever, então, 
? ? ?
F = 240 i - 180 j .
04. A força F = (3,5 kN) i + (7,5 kN) j
? ? ?
 é aplicada a um parafuso no ponto A. 
Determine a intensidade da força resultante e o ângulo que ela forma com a 
horizontal. 
 Sendo a força 
?
F genericamente indicada como na figura abaixo 
pode-se calcular ? por y
x
F
tg ? = 
F
. Daí, sendo xF = 3,5 kN e yF = 7,5 kN tem-se: 
? ?? ?? ?? ?
7,5 7,5tg ? = ? = arc tg ? = 65°
3,5 3,5
A força resultante pode ser calculada como 2 2 2x yF = F + F .
?2 2 2F = 3,5 + 7,5 F = 8,28 kN 
?
y
xi
?
j
?
F
?y yF = F j
x xF = F i
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Estática dos Pontos Materiais 14
05. Quatro forças atuam no parafuso A da figura. Determine a resultante dessas 
forças.
As componentes segundo x e y estão indicadas abaixo: 
 A resultante é dada por 
? ? ?
x yR = R i + R j , sendo ?x i xR = F e ?y i yR = F .
Calculando-se as componentes Rx e Ry tem-se: 
? ? ?
? ? ?
?x i x 1 x 2 x 3 x 4 x
x 1 2 4
x
x
R = F = F + F + F + F
R = F cos 30° - F sen 20° + 0 + F cos15°
R = 150 cos 30° - 80 sen 20° + 100 cos 15°
R = 199,13 N
? ? ?
? ? ?
?y i y 1 y 2 y 3 y 4 y
y 1 2 3 4
y
y
R = F = F + F + F + F
R = F sen 30° + F cos 20° - F - F sen 15°
R = 150 sen 30° + 80 cos 20° - 110 - 100 sen 15°
R = 14,29 N
?1(F cos 30 ) i
?
?2-(F sen 20 ) i
?
?4(F cos 15 ) i
?
3-F j
?
?1(F sen 30 )j
?
?2(F cos 20 )j
?
?4(F sen 15 )j
?
y
xA
1F = 150N2F = 80N
4F = 100N
3F = 110N
30º
15º
20º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 15
 Pode-se escrever, então, 
? ? ?
R = (199,13 N) i + (14,29 N) j , que já está 
representada abaixo. 
 A inclinação ? pode ser calculada por: 
? ?? ? ?? ?? ?
y
x
R 14,29 14,29tg ? = tg ? = ? = arc tg ? = 4,1°
R 199,13 199,13
06. Numa operação de descarga de navio, um automóvel de 17,5 kN é suportado 
por um cabo. Uma corda é amarrada ao cabo em A e puxada a fim de que o 
automóvel seja centralizado na posição desejada. O ângulo entre o cabo e a 
vertical é de 2º, enquanto o ângulo entre a corda e a horizontal é de 30º. Qual é a 
tração nessa corda? 
Tomando o ponto A como corpo livre e desenhando o respectivo diagrama de 
corpo livre tem-se: 
?
Ry
R = (14,3N)j
?
xR = (199,1 N) i
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 16
TAB? Tração em AB 
TAC? Tração em AC 
As três forças que agem sobre o ponto A estão em equilíbrio e podem compor o 
triângulo de forças como abaixo. 
Aplicando a lei dos senos tem-se: 
ACAB TT 17,5 = = 
sen 120° sen 2° sen 58°
logo, ?AB
sen 120°T = 17,5 
sen 58°
 e ?AC
sen 2°T = 17,5 
sen 58°
.
Daí, ABT = 17,87 kN e ACT = 0,72 kN .
07. Determinar a intensidade, a direção e o sentido da menor força 
?
F que manterá 
a caixa em equilíbrio. Observe que a força exercida pelos roletes sobre a caixa é 
perpendicular ao plano inclinado. 
30 kg 
15º
?
F
2º
58º
120º
17,5 kN TAB
TAC
30º
2º
A
TAC
TAB
17,50 kN
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 17
O diagrama de corpo livre do problema é o mostrado abaixo, com três forças 
atuando sobre a caixa. 
 A força peso vale ? ? 2P = m g = 30 Kgf 9,81 m/s = 294 N . 
 A linha 1-1 representa a direção conhecida de 
?
Q . Para obter o valor mínimo 
da força 
?
F sabe-se que sua direção é a perpendicular a 
?
Q . Do triângulo de forças 
obtém-se:
? ?Fsen 15° = F = 294 sen 15°
294
F = 76,1 N e ? = 15° 
08. Como parte do projeto de um navio veleiro deseja-se determinar a força de 
arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é 
colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal 
por meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetros indicam que, 
para uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200 N e de 300 N no 
cabo AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 
15º
?
F
294 N 
Q
1
1
?
F
P = (30 kg) · (9,81 m/s2)
= 294 N 
15º
Q
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 18
 As direções dos cabos AB e AC são dadas pelos ângulos ? e ? .
? ?2,1tg ? = = 1,75 ? = arc tg 1,75 ? = 60,26°
1,2
? ?0,45tg ? = = 0,375 ? = arc tg 0,375 ? = 20,56°
1,2
 O diagrama de corpo livre sendo A o ponto material será, sendo 
?
AF a força 
de arrasto. 
 Condição de Equilíbrio: ?
? ? ? ? ?
AB AC AE AR = 0 T + T + T + F = 0
 Decompondo as forças segundo as direções x e y obtém-se: 
? ?AB
AB
T = - (200 N) sen 60,26° i + (200 N) cos 60,26° j
T = - (173,7 N) i + (99,21 N) j
? ? ?
? ? ?
? ?
? ?
AC AC AC
AC AC AC
T = T sen 20,56° i + T cos 20,56° j
T = 0,35 T i + 0,94 T j
? ? ?
? ? ?
-(300 N)j
?
x
y
60,26º
20,56º
?-(200 N) sen 60,26º i
?
?(200 N) cos 60,26º j
?
?ACT cos 20,56º j
?
?ACT sen 20,56º i
?
AF i
?
TAC
TAB = 200 N ? = 60,26º ? = 20,56º
FA
TAE = 300 N
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 19
? ?
AET = - (300 N) j
? ?
A AF = F i
 Aplicando a condição de equilíbrio tem-se: 
? ?
? ?
AC AC A
AC A AC
(- 173,7) i + (99,21) j + (0,35 T ) i + (0,94 T ) j - (300) j + F i = 0
(- 173,7 + 0,35 T + F ) i + (99,21 + 0,94 T - 300) j = 0
? ? ? ? ? ?
? ?
que corresponde a: 
?? i x AC AF = 0 = - 173,3 + 0,35 T + F = 0
?? i y ACF = 0 = 99,21 + 0,94 T - 300 = 0
logo, ? ?AC AC0,94 T = 300 - 99,21 T = 213,61 N 
daí, ? ?A A- 173,7 + 0,35 213,61 + F = 0 F = 98,94 N 
 2.2. FORÇAS NO ESPAÇO 
 2.2.1. Componentes Cartesianas da Força no Espaço 
 Até aqui os conceitos introduzidos trataram somente de problemas 
envolvendo forças em duas dimensões. A partir daqui os conceitos envolverão 
forças nas três dimensões do espaço. 
TAE = 300 N
TAB = 200 N
TAC = 214,5 N 
FD = 98,37 N
? = 60,26º
? = 20,56º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 20
 Para tal, considere-se uma força F
?
 aplicada na origem “O” de um sistema de 
eixos cartesianos x, y e z, como abaixo. 
 O plano vertical OABC contém a força F
?
 e o eixo vertical y. Sua orientação é 
definida pelo ângulo ? que forma com o plano xy, enquanto que a orientação de F
?
se define pelo ângulo y? que F
?
 forma com o eixo y. 
 A força F
?
 pode ser decomposta, neste plano, em uma componente vertical 
yF
?
 e um horizontal hF
?
, como abaixo. 
Tais componentes são dadas por: 
?y yF = F cos ? ?h yF = F sen ?
 Mas a componente horizontal hF
?
 também pode ser decomposta, estando no 
plano xz, segundo estes dois eixos, como abaixo. 
y
?y
x
z
A
B
C
O
F
?
hF
?
yF
?
y
?y
x
z
?
A
B
C
O
F
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 21
 Tais componentes são dadas por: 
? ?? ?x h yF = F cos = F sen ? cos 
? ? ?? ?z h yF = F sen = F sen ? sen 
 Tem-se, assim, a força F
?
 decomposta em suas três componentes xF
?
, yF
?
 e 
zF
?
, orientadas segundo os três eixos coordenados. 
 Aplicando, agora, o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD das 
figuras acima, obtém-se: 
2 2 2
y hF = F + F
2 22
h x zF = F + F
o que conduz a: 
2 2 2 2
x y zF = F + F + F ou a 2 2 2x y zF = F + F + F
 A relação existente entre a força F
?
 e as três componentes xF
?
, yF
?
 e zF
?
 pode 
ser visualizada melhor nas figuras abaixo, onde os triângulos OAB, OAD e OAE 
são retângulos. 
y
x
z
D
B
C
O
E
?
xF
?
hF
?
yF
?
zF
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 22
 Da observação dos triângulos retângulos acima e denominando de x? , y? e 
z? os ângulos que F
?
 forma com x, y e z, respectivamente, tem-se: 
?x xF = F cos ? ?y yF = F cos ? ?z zF = F cos ?
 Os ângulos x? , y? e z? definem a direção da força F
?
. Os co-senos dos 
ângulos x? , y? e z? são conhecidos como os co-senos diretores da força F
?
.
 A expressão que relaciona a força F
?
 com suas componentes conduz a uma 
relação entre seus respectivos co-senos diretores. Assim, 
? ? ?
?
2 2 2 2
x y z
2 2 2 2 2 2 2
x y z
2 2 2 2 2
x y z
F = F + F + F
F = F cos ? + F cos ? + F cos ?
F = F (cos ? + cos ? + cos ? )
2 2 2
x y zcos ? + cos ? + cos ? = 1
 Introduzindo agora os vetores unitários 
?
i , 
?
j ,
?
k , orientados segundo os 
eixos x, y e z, como abaixo, pode-se exprimir F
?
 segundo tais vetores. 
x y z F = F i + F j + F k
? ? ? ?
x
y
z
j
?
i
?
k
?
yF
?
xF
?
zF
?
F
?
?x
D
B
CE
A
O x
z
y
yF
?
xF
?
zF
?
F
??y
D
B
CE
A
O x
z
y
yF
?
xF
?
zF
? F
?
?z D
B
CE
A
O x
z
y
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 23
sendo ?x xF = F cos ? , ?y yF = F cos ? e ?z zF = F cos ? .
 A expressão acima também pode ser escrita sob a forma 
? ? ?x y z F = F cos ? i + F cos ? j + F cos ? k
? ? ? ?
ou
? x y z F = F (cos ? i + cos ? j + cos ? k)
? ? ? ?
que mostra que a força F
?
 pode ser expressa pelo produto escalar F pelo vetor ?
?
dado por: 
x y z ? = cos ? i + cos ? j + cos ? k
? ? ? ?
sendo ?
?
 um vetor unitário de mesma direção e sentido que F
?
, como na figura 
abaixo. 
 Sendo x x? = cos ? , y y? = cos ? e z z? = cos ? , pode-se escrever ?
?
 como: 
x y z ? = ? i + ? j + ? k
? ? ? ?
e, obviamente 
2 2 2
x y z? + ? + ? = 1
y
x
z
yF j
?
xF i
?
zF k
?
?F = F ?
? ?
xcos ? i
?
?
?
 (Magnitude = 1)
zcos ? k
?
ycos ? j
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 24
 Quando se conhecerem Fx, Fy e Fz de uma força F
?
, o módulo da força é de 
fácil obtenção, como já foi visto. Os co-senos diretores podem ser encontrados por: 
x
x
Fcos ? = 
F
y
y
F
cos ? = 
F
z
z
Fcos ? = 
F
o que conduz à relação 
yx z
x y z
cos ?cos ? cos ? 1 = = = 
F F F F
 2.2.2. Força Definida Por Seu Módulo e Dois Pontos de Sua Linha de Ação 
 É usual, também, se definir a direção de uma força F
?
 pelas coordenadas de 
dois pontos pertencentes à sua linha de ação, por exemplo M(x1, y1, z1) e N(x2, y2,
z2), como na figura abaixo. 
 O vetor MN
????
 tem o mesmo sentido de F
?
 e pode ser representado, de acordo 
com a figura, por: 
x y z MN = d i + d j + d k
???? ? ? ?
 O vetor unitário ? pode ser obtido por: 
x
z
y
O
M (x1,y1,z1)
N (x2,y2,z2)
dy = y2 – y1
dx = x2 – x1
dz = z2 – z1 < 0 ?
?
F
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 25
? x y z 
MN 1? = = (d i + d j + d k)
MN d
???? ? ? ?
e F
?
 pode ser escrita como: ? ? x y z 
FF = F ? = (d i + d j + d k)
d
? ? ? ? ?
. Daí, as componentes 
de F
?
 podem ser escritas como: 
? xx
dF = F 
d
? yy
d
F = F 
d
? zz
dF = F 
d
 As componentes do vetor MN
????
 e a distância “d”, de M a N podem ser escritas 
como:
x 2 1d = x - x y 2 1d = y - y z 2 1d = z - z 
2 2 2
x y zd = d + d + d 
e os co-senos diretores serão, então, dados por: 
yx z
x y z
cos ?cos ? cos ? 1 = = = 
d d d d
 2.2.3. Adição de Forças Concorrentes no Espaço 
 A resultante R
?
 de duas ou mais forças concorrentes no espaço pode ser 
obtida, analogamente ao caso plano, como a soma de suas componentes 
cartesianas. Os métodos gráficos e trigonométricos não são práticos para forças 
espaciais.
 Assim, pode-se escrever a resultante como: 
?R = F
? ?
 ou ?x y z x y z R i + R j + R k = (F i + F j +F k)
? ? ? ? ? ?
de onde se depreende que: 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 26
?
n
x i x
i = 1
R = F ?
n
y i y
i = 1
R = F ?
n
z i z
i = 1
R = F 
sendo
2 2 2
x y zR = R + R + R
e os co-senos diretores 
x
x
Rcos ? = 
R
y
y
R
cos ? = 
R
z
z
Rcos ? = 
R
 2.2.4. Equilíbrio de um Ponto Material no Espaço 
 A condição de equilíbrio para um ponto material sujeito a forças espaciais é 
a mesma que no caso plano. Assim, 
?R = F = 0
? ?
ou
?
n
i x
i=1
F = 0 ?
n
i y
i=1
F = 0 ?
n
i z
i=1
F = 0 
 2.2.5. Exercícios Resolvidos 
01. O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de um parafuso 
em A. A tração no cabo é de 2500 N. Determinar: 
(a) as componentes Fx, Fy e Fz da força que atua sobre o parafuso; 
(b) os ângulos x? , y? e z? co-senos diretores da força. 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 27
(a) Componente da Força: a linha de ação da força que atua sobre o parafuso 
passa pelos pontos A e B e está orientada de A para B. As componentes do vetor 
AB
????
, que tem a mesma direção da força, são: 
?x B A xd = x - x = 0 - 40 d = - 40 m
?y B A yd = y - y = 80 - 0 d = + 80 m
?z B A zd = z - z = 0 + 30 d = + 30 m
a distância AB é: 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AB = d = d + d + d
AB = d = (- 40) + 80 + 30 d = 94,34 m
Em função dos vetores 
?
i ,
?
j ,
?
k unitários pode-se escrever: 
A
B
40 m
30 m
80 m 
j
?
i
?
k
?
x
y
z
F
?
?
?
A
B
40 m
30 m
80 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 28
AB = (- 40m) i + (80 m) j + (30 m) k
???? ? ? ?
O vetor ?
?
 é dado por AB? = 
AB
?????
 e a força F
?
 por: 
? ?AB 2500 NF = F ? = F = AB
AB 94,34 m
????? ? ????
o que leva a: 
? ?? ? ?
2500 NF = - (40 m) i + (80 m) j + (30 m ) k
94,34 m
F = - (1060 N) i + (2120 N) j + (795 N) k
? ? ? ?
? ? ? ?
cujas componentes são: 
xF = - 1060 N yF = 2120 N zF = 795 N
(b) Direção da Força: 
x
x
F - 1060cos ? = = = - 0,424
F 2500
y
y
F 2120cos ? = = = 0,848
F 2500
z
z
F 795cos ? = = = 0,318
F 2500
x? = 115,09° y? = 32,00° z? = 71,46° 
A
B
x
y
z
x?
z?
y?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 29
02. Uma placa de concreto pré-moldado é temporariamente suspensa pelos cabos 
da figura. Conhecendo as trações de 4200 N no cabo AB, e 6000 N no cabo AC, 
determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos cabos AB 
e AC na estaca em A. 
A força aplicada pelos cabos AB e AC será decomposta nas direções x, y e z com 
origem na parte inferior da placa, como indica a figura. 
Cabo AB: 
?x B A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m 
?y B A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m 
?z B A zd = z - z = 0 - (- 3,3) d = 3,3m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AB = d = d + d + d
AB = d = (- 4,8) + 2,4 + 3,3 AB = 6,3 m
j
?
k
?
y
z
x
2,40 m 
4,80m
4,80 m 
i
?
3,30 m
B
C
A
AB?
?
AC?
?
AB ABT = (4200 N) ?
? ?
AC ACT = (16000 N) ?
? ?
8,10 m
3,30 m
4,80 m
2,40 m
A
B
C
D
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 30
Cabo AC: 
?x C A xd = x - x = 0 - 4,8 d = - 4,8 m 
?y C A yd = y - y = 2,4 - 0 d = 2,4 m 
?z C A zd = z - z = - 8,1 - (- 3,3) d = - 4,8 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AC = d = d + d + d
AC = d = (- 4,8) + 2,4 + (- 4,8) AC = 7,2 m
Logo,
AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k
???? ? ? ?
AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k
???? ? ? ?
Tração no Cabo AB: ? ?AB AB AB AB
ABT = T ? = T 
AB
????? ?
? ?? ? ? ?AB
AB
4200 N 4200 NT = AB = - (4,8 m) i + (2,4 m) j + (3,3 m) k
6,3 m 6,3m
T = - (3200 N) i + (1600 N) j + (2200 N) k
? ???? ? ? ?
? ? ? ?
Tração no Cabo AC: ? ?AC AC AC AC
ACT = T ? = T 
AC
????? ?
? ?? ? ? ?AC
AC
6000 N 6000 NT = AC = - (4,8 m) i + (2,4 m) j - (4,8 m) k
7,2 m 7,2 m
T = - (4000 N) i + (2000 N) j - (4000 N) k
? ???? ? ? ?
? ? ? ?
Resultante: 
AB ACR = T + T
R = (- 3200 - 4000) i + (1600 + 2000) j + (2200 - 4000) k
R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 31
2 2 2
x y z
2 2 2
R = R + R + R
R = (- 7200) + (3600) + (- 1800)
R = 8248,64 N
R = - (7200 N) i + (3600 N) j - (1800 N) k
? ? ? ?
R = 8248,64 N 
Co-senos Diretores: 
? ?? ?? ?? ?
x
x x x
R - 7200 N - 7200 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 150,8°
R 8248,64 N 8248,64 N
? ?? ?? ?? ?
y
y y y
R 3600 N 3600 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 64,1°
R 8248,64 N 8248,64 N
? ?? ?? ?? ?
z
z z z
R - 1800 N - 1800 Ncos ? = = ? = arc cos ? = 102,6°
R 8248,64 N 8248,64 N
x? = 150,8° y? = 64,1° z? = 102,6° 
03. Um cilindro de 200 kg é pendurado por meio de dois cabos, AB e AC, 
amarrados ao topo de uma parede vertical, como mostra a figura. Uma força H
?
horizontal e perpendicular à parede, mantém o peso na posição ilustrada. 
Determinar a intensidade de H
?
 e a tração em cada cabo. 
12 m
10 m
8 m
B
A
C
1,2 m
2 m
200 kg
H
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 32
Diagrama de Corpo Livre: o ponto material A está sujeito a quatro forças, das quais 
três são desconhecidas. 
? ? ?2P = m g = 200 kg 9,81 m/s P =1962 N 
Cabo AB: 
?x B A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m 
?y B A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m
?z B A zd = z - z = 8 - 0 d = 8 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AB = d = d + d + d
AB = d = (- 1,2) + 10 + 8 AB = 12,86 m
AB = - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k
???? ? ? ?
 Cabo AC: 
?x C A xd = x - x = 0 - 1,2 d = - 1,2 m 
?y C A yd = y - y = 12 - 2 d = 10 m 
?z B A zd = z - z = - 10 - 0 d = - 10 m 
j
?
k
?
i
?
B
H
?
12 m
10 m
8 m
C
1,2 m
2 m
y
z
x
P
?
AB?
?
AC?
?
ACT
?
ABT
?
O
A
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 33
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AC = d = d + d + d
AC = d = (- 1,2) + 10 + (- 10) AC = 14,19 m
AC = - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k
???? ? ? ?
Tração no Cabo AB: 
AB
AB
AB - (1,2 m) i + (10 m) j + (8 m) k? = = 
AB 12,86 m
? = - 0,0933 i + 0,778 j + 0,622 k
???? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?AB AB AB AB AB AB T = T ? = - 0,0933 T i + 0,778 T j + 0,622 T k
? ? ? ? ?
Tração no Cabo AC: 
AC
AC
AC - (1,2 m) i + (10 m) j - (10 m) k? = = 
AC 14,19 m
? = - 0,0846 i + 0,705 j - 0,705 k
???? ? ? ??
? ? ? ?
? ? ? ?AC AC AC AC AC AC T = T ? = - 0,0846 T i + 0,705 T j - 0,705 T k
? ? ? ? ?
Forças H e P: 
?H = H i
? ?
P = - (1962 N) j
? ?
Equilíbrio do Ponto Material A: 
R = 0
?
 ou AC ABT + T + P + H = 0
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
AC AB AC AB
AC AB
(- 0,0846 T - 0,0933 T + H) i + (0,705 T + 0,778 T - 1962) j +
+ (- 0,705 T + 0,622 T ) k = 0
? ?
?
ou:
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 34
? ? ?? i x AB ACF = 0 H - 0,0933 T - 0,0846 T = 0
? ? ?? i y AB ACF = 0 0,778 T + 0,705 T = 1962
? ? ?? i z AB ACF = 0 0,622 T - 0,705 T = 0
substituição:
? ?AC AB0,705 T = 0,622 T 
logo,
? ? ? ? ?AB AB AB AB0,778 T + 0,622 T = 1962 1,4 T = 1962 T = 1401,43 N
daí,
? ? ?AC0,705 T = 0,622 1401,43 T = 1236,44 N 
e
? ? ?H - 0,0933 1401,43 - 0,0846 1236,44 = 0 H = 235,36 N 
H = 235,36 N ABT = 1401,43 N ACT = 1236,44 N
04. Vários cabos de sustentação estão atados ao topo da torre abaixo no ponto A. 
A tração em Ab é de 26 kN e a atuante em AC é de 17,5 kN. Determinar a 
resultante das duas forças exercidas por esses cabos em A. 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 35
Diagrama de Corpo Livre: 
Cabo AB: 
x B Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m 
y B Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m 
z B Ad = z - z = 6 - 0 = 6 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AB = d + d + d
AB = 8 + (- 24) +6 AB = 26 m
AB = (8 m) i - (24 m) j + (6 m) k
???? ? ? ?
A
TAB
TAC
y
18 m 
x
z
8 m
6 m
12 m 
8 m
24 m 
A
B
D
C
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 36
Cabo AC: 
x C Ad = x - x = 8 - 0 = 8 m 
y C Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m 
z C Ad = z - z = - 12 - 0 = - 12 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AC = d + d + d
AC = 8 + (- 24) + (- 12) AC = 28 m
AB = (8 m) i - (24 m) j - (12 m) k
???? ? ? ?
Tração em AB: 
?AB ABT = T ?
? ? AB? = 
AB
?????
?AB AB
ABT = T 
AB
?????
? ?? ?AB
AB
26 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k
26 m
T = (8 kN) i + (- 24 kN) j + (6 kN) k
? ? ? ?
? ? ? ?
Tração em AC: 
?AC ACT = T ?
? ? AC? = 
AC
?????
?AC AC
ACT = T 
AC
?????
? ?? ?AC
AC
17,5 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k
28 m
T = (5 kN) i + (- 15 kN) j + (- 7,5 kN) k
? ? ? ?
? ? ? ?
 Resultante: 
?R = F
? ?
? ? ?x y z i x i y i z
x y z 
x y z 
R i + R j + R k = (F ) i + (F ) j + (F ) k
R i + R j + R k = 8 kN i - 24 kN j + 6 kN k + 5 kN i - 15 kN j - 7,5 kN k
R i + R j + R k = (13 kN) i - (39 kN) j - (1,5 kN) k
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 37
xR = 13 kN yR = - 39 kN zR = - 1,5 kN 
2
?
2 2
x y z
2 2 2
R = R + R + R
R = 13 + (- 39) + (- 1,5) R = 41,14 kN
05. Na mesma torre do problema 4, sabendo-se agora que a tensão em AC é de 35 
kN, determine os valores requeridos para as tensões em AB e AD para que a 
resultante das três forças aplicadas em A seja vertical. 
Diagrama de Corpo Livre: 
Os vetores correspondentes aos 
cabos AB e AC já foram 
determinados e são os mesmos.
 Cabo AD: 
x D Ad = x - x = - 18 - 0 = - 18 m 
y D Ad = y - y = 0 - 24 = - 24 m
z D Ad = z - z = 0 - 0 = 0 
?
2 2 2
x y z
2 2
AD = d + d + d
AD = (- 18) + (- 24) AD = 30 m
AB = (- 18 m) i - (24 m) j
???? ? ?
Tração em AD: 
?AD ADT = T ?
? ? AD? = 
AD
?????
?AD AD
ADT = T 
AD
?????
A
TACTAD 
TAB
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 38
? ?? ?
? ?
AD
AD
AC AD AD
TT = (- 18 m) i + (- 24 m) j
30 m
T = - 0,6 T i - 0,8 T j
? ? ?
? ? ?
Tração em AC: 
?AC ACT = T ?
? ? AC? = 
AC
?????
?AC ACACT = T 
AC
?????
? ?? ?AC
AC
35 kNT = (8 m) i + (- 24 m) j + (- 12 m) k
28 m
T = (10 kN) i + (- 30 kN) j + (- 15 kN) k
? ? ? ?
? ? ? ?
Tração em AB: 
?AB ABT = T ?
? ? AB? = 
AB
?????
?AB AB
ABT = T 
AB
?????
? ?? ?
? ? ?
AB
AB
AB AB AB AB
TT = (8 m) i + (- 24 m) j + (6 m) k
26 m
T = 0,31 T i - 0,93 T j + 0,23 T k
? ? ? ?
? ? ? ?
Equilíbrio do Ponto Material A: 
Condição: R vertical, ou seja, yR = R j
? ?
?
n
i AB AC AD
i = 1
R = F = T + T + T
? ? ? ?
? ? ?y AB AB AB 
AD AD
R j = 0,31 T i - 0,93 T j + 0,23 T k + 10 kN i - 30 kN j - 15 kN k
 - 0,6 T i - 0,8 T j
? ? ? ? ? ? ?
? ?
Daí,
? ??
? ? ??
? ??
AB AD
AB AD y
AB
0,31 T + 10 - 0,6 T = 0
- 0,93 T - 30 - 0,8 T = R
0,23 T - 15 = 0
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 39
? ?AB AB0,23 T = 15 T = 65,22 kN 
Levando à primeira equação, 
? ? ? ? ?AD AD AD0,31 65,22 + 10 - 0,6 T = 0 0,6 T = 30,22 T = 50,37 kN
Logo,
? ? y- 0,93 65,22 - 30 - 0,8 50,37 = R 
yR = - 130 kN (sentido oposto a y para o equilíbrio) 
Logo,
yR = R i = 130 kN j
? ?
06. Determinar as forças nos cabos de sustentação da torre abaixo quando atuam 
uma força horizontal em A na direção x e outra também horizontal em B na direção 
x de valores 1,2 kN e 2,4 kN respectivamente. 
7,5 m 
7,5 m 10 m 
10 m 
10 m10 m 
x
z
y
B
A
C D
F E
O
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 40
Considerações Iniciais: 
Quando atuar a força horizontal em A, AH i = 1,2 kN
?
, os cabos AD e AE não 
serão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos AC e 
AF funcionarão a tração. 
 Quando atuar a força horizontal em B, BH i = 2,4 kN
?
, os cabos BD e BE não 
serão solicitados, pois estarão sujeitos a compressão. Neste caso os cabos BC e 
BF funcionarão a tração. 
Diagrama de Corpo Livre – Ponto A 
A força TA surge como reação no ponto A que 
equilibra as componentes verticais de TAC e TAF.
Cabo AC: 
x C Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m 
y C Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m
z C Ad = z - z = 10 - 0 = 10 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AC = d + d + d
AC = (- 10) + (- 15) + (10) AC = 20,62 m
AC = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k
???? ? ? ?
Cabo AF: 
x F Ad = x - x = - 10 - 0 = - 10 m 
y F Ad = y - y = 0 - 15 = - 15 m 
z F Ad = z - z = - 10 - 0 = - 10 m 
TA
HA
TAC
TAF
A
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 41
?
2 2 2
x y z
2 2 2
AF = d + d + d
AF = (- 10) + (- 15) + (- 10) AF = 20,62 m
AF = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k
???? ? ? ?
Tração AC: 
?AC ACT = T ?
? ? AC? = 
AC
?????
?AC AC
ACT = T 
AC
?????
? ?? ?
? ? ?
AC
AC
AC AC AC AC
TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (10 m) k
20,62 m
T = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k
? ? ? ?
? ? ? ?
Tração AF: 
?AF AFT = T ?
? ? AF? = 
AF
?????
?AF AF
AFT = T 
AF
?????
? ?? ?
? ? ?
AF
AF
AF AF AF AF
TT = (- 10 m) i + (- 15 m) j + (- 10 m) k
20,62 m
T = (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k
? ? ? ?
? ? ? ?
Força HA:
?A AH = H i H = (1,2 kN) i
? ? ?
Força TA:
A A T = T j
? ?
Equilíbrio do Ponto A: 
?
n
i A A AC AF
i = 1
R = F = T + H + T + T = 0
? ? ? ? ?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 42
? ? ?
? ? ?
A AF AF AF
AC AC AC
T j + (1,2 KN) i + (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (- 0,49 T ) k +
+ (- 0,49 T ) i + (- 0,73 T ) j + (0,49 T ) k = 0
? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ??
?? ? ?
AF AC A AF AC
AF AC
(1,2 - 0,49 T - 0,49 T ) i + (T - 0,73 T - 0,73 T ) j +
 + (- 0,49 T + 0,49 T ) k = 0
? ?
?
? ??
? ? ??
? ? ??
AF AC
AF AC A
AF AC
0,49 T + 0,49 T = 1,2
- 0,73 T - 0,73 T + T = 0
- 0,49 T + 0,49 T = 0
Da terceira equação, 
? ? ?AC AF AC AF0,49 T = 0,49 T T = T 
Levando à primeira equação, 
? ?AF AF0,49 T + 0,49 T = 1,2 
? ?AF AF AC0,98 T = 1,2 T = T = 1,23 kN 
Daí,
? ? ?A- 0,73 1,23 - 0,73 1,23 + T = 0 T = 1,80 kN 
Diagrama de Corpo Livre – Ponto B 
A força TB surge como reação no ponto B que 
equilibra as componentes verticais de TBC e TBF.
 Cabo BC: 
x C Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m 
TB
HB
TBC
TBF
B
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 43
y C Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m 
z C Bd = z - z = 10 - 0 = 10 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
BC = d = d + d + d
BC = d = (- 10) + (- 7,5) + (10) BC = d = 16 m
Co-senos Diretores de BC: 
?xx x
d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625
d 16
?yy y
d - 7,5cos ? = = cos ? = - 0,469
d 16
?zz z
d 10cos ? = = cos ? = 0,625
d 16
Componentes de TBC:
? ?BC x BC x BCT = T cos ? = - 0,625 T 
? ?BC y BC y BCT = T cos ? = - 0,469 T
? ?BC z BC z BCT = T cos ? = 0,625 T 
Cabo BF: 
x F Bd = x - x = - 10 - 0 = - 10 m 
y F Bd = y - y = 0 - 7,5 = - 7,5 m
z F Bd = z - z = - 10 - 0 = - 10 m 
?
2 2 2
x y z
2 2 2
BF = d = d + d + d
BF = d = (- 10) + (- 7,5) + (- 10) BF = d = 16 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 44
Co-senos Diretores de BF: 
?xx x
d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625
d 16
?yy y
d - 7,5cos ? = = cos ? = - 0,469
d 16
?zz z
d - 10cos ? = = cos ? = - 0,625
d 16
Componentes de TBF:
? ?BF x BF x BFT = T cos ? = - 0,625 T 
? ?BF y BF y BFT = T cos ? = - 0,469 T 
? ?BF z BF z BFT = T cos ? = - 0,625 T 
Equilíbrio do Ponto B: 
?
n
i BF BC B B
i = 1
R = F = T + T + H + T = 0
? ? ? ? ?
? ? ??
n
i x BF BC B
i = 1
R = F = 0 - 0,625 T - 0,625 T + H = 0 
? ? ??
n
i y BF BC B
i = 1
R = F = 0 - 0,469 T - 0,469 T + T = 0 
? ? ??
n
i z BF BC
i = 1
R = F = 0 - 0,625 T + 0,625 T = 0 
Da terceira equação, 
? ? ?BF BC BC BF0,625 T = 0,625 T T = T 
Levando à primeira equação, 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 45
? ?BC BF- 0,625 T - 0,625 T + 2,4 = 0 
? ?BC BC BF- 1,25 T = - 2,4 T = T = 1,92 kN
Na segunda equação, 
? ?BF BC B- 0,469 T - 0,469 T + T = 0 
? ? ?B B- 0,469 1,92 - 0,469 1,92 + T = 0 T = 1,8 kN
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 46
 ESTUDO DIRIGIDO 
01. O que é Ponto Material? 
02. Quando se pode utilizar o conceito de ponto material? 
03. O que é Força e como é caracterizada? 
04. O que é a Resultante de um sistema de forças? 
05. Como se determina a resultante quando se têm duas forças atuando em um 
único ponto material? 
06. O que são vetores? 
07. Como se faz a adição de vetores? Exemplifique. 
08. Como se faz a subtração de vetores? Exemplifique. 
09. Como se multiplica um vetor por um escalar? Exemplifique. 
10. Como se encontra a resultante de um sistema de forças coplanares que atuam 
em um ponto material? 
11. Como se procede para decompor uma força quando uma componente já é 
conhecida?
12. Como se faz a decomposição de uma força quando se conhecem as linhas de 
ação de suas componentes? 
13. O que são Componentes Cartesianas de uma força? 
14. De quais formas podem ser expressas as componentes cartesianas de uma 
força?
15. Como se pode adicionar forças utilizando suas componentes cartesianas? 
16. Quais são as condiçõesde equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema 
de forças coplanares? 
17. O que diz a 1ª Lei de Newton e quais são suas implicações no caso de um 
ponto material? 
18. O que é um Diagrama de Corpo Livre? 
19. Como se encontram as componentes cartesianas de uma força espacial? 
20. O que são os co-senos diretores de uma força? 
21. Que relação existe entre os co-senos diretores de uma força? 
22. Como se expressa uma força em função de vetores unitários 
?
i , 
?
j e 
?
k ? 
23. Como se procede para adicionar forças no espaço? 
24. Quais são as condições de equilíbrio de um ponto material sujeito a um sistema 
de forças espaciais? 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 47
 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
01. Determine graficamente a intensidade, a direção e o sentido da resultante das 
duas forças ilustradas utilizando: 
(a) a lei do paralelogramo; 
(b) a regra do triângulo. 
1º Caso 2º Caso 
02. A força F de intensidade 400 N é decomposta em duas componentes segundo 
os eixos a-a e b-b, como mostra a figura. Calcule, trigonometricamente, o ângulo ?
sabendo que a componente segundo b-b vale 150 N. 
03. Duas peças B e C estão rebitadas no suporte A como indica a figura. Ambas 
estão comprimidas por F1 e F2, respectivamente de valores 8 kN e 12 kN. 
Determine, graficamente, o módulo, a direção e o sentido da resultante na peça A. 
a
F
? 60º
a
b
b
40º
300 N 
35º
450 N 
65º
30º
5 kN 
3,5 kN
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 48
04. Uma estaca é arrancada do solo com o auxílio de duas cordas, como indica a 
figura. Pedem-se: 
(a) calcular trigonometricamente, com ? = 30° , o módulo da força P
?
 necessária 
para que a resultante na estaca seja vertical; 
(b) qual será o módulo da resultante correspondente? 
05. Um carro quebrado é puxado por duas cordas, como indica a figura. A força de 
tração em AB é de 400 N e ? = 20° . Sabendo que a resultante das duas forças 
aplicadas em A tem direção do eixo do carro, calcular trigonometricamente: 
(a) a tração em AC; 
(b) a resultante. 
45º
 20º F2
F1
A
30º
?
C
A
B
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 49
06. Na figura do problema número 4, determine trigonometricamente o módulo, a 
direção e o sentido da força P
?
 para que a resultante seja vertical de 160 N. 
07. Na figura do problema número 4, impondo que a resultante das duas forças 
aplicadas à estaca seja vertical, calcule: 
(a) o valor de ? para que P
?
 seja mínima; 
(b) o valor correspondente de P
?
.
08. Calcular trigonometricamente o módulo, a direção e o sentido das forças que 
agem no gancho abaixo. 
09. Determine as componentes segundo x e y de cada uma das forças das quatro 
figuras abaixo. 
(a) (b) 
45º
800 N 
25º
350 N 
60º
600 N
x
y
20º
50º
60 kN
75 kN 
35º
45 kN y
x
45º25º
200 N
300 N
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 50
(c) (d) 
10. A haste CB exerce no bloco B uma força P
?
 dirigida ao longo da reta CB. 
Sabendo que P
?
 tem uma componente horizontal de 200 N, determine: 
(a) a intensidade da força P
?
;
(b) sua componente vertical. 
11. O cilindro hidráulico GE aplica à haste DF uma força P
?
 dirigida ao longo da reta 
GE. Sabendo que P
?
 deve ter uma componente de 600 N na direção perpendicular 
DF, determine: 
(a) a intensidade da força P
?
;
(b) sua componente paralela a DF. 
50º50º
C
B
A
ll
Q
530 N 
510 N
y
x
AB
O
150 mm 140 mm
80 mm 225 mm 
58 N 
75 N 
y
x
A
B
O
178 mm 
533 mm 
508 mm 
610 mm 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 51
12. A tração no cabo AC do poste é 370 N. Determine as componentes horizontal e 
vertical da força exercida em C. 
13. A haste de compressão BC exerce no pino C do sistema abaixo uma força 
dirigida ao longo de BC de intensidade 365 N. Determine as componentes 
horizontal e vertical dessa força. 
C
B
A
550 mm
480 mm
A
1,83 m
C
5,33 m
B
A
B
C
D
E
F
30º 56º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 52
14. Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto B. Um terceiro 
cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a 
resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. 
15. Duas cargas são aplicadas na ponta C da haste BC abaixo. Determine a tração 
no cabo AC sabendo que a resultante das três forças que atuam em C deve ter a 
direção de BC. 
16. O carrinho da figura é solicitado por três forças. Determine: 
(a) o valor do ângulo ? para o qual a resultante das três forças é vertical; 
(b) a correspondente intensidade da resultante. 
40 N?
?
40 N
80 N
40º
40 N
60º
60 N
C
B
A
20º
25º
10º
15 m
20 m
CB
A
30 kN
12 kN
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 53
17. Uma peça que pode deslizar ao longo de um eixo vertical está sujeita a três 
forças. Determine: 
(a) o valor do ângulo ? para que a resultante das três forças seja horizontal; 
(b) a intensidade correspondente da resultante. 
18. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que 
P = 400 N e ? = 75° , determine as trações em AC e BC. 
19. Dois cabos são atados em C, onde é aplicada uma carga. Sabendo que 
? = 25° , determine as trações em AC e BC. 
55º
?
A
B
C
500 N
45º 25º
?
A B
C
P
?
110 N
85 N
170 N
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 54
20. Dois cabos estão atados em C, onde é aplicada a carga. Determine as trações 
AB e BC em cada um dos casos abaixo. 
(a) (b) 
(c) (d)
21. Duas forças P
?
 e Q
?
 são aplicadas a uma conexão como indica a figura. 
Sabendo que a conexão está em equilíbrio, determine a tração nas barras A e B. 
30º
A
B
Q
P
TA
TB
60º
510 mm
1400 mm 
1220 mm
4500 N 
A B
C
600 mm 
280 mm 
450 mm 
330 NC
B
A
A
120 kg 
C
B
30º
40º
50º 30ºA B
C
400 N 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 55
22. Na figura abaixo dois cabos estão atados no ponto A, sujeito a uma carga de 
960 N. Sabendo que P = 640 N , determine a tração em cada cabo. 
23. A peça A da figura abaixo desliza sem atrito em um eixo vertical, com 7,5 kgf. 
Ela está presa por um fio através de uma polia sem atrito a um peso de 8,5 kgf. 
Determine a altura h para que o sistema esteja em equilíbrio. 
24. Uma caixa e seu conteúdo pesam 480 kgf. Determine o menor tamanho da 
corrente ACB que pode ser utilizada para levantar a caixa e seu conteúdo se a 
tração na corrente não pode exceder 3650 N. 
0,40 m
A
C
8,5 kg
7,5 kg
h
280 mm
960 N
C
960 mm
3
4
P
A
B
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 56
25. Caixotes de 300 kg estão suspensos por diversas combinações de corda e 
roldana, como mostra a figura abaixo. Sabendo que a tração na corda é a mesma 
dos dois lados, determine, em cada caso, a tração na corda. 
26. A força P
?
 é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo ACB. 
Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750 N, determine o módulo e 
a direção de P
?
.
30º 45º
?
A B
C
P
T T T T
T
(a) (b) (c) (d) (e)
690 mm
375 mm
A B
C
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 57
27. Um caixote de 300 Kg deve ser sustentado pelo arranjo de cordas e polias da 
figura abaixo. Determine o módulo e a direção de F
?
 que deve ser aplicada à 
extremidade da corda. 
28. A peça Adesliza livremente sobre o eixo horizontal sem atrito. A mola presa a 
ela tem constante k = 1751 N/m e elongação nula quando A está diretamente 
embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P
?
 necessária para manter 
o equilíbrio quando: 
(a) c = 228 mm ;
(b) c = 406 mm.
29. Para a figura abaixo, determine: 
(a) as componentes da força de 500 N; 
305 mm
c
P
A
B
F3,60 m
1,05 m
300 kg
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 58
(b) os ângulos x? , y? e z? que a força de 500 N forma com os eixos 
coordenados;
(c) as componentes cartesianas da força de 800 N; 
(d) os ângulos x? , y? e z? que a força de 800 N forma com os eixos 
coordenados.
30. Na estrutura da figura abaixo o cabo AC, de 21 m, está sujeito à tração de 
26250 N, enquanto que o cabo AB, de 19,5 m, está sujeito à tração de 19500 N. 
Determine:
(a) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em B e os ângulos 
x? , y? e z? que definem a direção desta força; 
(b) as componentes cartesianas da força aplicada pelo cabo em C e os ângulos 
x? , y? e z? que definem a direção desta força; 
(c) a resultante. 
O
25º
70º
40º
z
y
x
800 N
500 N
30º
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 59
31. A fim de remover um caminhão acidentado, dois cabos são atados em A e 
puxados por dois guinchos B e C. Sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN, 
determine as componentes da força exercida pelo cabo AB no caminhão. 
32. Determine o módulo, a direção e o sentido da força 
F = (2900 N) i + (3450 N) j - (1500 N) k
? ? ? ?
.
?
50º
20º
x
y
z
A
B
C
D
16,8 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 60
33. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AC é de 7,5 kN, determine as 
componentes da força exercida pelo cabo AC no caminhão. 
34. No problema 31, sabendo que a tração no cabo AB é de 10 kN e de 7,5 kN no 
cabo AC, determine o módulo e a direção da resultante das forças aplicadas pelos 
cabos no caminhão. 
35. Na figura abaixo, sabendo que a tração no cabo AB é de 1425 N e no cabo AC 
é de 2130 N, determine: 
(a) as componentes da força aplicada no ponto B; 
(b) as componentes da força aplicada no ponto C; 
(c) o módulo e a direção resultante das forças aplicadas em A pelos dois cabos. 
36. Uma força é aplicada na origem do sistema cartesiano e tem direção 
determinada pelos ângulos x? = 75° e z? = 130° . Sabendo que a componente em y 
da força é de 1500 N, determine: 
(a) as componentes e o módulo da força; 
(b) o valor de x? .
37. À barra OA abaixo é aplicada uma carga P
?
. Sabendo que a tração no cabo AB 
1,125 m
1,15 m
y
x
z
C
D
O
B
A
0,75 m
0,45 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 61
é de 850 N e que a resultante da carga P
?
 e das forças aplicadas pelos cabos em A 
deve ter a direção de OA, determine a tração no cabo AC e o módulo da carga P
?
.
38. Determine a resultante das forças da figura abaixo. 
39. Uma caixa está suspensa por três cabos, como na figura. 
(a) Calcule o peso P da caixa sabendo que a tração no cabo AD é de 4620 N; 
(b) Calcule o peso P da caixa para tração no cabo AB de 6890 N. 
O
25º
20º
60º
40º
z
y
x
300 N
250 N
360 mm
510 mm
320 mm
270 mm
A
O
B
C
x
z
y
600 mm
P
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 62
40. Um recipiente está suspenso por três cabos como na figura abaixo. Determine: 
(a) o peso P do recipiente sabendo que a tração no cabo AB é de 4 kN; 
(b) o peso do recipiente sabendo que a tração no cabo AD é de 3,87 kN; 
(c) se o peso do recipiente for P = 1165 N , determine a tração em cada cabo. 
41. Três cabos estão atados em A, onde são aplicadas as forças P
?
 e Q
?
, como 
ilustra a figura. Calcule: 
(a) a tração em cada cabo sabendo que P = 5,6 kN e Q = 0 ;
z
y
x
C
A
B
D O
600 mm
500 mm 
360 mm 
450 mm 
320 mm 
z
y
x
C
A
B
D O
0,65 m
0,45 m 0,70 m
0,60 m 
1,125 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 63
(b) a tração em cada cabo para P = 0 e Q = 7,28 kN ; 
(c) sabendo que Q = 7,28 kN e que a tração em AD é nula, calcule as trações nos 
cabos AB e AC e o módulo e o sentido de P
?
.
42. Uma placa circular de 6 kg e 17,5 cm de raio está suspensa, como ilustra a 
figura, por três fios, cada um com 62,5 cm de comprimento. Determine a tração em 
cada cabo para ? = 30° e para ? = 45° .
43. Tentando cruzar uma superfície gelada e escorregadia, um homem de 90 kg 
utiliza duas cordas, AB e AC. Sabendo que a força exercida pela superfície no 
homem é perpendicular à superfície, determine a tração em cada corda. 
?
?
B
C
D
A
O
4 m
4 m
7 m
A
D
B
C
x
z
y
P
?
E
Q
?
7 m
4 m 
3 m 
12 m
3 m 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 64
44. Um recipiente de peso P = 400 N é suspenso por dois cabos AB e AC atados 
ao anel A. 
 Suponha que Q = 0 e determine: 
(a) o módulo da força H
?
 que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente 
na posição; 
(b) os valores correspondentes da tração em AB e AC. 
 Suponha que Q = (80 N) k
? ?
 e determine: 
(c) o módulo da força H
?
 que deve ser aplicada ao anel para manter o recipiente 
na posição; 
(d) os valores correspondentes da tração em AB e AC. 
150 mm
z
y
x
C
A
B
O
H
?
400 mm
240 mm
130 mm
Q
?
160 mm
3,60 m
9,00 m
2,40 m 
4,80 m 
1,20 m
A
C
B
O
x
y
z
9,60 m
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 65
45. No problema 44, determine o peso P do recipiente se H = 164 N.
46. O cabo BAC da figura abaixo passa, sem atrito, através do anel A e é atado nos 
pontos fixos B e C. Os cabos AD e AE são ambos atados ao anel e, 
respectivamente, aos suportes D e E. Pede-se: 
(a) determine a tração nos três cabos sabendo que uma carga vertical P
?
 de 750 
N de intensidade é aplicada ao anel A; 
(b) sabendo que a tração no caso AE é de 250 N, determine o módulo da carga P
?
e a tração nos cabos BAC e AD. 
47. Uma placa circular de 10 kg tem 250 mm de raio e está suspensa por três fios 
iguais, de comprimento l. Sabendo que ? = 30° , determine o menor valor possível 
de l para que a tração não exceda o valor de 50 N em qualquer dos fios. 
?
?
B
C
D
A
O
1,20 m
1,60 m
0,50 m 
0,35 m 0,90 m
z
y
x
C
A
B E
D
O
P
?
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 66
 FONTES 
- MECÂNICA VETORIAL PARA ENGENHEIROS: ESTÁTICA 
 Ferdinand P. Beer 
 E. Russel Johnston, Jr. 
 Makron Books 
- MECÂNICA DAS ESTRUTURAS IA 
 Notas de Aulas 
 Valdir Bernardi Zerbinati 
- MECÂNICA TÉCNICA: ESTÁTICA 
 S. Timoshenko 
 D. H. Young 
 Livros Técnicos e Científicos S.A. 
Mecânica das Estruturas I A
Estática dos Pontos Materiais 67