AULA 1 Teórica 1 Definições Preliminares, Classificação da Lógica e Cálculo Proposicional

Prévia do material em texto

Olá! Seja muito bem-vindo à nossa primeira aula de “Raciocínio Lógico”. 
Para iniciar, vamos ver os assuntos que serão abordados no decorrer dos nossos seis encontros? 
 Aula 1 – Fundamentação: definições preliminares, proposições e conectivos 
 Aula 2 – Operações: operações lógicas sobre proposições, construção de tabelas-verdade 
 Aula 3 – Proposições Compostas: tautologia, contradições e contingências 
 Aula 4 – Implicação e Equivalência: implicação lógica, equivalência lógica 
 Aula 5 – Álgebra das proposições e método dedutivo 
 Aula 6 – Regras e Validade: argumentos e regras de inferência, validade mediante, tabelas-
verdade, regras de inferência e equivalências 
 
 
Para começar a conhecer melhor esses assuntos, clique no vídeo a seguir, nele o professor André 
Roberto Guerra se apresentará e falará brevemente sobre o conteúdo desta disciplina. Não deixe de 
assistir! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2
015/SET/MT180013-A01-P01.mp4 
 
 CONTEXTUALIZANDO 
A estrutura lógica matemática se faz presente nas diversas situações que vivenciamos 
diariamente. Compreender cálculos matemáticos e a inserção de conectivos como forma de ampliar a 
gama de soluções, são pontos de atenção para resolução e compreensão de problemas. As estratégias 
para formulação, cálculo, compreensão e a habilidade de raciocinar, estão ligados pela elaboração 
correta destas fórmulas e a operação destas. 
Acompanhe agora, algumas definições preliminares segundo alguns autores: 
A lógica formal é uma ciência que determina as formas corretas (válidas) de raciocínio. 
(COPI, I.M. Introdução à lógica. São Paulo: 1968) 
Estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. 
(DOPP, J. Noções de lógica formal. São Paulo:1970) 
Lógica é o estudo de argumentos. Um argumento é uma sequência de enunciados na qual um 
dos enunciados é a conclusão e os demais são premissas, as quais servem para provar, ou pelo 
menos fornecer, alguma evidência para a conclusão. 
(NOLT, J.; ROHATYN, D. Lógica. São Paulo:1991) 
 
 
 
Para o bom entendimento e compreensão do conteúdo proposto, o principal objetivo será a 
investigação da validade de argumentos. 
Então, vamos aos conceitos! 
Argumentos: conjunto de enunciados dos quais um é a conclusão e os demais premissas. 
Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos. 
Confira na tabela a seguir! 
 
As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, 
permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade. 
Na videoaula a seguir, o professor André Guerra explicará com maiores detalhes cada um destes 
argumentos. Acompanhe! 
 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A01-P03.mp4 
 
 
 
 
PESQUISE 
Classificação da Lógica 
Alguns autores dividem o estudo da Lógica em: 
• Lógica Indutiva 
• Lógica Dedutiva 
Lógica Indutiva: Útil no estudo da teoria da probabilidade (não será abordada nesta aula) . 
Lógica Dedutiva: Que pode ser dividida em: 
 Lógica Clássica 
Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. 
Denominada atualmente como: Cálculo de predicados de 1ª ordem apresentado. 
Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da identidade, da contradição e do 
terceiro excluído, os quais serão abordados em tema específico ao longo da disciplina. 
 Lógicas Complementares da Clássica 
Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. 
Exemplos: lógicas modal, deôntica, epistêmica, etc. 
 Lógicas Não-Clássicas 
Assim caracterizadas por derrogarem algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. 
Exemplos: paracompletas e intuicionistas (derrogam o princípio do terceiro excluído); 
paraconsistentes (derrogam o princípio da contradição); não-aléticas (derrogam o terceiro excluído e o 
da contradição); não-reflexivas (derrogam o princípio da identidade); probabilísticas, polivalentes, 
fuzzy-logic, etc. 
 
 
Para que você tenha um panorama maior, deixamos a disposição uma linha do tempo da Lógica, 
indo desde o Período Aristotélico (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) até o Período Atual (1910 - ...). 
 
 
 
 
PERÍODO ARISTOTÉLICO (± 390 a.C. a ± 1840 d.C.) 
A lógica teve início com o filósofo grego Aristóteles (384 – 322 a.C.), que criou a Ciência da 
Lógica, cuja essência era a Teoria do Silogismo. Esta teoria foi escrita na obra “Organon ou 
Instrumento da Ciência”. 
 
Neste período na Grécia, destacaram-se duas grandes escolas de Lógica: a Peripatética (que 
derivava de Aristóteles) e a Estóica (fundada por Zenão 326-264 a.C.). 
Outro destaque foi o filósofo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), que não teve 
tanta influência na época, mas que voltou no século XIX no início do período Booleano. 
PERÍODO BOOLEANO: (± 1840 a ± 1910) 
Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgan (1806-1871), ambos publicaram 
os fundamentos da chamada Álgebra da lógica, e, respectivamente o Mathematical Analysis of Logic 
e o Formal Logic. 
Outros dois cientistas que merecem destaques nesta época são: 
Gotlob Frege (1848-1925), que deu um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra 
“ Begriffsschrift” de 1879. Suas ideias só foram reconhecidas a partir de 1905. 
 
 
E Giuseppe Peano (1858-1932) com sua escola com Burali-Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, 
etc. Quase toda simbologia da matemática se deve a essa escola italiana. 
PERÍODO ATUAL: (1910- ...) 
Bertrand Russel (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) deram início ao período atual 
da lógica, com a obra “Principia Mathematica”. 
David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com Von Neuman, Bernays, Ackerman, juntamente 
com Kurt Godel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) contribuíram para o novo raciocínio Lógico. 
Agora é com o professor André, que explica todo esse conteúdo na videoaula a seguir. Não 
perca! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A01-P03.mp4 
Assista, também, ao vídeo indicado pelo professor na videoaula. 
http://www.youtube.com/watch?v=ozMbmBp3onE 
 
Tema: Cálculo Proposicional 
 
Chegamos, agora, ao foco da nossa disciplina, falaremos sobre o Cálculo Proposicional ou 
Cálculo Sentencial ou ainda Cálculo das Sentenças. É a primeira e indispensável parte da Lógica 
Matemática. 
Mas antes de falarmos em cálculo, precisamos entender alguns conceitos. Confira! 
Proposição: sentenças declarativas afirmativas que tenham sentido em afirmar que sejam 
verdadeiras ou falsas. 
 
 
 
Ex.: A lua é quadrada. 
 A neve é branca. 
 Matemática é uma ciência. 
Ciente do que é uma proposição, ou seja, uma sentença declarativa no caso afirmativa e usando 
alguns símbolos, conseguiremos efetuar os cálculos. Então, vamos começar conhecendo os esses 
símbolos. 
Símbolos da Linguagem do Cálculo Proposicional 
Um dos mais importantes dos símbolos são as Variáveis Proposicionais que são letras latinas 
minúsculas p,q,r,s,... que são utilizadas para indicar as proposições (fórmulas atômicas). 
 
Exemplos: A lua é quadrada: a qual chamaremos de p 
 A neve é branca: a qual chamaremos de q 
Agora precisamos apresentar os Conectivos Lógicos que são utilizados para representar 
combinações que possam acontecer nas variáveis proposicionais. 
  e (conjunctos) 
  ou (disjunctos) 
 se...então (implicação) 
 se e somente se, (Bi-implicação) 
  não (negação)Exemplos: 
 
A lua não é quadrada: ~p 
A lua é quadrada e a neve é branca: p q 
 
A lua é quadrada ou a neve é branca: p q 
Se a lua é quadrada então a neve é branca: p q 
A lua é quadrada se e somente se a neve é branca: p  q 
 
 
 
Símbolos Auxiliares 
( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; 
Exemplos: 
Se a lua é quadrada e a neve é branca, então a lua não é quadrada: 
((p ^ q) ~p) 
A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca: 
((~p)  q)) 
 
 
 
 
Definição de Fórmula 
1. Toda fórmula atômica é uma fórmula 
2. Se A e B são fórmulas, então: 
(A  B) , (A  B) , (A  B) , (A B) e (~A) também são fórmulas. 
3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. 
Fórmulas são constituídas pelos símbolos do alfabeto (variáveis ou átomos, conectivos e 
símbolos de pontuação). 
 Todo símbolo de verdade é uma fórmula 
 Todo símbolo proposicional é uma fórmula 
 Se A é uma fórmula, então ~A, isto é, negação de A, também é uma fórmula. 
Se A e B são fórmulas... 
 Negação: ~A ou ~B 
 Disjunção: A B 
 Conjunção: A  B 
 Implicação: A  B 
 Bi-implicação: A B 
 A: antecedente 
 B: consequente 
 
 
 
Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: 
~, ,,, 
Com o mesmo conectivo adota-se a convenção pela direita. 
Ordem de precedência dos conectivos 
Maior precedência: 1. ~ 
Precedência intermediária: 2. , 3.  
Menor precedência: 4. , 5. 
A fórmula: p q  ~ r  p  ~ q 
Deve ser entendida como: (((p  q)  (~ r))  ( p  (~ q))) 
Eliminação de Parênteses 
Parênteses externos: 
((p  ~q)  ~q) 
(p  ~q)  ~q 
Conectivos  e  repetidos, alinham-se à esquerda: 
((p  q)  ~r)  ~s 
(p  q  ~r)  ~s 
(p  q)  ~r  ~s 
 
 
 
Conectivos  e repetidos, alinham-se à direita: 
p  (q  (r  s)) 
p  (q  r  s) 
p  q  r  s 
O que será que o professor André tem a ensinar sobre este conteúdo? Clique no ícone a seguir e 
confira! 
http://ava.grupouninter.com.br/videos/video2.php?video=http://vod.grupouninter.com.br/2015/S
ET/MT180013-A01-P05.mp4 
 
 
TROCANDO IDEIAS 
Assim como na matemática básica estudamos operações algébricas com números 
reais e complexos, na álgebra das proposições estudamos operações envolvendo 
proposições. 
Mas afinal, o que nos remete o estudo da Álgebra das proposições? 
Reflita a respeito e poste a sua resposta no fórum. 
Para participar, acesse o Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). 
 
 
 
NA PRÁTICA 
Cálculo de Predicados de 1ª Ordem (Cálculo Proposicional) 
O Cálculo de Predicados, dotado de uma linguagem mais rica, tem várias aplicações importantes 
não só para matemáticos e filósofos, como também, para estudantes de cursos de Ciências Exatas 
como: engenharia, computação, TI, matemática, etc. 
Observa-se que nas linguagens de programação conhecidas como Procedurais (Pascal e 
outras), os programas são elaborados para "dizer" ao computador a tarefa que deve ser realizada. Em 
outras linguagens de programação conhecidas como Declarativas, os programas reúnem uma série 
de dados e regras e as usam para gerar conclusões. Estes programas são conhecidos como sistemas 
especialistas ou sistemas baseados no conhecimento, que simulam em muitos casos a ação de um ser 
humano. 
Essas linguagens declarativas possuem: predicados, quantificadores, conectivos lógicos e regras 
de inferência, que fazem parte do cálculo de predicados. 
Observa-se também, como exposto a seguir, que existem vários tipos de argumentos os quais, 
apesar de válidos, não são possíveis justificá-los com os recursos do cálculo proposicional. 
Exemplo: 
1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. 
Pedro não é amigo de Jonas. 
Logo, Pedro não é amigo de Carlos. 
 
 
 
 
Vamos ao segundo exemplo? 
 
2. Todos os humanos são racionais. 
Alguns animais são humanos. 
Portanto, alguns animais são racionais. 
A verificação da validade desses argumentos nos leva não só ao significado dos conectivos, mas 
também ao significado de expressões como "todo", "algum", "qualquer", etc. 
 
 
 
SÍNTESE 
Confira os principais tópicos apresentados na aula de hoje: 
 O que é o raciocínio lógico 
 A diferença entre proposição e argumento. 
 Conectivos lógicos, ou seja, os símbolos usados para que se possa calcular as proposições. 
 Ordem de precedência para o cálculo. 
 
 
 
REFERÊNCIA 
SANT'ANNA, A. S. O que é um Axioma. Capítulo 3 - Barueri SP: Editora Manoele, 2003. 
ABAR, C.A.A.P. Noções de Lógica Matemática, 2008. Disponível em:< 
www.pucsp.br/~logica>. Acesso em: 08 out. 2015.