prova1--F589

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PRIMEIRA PROVA - F589
1. A uma dada temperatura T1 um corpo negro tem emissa˜o ma´xima no comprimento
de onda λ1. Qual sera´ o valor do comprimento de onda de ma´xima emissa˜o se aumen-
tarmos a temperatura do corpo ate´ T2, onde a taxa de emissa˜o de radiac¸a˜o em λ1 e´ o
dobro daquela em T1 (i.e. RT2(λ1) = 2RT1(λ1)) ?
Soluc¸a˜o: Pela lei de Wien, λmaxT = const e, portanto, λ2 = λ1T1/T2. A condic¸a˜o
que determina T2 e´
2pihc2
λ51
1
ehc/λ1KT2 − 1 = 2
2pihc2
λ51
1
ehc/λ1KT1 − 1 .
Resolvendo para T2 obtemos
T2 =
hc/kλ1
ln (ehc/λ1 + 1)− ln 2 .
e
λ2 =
kT1λ
2
1
hc
[ln (ehc/λ1 + 1)− ln 2].
1
2. (a) Descreva o efeito fotoele´trico e escreva a equac¸a˜o proposta por Einstein para a
energia cine´tica dos ele´trons emitidos. Qual o significado do potencial de corte?
(b) O potencial de corte para uma certa superf´ıcie vale 0.71V para luz com λ = 4910
o
A.
Quando a superf´ıcie e´ iluminada por luz de outro comprimento de onda encontra-se
1.43V para o potencial de corte. Qual o valor desse comprimento de onda?
Soluc¸a˜o: O efeito fotoele´trico e´ a emissa˜o de ele´trons por metais induzida pela in-
cideˆncia de luz. Einstein assumiu que a luz se comportava com part´ıculas, fo´tons, cuja
energia hν so´ poderia ser absorvida em sua totalidade. Essa energia seria gasta para
liberar o ele´tron do metal e o restante seria transferido na forma de energia cine´tica:
hν = W +K. No experimento uma diferenc¸a de potencial e´ preparada entre o metal
e o coletor de ele´trons. Revertendo o potencial ate´ frear o ele´tron mais ra´pido temos
o potencial de corte, tal que eV0 = Kmax. O ele´tron mais ra´pido e´ o que gastou menos
energia para se libertar, W0, a func¸a˜o trabalho caracter´ıstica de cada metal. Assim,
hν = W0 + eV0. Escrevendo
eV0 = hc/λ0 −W0 eV1 = hc/λ1 −W0
e subtraindo obtemos
1
λ1
=
1
λ0
+ e(V1 − V0)/hc.
Substituindo os valores nume´ricos obtemos λ1 ≈ 3800A˚.
2
3. (a) Calcule a mudanc¸a fracional na energia do fo´ton no efeito Compton, ∆E/E, em
func¸a˜o do aˆngulo de espalhamento θ. (b) Fac¸a o gra´fico de ∆E/E versus θ e interprete
a curva.
Soluc¸a˜o:
∆E
E
=
hν0 − hν1
hν0
= 1− ν1
ν0
= 1− λ0
λ1
= 1− λ0
λ0 + λc(1− cos θ) = 1−
λ0
λ0 + 2λc sin
2 θ/2
.
O gra´fico comec¸a em zero para θ = 0, onde na˜o ha´ mudanc¸a na direc¸a˜o do fo´ton, que
praticamente na˜o e´ afetado pelo ele´tron. Para θ = pi temos uma colisa˜o frontal, onde
o fo´ton e´ ’lanc¸ado para tra´s’ e a transfereˆncia de momento, e portanto de energia, e´
ma´xima. Note que a energia do fo´ton nunca e´ totalmente transferida para o ele´tron,
pois o fo´ton na˜o pode parar: sua velocidade e´ sempre c e seu momento sempre e´ finito.
3
4. Um par e´ produzido de tal forma que o po´sitron fica em repouso e o ele´tron tem uma
energia cine´tica K−, movendo-se na direc¸a˜o do fo´ton inicial que produziu o par. (a)
Desprezando a energia transferida para o nu´cleo do a´tomo vizinho, encontre a energia
do fo´ton incidente. (b) Que porcentagem do momento do fo´ton e´ transferido ao nu´cleo?
Soluc¸a˜o: Usando conservac¸a˜o de energia temos
E = hν = 2m0c
2 +K−.
O momento do ele´tron criado e´ dado pela equac¸a˜o
m0c
2 +K− =
√
p2−c2 +m20c4
e resulta
p− =
√
2m0K− +K2−/c2.
Assim, a frac¸a˜o transferida ao nu´cleo e´
∆p
p
=
E/c− p−
E/c
= 1−
√
2m0K− +K2−/c2
m0c+K−/c
.
4
Fo´rmulas
Radiaˆncia Espectral
RT (λ) =
2pihc2
λ5
1
ehc/λKT − 1
Constante de Stephan-Boltzmann: σ = 5.67 10−8 W/m2K4
1eV = 1.6× 10−19 J
massa do ele´tron m = 9.1× 10−31 kg
carga do ele´tron e = 1.6× 10−19 C
constante de Planck h = 6.64× 10−34 Js
Equac¸o˜es do efeito Compton:
p0 = p1 cos θ + p cosφ
p1 sin θ = p sinφ
E0 +m0c
2 = E1 +K +m0c
2
λ1 = λ0 +
h
m0c
(1− cos θ)
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