teste2 F589

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F589 - SEGUNDO TESTINHO
Func¸o˜es de onda localizadas podem ser construidas a partir da superposic¸a˜o de ondas
simples com momento e energia bem definidos:
ψ(x, t) =
1√
2pi
∫ +∞
−∞
A(k) exp [i(kx− ωt)]dk.
(a) Encontre ψ(x, 0) para
A(k) =
1√
∆kpi1/4
exp [−(k − k0)2/(2∆k2)].
(b) Fac¸a um esboc¸o das func¸o˜es |A(k)|2 e |ψ(x, 0)|2. O que voceˆ pode dizer sobre a proba-
bilidade de encontrar essa part´ıcula no espac¸o ou com determinado momento?
SOLUC¸A˜O:
(a)
ψ(x, 0) = 1√
2pi∆K pi1/4
∫ +∞
−∞ exp [−(k − k0)2/(2∆k2) + ikx]dk
= 1√
2pi∆k pi1/4
∫ +∞
−∞ exp [−u2/(2∆k2) + iux+ ik0x]dk
=
√
∆k
pi1/4
exp [−x2∆k2/2 + ik0x]
= 1√
∆xpi1/4
exp [−x2/(2∆x2) + ik0x]
onde definimos ∆x ≡ 1/∆k.
(b)
|ψ(x, 0)|2 = 1
∆x pi1/2
e−
x2
∆x2
e
|A(k)|2 = 1
∆k pi1/2
e−
(k−k0)2
∆k2 .
Essas func¸o˜es sa˜o Gaussianas centradas em x = 0 e k = k0 respectivamente. Elas implicam
que a part´ıcula tem grande probabilidade de ser encontrada pro´xima da origem, com in-
certeza ∆x = 1/∆k e com momento pro´ximo de k0, com incerteza ∆k. As figuras mostram
os gra´ficos para ∆k = 1 e k0 = 2.
- 2 0 20 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
 | ψ | 2
x
- 2 0 2 40 . 0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
| A | 2
k
k 0 = 2