Sinais e Sistemas

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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA 
"JÚLIO DE MESQUITA FILHO" 
 
 
FACULDADE DE ENGENHARIA DE ILHA SOLTEIRA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
 
 
ELE 0331 
PRINCÍPIOS DE COMUNICAÇÕES 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 
 
Ricardo Tokio Higuti 
& 
Cláudio Kitano 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ISA Julho/2003
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 
Versão 1.0: 1997 
Versão 1.1: 2003 
 
 
 
 
 
 
Ricardo Tokio Higuti 
& 
Cláudio Kitano 
 
Departamento de Engenharia Elétrica da 
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira 
UNESP 
 
 
 
 
 
 
Todos os direitos reservados. 
Reprodução por quaisquer meios proibida sem autorização dos autores. 
 
Prof. Ricardo Tokio Higuti 
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Prof. Cláudio Kitano 
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15 385 000 - Ilha Solteira – SP 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
RTH/CK i
Índice: PG. 
 
CAPÍTULO 1: REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 1
1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 1
 1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais 3
 1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 3
 1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios 3
 1.1.4 Sinais reais e complexos 4
 1.1.5 Sinais limitados no tempo 4
 1.1.6 Sinais limitados em amplitude 5
 1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis 5
1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 5
 1.2.1 Rebatimento ou espelhamento 5
 1.2.2 Compressão e expansão 6
 1.2.3 Deslocamento no tempo 6
 1.2.4 Relações de simetria 7
 1.2.5 Sinais periódicos 7
1.3. SINAIS ELEMENTARES 8
 1.3.1. Sinais senoidais eternos 8
 1.3.2. Exponencial real 9
 1.3.3. Exponencial complexa periódica 9
 1.3.4. Exponencial complexa - caso geral 11
 1.3.5. Função sinc 12
 1.3.6. Função pulso triangular 12
 1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária 13
1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 13
 1.4.1 Função degrau unitário 13
 1.4.2. Função sinal 14
 1.4.3. Função porta ou pulso unitário 14
 1.4.4. Função impulso 15
 1.4.5 Sobre a existência do impulso 17
 1.4.6 Impulsos no limite 18
1.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS 20
1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 26
 1.6.1 Sinais de Energia 27
 1.6.2 Sinais de Potência 28
1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 30
1.8 EXERCÍCIOS 32
 
CAPÍTULO 2: ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE 
FOURIER 35
2.1 FASORES GIRANTES 35
 2.1.1 Espectro de linhas unilateral 36
 2.1.2 Espectro de linhas bilateral 38
 2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 39
2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 43
 2.3.1 Ortogonalidade de funções reais 43
 2.3.2 Ortogonalidade de Funções Complexas 48
 2.3.3 Série trigonométrica de Fourier 50
ÍNDICE 
 
RTH/CK ii
 2.3.4 Série de Fourier-Legendre 51
 2.3.5 A Série exponencial de Fourier 52
 2.3.6 Representação de uma função periódica pela série de Fourier 52
2.4 ESPECTRO DE FREQUÊNCIA DISCRETO 55
2.5 EXISTÊNCIA DA SÉRIE DE FOURIER 59
2.6- FÓRMULA DE PARSEVAL E DISTRIBUIÇÃO DE POTÊNCIA 62
2.7 EXERCÍCIOS 63
 
CAPÍTULO 3: ANÁLISE DE SINAIS APERIÓDICOS: 
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO CONTÍNUO 65
3.1 A TRANSFORMADA DE FOURIER 67
 3.1.1. Pulso retangular de duração  (função porta) 69
 3.1.2. Impulso de área unitária 71
3.2 CONVERGÊNCIA DA TRANSFORMADA DE FOURIER 71
3.3 RELAÇÕES DE SIMETRIA 73
3.4 TEOREMA DE PARSEVAL 75
3.5 LARGURA DE BANDA ESPECTRAL 76
3.6. RELAÇÃO ENTRE A TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO 
CONTÍNUO E SINAIS PERIÓDICOS 78
3.7. TRANSFORMADA DE FOURIER DE SINAIS PERIÓDICOS 78
 3.7.1 Transformada de Fourier de seno e co-seno eternos 80
3.8. PROPRIEDADES DA TRANSFORMADA DE FOURIER 81
 3.8.1 Linearidade 82
 3.8.2 Deslocamento no tempo 82
 3.8.3 Teorema da dualidade 83
 3.8.4 Translação em frequência 84
 3.8.5 Escalonamento no tempo e frequência 85
 3.8.6 Propriedade das áreas 85
 3.8.7 Diferenciação e integração no tempo 85
 3.8.8 Diferenciação e integração em frequência 87
 3.8.9 Convolução e multiplicação 87
 3.8.10 Modulação real 88
3.9 TRANSFORMADAS NO LIMITE 90
 3.9.1. Função sinal 90
 3.9.2. Função constante 91
 3.9.3. Degrau unitário 92
3.11 EXERCÍCIOS 93
 
CAPÍTULO 4: ANÁLISE DE SISTEMAS 99
4.1. INTRODUÇÃO 99
4.2. CARACTERÍSTICAS DE SISTEMAS 100
 4.2.1 Sistemas com e sem memória 100
 4.2.2. Inversibilidade e sistemas inversos 101
 4.2.3. Causalidade (ou realizabilidade) 102
 4.2.4. Estabilidade 102
 4.2.5. Invariância no tempo 103
 4.2.6. Linearidade 105
4.3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 108
4.4 RESPOSTA PARA SINAIS ARBITRÁRIOS 111
4.5 RESPOSTA IMPULSIVA E RESPOSTA EM FREQUÊNCIA 113
SINAIS E SISTEMAS 
RTH/CK iii
 4.5.1 Associação de SLITs 118
 4.5.2 Resposta impulsiva, estabilidade e causalidade 119
4.6 TRANSMISSÃO SEM DISTORÇÃO 120
 4.6.1 Distorção linear e não-linear 121
 4.6.2 Equalização 121
4.7 FILTROS IDEAIS 123
4.8 TRANSFORMADA DE HILBERT 125
4.9 EXERCÍCIOS 130
 
CAPÍTULO 5: AMOSTRAGEM DE SINAIS 133
5.1. AMOSTRAGEM DE SINAIS 133
 5.1.1 Amostragem ideal 134
 5.1.2 Efeito de subamostagem sobre sinais senoidais 140
5.2 RECONSTRUÇÃO DO SINAL 141
5.3 AMOSTRAGEM POR PULSOS 142
5.4 EXERCÍCIOS 147
 
CAPÍTULO 6: CORRELAÇÃO DE SINAIS 149
6.1. DENSIDADES ESPECTRAIS DE POTÊNCIA E DE ENERGIA 149
6.2. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE POTÊNCIA 150
 6.2.1. Valor médio temporal 150
 6.2.2. Produto escalar 150
 6.2.3. Função de correlação cruzada 151
 6.2.4. Função de autocorrelação 151
6.3. CORRELAÇÃO ENTRE SINAIS DE ENERGIA 153
6.4. CORRELAÇÃO ENTRE ENTRADA E SAÍDA EM SLIT 155
6.5. TEOREMA DE WIENER-KINCHINE 157
6.6. EXERCÍCIOS 158
 
BIBLIOGRAFIA 161
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 1
CAPÍTULO 1: 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 
 
No dia-a-dia, quase que constantemente nos deparamos com sinais. Um sinal 
geralmente contém informação sobre algum fenômeno ou acontecimento. Quando 
falamos ao telefone, a voz, que é um sinal acústico, é convertida em sinais elétricos 
pelo microfone. Este sinal elétrico é transmitido, por exemplo, por um sistema de 
satélites e recebido do outro lado da Terra, e convertido novamente num sinal de voz. 
Quando alguém se submete a um exame de eletrocardiograma, o resultado, que é um 
indicativo da atividade elétrica do coração, é um sinal que, analisado, mostra as 
condições cardiológicas do paciente. O índice mensal de inflação ao longo do ano 
também pode ser considerado um sinal. A energia elétrica que é distribuída para as 
residências é um sinal senoidal com determinada amplitude e frequência. 
Na Fig.1, são ilustrados alguns exemplos de sinais, a saber: a) O índice de 
aquecimento global do planeta entre os anos de 1850 e 2000; b) Um sinal típico de 
eletrocardiograma (ECG ou EKG); c) Um trecho de alguns segundos de um sinal de 
áudio. 
Nesta e em outras disciplinas do curso de graduação em engenharia elétrica 
será de interesse a manipulação desses sinais, quer analógica ou digitalmente. O tipo 
de processamento que pode ser executado depende muito do tipo do sinal [1]. Na 
análise do aquecimento global do planeta, por exemplo, objetiva-se extrair 
informações dos registros de temperatura média medidas ao longo dos anos a fim de 
detectar tendências. Então, pode-se perguntar: os dados são cíclicos ou periódicos? 
Normalmente tendem a crescer monotonicamente? Podem ser ajustados por retas ou 
polinômios? Podem ser estabelecidas previsões futuras com certo grau de confiança? 
É possível prever medidas de controle de forma a alterar a sua variação temporal de 
alguma forma? 
No caso dos gráficos de ECG pode-se perguntar: qual a forma específica do 
padrão de ECG? Como elese desvia daquilo que é conhecido como “característica 
normal”? E, para os sinais de áudio, pergunta-se, por exemplo se é possível executar o 
reconhecimento automático da voz? Como executar a conversão de áudio para texto 
num certo idioma? E quanto a tradução automática de um idioma para outro? 
Neste texto pretende-se fornecer as ferramentas básicas para que o leitor possa 
iniciar os primeiros estudos nas áreas de processamento de sinais, bem como, em 
instrumentação eletrônica, telecomunicações, dentre outras disciplinas que são 
abordadas no curso de engenharia elétrica. Neste capítulo inicia-se apresentando-se os 
sinais, cuja análise será realizada no demais capítulos, juntamente com o estudo de 
sistemas lineares invariantes no tempo. 
 
 
1.1 CLASSIFICAÇÃO DOS SINAIS 
 
A seguir são feitas algumas considerações básicas [2] que serão utilizadas 
posteriormente na análise dos sinais de interesse deste curso: 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 2
 
 
(a) 
 
0 1 2 3 4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Eletrocardiograma
tempo [s]
A
m
pl
itu
de
 [m
V
]
 
 
(b) 
 
 
 
(c) 
Figura 1.1 – Exemplos de sinais encontrados no dia-a-dia. a) Índice de aquecimento global do planeta. 
b) Eletrocardiograma típico. c) Sinal de áudio (uma gargalhada). 
SINAIS E SISTEMAS 
 3
1.1.1 Sinais unidimensionais e multidimensionais 
 
Os sinais citados anteriormente possuem apenas uma variável independente 
(ano, tempo, etc) e são chamados de unidimensionais. Por outro lado, uma imagem 
de vídeo é um sinal bidimensional, que indica uma função (luminosidade) com duas 
variáveis independentes de posição. Uma projeção holográfica ou um diagrama de 
irradiação de uma antena são sinais tridimensionais com três variáveis de posição. E 
assim por diante, para o caso de sinais multidimensionais. Neste texto, trabalha-se 
eminentemente com sinais unidimensionais em função do tempo. 
 
1.1.2 Sinais de tempo contínuo e de tempo discreto 
 
Sinais definidos para todo instante de tempo são chamados de sinais de tempo 
contínuo, porém, sinais definidos apenas em determinados instantes de tempo são 
chamados de sinais de tempo discreto. O sinal senoidal representado na Fig. 1.2a é um 
sinal de tempo contínuo, e o sinal da Fig. 1.2b é um sinal de tempo discreto, pois está 
definido apenas para os instantes de tempo 0, 1, 2, etc. Este sinal pode ser obtido a 
partir da amostragem do sinal de tempo contínuo. Um outro exemplo de sinal de 
tempo discreto é um índice de inflação mensal. Pode-se definir ainda uma classe de 
sinais que são discretos no tempo e em amplitude, i.e., podem assumir somente 
determinados valores de amplitude, que são os sinais digitais. Um exemplo está 
ilustrado na Fig. 1.2c, onde a senóide assume apenas os valores de amplitude iguais a 
–1, -0,5, 0, +0,5 e +1. 
 
0 50 100 150 200 250 300
-1
0
1
(a)
0 5 10 15 20 25 30 35
-1
0
1
(b)
0 5 10 15 20 25 30 35
-1
0
1 (c)
tempo 
Figura 1.2 – Classificação de sinais. a) Sinal de tempo contínuo. b) Sinal de tempo discreto (obtido 
através de amostragem. c) Sinal digital (amplitudes –1, -0,5, 0, +0,5 e +1). 
 
Um sinal pode ser representado matematicamente por uma função de uma ou 
mais variáveis. Para um sinal de tempo contínuo, utilizaremos a variável independente 
como sendo o tempo, t, representada entre parêntesis como, por exemplo, x(t). Para 
um sinal de tempo discreto, normalmente utiliza-se a variável independente indicada 
por n ou k, entre colchetes, como x[n] ou x[k], onde n e k são números inteiros. 
 
1.1.3 Sinais determinísticos e aleatórios 
 
Sinais determinísticos são aqueles que podem ser descritos sem nenhuma 
incerteza. Este tipo de sinal pode ser reproduzido de maneira exata e repetida. Um 
sinal senoidal puro é um exemplo de um sinal determinístico, como ilustra a Fig. 1.3a. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 4
Um sinal é aleatório se não pode ser descrito com certeza antes de ocorrer. Por 
exemplo, o conjunto dos resultados obtidos quando se joga um dado não-viciado é um 
sinal aleatório. Um sinal de um exame de ECG ou EEG também é um sinal aleatório, 
pois não pode ser previsto com certeza. Portanto sinais aleatórios não podem ser 
reproduzidos de maneira exata e repetida. Um exemplo de sinal aleatório (ruído) está 
indicado na Fig. 1.3b. 
0 0.5 1 1.5 2
-1
0
1
(a)
0 0.5 1 1.5 2
-5
0
5
tempo [s]
(b)
 
Figura 1.3 – Classificação de sinais. a) Sinal determinístico (senóide). b) Sinal aleatório (ruído). 
 
1.1.4 Sinais reais e complexos 
 
Sinais encontrados na prática são reais (i.e., têm parte imaginária nula). No 
entanto, estenderemos a análise a sinais complexos. 
 
1.1.5 Sinais limitados no tempo 
 
 Sinais limitados no tempo são sinais não periódicos e concentrados em 
intervalos de tempo com duração bem definida. Basicamente, estes sinais podem ser 
subdivididos em sinais estritamente e assintoticamente limitados no tempo. 
 
 
0
t
t1 t2
x(t)
0
t
t1 t2
x(t)
 
 (a) (b) 
0
t
t1
x(t)
0
t
t1
x(t)
 
 (c) (d) 
Figura 1.4 – Sinais limitados no tempo. a) Estritamente limitado. b) Assintoticamente limitado. 
 
Sinais estritamente limitados no tempo são aqueles que têm valores não-nulos 
somente num intervalo de tempo [t1, t2], ou seja, iniciam e terminam em instantes de 
SINAIS E SISTEMAS 
 5
tempo definidos valendo zero para t<t1 e t>t2, como os sinais mostrados nas Figs.1.4a) 
e b). Por outro lado, sinais assintoticamente limitados no tempo são aqueles onde 
x(t)0 quando t, como aquele mostrado na Fig.1.4 c). Na Fig.1.4 d) ilustra-se 
um exemplo de sinal não limitado no tempo, uma vez que x(t)  quando t+. 
 
1.1.6 Sinais limitados em amplitude 
 
Um sinal é limitado em amplitude se existe um valor M tal que | x(t) |<M para 
todo t. Os sinais mostrados nas Figs. 1.4 a) e c) são limitados em amplitude, porém 
aqueles nas Figs. 1.4 b) e d) não são limitados. 
 
1.1.7 Sinais fisicamente realizáveis 
 
 Sinais fisicamente realizáveis são sinais práticos que podem ser medidos num 
laboratório. Basicamente, estes sinais satisfazem às seguintes condições: 
 
a) São sinais limitados no tempo; 
b) São sinais limitados em amplitude; 
c) Suas componentes espectrais significativas concentram-se num intervalo de 
frequências finito; 
d) Sua forma de onda é uma função temporal contínua; 
e) Sua forma de onda assume apenas valores reais. 
 
Contudo, modelos matemáticos que violam uma ou mais dessas condições 
serão utilizadas neste texto, pela simples razão de simplificarem a análise matemática. 
 
 
1.2. TRANSFORMAÇÕES DA VARIÁVEL INDEPENDENTE 
 
Muitas vezes é necessário considerar sinais relacionados por uma 
transformação da variável independente. Por exemplo, considere o sinal x(t) mostrado 
na Fig.1.5 como sendo um trecho de música gravada numa fita. Nos itens a seguir são 
apresentadas algumas transformações sobre x(t). 
 
 
t
x(t)
 
 
Figura 1.5 – Pequeno trecho de um sinal de música x(t). 
 
 
1.2.1 Rebatimento ou espelhamento 
 
O sinal y(t) definido a partir de x(t) como y(t) = x(-t), é interpretado como 
sendo o rebatimento (espelhamento) do sinal em torno do instante t=0, e corresponde, 
no caso do exemplo considerado, a tocar a música no sentido inverso. Esta é a 
operação de inversão no tempo e o resultado da transformação está ilustrado na 
Fig.1.6. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 6
t
y(t)=x(-t)
 
 
Figura 1.6 – Sinal y(t)=x(-t). Inversão no tempo. 
 
1.2.2 Compressão e expansão 
 
Os sinais x(2t) e x(t/2) são, respectivamente, as versões comprimida e 
expandida de x(t), e correspondem a tocar a música no dobro da velocidade normal, 
no caso de x(2t), e na metade da velocidade normal, no caso de x(t/2).Ambos os 
casos estão ilustrados na Fig.1.7. 
 
t
x(2t)
t
x(t/2)
(a) (b) 
 
Figura 1.7 – Transformações de compressão e expansão. (a) Sinal x(2t): compressão. 
(b) Sinal x(t/2): expansão. 
 
1.2.3 Deslocamento no tempo 
 
Frequentemente é necessário se trabalhar com sinais deslocados no tempo. O 
sinal x(t-) desloca x(t) de  segundos para a direita, ou atrasa x(t) por  segundos. 
Similarmente, x(t+) desloca x(t) de  segundos para a esquerda, ou avança x(t) por  
segundos. Isto pode ser verificado facilmente através do valor da função para 
determinados instantes de tempo. Considere-se o sinal x(t) mostrado na Fig.1.8. Por 
exemplo, para t=1, x(t-1)=x(0)=1 e x(t+1)=x(2)=1; para t=3, x(t-1)=x(2)=1 e 
x(t+1)=x(4)=0, e assim por diante. Um sinal numa fita cassete pode, por exemplo, ser 
avançado ou atrasado em relação a uma referência t=0. 
 
 -2 -1 1 2 3 4 t
x(t)
1
 -2 -1 1 2 3 4 t
x(t-1)
1
-2 -1 1 2 3 4 t 
x(t+1)
1
(a) (b) (c) 
 
Figura 1.8 – Transformações de deslocamento no tempo. (a) Sinal x(t) original. (b) Sinal atrasado 
de 1 s. c) Sinal adiantado de 1 unidade de tempo 
 
As operações de inversão no tempo e deslocamento podem ser combinadas 
para obter outros sinais. Seja x(t) considerado na Fig.1.8, e as operações ilustradas na 
Fig.1.9. O sinal x(-t) é o sinal x(t) rebatido em relação ao ponto t=0. O sinal x(-t-), 
>0, desloca x(-t) para a esquerda por  segundos. Observe que x(t-) é obtido 
deslocando-se x(t) para a direita. escrevendo x(-t-)=x(-(t+)), então x(-t-) pode ser 
obtido através do rebatimento de x(t+) em torno de t=-. Analogamente, x(-t+) é 
SINAIS E SISTEMAS 
 7
obtido a partir do deslocamento de x(-t) para a direita por  segundos, ou através do 
rebatimento de x(t-) em torno de t=. 
 
-4 -3 -2 -1 1 2 t
x(-t-1)
1
(b)
-4 -3 -2 -1 1 2 t
x(-t)
1
(a)
-4 -3 -2 -1 1 2 
x(-t+1)
1
(c) 
Figura 1.9 – Operações de inversão e deslocamento no tempo. 
 
1.2.4 Relações de simetria 
 
Um sinal é considerado par se é simétrico em relação à origem, i.e., x(t)=x(-t), 
tal qual o ilustrado na Fig.1.10 a). Um sinal é ímpar se é anti-simétrico em relação à 
origem: x(t)=-x(-t), como o ilustrado na Fig.1.10 b). Neste último caso, deve-se 
observar que sempre x(0)=0. 
 
t
(a) (b)
t
 
Figura 1.10 – Relações de simetria. (a) Sinal par. (b) Sinal ímpar. 
 
Um fator importante é que qualquer sinal pode ser representado como a soma 
de dois sinais, um par e outro ímpar. Considere um sinal real x(t). Então os sinais: 
 
x t
x t x t
e( )
( ) ( )  
2
 (1.1a) 
 
e 
 
x t
x t x t
o( )
( ) ( )  
2
, (1.1b) 
 
são tais que: 
 
x t x t x te o( ) ( ) ( )  (1.2) 
 
onde verifica-se facilmente que xe(t) é um sinal par e xo(t) é um sinal ímpar. 
 
1.2.5 Sinais periódicos 
 
A periodicidade de sinais também é um fator importante no estudo de sinais e 
sistemas. Um sinal periódico com período T deve obedecer a condição: 
 
x t x t kT( ) ( ),  t, k inteiro . (1.3) 
 
Um sinal que não apresenta periodicidade é chamado de aperiódico. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 8
Um exemplo de um sinal periódico encontra-se ilustrado na Fig.1.11, onde 
nota-se que o sinal também é periódico com 2T, 3T,... 
 
t
......
T 2T-T
x(t)
 
Figura 1.11 - Sinal periódico com período T. 
 
1.3. SINAIS ELEMENTARES 
 
Os sinais básicos apresentados a seguir são importantes isoladamente, na 
representação de sinais mais complexos e no estudo de sistemas em geral [3], [4]. 
 
1.3.1. Sinais senoidais eternos 
 
Um sinal senoidal é representado por: 
 
x t A t( ) cos( )  0 , (1.4) 
 
onde A é a amplitude; 0 é a frequência angular, medida em radianos por segundo; 
f0=2/0 é a frequência medida em ciclos por segundo ou Hertz;  é a fase, medida 
em radianos. O sinal x(t) é periódico com período: 
 
T
f0 0 0
2 1  , (1.5) 
 
uma vez que 
 
x t T A t T A t A t x t( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( )         0 0 0 0 0 02        . (1.6) 
 
Este sinal, representado na Fig.1.12, trata-se de uma aproximação idealizada, 
denominada (independentemente do ângulo de fase) de senóide eterna em vista de 
considerar  < t < . Este modelo torna-se mais preciso para aplicações práticas, à 
medida que os tempos de observação são longos comparados com o seu período T0 = 
2/0. 
t
A
T
f0 0 0
2 1 
  0
 
Figura 1.12 – Sinal senoidal de amplitude A, fase  e período T0. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 9
1.3.2. Exponencial real 
 
A função exponencial real é definida por: 
 
x t A e A a reaisat( ) , , . (1.7) 
 
Com a=0, tem-se x(t)=A, que é uma função constante. A função exponencial real está 
ilustrada na Fig.1.13. Para valores de “a” positivos, a função x(t) é crescente com o 
tempo, e se “a” for negativo, x(t) é uma função decrescente com t. 
t
A
(a) 
t
A
(b) 
Figura 1.13 – Exponencial real. (a) Para a>0. (b) Para a<0. 
 
A taxa de crescimento ou decaimento de x(t) depende da magnitude de “a”. 
Para a<0, quando t=0, x(0)=A. Quando t=1/|a| , x(t)=Ae-1  0.37A, ou seja, a função 
cai a aproximadamente 37% do valor em t=0. Esse valor t=1/|a| é chamado de 
constante de tempo. Quanto maior a constante de tempo (menor o valor de a), mais 
tempo a função leva para crescer ou decrescer, e vice-versa. 
 
1.3.3. Exponencial complexa periódica 
 
Os sinais descritos até agora são representados por funções reais no tempo. 
Uma classe importante de sinais são as exponenciais complexas periódicas: 
 
x t e realj t( ) ,  0 0 . (1.8) 
 
 
Utilizando a fórmula de Euler: 
 
x t e t jsin t jj t( ) cos ,      0 0 0 1. (1.9) 
 
Assim, aplicando-se a propriedade (1.9) quando t = 0), ocorre x(t)= 
ejcos(+j.sen(jOutros valores importantes da exponencial complexa 
estão listados na Tab.1.1 
 
Nota-se que x(t) é um sinal complexo cuja parte real é cos 0t e a parte 
imaginária é sin 0t, e portanto é um sinal periódico com período T0=2/0 . Isto 
pode ser verificado com mais propriedade, observando-se que )]Tt(jexp[ 00  
)tjexp()2jexp().tjexp()]/2t(jexp[ 0000  . 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 10 
Tabela 1.1 – Alguns valores particulares da exponencial complexa. 
 
Forma Exponencial (polar) Forma retangular 
0je 1 
2/je  j 
je -1 
2/3je  -j 
2je 1 
 
 
Podemos representar x(t) em função do tempo num gráfico tridimensional, 
com eixos representando as partes real e imaginária em função do tempo, conforme 
mostrado na Fig.1.14: 
0
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
t
Re
Im
 
Figura 1.14 - Representação da exponencial complexa num gráfico tridimensional. 
 
 
No entanto, é mais comum representar o sinal complexo num plano complexo, 
parametrizado pelo tempo t, conforme a Fig.1.15: 
 
0t
 -0t Re
Im
1
ejot , 0>0
ejot , 0<0
 
 
Figura 1.15 - Representação da exponencial complexa num plano. 
 
 
Neste caso, a magnitude do fasor é sempre unitária, pois: 
  e t sin t tj t  0 2 0 2 0 1 2 1   cos ,/ (1.10) 
 
e o ângulo é dado por: 
 
 0
0
0
t
sin t
t
 atan
cos
. (1.11) 
SINAIS E SISTEMAS 
 11
No caso de 0 ser positivo, à medida que o tempo evolui, o fasor gira no 
sentido anti-horário, e quando completa uma volta, 0t=2, ou t=2/0, que é o 
período. A partir desse instante, tudo volta a se repetir, explicitando a periodicidade 
do sinal. 
No caso de 0 ser negativo, à medida que o tempo passa,o fasor gira no 
sentido horário. Como 0 é chamada de frequência angular, uma frequência negativa 
indicaria apenas um sentido de rotação diferente para o fasor que representa o sinal. 
Da fórmula de Euler (1.9), pode-se mostrar que: 
 
cos( )
( ) ( )
 
   
0
0 0
2
t
e ej t j t  
  
 (1.12) 
e 
sin t
e e
j
j t j t
( )
( ) ( )
 
   
0
0 0
2
  
  
 (1.13) 
 
E ainda, pode-se representar sinais senoidais em função de exponenciais 
complexas, aplicando-se os operadores real, Re{ . }, e imaginário, Im{ . }: 
  cos( ) Re ( )   0 0t e j t   (1.14) 
e  sin t e j t( ) Im ( )   0 0   . (1.15) 
 
 
1.3.4. Exponencial complexa - caso geral 
 
Um caso mais geral de exponencial complexa é: 
 
x t A ea t( )  , (1.16) 
 
com A e “a” complexos: A = |A| e j  , a = r + j 0. 
 
 
|A| e
rt
 , r<0
t
 
|A| e
rt
 , r>0
t
 
Figura 1.16 – Exponenciais complexas. (a) r<0. (b) r>0. 
 
Assim, fica-se com: 
 
x t A e e e A e e
A e t j A e sin t
j rt j t rt j t
rt rt
( ) | | | |
| | cos( ) | | ( )
( )  
   
   
   
0 0
0 0
, (1.17) 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 12 
onde nota-se que, se r<0, as partes real e imaginária de x(t) são senóides amortecidas, 
ou que têm amplitudes crescentes, caso r>0. Na Fig.1.16 ilustram-se essas 
observações. 
Nota-se pelas figuras que |A|ert é a magnitude da exponencial complexa, e é 
chamada de envoltória. Este tipo de sinal aparece na análise de circuitos RLC e da 
suspensão de automóveis, por exemplo. 
 
1.3.5. Função sinc 
 
A função sinc é definida por: 
 
x t sinc t
sin t
t
( ) ( )
( )   , (1.18) 
 
sendo o seu gráfico mostrado na Fig.1.17. 
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
 
Figura 1.17 – Função sinc(t). 
 
 Uma atenção especial deve ser dada ao cálculo de sinc(t) em t=0, o qual deve 
ser executado com o auxílio da regra de L’Hospital, obtendo-se sinc(0)=1 (o leitor 
deve verificar isto !). 
 
1.3.6. Função pulso triangular 
 
 O pulso triangular de amplitude unitária e largura  , conforme desenhado na 
Fig.1.18, é definido através de 
 





2/t,0
2/t,t21)/t(tri . (1.19) 
 
tri(t)
t0
1
 
 
Figura 1.18 – Função pulso triangular. 
SINAIS E SISTEMAS 
 13
1.3.7. Função pulso Gaussiano de área unitária 
 
 O pulso Gaussiano (ou simplesmente Gaussiana) de área unitária e desvio 
padrão , conforme desenhado na Fig.1.19, é definido como 
 



 


2
2
1exp
2
1)( 
ttg . (1.20) 
 
 2
1
 2
16065,0
0 
t
g(t)
Figura 1.19 – Função pulso Gaussiano. 
 
 Quando usada em cálculos probabilísticos a Gaussiana é denominada de 
distribuição normal, sendo útil em vários problemas de engenharia, física e estatística. 
 
 
1.4 FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 
 
 Algumas funções que exibem transições abruptas no tempo serão discutidas 
nesta seção. Na prática, essas funções rigorosamente nunca ocorrem, pois os tempos 
entre transições sempre são finitos, porém, são extremamente importantes sob o ponto 
de vista de modelo matemático. 
 
1.4.1 Função degrau unitário 
 
A função degrau unitário é definida por: 
 
u t tt( )
,
, 

0 0
1 0 (1.21) 
 
sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.20. Nota-se que u(t) é descontínuo em t=0. 
 
u(t)
1
t 
 
Figura 1.20 – Função degrau unitário. 
 
 A função degrau frequentemente é usada quando operações de chaveamento 
sobre fontes DC estão envolvidas. Além disso, várias outras funções singulares podem 
ser dela deduzidas a partir de operações como integrações e derivações sucessivas. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 14 
Finalmente, é muito útil na representação de sinais práticos, que existem apenas para 
t0. 
 
1.4.2. Função sinal 
 
A função sinal fornece o sinal do argumento t, ou seja: 
 







0t,1
0t,0
0t,1
)tsgn( (1.22) 
 
sendo seu gráfico mostrado na Fig.1.21. 
 
-1
1
t
sgn(t)
 
 
Figura 1.21 – Função sinal. 
 
Conforme se observa, as funções degrau e sinal podem ser relacionadas por 
 
1)t(u.2)tsgn(  . (1.23) 
 
1.4.3. Função porta ou pulso retangular 
 
A função porta (ou pulso) de duração T e amplitude unitária é representada 
por: 
 





T
t
T
ttx rect)( (1.24) 
 
e encontra-se desenhada na Fig.1.22. A representação como rect(t/T) ou (t/T) 
depende muito da referência bibliográfica utilizada. 
 
T/2-T/2
1
t
rect(t/T)
 
Figura 1.22 – Função porta de duração T. 
 
 A função porta pode ser relacionada com a função degrau através de: 
 
)
2
Tt(u)
2
Tt(u)T/t(rect  . (1.25) 
SINAIS E SISTEMAS 
 15
1.4.4. Função impulso de Dirac 
 
Outro sinal de extrema importância é a função impulso de área unitária ou 
delta de Dirac, (t), relacionada com o degrau unitário por: 
 
( ) ( )t d u t
dt
 (1.26) 
 
e portanto, 
 
u t d
t
( ) ( )

    . (1.27) 
 
No entanto, como u(t) é descontínua em t=0, formalmente não é diferenciável 
nesse ponto. Vamos interpretar a função degrau unitário como uma aproximação da 
função u(t), tal qual definida na Fig.1.23, para 0: 
 
u(t)
1
t 
Figura 1.23 – Função u(t). 
 
A função (t) corresponde à derivada de u(t), e é mostrada na Fig.1.24: 
 
(t)
1/
t 
Figura 1.24 – Função (t). 
 
onde nota-se que (t) tem área unitária, e é zero fora do intervalo 0  t  . À medida 
que 0, (t) fica mais estreito e com maior amplitude, mas a área continua igual a 
1. Assim, no limite: 
 
 ( ) lim ( )t t  0 (1.28) 
 
e a representação gráfica da função impulso de área unitária é dada na Fig.1.25: 
 
t
(t)
1
 
Figura 1.25 – Impulso de área unitária. 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 16 
Isto sugere que (t)=0 para todo t, exceto para t=0, onde exibe uma singularidade. O 
número 1 ao lado do impulso indica a área sob a função. Inclusive é mais correto se 
dizer que (t) é um impulso de área unitária. 
 
Exemplo 1.1: 
Representar graficamente a função v(t)=A.(t-T). 
 
Solução: Trata-se de um impulso de valor A, cuja representação é mostrada na 
Fig.1.26. 
A
T
t
v(t)
0
Figura 1.26 – Impulso de valor A aplicado no instante T. 
 
Ressalta-se, novamente, que a frase “de valor A” não se refere à amplitude do 
impulso, que é infinita, mas à sua área e à amplitude do degrau cuja derivada ele 
representa. 
 
 
Uma propriedade importante da função impulso é a seguinte: considere x(t) 
uma função contínua em t=0, então a integral 
 
x t t dt x( ) ( ) ( ) 

 0 . (1.29) 
 
A prova é dada a seguir. Seja 
 
I x t t dt x t t dt x t dt  




   ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( )   

0 0 0
1
. 
 
Utilizando o teorema do valor médio: 
 
x t dt x c b a c a b
a
b
( ) ( ).( ) , ( , )   . 
 
Logo, 
 
),0(x
),0(,)(xlim)0()(x1limI
00

   
 
pois como x(t) é contínua em t=0, x(0-)=x(0)=x(0+). Portanto, 
 
x t t dt x( ) ( ) ( ) 

 0 . 
SINAIS E SISTEMAS 
 17
Em particular, se x(t)=1, obtém-se o importante resultado 
 
( )t dt

  1 (1.30) 
 
ou seja, (t) é uma função de área unitária. 
 
Num caso maisgeral, para um impulso em t=, 
 
x t t dt x( ) ( ) ( )   

 . (1.31) 
 
ou seja, a função x(t)(t-) tem área x(), área esta que é igual ao valor da função x(t) 
no instante t=. Isto é equivalente a se ter um impulso de área x(). Portanto pode-se 
escrever também: 
 
x t t x t( ) ( ) ( ) ( )       (1.32) 
 
A equação (1.31) corresponde à propriedade de amostragem do impulso, ou seja, 
quando se multiplica uma função x(t) por um impulso de área unitária num instante 
t=, a área sob a função resultante equivale ao valor da função x(t) no instante t=. 
 
 Uma propriedade adicional do impulso refere-se à mudança de escala: 
 
0),t(1)t(  , (1.33) 
 
o qual pode ser demonstrado integrando-se ambos os lados em - < t <. Se  = -1, 
então, (-t)=(t), evidenciando que o impulso tem simetria par. 
 
 
1.4.5 Sobre a existência do impulso 
 
 O impulso unitário prova ser muito útil e, às vezes, essencial, na análise de 
sinais e sistemas. O impulso não é uma função no sentido matemático estrito [5]. Ao 
contrário, a integral definida de uma função que é nula em todos os pontos, exceto 
um, deveria ter um valor nulo. Por outro lado, x(t) será uma função de “t” se, e 
somente se, ela puder ser completamente descrita por uma relação ponto-a-ponto, ou 
seja, atribuindo-se a “x” um valor único para cada valor de “t” dentro da faixa de 
interesse. Assim, por exemplo, uma afirmativa de que x(t) é zero para t0, e não 
existe em t=0, até que definiria uma função satisfatória em todos os pontos. Embora 
algumas equações, inclusive integrais, possam ser usadas para definir indiretamente 
uma função, elas não podem conter informação que não possa ser deduzida da 
descrição direta, ponto-a-ponto da função. A afirmativa de que (t) tem área igual à 
unidade é portanto inadmissível sob o ponto de vista da matemática convencional. 
 Observe também que as equações (1.26) e (1.27) resultam de 
dt/)t(du)t(   e     d.)()t(u t devido a que as funções u(t) e (t) se 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 18 
tornam u(t) e (t), respectivamente, quando  se aproxima de zero. Esta hipótese é 
correta, entretanto, somente se 
  )t(ulim
dt
d
dt
)t(dulim
00 

 

 
 
e 
 
      t 0t0 d)].(lim[d).(lim . 
 
 Como as definições de diferenciação e integração envolvem um processo 
limite, o que foi feito, de fato, foi trocar a ordem de dois processos limites, o que nem 
sempre é justificável. 
 Uma maneira de justificar rigorosamente os resultados dessa seção pode ser 
executada recorrendo-se à teoria das distribuições, a qual considera o impulso unitário 
como função generalizada ou distribuição, o que inclui as funções ordinárias da 
matemática convencional como casos particulares. Entretanto, isto está fora do escopo 
deste texto. 
 
 
1.4.6 Impulsos no limite 
 
 Embora um impulso não exista fisicamente, várias funções convencionais 
possuem as propriedades de (t) no limite, quando algum parâmetro  tende a zero. 
Em particular, se a função (t) for tal que 
 
)0(vdt).t().t(vlim
0


   (1.34) 
 
então, é dito que 
 
)t()t(lim
0
 . (1.35) 
 
Exemplo 1.2: 
Mostrar que (1.34) é satisfeito para (t) na forma do pulso mostrado na Fig. 1.27. 
 

-  t
(t)
0
Figura 1.27 – Impulso no limite. 
 
Solução: Pela figura verifica-se que )/t(rect1)t(  . 
Seja v(t) uma função arbitrária na origem e cuja série de McLaurin é 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 19
...t
!2
)0(vt).0(v)0(v)t(v 2  
 
Então, 
 
)0(v...
12
.
!2
)0(v
0.
)0(v
)0(vlim
...dtt
!2
)0(v
dt.t
)0(v
dt
)0(v
limdt).t().t(vlim
3
0
2/
2/
22/
2/
2/
2/00




 





 










  
 
o que conclui a demonstração. 
 
 
Outras funções que satisfazem o critério (1.34) são listadas a seguir, cujos 
gráficos encontram-se desenhados na Fig.1.28: 
 
 
 0


t
(t)
 0 t
(t)
 
(a) (b) 
 
t
(t)
0
2/

 
 
(c) 
t
(t)
0
1/
 
(d) 
 
Figura 1.28 – Outros exemplos de impulsos no limite. a) Pulso sinc. b) Pulso gaussiano. c) Pulso 
triangular. d) Pulso exponencial. 
 
a) Pulso sinc 
 




tsinc1)t( . (1.36) 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 20 
b) Pulso Gaussiano 
 



 



2texp1)t( . (1.37) 
 
c) Pulso triangular 
 




ttri2)t( . (1.38) 
 
d) Pulso exponencial 
 





t
exp
2
1)t( . (1.39) 
 
2.5 CONVOLUÇÃO DE SINAIS 
 
A convolução entre dois sinais x1(t) e x2(t) é definida pela integral 
 
 

d)t(x)(x)t(x)t(x 2121 . (1.40) 
 
A integral de convolução é executada em relação à variável muda , sendo t 
considerada como constante. O resultado da convolução sempre resulta numa função 
temporal, por isso, em certos livros utiliza-se a notação simplificada x1(t)*x2(t) = 
x1*x2(t) para indicar que a função resultante x1*x2 depende de t [3]. 
 Considere as funções x1(t), x2(t) e x3(t). A partir da definição (1.40), podem ser 
demonstradas as seguintes propriedades: 
 
a) Propriedade comutativa 
 
 

d)t(x)(x)t(x*)t(x)t(x*)t(x 121221 . (1.41) 
 
b) Propriedade associativa 
 
321321 x*)x*x()x*x(*x  . (1.42) 
 
c) Propriedade distributiva 
 
)x*x()x*x()xx(*x 3121321  . (1.43) 
 
d) Derivada do produto 
 
2
12
121 x*dt
dx
dt
dx*x)x*x(
dt
d  . (1.44) 
SINAIS E SISTEMAS 
 21
 
Exemplo 1.3: 
Calcular a convolução v*w(t) para os sinais v(t) e w(t) mostrados na Fig.1.29. 
 
Solução: As funções v(t) e w(t) podem ser descritas por: 
 
)1t(u)1t(u)t(v  e )2t(u)2t(u)t(w  
 
e assim 
 
)]2t(u)2t(u)].[1(u)1(u[)t(w)(v  . 
 
-1 1
t
1v(t)
 
(a) 
 
1
t
2-2
w(t)
 
(b) 
 
1
3-3 -1
t
(t+3).u(t+3)
(t-3).u(t-3)
-(t-1).u(t-1)
-(t+1).u(t+1)
3-3 -1 1
t
3
-1
v*w(t)
2
 
(c) 
 
Figura 1.29 – Cálculo da convolução. a) Função v(t). b) Função w(t). c) Resultado da 
convolução: v*w(t) é superposição das retas desenhadas. 
 
Aplicando a definição (1.40), obtém-se 
 
.d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u
d.)2t(u).1(ud.)2t(u).1(u)t(w*v











 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 22 
Como 



1,1
1,0
)1(u e 



1,1
1,0
)1(u , então 
 









d.)2t(u
d.)2t(ud.)2t(ud.)2t(u)t(w*v
1
111 
Também 



2t,1
2t,0
)2t(u e 



2t,1
2t,0
)2t(u , e então 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t+2>-1, i.e., t >-3, 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t-2>1, i.e., t >1, 
 
3tdd).2t(u
2t
11
  desde que t+2>1, i.e., t >-1 e 
 
3tdd).2t(u
2t
11
   desde que t-2>1, i.e., t >3. 
 
Portanto, a expressão final da convolução é 
 
)3t(u).3t()1t(u).1t()1t(u).1t()3t(u).3t()t(w*v  
 
e cujo gráfico está desenhado na Fig.1.29 c). 
 
 
 Conforme se observa pelo exemplo anterior, o gráfico da convolução v*w(t) 
tem largura final igual à soma das larguras das funções individuais v(t) e w(t). Este 
resultado também se aplica para funções v(t)e w(t) arbitrárias, indicando que a 
operação de convolução implica num alargamento temporal. Além disso, a função 
resultante torna-se mais “suave” que as funções individuais [6]. 
Embora esta operação possa ser executada analiticamente (em alguns poucos 
casos e com certa dificuldade) ou numericamente, torna-se interessante discutir o 
processo de determinação gráfica, o qual pode simplificar sensivelmente os cálculos. 
 
 
Exemplo 1.4: Convolução gráfica 
Executar a convolução dos sinais x(t) e y(t) mostrados na Fig.1.30: 
 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 t
2
1
x(t)
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 t
2
1
y(t)
 
Figura 1.30 – Sinais x(t) e y(t). 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 23
Solução: A convolução entre x(t) e y(t) é dada por: 
c t x t y t x y t d( ) ( ) ( ) ( ) ( )    

    , ou seja, para cada instante de tempo t, o sinal 
c(t) é a integral (área) do sinal que é obtido da multiplicação de x() por y(t-). Note 
que, como se está integrando em , deve-se realizar em y uma inversão seguida de um 
deslocamento de t. Tem-se na Fig.1.31 os sinais x() e y(-), ou seja, para t=0: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(-)
x()
t=0
 
Figura 1.31 – x() e y(-). t=0. 
 
onde se observa facilmente que a multiplicação entre as funções é igual a zero, e 
portanto c(t=0)=0. Como para t<0, y(t-) é deslocado para a esquerda, para t<0, 
também tem-se que c(t)=0. Para t>0, nota-se que a multiplicação entre x() e y(t-) 
será igual a zero (x e y não vão se sobrepor) até o instante t=1, e portanto, c(t)=0 para 
t<1. No instante t=1, tem-se a Fig.1.32: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(1-)
x()
t=1
 
Figura 1.32 – x() e y(1-). t=1. 
 
No instante t=1+t, a multiplicação entre x e y não será mais zero, conforme 
esquematizado na Fig.1.33: 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(1+t-)
x()
t=1+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(1+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.33 – (a) x() e y(1+t-). t=1+t. (b) x(). y(1+t-). A área hachurada é igual a 
c(1+t). 
 
e a área hachurada na figura é igual ao valor de c(t=1+t), que é igual a (t)2/2. Para 
1t2, tem-se que y está sobrepondo-se a x, e, portanto: 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 24 
c t t
t
t( ) ,    1
2
0 1
2
   
 
ou, na variável t: 
 
c t
t
t( )
( )
,   1
2
1 2
2
. 
 
Para t=2+t, a ponta do triângulo começa a “sair” do quadrado, e os sinais ficam como 
na Fig.1.34: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(2+t-)
x()
t=2+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(2+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.34 – (a) x() e y(2+t-). t=2+t. (b) x(). y(2+t-). A área hachurada é igual a 
c(2+t). 
 
e a região hachurada tem área 
1 2
2
2 2 3
     t t t, ( ) 
 
ou, c t t t( ) ,   3
2
2 3 
 
Para t=3+t, tem-se a Fig.1.35: 
 
-3 -2 -1 1 2 3 4 
2
1
y(3+t-)
x()
t=3+t
1 2 3 4 
2
1
x().y(3+t-)
t
t
(a) (b) 
Figura 1.35 – (a) x() e y(3+t-). t=3+t. (b) x(). y(3+t-). A área hachurada é igual a 
c(3+t). 
 
ou seja, a área hachurada começa a diminuir, com valor: 
 
( )( )
, ( )
2 1 1
2
3 2
2
3 3 4
2             t t t t t t 
 
ou c t
t t
t( ) ,   4
2
3 4
2
 
SINAIS E SISTEMAS 
 25
e para t>4, os sinais não mais se sobrepõem, e c(t)=0 para t>4. Resumindo, obtém-se: 
 
c t
t
t
t
t t
t t
t
t
( )
,
( )
,
,
,
,


  
  
  












0 1
1
2
1 2
3
2
2 3
4
2
3 4
0 4
2
2
 
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.36. 
 
0 1 2 3 4 5
0
0 .5
1
1 .5
t
c ( t )
 
Figura 1.36 – Sinal resultante da convolução c(t). 
 
 
A função impulso unitário, como já foi vista, apresenta a importante 
propriedade relacionada à amostragem (1.31). Uma outra propriedade importante é 
obtida considerando-se a convolução: 
 
x t t x t d( ) ( ) ( ) ( )   

     , 
 
Como já foi visto, a integral acima é igual ao valor da função x() em =t, ou seja, 
 
x t t x t d x t( ) ( ) ( ) ( ) ( )    

     (1.45) 
 
e o resultado é que a convolução de um sinal com um impulso é igual à própria 
função. Esta propriedade é denominada de replicação. 
Se o impulso estiver deslocado de t0: 
 
x t t t x t t d x t t( ) ( ) ( ) ( ) ( )       

    0 0 0 (1.46) 
 
ou seja, faz-se um deslocamento de t0 na função x(t). 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 26 
Exemplo 1.5: 
a) Esboçar o gráfico da função trem de impulsos definida por 
 


 
n
T )nTt()]t([rep , para n inteiro 
 
b) Esboçar o gráfico de )]t([rep*)t(v)]t(v[rep TT  , onde )/t(rect.A)t(v  , 
para <T. 
 
Solução: 
a) O gráfico de repT[(t)] encontra-se desenhado na Fig. 1.37 a) 
 
b) Usando-se a propriedade de replicação, obtém-se 
 












n
n
n
T
)nTt(v
)nTt(*)t(v
)nTt(*)t(v)]t(v[rep
 
cujo gráfico encontra-se desenhado na Fig.1.37 b). 
 
......
0 T 2T-T-2T
repT(t)
t
(a) 
......
0 T 2T-T-2T
v(t)
t
A
(b) 
 
Figura 1.37 – Trem de funções. a) Trem de impulsos. b) Trem de pulsos. 
 
 
 
1.6 SINAIS DE ENERGIA E SINAIS DE POTÊNCIA 
 
Em sistemas elétricos, geralmente se trabalha com correntes e tensões. Se uma 
tensão v(t) é aplicada num resistor de 1, a corrente que passa por ele é i(t)=v(t) e a 
potência dissipada é igual a p(t)=v(t).i(t)=v2(t). Assim, a energia fornecida pelo sinal 
v(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: 
 
Energia = v t dt
t
t
2
1
2
( ) . 
SINAIS E SISTEMAS 
 27
 
De maneira similar, se uma corrente i(t) passa por um resistor de 1, a tensão sobre 
ele é v(t)=i(t), e a potência dissipada igual a p(t)=v(t).i(t)=i2(t). Assim, a energia 
fornecida pelo sinal i(t) num intervalo de tempo [t1, t2] é: 
 
Energia = i t dt
t
t
2
1
2
( ) . 
 
1.6.1 Sinais de energia 
 
Estendendo-se a discussão para um sinal x(t) real ou complexo, sua energia 
(Ex) no intervalo [t1, t2] é definida como: 
 
Ex = x t x t dt x t dt
t
t
t
t
( ). ( ) | ( )| 
1
2
1
2
2 (1.47) 
 
onde, se x(t) for real, x(t).x*(t)=x2(t). 
 
Um sinal é chamado de sinal de energia, se tem energia finita (E) no 
intervalo (-, ): 
 
E x t dt


   | ( )|2 . (1.48) 
 
Exemplo 1.6: 
Avaliar se o sinal v(t)= e-2|t| é um sinal de energia 
 
Solução: Valos avaliar a integral 
 
e dt e dt et t t






    2 2 40 4
0
2
2
4
1
2
| | 
 
e portanto, v(t) é um sinal de energia. 
 
Antes de prosseguir, vamos lembrar que uma função x(t) é estritamente 
limitada no tempo se tem valores não-nulos somente num intervalo de tempo [t1, t2], 
sendo nula para t<t1 e t>t2. As funções porta e pulso triangular são exemplos de 
funções estritamente limitadas no tempo. Já uma função x(t) é dita assintoticamente 
limitada no tempo se x(t)0 quando t. Esses dois tipos de funções são de 
duração finita. Como contra-exemplo, cita-se a senóide eterna que, como o próprio 
nome especifica, não tem duração finita. Por outro lado, um sinal é limitado se existe 
um valor M tal que | x(t) |<M para todo t. A função degrau, por exemplo, é limitada 
poisu(t)<M, para qualquer M>1, e para todo t. Por outro lado, o delta de Dirac e a 
função exponencial real não são limitadas. 
Assim, pode-se afirmar que se um sinal for limitado e de duração finita ele 
será um sinal de energia, pois 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 28 
| ( )| | ( )| ( )x t dt x t dt M dt M t t
t
t
t
t
2 2 2 2
2 1
1
2
1
2
      


 . 
 
A maioria dos sinais encontrados na prática são limitados e de duração finita, e 
portanto são sinais de energia. 
 
1.6.2 Sinais de potência 
 
A potência média (Pm) de um sinal x(t) num intervalo [t1, t2] é definida como 
 
P
t t
x t dtm
t
t
  12 1 21
2
| ( )| . (1.49) 
 
Um sinal é chamado de sinal de potência se a potência média definida por 
 
P
T
x t dt x t
T
T
T
  
 lim | ( )| ( )12 2 2 (1.50) 
 
for diferente de zero e finita. 
 
Definindo-se então: 
 
E x t dtT
T
T


 | ( )|2 , (1.51) 
 
observa-se que 
 
E E
T
T  lim (1.52) 
 
para sinais de energia, e 
 
P
T
E
T
T  lim
1
2
 . (1.53) 
 
para sinais de potência. Para um sinal de energia, a energia total é finita, e portanto 
P=0. 
A energia total de um sinal de potência deve ser infinita, pois senão a potência 
seria nula. Logo, um sinal pode ser um sinal de potência ou um sinal de energia, mas 
não ambos simultaneamente. No entanto, um sinal pode não ser um sinal de energia 
nem de potência. 
 
Exemplo 1.7: 
Considere o sinal v(t)=e-2t . Verificar se v(t) é um sinal de energia ou de potência. 
 
Solução: A energia do sinal é: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 29
E e dt e dt e eT
t
T
T
t
T
T
T T    



 2 2 4 4 42 14 ( ) 
 
e para T, ET. 
 
A potência média do sinal é: 
 
P
T
E
e e
T
e
T
e
T T T T
T T
T
T
T
T
       

 lim lim lim lim
1
2 8 8
4
8
4 4 4 4
 
 
e portanto e-2t não é um sinal de energia nem de potência. 
 
Para sinais periódicos, com período T0 , o cálculo da potência média pode ser 
simplificado: 
 
P P
T
x t dt
T
x t dt
T
x t dtm
T T
T
T
T T
      
  lim | ( )| | ( )| | ( )|
/
/1
2
1 12
0
2
2
2
0
2
00
0 0
 (1.54) 
 
Se o sinal periódico x(t) for limitado, então ele é um sinal de potência. 
 
 
Exemplo 1.8: 
Considere o sinal senoidal x(t)=A cos(0t + ). Calcular sua potência média. 
 
Solução: Aplicando-se (1.53) 
 
2
A
T16
)2T2(sinA)2T2(sinA
2
Alim
4
)2T2(sin)2T2(sin
T2
T4
Alim
dt
2
)t(2cos
2
1
T2
Alimdt)t(cosA
T2
1limP
2
0
0
2
0
22
T
0
00
2
T
T
T
0
2
T
T
T
0
22
T













 




 
 
Pode ser verificado que, integrando num período, chega-se no mesmo resultado. 
 
 
 Um sinal de frequência modulada, FM, com sinal modulante senoidal de 
amplitude Am e frequência m , é representado por ]tsenAtcos[.A)t(v mmpp  
=  ]tsenAcos[.tcosA mmpp  ]tsenAsen[.tsen mmp  , onde Ap e p são as 
amplitude e frequência da portadora [3]. Este sinal envolve termos do tipo cos[cos(x)] 
e sen[sen(x)], os quais podem ser adequadamente expandidos em série de funções de 
Bessel. Devido à importância desse tipo de função, tal tópico será analisado na 
próxima seção. 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 30 
1.7. FUNÇÕES DE BESSEL DE PRIMEIRA ESPÉCIE 
 
Existe uma classe de funções da física matemática, denominada de funções 
especiais, que se prestam a descrever soluções para equações diferenciais específicas 
como, por exemplo, a equação diferencial de Bessel [7]. São soluções dessa equação 
as funções de Bessel de primeira espécie, de segunda espécie (ou funções de 
Neumann) e de terceira espécie (ou funções de Hankel). Outros exemplos de funções 
especiais são a função gama, a função beta, a função erro, os polinômios de Legendre, 
os polinômios de Hermite, os polinômios de Jacobi, os polinômios de Gegenbauer, 
etc. Neste texto nos limitaremos a estudar as funções de Bessel de primeira espécie, 
devido à sua importância na teoria de comunicações. 
 
 A função de Bessel de primeira espécie e ordem n pode ser definida através da 
série de potências 
 





0k
k2nk
n )1kn(!k
)2/x()1()x(J (1.55) 
 
onde (n) é a função gama. Se n for inteiro, então, (n+1)=n!, e assim, 
 



  ...)4n2)(2n2(4.2
x
)2n2(2
x1
!n2
x)x(J
42
n
n
n . (1.56) 
 
Na Fig. 1.38 são ilustradas as 4 primeiras funções de Bessel, evidenciando o 
comportamento oscilatório e decrescente à medida que o argumento x aumenta. 
 
 
 
Figura 1.38 - Funções de Bessel de primeira espécie. 
 
A partir de (1.55) pode-se mostrar que, se n for inteiro, então 
 
)x(J)1()x(J n
n
n  . (1.57) 
 
Além disso, com o auxílio de séries de potências, pode-se mostrar que a função 
geratriz para Jn(x), onde n é inteiro, é 
SINAIS E SISTEMAS 
 31




  
n
n
n
t
1t
2
x
t)x(Je . (1.58) 
 
A partir de (1.58) é possível demonstrar as seguintes relações de recorrência: 
 
a) )x(J)x(J
x
n2)x(J 1nn1n   (1.59a) 
b) )]x(J)x(J[
2
1
dx
)x(dJ
1n1n
n
  (1.59b) 
c) )x(Jx)]x(Jx[
dx
d
1n
n
n
n
 (1.59c) 
d) )x(Jx)]x(Jx[
dx
d
1n
n
n
n

  (1.59c) 
 
 
Exemplo 1.9: 
A partir da função geratriz mostrar que 
 
a) ...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20  
b) ...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31  
 
Solução: Basta fazer  jet em (1.58) 
 
...}3sen)]x(J)x(J[sen)]x(J)x(J{[j
...}2cos)]x(J)x(J[)]x(J)x(J[)x(J{
]nsenjn[cos)x(Je)x(Je)]ee(x
2
1exp[
2211
22110
n
n
n
jn
n
senjxjj









 
 
 
a partir da qual mostra-se o desejado. 
 
 
 A partir desse exemplo, podem ser extraídas as importantes relações: 
 
...2cos).x(J2)x(J)senxcos( 20  (1.60a) 
...3cos).x(J2sen).x(J2)senxsen( 31  (1.60b) 


 
n
jn
n
senjx e)x(Je (1.60c) 
 
usadas com grande frequência na teoria de comunicações. 
 
Exemplo 1.10: 
Mostrar a seguinte relação integral:   0n )nsenxcos(1)x(J 
 
Solução: Vamos lembrar que 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 32 



 nm,2/ nm,0dncos.mcos0 



 nm,2/ nm,0dnsen.msen0 
 
Assim, multiplicando-se a expressão (1.60a) por cos(n) e a expressão (1.60b) por 
sen(n), e integrando-se entre 0 e , obtém-se (mostrar isto !) 
 

 ímparn,0 zeroouparn),x(Jdncos.)senxcos( n0 




ímparn),x(J
zeroouparn,0
dnsen.)senxsen(
n
0
 
 
Executando-se a soma no caso onde n é zero ou par, obtém-se 






d.)]nsenx[cos(1
d.]nsen).senxsen(ncos).senx[cos(1)x(J
0
0n
 
 
A mesma relação se mantém quando n é ímpar, ou seja, é válida para qualquer n 
inteiro. 
 
 
 Vamos observar que, para )nsenxsen()(f  , então, f(-) = - f(), ou 
seja, é uma função ímpar. Portanto, sua integral no intervalo  deve ser nula. 
Assim, utilizando-se o exemplo anterior, conclui-se que 
 
 


 de
2
1)x(J )nsenx(jn (1.61) 
 
 A seguir, apresentam-se alguns exercícios para que o leitor possa testar o 
conhecimento adquirido nestecapítulo. 
 
 
1.8 EXERCÍCIOS 
 
1.8.1 Dois sinais de tempo contínuo são mostrados na Fig.P1.8.1. Esboce 
cuidadosamente os seguintes sinais, com escalas: 
 
x(t)
t t
h(t)
2
1
-1
-1 1 2 3 1 2 3-1-2
1
 
Figura P1.8.1 
SINAIS E SISTEMAS 
 33
i) x t( ) 2 
ii) x t( )1 
iii) x t( )2 2 
iv) x t( / )2 3 
v)  x t x t u t( ) ( ) ( )  2 1 
vi)  x t t t( ) ( / ) ( / )   3 2 3 2 
vii) x t h t( ) ( ) 1 
viii) x t h t( ) ( ) 1 1 
ix) x t h t( / ) ( )2 2 4  
x) x te ( ) (parte par) 
xi) x to ( ) (parte ímpar) 
 
1.8.2 A soma de duas ou mais senóides pode ou não ser periódica dependendo da 
relação entre as frequências. Considere a soma de duas senóides com frequências f1 e 
f2 . Para a soma ser periódica, f1 e f2 devem ser comensuráveis, i.e., deve existir um 
número f0 contido um número inteiro de vezes em f1 e f2. Se f0 é esse número, então: 
 
f1=n1f0 e f2=n2f0 
 
onde n1 e n2 são inteiros, e f0 é a frequência fundamental. 
Para os sinais abaixo, determine quais são periódicos e o período, quando aplicável. 
 
a) x t t sin t( ) cos( ) (5 ) 2 2 3  
b) x t t t( ) cos(5 ) cos( )  5 15 
c) x t sin t sin t( ) ( ) ( ) 3 10 12  
d) x t t t sin t( ) cos( ) cos( ) ( )  4 2 3 4 5 26   
 
1.8.3 Mostre que:  ( ) ( )2 1
2
t t 
 Sugestão: Examine a função  ( )2t 
 
1.8.4 Considere-se a função )T/t(rect.
2
1
T
t.A)t(f 

  , para A e T constantes. 
a) Esboçar o gráfico de f(t). 
b) Obter analiticamente o resultado de f(t)*repT[(t)]. 
c) Esboçar o gráfico de f(t)*repT[(t)]. Qual o nome usual dessa função ? 
 
1.8.5 Calcular o valor das seguintes integrais definidas 
 
a)   dt).1t).(t( 2 d)  21 2 dt).1t).(1t( 
b)  11 2 dt).1t).(t( e)  53 3 dt).2t4t).(1t( 
c)  53 2 dt).1t).(t( f)   dt).2t).(t1( 4 
 
REPRESENTAÇÃO DE SINAIS 
 
 34 
1.8.6 Mostre que x t u t x t dt
t
( ) ( ) ( ) 

 
 
1.8.7 Executar a convolução, graficamente, das funções )t(ue.A)t(v t e 
)]Tt(u)t(u[
T
t)t(w  . 
Sugestão: Consultar o livro do Carlson [3]. 
 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 35
CAPÍTULO 2: 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS : SÉRIE DE 
FOURIER 
 
 
 
Um dos principais objetivos de se analisar sinais é o de determinar o conteúdo 
de frequência ou a faixa de frequência de sinais. Isto é de extrema importância em 
diversos campos de aplicação. Em comunicações, sinais transmitidos por estações 
AM são limitados na faixa de 535 kHz a 1650 kHz [3], [4]. Sinais de estações FM 
ocupam a faixa de frequência entre 88 MHz a 108 MHz, as de televisão UHF ocupam 
faixas entre 470 MHz e 890 MHz, e assim por diante, para os demais tipos de 
serviços. Um sinal de voz típico ocupa uma faixa de 200 Hz a 4 kHz. Através da 
análise de sinais é possível entender como um sinal de voz ou de música é transmitido 
em outra faixa de frequência (através de modulação). 
Na área médica, por exemplo, a análise de um sinal resultante de um exame de 
eletrocardiograma (ECG) ou eletroencefalograma (EEG) pode indicar se o paciente 
possui alguma anomalia cardíaca ou na atividade elétrica cerebral. Um submarino 
emite um sinal acústico próprio dependendo da rotação dos propulsores e vibração 
dos motores. Este sinal pode ser utilizado em detecção submarina. Abelhas 
africanizadas (ou "assassinas") e domésticas são quase idênticas em tamanho e 
aparência, e uma das maneiras de diferenciá-las é com a ajuda de um microscópio. No 
entanto, descobriu-se que elas batem as asas em frequências diferentes, e, 
consequentemente, geram sinais diferentes. Estes sinais, detectados, podem ser 
utilizados para identificar as abelhas assassinas e controlar sua disseminação. Uma 
outra aplicação importante de análise de sinais é a eliminação de certos tipos de ruídos 
como o de máquinas, transformadores de potência, ventiladores industriais, etc. Estes 
tipos de equipamentos geram sinais periódicos, que podem ser decompostos em vários 
sinais. Um microfone pode captar esse ruído e um sistema computadorizado analisar 
este sinal e gerar um outro sinal que é a imagem do ruído (um anti-ruído). Isto cancela 
o ruído, não afetando a conversa normal entre as pessoas que estejam no ambiente, 
por exemplo, dentro de um avião. 
 Neste capítulo aborda-se a primeira parte da análise dos sinais de tempo 
contínuo, enfatizando-se os sinais periódicos, através da série de Fourier. No Capítulo 
3, serão analisados em detalhes os sinais aperiódicos, com o auxílio da transformada 
de Fourier. Antes, porém, pretende-se discutir alguns conceitos preliminares sobre 
espectros de linhas, produto vetorial e similaridades entre sinais variáveis no tempo. 
 
2.1 FASORES GIRANTES 
 
 Considere, inicialmente, o problema do regime permanente senoidal, tal qual 
estudado na teoria de circuitos elétricos. Nesse caso, os sinais são constituídos por 
senóides eternas e têm representação temporal como ilustrado na Fig.2.1, e conforme 
discutido na Capítulo 1. Assim, se x(t) for um sinal senoidal, então 
 
)tcos(.A)t(x 0  (2.1) 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 36
onde A é o valor de pico ou amplitude, 0 é a frequência angular e  é o ângulo de 
fase. 
A
-A
x(t)
0-/0
A cos
t
T=20
... ...
 
Figura 2.1 – Sinal senoidal eterno. 
 
A frequência angular, 0 [rad/s], relaciona-se com a frequência linear, f0 [Hertz], 
através de 0=2f0. 
 Conforme já foi enfatizado, a senóide eterna trata-se de uma aproximação 
idealizada, em vista de considerar todos os instantes de tempo ( < t < ). O 
modelo torna-se mais preciso, à medida que os tempos de observação sejam longos 
comparados com o seu período T = 2/0. 
 
2.1.1 Espectro de linhas unilateral 
 
A representação espectral do sinal senoidal pode ser obtida em termos de 
fasores girantes, deduzidos a partir do teorema de Euler: 
 
 sen.jcose j (2.2) 
 
onde  é um ângulo arbitrário. No caso da senóide eterna (2.1), percebe-se que 
 
]e.e.A[Re)t( tjj 0 . (2.3) 
 
O termo entre colchetes em (2.3) pode ser interpretado como um vetor girando no 
plano complexo, z, conforme ilustra a Fig.2.2. Assim, define-se o fasor girante 
associado a v(t) como sendo o número complexo (na forma polar) 
 
tjj 0e.e.A)t(zz  (2.4) 
 
O fasor girante tem magnitude A, gira no sentido anti-horário numa taxa de f0 ciclos 
por segundo (ou Hertz) e em t = 0 forma um ângulo  com o eixo real positivo. A 
projeção do fasor sobre o eixo real permite recuperar x(t), conforme estabelecido por 
(2.3). 
A
z
ot+
Re
Im
0
 
Figura 2.2 - Fasor girante no plano complexo z. 
SINAIS E SISTEMAS 
 37
Uma representação equivalente para o fasor complexo z(t), no domínio da 
frequência, constitui o espectro de linhas (ou raias) unilateral, mostrado na Fig.2.3. 
Este diagrama informa que na frequência de oscilação f0, o fasor girante tem 
magnitude A, representado através de uma linha no espectro de magnitudes, e fase , 
representado por uma linha no espectro de fases. 
 
MAGNITUDE
FASE
0
0
fo
fo
f
f
A

Figura 2.3 - Espectro de linhas unilateral. 
 
 A fim de padronizar a representação espectral dos sinais, torna-se adequado 
estabelecer as seguintes convenções [3]: 
 
a) A variável independente para representar o espectro é a frequência linear, f , (e 
não a frequência angular, ). Um valor particular de f é identificado por um 
subscrito como, por exemplo, f0 ; 
b) Os ângulos de fase são medidos em relação à função co-seno. Sinais em seno 
precisam ser convertidos para co-senos, através da identidade: sen = cos(-900); 
c) Considera-se que a magnitude é sempre uma grandeza positiva. Quando sinais 
negativos estão presentes,utiliza-se a identidade: -A.cos = A.cos( 1800). 
 
Exemplo 2.1: 
Esboçar o espectro unilateral do sinal 
 
 )t120sen(4)60t40cos(107)t(w 0  , 
 
cuja forma de onda está desenhada na Fig.2.4 a). 
 
Solução: O espectro de linhas unilateral de w(t) pode ser obtido observado-se que 
 
)90t602cos(4)120t202cos(10)t02cos(7)t(w 00  
 
e encontra-se desenhado na Fig. 2.4 b) 
 
20
10
0 1/20 t
w(t)
 (a) (Fig.2.4 continua ...) 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 38
MAGNITUDE
FASE
0
0
100
20
f
f
120
20
100
o
-90o
7
10
4
(b) 
Figura 2.4 - Análise espectral de w(t). a) Sinal temporal w(t). b) Espectro de w(t). 
 
 
 O exemplo anterior é muito ilustrativo pois evidencia que uma superposição de 
senóides com diferentes frequências e fases pode dar origem a uma forma de onda 
não- senoidal, embora ainda periódica. Assim, pode-se indagar se uma outra forma de 
onda arbitrária (porém periódica) como uma dente-de-serra, por exemplo, poderia ser 
sintetizada a partir da superposição de senóides. Nas próximas seções esta conjectura 
será confirmada, através do estudo da série de Fourier. 
 
2.1.2 Espectro de linhas bilateral 
 
As representações espectrais unilaterais podem não ser tão interessantes e 
genéricas quanto a representação denominada espectro bilateral, que envolve 
frequências positivas e negativas. Nesse caso, recorre-se à propriedade dos números 
complexos *)zz(
2
1]zRe[  , onde z é uma grandeza complexa e z* é o seu 
complexo conjugado. Assim, a partir de (2.3) e (2.4), para tjj e.e.Az  , obtém-se 
 
tjjtjj
0
00 ee
2
Aee
2
A)tcos(.A)t(x   (2.5) 
 
onde 0=2f0. O par de fasores conjugados em (2.5) encontra-se desenhado, no plano 
complexo, conforme a Fig.2.5 
z
ot+
Re
Im
0 ot+
z*
A
A
 
Figura 2.5 - Fasores girantes conjugados. 
 
 Por sua vez, o espectro de linhas bilateral, encontra-se registrado na Fig.2.6, a 
qual inclui informações sobre ambos os fasores: o fasor normal, associado à 
frequência positiva (+f0), e o fasor conjugado, correspondente à frequência negativa 
(f0), a fim de especificar a direção de rotação negativa (no sentido horário). 
SINAIS E SISTEMAS 
 39
MAGNITUDE
FASE
0
0
A/2A/2


f
f
 
 
Figura 2.6 - Espectro de linhas bilateral. 
 
Conforme se observa, o espectro de magnitudes possui simetria par, enquanto 
o espectro de fases tem simetria ímpar. 
 
Exemplo 2.2: 
Esboçar o espectro bilateral do sinal w(t) estudado no exemplo 2.1. 
 
Solução: O sinal w(t) pode ser rescrito como 
 
2
eeee4
2
eeee10e7)t(w
t602j90jt602j90jt402j120jt402j120j
0j
0000   
 
e portanto, obtém-se o espectro mostrado na Fig.2.7. 
 
MAGNITUDE
FASE
0
0
7
f
f
55
22
20 60- 60 - 20
120
- 120
o
o - 90
90
o
o
Figura 2.7 - Espectro bilateral de w(t). 
 
 
2.2. PRODUTO ESCALAR – SEMELHANÇA ENTRE SINAIS 
 
 Didaticamente, a analogia com o comportamento de vetores no espaço físico 
pode ser bastante útil na análise de sinais variáveis no tempo. Assim, considere os 
dois vetores 1V

 e 2V

 mostrados na Fig.2.8, e seja eV

 um vetor de erro, tal que 
 
e2121 VVCV
  (2.6) 
 
onde C12 é uma constante com valor entre 0 e 1. 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 40
1V

2V

eV

C12 2V

 
(a) 
1V

2V

eV

C12 2V

 
(b) 
1V

2V

eV

C12 2V

 
(c) 
 
Figura 2.8 - Análise da “semelhança” entre vetores. A magnitude do vetor erro em b) é menor que nos 
casos a) e c). 
 
 
 Por inspeção da figura, torna-se evidente que o menor valor do vetor de erro 
ocorre no caso b), quando C12 2V

 corresponde à projeção ortogonal de 1V

 na direção 
de 2V

. Nesse caso, costuma-se dizer que C12 2V

 corresponde à componente de 1V

 na 
direção de 2V

, onde C12 é escolhido de modo que o vetor de erro seja mínimo. 
 Uma outra conclusão pode ser extraída, em situações de projeção ortogonal 
como no caso da Fig.2.8b), observando-se que quanto maior a componente de um 
vetor na direção do outro, mais “semelhante” serão esses vetores e menor será o vetor 
de erro [4]. Então, C12 pode ser interpretado como uma medida da “semelhança” entre 
1V

 e 2V

. Se C12=0, então, 1V

 não tem componente na direção de 2V

, sendo os 
vetores perpendiculares entre si e denominados vetores ortogonais. Neste caso, não 
existe qualquer relação de dependência entre os vetores, os quais são chamados de 
vetores independentes. 
 Recorrendo-se a álgebra vetorial, pode-se especificar o fator constante C12 
aplicando-se a definição de produto escalar: 
 
2
21
212
V
VV
VC 
  (2.7) 
 
onde 2V

 é o módulo de 2V

. A partir daí, obtém-se 
 
22
21
2
2
21
12 VV
VV
V
VVC 




  (2.8) 
 
Observa-se que, se 1V

 e 2V

 são ortogonais, então, 0VV 21 

 e C12=0. A seguir, 
extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. 
 
 Considere-se f1(t) e f2(t) dois sinais sobre os quais deseja-se estabelecer o grau 
de similaridade (ou semelhança) através de um fator C12, ou seja, deseja-se 
estabelecer a aproximação f1(t)  C12.f2(t). Para isso, C12 deve ser tal que minimize a 
função erro fe(t), 
 
)t(fC)t(f)t(f 2121e  (2.9) 
 
 Um critério bastante usado para minimizar fe(t) constitui na minimização do 
erro quadrático médio, , ou seja, na minimização de 
SINAIS E SISTEMAS 
 41
 21
t
t
2
e
12
dt).t(f
tt
1 (2.10) 
 
onde (t2-t1) é um intervalo de observação dentro do qual deseja-se efetuar a 
comparação dos sinais. Assim, torna-se necessário estabelecer o valor de C12 que 
satisfaça a condição: 
 
0
dC
d
12
 (2.11) 
 
ou, substituindo (2.10), que satisfaça a 
 
0dt).t(fC2dt).t(f)t(f2dt.
dC
)t(df
tt
1 2
1
2
1
2
1
t
t
2
2
t
t 1221
t
t
12
2
1
12


   (2.12) 
 
 Como f1(t) não depende de C12, a primeira integral em (2.12) é nula e, 
portanto, obtém-se que 
 


2
1
2
1
t
t
2
2
t
t 21
12
dt)t(f
dt)t(f).t(f
C (2.13) 
 
Ressalta-se a semelhança entre a expressão (2.13), para sinais, e (2.8), para 
vetores. Assim, por analogia com vetores, C12f2(t) representa a componente de f1(t) 
sobre o sinal f2(t). Além disso, define-se o produto escalar entre as funções, 
)t(f).t(f 21 , num intervalo (t1,t2) por 
 
 21
t
t 21
12
21 dt).t(f).t(ftt
1)t(f).t(f , t1  t  t2 (2.14) 
 
de tal forma que (2.13) pode ser escrita como 
 
)t(f
)t(f).t(f
C
2
2
21
12  (2.15) 
 
 Se C12=0, então, é dito que o sinal f1(t) não contém nenhuma componente do 
sinal f2(t), e, que as duas funções são ortogonais no intervalo (t1, t2). 
 
 
Exemplo 2.3: 
Mostrar que )tnsen()t(f 01  e )tmsen()t(f 02  são ortogonais em qualquer 
intervalo (t0, t0+20), para valores de m e n inteiros, mn. 
 
Solução: Deve ser mostrado que 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 42
   000
/2t
t 00
0
21 dt).tmsen().tnsen(/2
1)t(f).t(fI 
 
é igual a zero. De fato, desenvolvendo 
 
00
o
00
0
/2t
t
00
/2t
t 00
0
t)mnsen(
mn
1t)mnsen(
mn
1
2
1
dt].t)mncos(t)mn[cos(
2
1
/2
1I




 
 
 
 
 Uma vez que n e m são inteiros, (n-m) e (n+m) também o são, e assim, I=0 
(incentiva-se o leitor a comprovaristo !). 
 
 
O resultado do exemplo anterior evidencia que )tnsen( 0 e )tmsen( 0 são 
funções ortogonais. Pode-se demonstrar que )tncos( 0 e )tmcos( 0 , bem como 
)tnsen( 0 e )tmcos( 0 , também são funções ortogonais. 
 
Exemplo 2.4: 
Aproximar a função retangular 







 2/3trect2/trect)t(f1 pela função 
tsen)t(f 2  , no intervalo (0,2), de forma que o erro quadrático médio seja mínimo. 
 
Solução: Deseja-se aproximar )t(fC)t(f 2121  , tal que C12 conduza ao erro mínimo. 
O gráfico de f1(t) está desenhado na Fig. 2.9 (em linha pontilhada). 
 
f(t)
t 




 
Figura 2.9 - Aproximação da função retangular por uma senóide. 
 
Assim, aplicando-se (2.13), obtém-se 
 

 





4
dt).t(sen
dt.tsen)1(dt.tsen
C 2
0
2
2
0
12 
 
e, portanto, 
 
tsen4)t(f1  , 0t2
SINAIS E SISTEMAS 
 43
representa a melhor aproximação de f1(t) por uma função sen t. O desenho de f1(t) 
também encontra-se na Fig.2.9. Por outro lado, diz-se que a função f1(t) tem uma 
componente da função sen t cuja magnitude é 4/. 
 
 
2.3 SÉRIE DE FUNÇÕES 
 
Discute-se nesta seção, a expansão de trechos de funções em séries de funções 
ortogonais como, por exemplo, a série de Fourier trigonométrica. Antes, porém, o 
conceito de ortogonalidade de funções deve ser detalhado. 
 
2.3.1 Ortogonalidade de funções reais 
 
Considere-se, novamente, o caso dos vetores num plano xy, e cujos vetores 
unitários são xaˆ e yaˆ , conforme esquematizado na Fig.2.10. 
 
F

xaˆ
yaˆ
x
y
x0
y0
0
 
Figura 2.10 - Vetores no plano xy. 
 
 Um vetor F

, com componentes x0 e y0 nas direções x e y, respectivamente, 
pode ser expresso como 
 
y0x0 aˆyaˆxF 

 (2.16) 
 
Qualquer vetor nesse plano pode ser expresso em termos de xaˆ e yaˆ , vetores 
unitários que satisfazem a 
 




nm,1
nm,0
aˆaˆ nm (2.17) 
 
onde m e n correspondem a x e y, respectivamente. Assim, os vetores unitários são 
ortogonais entre si. 
 Contudo, observa-se que este sistema de coordenadas bidimensional é 
inadequado para expressar um vetor F

 espacial, sendo necessário haver três eixos de 
coordenadas. Portanto, para expressar um vetor F

 tridimensional é necessário que o 
sistema de coordenadas seja completo. O eixo adicional é o eixo z, cujo vetor unitário 
é zaˆ . E assim, um vetor no espaço tridimensional será representado por 
 
z0y0x0 aˆzaˆyaˆxF 

 (2.18) 
 
onde xaˆ , yaˆ e zaˆ são ortogonais entre si. 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 44
 No caso geral, hipoteticamente n-dimensional, o conjunto completo de vetores 
unitários deve possuir “n” componentes ortogonais designadas por 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ , e 
assim, um vetor geral F

 tem componentes C1 , C2, ..., Cn, tais que 
 
nn2211 xˆC...xˆCxˆCF 

 (2.19) 
 
 A condição de ortogonalidade implica que 
 




nm,1
nm,0
xˆxˆ nm (2.20) 
 
O conjunto ( 1xˆ , 2xˆ , ..., nxˆ ) constitui um espaço vetorial ortogonal, onde 1xˆ , 2xˆ , ..., 
nxˆ são vetores de base. Em geral, contudo, o produto nm xˆxˆ  pode ser qualquer 
constante km ao invés da unidade: 
 




nm,k
nm,0
xˆxˆ
m
nm (2.21) 
 
Quando km é igual à unidade o conjunto é chamado espaço ortogonal normalizado, ou 
então, é dito tratar-se de um conjunto ortogonal normalizado ou espaço vetorial 
ortonormal. 
 Os valores dos componentes, Cr , podem ser obtidos a partir de (2.19), 
calculando-se inicialmente o produto escalar 
 
...xˆxˆC...xˆxˆCxˆxˆCxˆF rrrr22r11r  

 (2.22) 
 
e aplicando-se (2.21), a fim de obter 
 
rrr kCxˆF 

 (2.23) 
 
e portanto 
 
r
r
rr
r
r k
xˆF
xˆxˆ
xˆFC 

 

 (2.24) 
 
 A seguir, extrapola-se esses conceitos para o caso de sinais. Considere-se, 
então, um conjunto de “n” funções g1(t), g2(t), ..., gn(t) ortogonais entre si, num 
intervalo t1 a t2, ou seja 
 



 kj,k kj,0dt).t(g).t(g j
t
t kj
2
1
 (2.25) 
 
Uma função arbitrária f(t) pode ser aproximada (sintetizada) num intervalo (t1, t2) pela 
combinação linear dessa n funções ortogonais: 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 45
21
n
1r
rr
nn2211
ttt,)t(gC
)t(gC...)t(gC)t(gC)t(f




 (2.26) 
 
A melhor aproximação corresponde àquela onde C1, C2, ..., Cn são tais que 
minimizam o erro quadrático médio de fe(t), tal qual em (2.10), o qual será repetido 
por conveniência: 
 
 21
t
t
2
e
12
dt).t(f
tt
1 (2.27) 
 
onde 
 



n
1r
rre )t(gC)t(f)t(f (2.28) 
 
Para isto, torna-se necessário impor que 
 
0
C
...
C
...
CC nr21




 . (2.29) 
 
Procedendo aos cálculos algébricos em (2.29), pode-se mostrar que o erro 
mínimo acontecerá quando 
 

  2
12
1
2
1
t
t r
r
t
t
2
r
t
t r
r dt).t(g).t(fk
1
dt).t(g
dt).t(g).t(f
C (2.30) 
 
(encoraja-se o leitor a verificar isto). 
Novamente, é interessante comparar essa expressão com (2.24), e concluir que 
 
r
r
rr
r
r k
)t(g).t(f
)t(g).t(g
)t(g).t(f
C  , t1 t t2 (2.31) 
 
usando-se a definição de produto escalar (2.14). Utilizando-se (2.27), (2.28) e (2.31), 
o erro quadrático médio será 
 


       
n
1r
t
t
n
1r
t
t rr
2
r
2
r
t
t
2
12
2
1
2
1
2
1
dt).t(g).t(fC2dt).t(gCdt).t(f
tt
1 
 


 


 




n
1r
r
2
r
t
t
2
12
n
1r
r
2
r
2
r
n
1r
2
r
t
t
2
12
kCdt).t(f
tt
1
kC2kCdt).t(f
tt
1
2
1
2
1
 (2.32) 
 
ANÁLISE DE SINAIS PERIÓDICOS: SÉRIE DE FOURIER 
 
 46
 Torna-se evidente que o erro quadrático médio diminui à medida que aumenta-
se n, ou seja, quando f(t) é aproximada por um número maior de funções ortogonais. 
No limite, quando n, o erro tende a zero e f(t) converge para a soma infinita: 
 



1r
rr )t(gC)t(f , t1 t t2 (2.33) 
 
desde que {gr(t)} constitua um conjunto de funções ortogonais (obedecem a (2.25)) no 
intervalo (t1, t2) e os coeficientes Cr obedecem a (2.30) ou (2.31). 
 
 
Exemplo 2.5: 
Considere-se novamente a função retangular f1(t) estudada no exemplo 2.4, que foi 
aproximada por uma única função sen(t). Discutir como a aproximação melhora 
quando se usa um número grande de funções ortogonais tnsen 0 e tmsen 0 , para 
m e n inteiros. 
 
Solução: A função retangular f1(t) será aproximada por 
 
ntsenC...t2senCtsenC)t(f n211  , 0 t 2
 
onde 
 


 

 


 



0
2
2
0
2
2
0 1
r
dt.rtsendt.rtsen1
dt.rtsen
dt.rtsen).t(f
C
 
 
e daí 
 




parr,0
ímparr,
r
4
Cr 
 
Portanto, 
 
...]t5sen
5
1t2sen
3
1t[sen4)t(f1  , 0 t 2
 
conforme mostrado na Fig.2.11, considerando-se um, dois, três e quatro termos. 
O erro nessa aproximação é dado por (2.32): 
 


   21
t
t 2
2
21
2
1
2
1
12
...kCkCdt).t(f
tt
1
 
 
onde t2-t1=2 e   20 21 2dt).t(f . Também,   20 21r dt).t(fk   20 2 dt).t(rtsen =. 
 
SINAIS E SISTEMAS 
 47
t 




)t(sen
4

 
(a)