Unidade 3 Aritmética dos inteiros- cederj

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UNIDADE 3 – ARITMÉTICA DOS NÚMEROS 
INTEIROS 
 
Metas 
A meta desta unidade é estabelecer as notações e termos básicos da Aritmética 
dos números reais, assim como saber tratar os símbolos envolvidos e aplicar esses 
conhecimentos na resolução de problemas. 
 
Objetivos 
 Ao final do estudo desta unidade o aluno deve: 
• saber aplicar técnicas de contagens na resolução de certos tipos de problemas; 
• conhecer termos e alguns conceitos e propriedades da Aritmética dos números 
inteiros; 
• entender que existem diversas propriedades operacionais e que o domínio no 
tratamento destas pode ajudar na resolução de problemas, inclusive mais 
complexos; 
• ter praticado diversas contas numéricas a ponto de ter ganhado mais agilidade, 
desenvoltura e segurança (apresentar uma solução inapropriada por que efetuou 
uma conta errada não é legal). 
 
 
 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
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Resolução de problemas por contagem 
 A capacidade de contagem certamente faz parte dos grandes atributos que nos 
diferenciam de todas as outras espécies de seres vivos. Notem que não estamos falando 
aqui de percepção de quantidades, mas especificamente do ato de contar, ato que não é 
nada trivial e sempre envolveu estratégias bastante elaboradas. Até por que, sem 
estratégias, uma pessoa não consegue perceber a quantidade contada. 
 Na Unidade 1 o leitor conheceu alguns exemplos de meios criados para 
representar grandezas escalares, os sistemas de representação numérica. Pode não ser 
transparente para o leitor, mas os diferentes símbolos numéricos desenvolvidos por 
diferentes povos, em diferentes épocas, carregam inúmeras informações, sobre a forma 
de contar, sobre a forma de armazenar as informações, sobre as tecnologias disponíveis e 
até sobre a forma de pensar, refletindo até a cultura e religião desses povos. 
Não vamos desenvolver esses diversos conhecimentos aqui, contudo é importante 
saber que essas questões existem e futuramente é interessante buscar aprender um pouco 
sobre esses aspectos epistemológicos. Por hora, vamos simplesmente explorar nossa 
capacidade de contar aplicada na resolução de problemas. 
Problema: Em ônibus de viagem, temos o assento de número 1 atrás do motorista e perto 
da janela. O assento de número 2 fica ainda atrás do motorista, mas voltado para o 
corredor. O assento de número 3 é do lado oposto do corredor e voltado para a janela, 
enquanto que o assento de número 4 fica perto do corredor. A distribuição dos assentos 
segue este padrão, só mudando a fila, tendo os assentos numerados até 45, digamos. Por 
exemplo, o assento de número 5 fica atrás do motorista e perto da janela, mas na segunda 
fila. Com base nessas informações, determine em que posição fica o assento de número 
31. Ele fica na janela ou no corredor? Do lado do motorista ou do lado posto? 
Solução: A melhor maneira de começar um problema é buscar por uma boa representação 
que descreva a situação colocada. Por exemplo, poderíamos pegar um ônibus de verdade 
e analisar o problema dentro dele! Não, isso ia dar muito trabalho, certo? Ah, então 
podemos fazer um desenho de um ônibus. Veja a figura a seguir. 
 
É uma simplificação da imagem de um ônibus, sem as rodas, sem a porta de 
entrada, sem as janelas, sem o volante do motorista e muitos outros detalhes, mas não 
importa, isso deve ser suficiente para ajudar a interpretar os dados do problema e para 
ajudar a resolvê-lo. Aliás, pense nisso, num problema precisamos entender o que se pede, 
mas também precisamos entender os dados fornecidos! Uma vez que este problema esteja 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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entendido, podemos realizar uma contagem ordinária dos assentos e ver onde o de número 
31 ficaria. 
 Se o leitor contou os assentos da figura, na ordem correta, deve ter encontrado a 
posição do assento de número 31 sem maiores dificuldades. Bom, deve ter sido sem 
maiores dificuldades por que você já encontrou a figura do ônibus pronta e os dados já 
traduzidos dentro da figura. Aí fica fácil mesmo. Mas e se você tivesse que criar a figura 
do ônibus, se fosse ruim de desenho, ou mesmo não tivesse espaço para fazer o desenho, 
como faria? Vamos pensar agora sobre isso. Para que precisamos da figura do ônibus? 
No final, uma vez entendido o que precisava ser feito, bastou realizar uma simples 
contagem. Enfatizando, uma vez entendido o que precisa ser feito, o foco está no ato de 
contar. E a graça vem agora. Precisamos contar todos os acentos? Será que precisamos 
de todo esse trabalho? E a resposta é, não. É não por que podemos lançar mão de 
estratégias de contagens. Vamos mostrar uma! 
Qual assento está na frente do de número 31? Se você não sabe, veja qual assento 
está na frente do de número 5? E do de número 8, por exemplo? Você percebe que é só 
diminuir 4? Assim, o assento na frente do de número 31 é 27 (pois 31 – 4 = 27). Bom, 
também não sabemos onde fica o banco de número 27. Então vamos ver quem está na 
frente. E qual assento está na frente do de número 27? É o de número 23, certo? O aluno 
já percebeu a estratégia? Queremos diminuir de 4 em 4 até chegar na primeira fileira. 
Fazendo isso vamos encontrar 1, 2, 3 ou 4. O valor que encontrar vai determinar 
exatamente qual é a posição procurada! (Se o aluno se perdeu nessa explicação, vá no 
desenho do ônibus e reproduza cada passo da estratégia explicada.) 
Contagem com estratégia: 31, 27, 23, 19, 15, 11, 7, 3. 
Pela contagem, o assento 31 está atrás do assento 3, ou seja, fica na janela do lado 
oposto ao do motorista. E com a contagem ainda podemos deduzir outra informação, o 
assento de número 31 fica na 8ª fila depois do motorista. 
Problema: Um forno é desligado quando a temperatura estava a 200ºC. Passado um 
minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha mudado para 188ºC, ou seja, tinha 
diminuído 12ºC. Passado mais um minuto, o cozinheiro verificou que a temperatura tinha 
diminuído mais 12ºC, passando para 176ºC. Admitindo que este comportamento se 
mantenha, quanto tempo o forno levará para atingir a temperatura ambiente de 20ºC? 
Solução: Esse problema é até mais simples do que o anterior, para resolvê-lo basta contar 
de 12 em 12, diminuindo a partir do 200. Ainda assim, vamos usá-lo para ilustrar outra 
ideia, a de usar tabelas em problemas de contagem. 
 A sequência de valores contados pode ser acompanhada na seguinte tabela. 
x min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 
yoC 188 176 164 152 140 128 116 104 92 80 68 56 44 32 20 
 Assim, contando o tempo decorrido, em minutos, e a mudança sucessiva de 
temperatura, podemos antecipar que o forno vai alcançar a temperatura ambiente depois 
de 15 minutos. 
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 Além de organizar os dados trabalhados na resolução do problema, a graça maior 
no uso de tabelas conforme ilustrado aqui é que com as novas tecnologias essas tarefas 
enfadonhas podem ser bastante simplificadas. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 1: Vamos apresentar mais três recursos de contagem por meio de ferramentas. 
a) Existe uma forma bem simples de montar uma tabela como a do exemplo anterior. As 
planilhas eletrônicas (por exemplo, o Excel ou BrOffice – este último é um programa 
livre e, se precisar, você pode pedir ajuda ao seu tutor de Informática sobre mais 
informações ) oferecem ótimos recursos matemáticose um destes é ajudar a montar 
facilmente tabelas como a anterior. Tente realizar as etapas descritas a seguir. 
1º) Em uma planilha, preencha as três primeiras células da primeira linha com os 
valores 1, 2 e 3, respectivamente. 
2º) Selecione as três células preenchidas, você encontrará as três células cercadas por 
um retângulo com um pequeno quadrado do lado, chamado alça de preenchimento, com 
o seguinte aspecto: . 
3º) Clique em cima do pequeno quadrado e arraste a alça ao longo da linha, você verá 
as células sendo preenchidas automaticamente. 
Se você começar a preencher as células com sequências variadas, o programa irá 
preencher as células seguintes de acordo com a sequência definida. Experimente criar 
automaticamente a sequência dos números pares, ou a sequência dos números múltiplos 
de 9, por exemplo. Tente recriar a tabela do exemplo anterior. 
 
Se você preencher uma planilha eletrônica conforme a figura acima 
e selecionar as 3 células preenchidas, basta arrastar o quadradinho para direita 
para obter a sequência de valores do exemplo anterior. 
b) Uma forma interessante de realizar contagens se dá através da representação 
geométrica dos números naturais. Consiga uma trena com 2 m de comprimento, pelo 
menos. Consiga também um pedaço de linha de 12 centímetros (pode ser um pedaço 
maior, até por que você precisa segurar a linha, e você pode usar nós para estabelecer o 
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tamanho de 12 cm). Vamos representar a temperatura do forno através dos centímetros 
da trena. Assim, a marca 200 cm da trena representa a temperatura inicial do forno. Ande 
com o pedaço de linha a partir da marca de 200 cm, diminuindo de 12 cm em 12 cm. 
Conte cada diminuição de marca, até chegar à temperatura ambiente, isto é, até chegar à 
marca de 20 cm. 
c) Existe uma versão tecnológica do ato de contar com saltos sobre a reta numérica 
ilustrado no item anterior. A construção em https://tube.geogebra.org/m/2534947 
simula um efeito bastante parecido. A figura a seguir mostra a contagem 
decrescente, de 4 em 4, usada na resolução do problema do assento do ônibus. O 
leitor está convidado a visitar o site indicado e tentar reproduzir o cenário ilustrado 
aqui. 
 
Atividade 2: Resolver os problemas a seguir lançando mão de recursos de contagem e 
ferramentas como as ilustradas aqui. 
a) Imagine que você comece a brincar com palitos, formando quadrados, como na figura 
a seguir. Quantos palitos são necessários para se montar uma sequência de 17 
quadrados? 
 
b) Um comerciante compra um determinado produto do fabricante. Este cobra 100 reais 
pela entrega e mais 15 reais por cada peça. Se o comerciante vende cada peça por 30 
reais, quantas peças ele precisa vender para começar a ter algum lucro? (Para este 
problema, pode ser interessante abrir duas telas com o cenário virtual.) 
c) O tanque de combustível de um automóvel fica cheio com 45 litros. Se ele já tem 6 
litros, quando o carro para no posto, e a bomba despeja o combustível a uma vazão 
constante de 7 litros por minutos, quanto tempo levará para o tanque ficar cheio? 
d) Qual é a variação de temperatura ocorrida, quando a temperatura muda de −15ºC para 
3ºC? 
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e) Determine o número de múltiplos de 4 que estão entre 15 e 45. (Sugestão: adote 
alguma estratégia de contagem. Se puder, adote mais de uma estratégia de contagem. 
Isto ajuda a ter certeza da resposta encontrada.) 
f) Determine o número de múltiplos de 7 que estão entre 71 e 2000. (Dica: assim como 
no exercício anterior, basta contar os múltiplos de 1 em 1 para resolver a questão. 
Contudo, este deve ser um processo um pouco cansativo. Será que você sabe empregar 
algum método de contagem mais eficiente? Uma planilha eletrônica parece ser um 
bom recurso. Será que o uso de representações geométricas é uma boa estratégia?) 
g) Os registros mais antigos de uso de numerais escritos datam de aproximadamente 3500 
a.C., e foram produzidos pelos antigos sumérios e egípcios. Segundo esta referência, 
há quantos anos, aproximadamente, o homem faz uso de numerais escritos? 
h) Por uma torneira, jorram 4 litros de água por minuto. 
i) Quantos litros de água jorrarão em 11 minutos? 
ii) Quantos litros jorraram em 2 horas e 21 minutos? 
iii) Quanto tempo leva para a torneira despejar 96 litros de água? 
i) João vai ter que tomar um remédio por 130 dias. Ele começou a tomar o remédio no 
dia 20 de junho. Em que dia do ano ele tomará o último comprimido. E se João começar 
a tomar o remédio no dia 20 de novembro? Quantas semanas ele levará tomando o 
remédio? (Você pode utilizar qualquer recurso de contagem.) 
 
 
Abstraindo o processo de contagem 
 Para os números naturais, encontramos as operações fundamentais adição e 
multiplicação, além de uma noção de ordem compatível com essas operações. É a partir 
destas operações que a noção de número se mostra realmente importante. Em particular, 
muitas vezes temos o processo de contagem bastante simplificado através do uso das 
operações fundamentais. 
Problema (nova solução): Voltemos ao problema do forno que é desligado quando a 
temperatura estava a 200ºC e cuja temperatura diminui 12ºC a cada minuto. Utilizando 
operações matemáticas, podemos representar o fenômeno da variação de temperatura do 
forno em função do tempo pela equação 
y = 12x + 200, 
onde x representa o tempo em minutos e y representa a temperatura em grau Celsius. 
 Foi pedido para determinar em quanto tempo o forno atinge a temperatura 20oC, 
ou seja, quanto vale x quando y = 20. Assim, queremos resolver a equação 
20 = 12x + 200. 
Com habilidade matemática, é fácil encontrar a solução: 
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 12x = 200  20 = 180  x = 180:12 = 15. 
Assim, o forno chegará à temperatura ambiente após 15 minutos. 
Problema (nova solução): Voltemos ao problema de determinar o número de palitos 
para a construção de uma sequência de quadrados. Pelos dados do problema, precisamos 
de 4 palitos para o primeiro quadrado e, daí por diante, mais 3 palitos para cada novo 
quadrado. Assim, a quantidade de palitos, y, para cada quadrado, x, pode ser expressa 
matematicamente pela fórmula 
y = 1 + 3x. 
No problema, foi pedido para determinar o número de palitos para se construir 17 
quadrados. De posse da fórmula, precisamos calcular o valor de y quando x = 17. Portanto, 
 y = 1 + 3x = 1 + 3.17 = 52. 
Observação: Não foi explicado, mas no futuro (aqui, em nossas aulas, e em outras 
disciplinas também) vocês verão como obter fórmulas para problemas como os ilustrados 
aqui. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 3: A seguir, falaremos mais sobre as técnicas de tratamento de expressões 
algébricas. Mas, se o aluno já quiser testar seus conhecimentos, se quiser tentar novas 
soluções para os problemas de contagem apresentados na Atividade 2, fica o convite para 
tentar resolver todos os problemas do item (a) ao (j). 
 
 
Um pouco de Aritmética 
 Vejamos a seguir alguns termos da Aritmética dos números inteiros e algumas 
propriedades importantes. 
 Não vamos aqui definir as operações de adição e de multiplicação, nem a noção 
de ordem, para os números inteiros. Na Unidade 1 apresentamos algumas ideias intuitivas 
ligadas a esses termos e algumas formas de representá-los. O objetivo agora é fixar alguns 
termos e algumas regras de tratamento simbólicos. Mais precisamente, vamos focar em 
aspectos mais algorítmicos de assuntos tratados na Unidade 1. 
 Para todo par de números inteiros a e b representamos por a+ b e a.b (ou ab ou a 
 b), respectivamente, a soma de a e b e o produto de a e b, respectivamente. As operações 
inversas da adição e da multiplicação, subtração e divisão têm seus resultados 
representados, respectivamente, por a  b e a : b (ou a  b). Cabe notar que entre números 
naturais a expressão a  b só faz sentido se a  b, mas para números inteiros ela sempre 
faz sentido. De modo geral, com a e b sendo números inteiros, a  b = a + (b). Agora, 
no caso da divisão, a expressão a : b só faz sentido se b é um múltiplo de a. 
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números inteiros 
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 A questão da divisibilidade é fundamental na aritmética dos números inteiros. 
Assim, vamos fixar alguns termos a respeito. Ainda consideramos a e b números inteiros. 
Dizemos que a é múltiplo de b se existe um inteiro n tal que a = n.b. Notação: b | a. 
Quando a é múltiplo de b e b é diferente de zero, dizemos que b divide a ou que b é um 
divisor de a ou ainda que b é um fator de a. Alguns números só apresentam os divisores 
triviais e recebem um nome especial. Dizemos que um número inteiro p é um número 
primo se únicos divisores são 1, 1, p e p. 
Expressões envolvendo soma e produto gozam das seguintes propriedades, 
quaisquer que sejam os inteiros a, b e c: 
Associatividade: a + (b + c) = (a + b) + c a(bc) = (ab)c 
Comutatividade: a + b = b + a ab = ba 
Distributividade: a(b + c) = ab + ac 
Os números 0 e 1 gozam de propriedades particulares: a + 0 = 0 + a = 0 e a.1 = 1.a = a. 
E a é tal que a + (a) = (a) + a = 0. Sempre que a  0, vale ab = ac  b = c. 
 Na verdade, existem diversas propriedades operacionais traduzidas por 
igualdades. Listamos as propriedades básicas. Elas são chamadas de básicas, pois com 
elas podemos deduzir as propriedades operacionais traduzidas por igualdades mais 
conhecidas da Aritmética. 
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a  b)(a + b) = a2  b2 a + x = a + y  x = y 
a + x = a  x = 0 a.0 = 0.a = 0 a  0, ax = a  x = 1. 
(x) = x xy = 0  x = 0 ou y = 0 a = (1)a 
(a)b = a(b) = ab (–a)(–b) = ab a + x = b  x = b  a 
a(b  c) = ab  ac – (a + b) = – a – b 
 O aluno não deve pensar que tem que decorar todas as propriedades operacionais. 
Basta procurar conhecê-las e saber aplicá-las. Com a prática, o conhecimento delas fica 
natural. Contudo, esse exercício deve sempre ser feito com consciência. Vamos ilustrar 
esse aviso com um exemplo. 
 Comecemos com uma curiosidade, você já reparou que os livros didáticos sempre 
listam as propriedades operacionais e sempre começam com a associatividade, só que 
depois não falam mais nada sobre ela? Verifique isso! Por que precisamos da 
associatividade? Em primeiro lugar, ela serve para nos deixar despreocupados com a 
ordem das contas, ou seja, ela diz que tanto faz, numa expressão como 1 + 5 + 3, a ordem 
em que realizamos as contas. Repare que só sabemos somar de dois em dois. Assim, 
podemos fazer a conta 1 + 5 e pegar o resultado, 6, para somar com 3, obtendo 9. Mas, se 
tivéssemos começado com a segunda parcela, 5 + 3, que é 8, a conta final seria 1 + 8, que 
chegaria no mesmo 9, mas por um caminho completamente diferente. 
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 A propriedade sobre a associatividade da adição garante, não só para este exemplo 
particular, mas para qualquer terno de números, na verdade, para qualquer sequência de 
números, que o resultado das somas é sempre o mesmo, independente da ordem de 
realização das somas. Por exemplo, se fossemos obrigados a seguir a sequência de 
operações imposta, efetuar a seguinte conta se tornaria um transtorno. 
 (33 + ((33) + 149)) + ((((149) + (19)) + (19 + 875)) + (875)). 
Experimente efetuá-la, seguindo a ordem dos parênteses. Contudo, conhecendo a 
associatividade, sabemos que a ordem dos parênteses não tem importância e podemos, 
portanto, rever a expressão da seguinte maneira: 
 (33 + (33)) + (149 + (149)) + ((19) + 19) + (875 + (875)), 
cujo resultado, zero, pode ser imediatamente deduzido, sem nenhum esforço de cálculo. 
Você sabia que, na prática, a verdadeira utilidade da propriedade associativa é a 
de não ser preciso indicar a ordem das operações? Ou seja, se quisermos expressar a soma 
de três termos, a, b e c, basta escrever a + b + c, não precisamos indicar os parênteses, ou 
seja, efetuamos as operações na sequência que quisermos. 
Voltemos ao objeto de interesse desses comentários sobre a associatividades. 
Estávamos falando sobre a importância de estudar as propriedades com consciência. 
Vamos lá, você acha que faz sentido escrever a  b – c? Com tudo que acabamos de 
comentar, o leitor já deve entender que essa expressão, assim sem parênteses, indica que 
vale a associatividade, a  (b – c) = (a  b) – c. Você acha que essa propriedade é 
verdadeira? 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 4: Mostre que essas sentenças não são verdadeiras arranjando números que 
não verifiquem a igualdade. 
a) a  (b – c) = (a  b) – c. 
b) a : (b : c) = (a : b) : c. 
 
1+5+3=? 
 
(1+5)+3 
 
1+(5+3) 
 
6+3 
 
9 
 
1+8 
 
9 
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 Acabamos de apresentar uma série de termos e propriedades de caráteres 
genéricos. Uma boa forma de assimilar tudo isso é vivenciar situações particulares, ou 
seja, fazer contas e testar casos particulares. Esse é o objetivo das próximas atividades. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 5: Defina por lista o conjunto dos múltiplos de: 
a) 3 b) 5 c) 7 d) 8 e) 9 
Atividade 6: Redefina cada conjunto da atividade anterior por meio de propriedade. 
Atividade 7: Represente na reta numérica o conjunto dos múltiplos de 3 e verifique, por 
meio do desenho, que 7 não pertence ao conjunto desses múltiplos. 
Atividade 8: Verdadeiro ou falso? 
a) O número 0 é múltiplo de qualquer número inteiro. 
b) O número 1 é múltiplo de qualquer número inteiro. 
c) O número 0 é divisor de algum número inteiro. 
d) Todo número inteiro é múltiplo de si próprio. 
e) Todo número inteiro é múltiplo de 0. 
f) Todo número inteiro é múltiplo de 1. 
g) Todo número inteiro não nulo é divisor de si próprio. 
Atividade 9: Resolva, se possível, as equações no conjunto universo especificado e 
marque o conjunto solução na reta numérica. 
a) 3x + 1 = 10, x ∈ ℤ. 
b) 2x + 11 = 7, x ∈ ℤ. 
c) 3x – 1 = 9, x ∈ ℤ. 
d) x – 2 = 5x + 2, x ∈ ℕ. 
e) x – 2 = 5x + 2, x ∈ ℤ. 
Atividade 10: Vamos determinar números primos por meio de um método muito simples, 
chamado de crivo de Eratóstenes. Vamos determinar todos os primos menores do que 100 
a partir da tabela a seguir. Para isso, comece riscando todos os múltiplos de 2. Em seguida 
passe para a próxima casa não riscada e risque todos os múltiplos desse número. Repita 
o processo até não restar mais múltiplos dentro da tabela. Confira que só restaram 
números primos. 
 
 
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 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 
Atividade 11: Mostre que o número 2103 + 2102 + 2101 – 2100 é divisível por 26. 
(Lembrando, 2n = 2.2.2. ... .2.2 (n fatores, quando n é um número natural diferente de 
zero). 
Atividade 12: Efetue: 
a) 27 : (3) 
b) (15) : 3 
c) 121 : 11 
d) (25) : (5) 
e) (2412 :12 – 8) – 13 + (48 – 6.2) (Resp.: 228) 
f) (1 – 2).[7.(2 – 5) – 3.(4 – 2) – 1] (Resp.: 42) 
g) [(18 + 3.2) : 8 + 5.3] : 6 (Resp.: 3) 
h) 60 : {2.[7 + 18 : (3 + 12)]} – [7.(3)  18 : (2) + 1] (Resp.: 5) 
 
Desigualdades nos números inteiros 
 Na unidade 1 apresentamos a noção de ordem para os números inteiros por meio 
de alguns diferentes sistemas de representação, mas não tivemos a oportunidade de 
explorar uma forma de representação bastante útil. Dados dois números inteiros a e b 
dizemos que a > b, se a  b > 0 (ou ainda, se existe n > 0 tal que a = b + n). 
 No contexto da Aritmética é fundamental saber que as operações se relacionam. 
Aliás, esse é um aspecto que os livros didáticos não costumam dar muita atenção. As 
propriedades que relacionam a noção de ordem com as operações de adição e de 
multiplicação são, a < b  a + c < b + c, a < b, c < 0  ac > bc, a < b, c > 0  ac < bc, 
para quaisquer que sejam os inteiros a, b e c. 
Atividade de aprendizagem 
 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
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Atividade 13: Em cada item, desenhe uma reta numérica e marque todos os elementos 
do conjunto dado. 
a) A = {n ∈ ℕ : n ≤ 5} 
b) A = {x ∈ ℤ : −2 ≤ x < 5} 
c) A = {x ∈ ℤ : −4 < x + 1 < 3} 
d) A = {n ∈ ℤ∗ : −3 ≤ n < 2} 
e) A = {x ∈ ℤ∗ : −20 ≤ 2x < 7} 
f) A = {3q : q = −2, −1, 0, 1, 2} 
g) A = {n ∈ ℕ; n = 5q + 6 e n ≤ 20, onde q ∈ ℤ} 
 
 
A divisão euclidiana 
 Lembramos que a divisão entre números inteiros não ocorre para qualquer par de 
números. Formalmente a divisão é vista como a operação inversa da multiplicação, 
contudo ela possui outras interpretações. Por exemplo, pode ser vista como um recurso 
de repartir, de separar uma coleção de objetos em grupos de mesma quantidade. Esta é 
uma interpretação que pode ser usada em situações como, “Marcelo tem 12 bombons e 
quer dividir tudo entre ele e seus 3 melhores amigos. Quantos bombons cada um 
ganhou?”. Esse tipo de problema pode ser visualizado imaginando o total de bombons 
separados em quatro grupos, menores e de mesma quantidade. 
 
 Mais uma vez podemos ver o processo de contagem sendo aplicado, essa 
separação pode ser obtida contando de 4 em 4. Assim, podemos interpretar o problema 
de dividir 12 por 4 no processo de diminuir de 4 em 4, até chegar no 0, ou de aumentar 
de 4 e 4, até chegar no 12. E desta forma, mais uma vez podemos fazer uso da reta 
numérica, agora para efetuar contas de divisão. Vejamos como efetuar a divisão, 12 : 4 
na reta numérica. Pelo número de saltos vemos que 12 : 4 = 3. 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
13 
 
 Voltando ao assunto, quando a divisão não é exata, 
encontramos a ideia de divisão com um resto. Certamente o 
leitor já trabalhou com essa ideia usando o algoritmo da divisão 
conhecido como método da chave. Agora, você sabe qual é a 
propriedade que caracteriza esse resto? A forma de obter essa 
divisão é única? Você sabe aplicar esse método com números 
negativos? 
 O método da chave é um algoritmo, e é um algoritmo ótimo, que permite obter a 
divisão num processo ótimo, com o menor número de etapas possíveis, inclusive quando 
ela não é exata. Contudo, o ensino desse algoritmo deveria ser precedido por experiências 
não estruturadas e que permitissem um aluno de escola a criar estratégias e a realizar 
descobertas. Uma boa forma de fazer isso, sem usar abordagens algorítmicas é usando a 
reta numérica. Por exemplo, podemos buscar a melhor divisão de 15 por 4 só nos 
baseando pela seguinte contagem sobre a reta numérica. 
 
Pela figura, obtemos 15 = 3.4 + 3 ou 15 = 4.4 – 1, duas maneiras de se obter uma boa 
divisão do 15 em grupos de quatro, só precisamos olhar para o resto. Veja pelo desenho 
que o resto ficou pequeno, no sentido de que seu tamanho é menor do que 4 (o tamanho 
dos saltos – dos agrupamentos). 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 14: Utilize a representação geométrica dos números naturais para fazer 
divisões com resto. Ou seja, para dois números naturais, a, b  ℕ, encontre o quociente 
q  ℕ e o resto r  ℕ tais que: a = qb + r e 0  r < b. 
a) a = 25 e b = 3 
b) a = 25 e b = 7 
c) a = 51 e b = 6 
d) a = 94 e b = 3 
Dica: utilize uma régua suficientemente grande, ou uma trena, e um compasso, ou utilize 
a animação https://www.geogebra.org/m/xyuuUF7E. 
Atividade 15: Amplie a ideia trabalhada na atividade para lidar com números inteiros 
com sinal. 
a) a = 25 e b = 4 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
14 
b) a = 25 e b = 4 
c) a = 25 e b = 4 
 
 Falamos em divisão de inteiros com resto e no algoritmo de divisão, o método da 
chave. Esses termos se confundem nos textos escolares, mas não representam a mesma 
ideia. Em Matemática, o conceito de divisão entre inteiros com resto, num sentido que é 
preciso ficar bem definido, é chamado de divisão euclidiana. Dados números inteiros a, 
b, a divisão euclidiana de a por b determina de modo único um quociente q  ℤ e um 
resto r  ℤ tais que a = q.b + r e 0  r < b. 
Problema (nova solução): A rigor, lembrando das explicações iniciais desta seção, 
vemos que o conceito de divisão euclidiana é uma simples formalização do ato de contar 
em grupos (“com saltos”). E nós usamos esta estratégia lá no primeiro problema de 
determinar a posição do assento de número 31 dentro de um ônibus de viagem. Podemos 
aplicar o conceito de divisão euclidiana para o resolver o problema de imediato, só por 
meio de tratamentos numéricos. De fato, 
31 = 7.4 + 3. 
O resto 3 determina uma das 4 possíveis posições dos assentos e o quociente determina a 
fila em que o assento se encontra, 8 = 7 + 1. 
 A resolução usando a divisão euclidiana fica muito mais simples e mais direta. É 
assim que normalmente se ensina matemática. A pergunta que deve ficar, principalmente 
para quem pretende ensinar matemática, é se essa solução é de fácil compreensão, se 
aprendê-la ajudará um aluno escolar a resolver outros problemas desse tipo. O que o leitor 
acha? Essa é uma boa questão para se refletir. 
 
O Teorema Fundamental da Aritmética 
Os números primos desempenham um papel importantíssimo na teoria dos 
números, pois, no que diz respeito a propriedades multiplicativas, formam a estrutura dos 
números inteiros, assim como os átomos formam a estrutura da matéria. Qualquer número 
inteiro diferente de 1 pode ser construído através de produtos de potências de primos. 
Logo, podemos fatorar um número inteiro, diferente de 0,1 e 1, usando potências de 
primos. Esse é o conteúdo do Teorema Fundamental da Aritmética. Vejamos exemplos 
de fatoração antes de enunciar o teorema. 
Exemplo: 
a) 6 = 2  3 b) 28 = 22  7 c) 720 = 24  32  5 d) 82 = (1)  2  41 
b) Vamos relembrar um método prático de fazer a fatoração de um inteiro: 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
15 
924 2 ← menor primo positivo que divide 924 
462 2 ← menor primo positivo que divide 462 
231 3 ← menor primo positivo que divide 231 
77 7 ← menor primo positivo que divide 77 
11 11 ← menor primo positivo que divide 11 
1⏟ 
__________ 
22  3  7  11 
Logo, 924 = 22  3  7  11. 
 Veja abaixo o enunciado do Teorema. 
Teorema Fundamental da Aritmética: 
Seja 𝑎 ∈ ℤ, 𝑎 > 1. Então, 𝑎 = 𝑝1
𝑛1 × 𝑝2
𝑛2 × 𝑝3
𝑛3 ×... × 𝑝𝑘
𝑛𝑘 , onde 𝑝1 < 𝑝2 <
𝑝3 <. . < 𝑝𝑘 são primos positivos e 𝑛1, 𝑛2, … , 𝑛𝑘 são inteiros positivos. E essa é a 
única maneira de decompor com essas propriedades. 
Observação: Se a  ℤ e a < 1 então a > 1 e,pelo teorema acima, temos que −𝑎 =
𝑝1
𝑛1 × 𝑝2
𝑛2 × 𝑝3
𝑛3 ×... × 𝑝𝑘
𝑛𝑘 e, portanto, obtemos 𝑎 = −𝑝1
𝑛1 × 𝑝2
𝑛2 × 𝑝3
𝑛3 ×... × 
𝑝𝑘
𝑛𝑘. 
 Lembremos que dois (ou mais) inteiros são primos entre si se não possuírem 
divisores positivos em comum diferentes de 1. Note que, pensando na decomposição dos 
números em fatores primos, isso significa que não há primos em comum nas 
decomposições. Por exemplo, 12 e 35 são primos entre si, pois 12 = 22 × 3 e 35 = 5 × 7 
e não há primos em comum nas duas decomposições. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 16: Resolva os seguintes problemas baseando-se o Teorema Fundamental da 
Aritmética. 
a) Determine quais são os números fatorados: 
i) 23 × 32 × 11 ii) 3 × 53 × 7 iii) 5 × 7 × 11 × 13 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
16 
b) Fatore os números segundo o Teorema Fundamental da Aritmética: 
i) 234 ii) 512 iii) 303. 
c) Verifique se 35 e 162 são primos entre si. 
d) Encontre as soluções inteiras da equação 𝑎2. 𝑏 = 175. 
 
 
Mínimo múltiplo comum 
Situação-problema: Uma engrenagem é composta de duas rodas dentadas, uma com 20 
dentes e outra com 36 dentes. Num dado momento, dois dentes específicos, um de cada 
roda, ao se encontrarem, ficaram danificados. É certo que no próximo encontro dos dois 
dentes a engrenagem irá parar de funcionar. A engrenagem ainda 
funciona quando um dente com problema entra em contato com 
outro dente bom, mas quando dois dentes com problemas se 
encontrarem, não terá jeito. Sabendo destas informações, quantas 
voltas a roda menor ainda pode dar antes da engrenagem parar de 
funcionar? 
 
 Vamos analisar o problema. Quando a roda menor der uma volta, o seu dente com 
defeito novamente entra em contato com um dente da roda maior. O que você acha, para 
este momento, o dente da roda maior também é o dente com defeito? Para a roda menor 
ter dado uma volta, seus 20 dentes entraram em contato na engrenagem. Assim, 20 dentes 
da roda grande também trabalharam na engrenagem. Mas, para a roda grande dar uma 
volta, é preciso que seus 36 dentes trabalhem na engrenagem. Ou seja, com uma volta da 
roda menor depois do acidente envolvendo os dois dentes quebrados, estes não se 
encontram e, portanto, a engrenagem vai continuar a funcionar. 
 Continuamos sem saber quando os dois dentes quebrados vão se encontrar. Você 
já sabe o que vai acontecer? Só sabemos que isto não acontece depois da primeira volta 
da roda menor. Precisamos adotar uma estratégia para entender melhor este problema. 
 Caro aluno, vamos adotar uma estratégia. Ela não é única. Caso você imagine 
outra estratégia, nós o incentivamos a desenvolvê-la também. Agora vamos desenvolver 
a nossa. Imagine a roda menor esticada, isto é, que os seus dentes sejam colocados sobre 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
17 
uma reta. Bom imagine que isto seja possível. Assim, teríamos 20 dentes, lado a lado, 
sobre uma reta. Estes 20 dentes representam uma volta da roda menor. Para duas voltas, 
continuando este exercício de imaginação, teríamos 40 dentes, lado a lado, sobre uma 
reta. Agora podemos praticar algo que foi comentado na primeira unidade. Vamos 
representar o problema matematicamente. Vamos associar a grandeza dente a números. 
Para visualizar a situação, vamos considerar a representação geométrica dos números. O 
dente quebrado da primeira roda está associado ao número zero. Assim, o dente quebrado 
também estará associado ao número 20, 40, 60, etc. Ou seja, todo múltiplo de 20 
representa o dente quebrado da roda menor em contato com algum dente da roda maior 
(veja a noção de múltiplo aparecendo no problema). Podemos analisar o comportamento 
do dente quebrado da roda maior da mesma maneira. Associando os dentes a números e 
o dente quebrado ao número zero, temos que os números 36, 72, 108, etc., representam o 
dente quebrado da roda maior. 
 A partir desta representação matemática que obtemos, podemos perceber um 
padrão de comportamento. Temos que 20, 40, 60, 80, etc. representam os números 
associados aos dentes quebrados da roda menor após sucessivas voltas da roda menor. 
Temos também que 36, 72, 108, 144, etc. representam os números associados aos dentes 
quebrados da roda maior. Pergunta: Quando os dois dentes vão entrar em contato 
novamente? Resposta (que agora parece natural): Quando tivermos um número que 
pertença às duas listas ao mesmo tempo. O problema agora é encontrar tal número. O 
mais natural é realizar uma contagem, duas, na verdade. Podemos contar de 20 em 20 e 
de 36 em 36 até encontrar o número procurado. A tabela a seguir foi obtida de uma 
planilha eletrônica. Ela contém uma lista de múltiplos de 20 e uma lista de múltiplos de 
36. 
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 
36 72 108 144 180 216 252 288 324 360 396 432 
 
Veja pela tabela que 180 ocorre nas duas listas. Isto significa que 180 representa o dente 
quebrado, tanto o da roda menor, quanto o da roda maior. Pela quantidade de números 
representados da primeira lista, temos que os dentes quebrados vão se encontrar 
novamente após 9 voltas da roda menor (180 ocupa a nona posição na 1ª lista). 
 Recapitulando, associamos os dentes das duas rodas a números. Verificamos que 
o contato dos dentes quebrados na engrenagem ocorre por múltiplos, o primeiro por 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
18 
múltiplos de 20 e o segundo por múltiplos de 36. Depois, verificamos que a ocorrência 
simultânea dos dois dentes quebrados ocorreria quando tivéssemos dois múltiplos em 
comum. Na verdade, existem vários múltiplos em comum nas duas listas. O que 
encontramos foi o menor múltiplo em comum das duas listas de múltiplos. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 17: Faça uma lista com os 10 primeiros múltiplos positivos de 2 e uma lista 
com os 10 primeiros múltiplos positivos de 3. Faça uma terceira lista com números que 
sejam comuns às duas listas. 
a) Esta terceira lista tem um menor número? Tem um maior número? 
b) Se você considerar todos os números que são múltiplos positivos de 2 e de 3 ao mesmo 
tempo, mesmo que não possa listá-los, você acha que a lista de múltiplos em comum 
de 2 e de 3 é finita ou infinita? Ela tem um menor elemento? Ela tem um maior 
elemento? 
 
 A situação-problema analisada aqui é só um exemplo. Existem várias situações 
que podem apresentar um comportamento parecido com o que encontramos na análise, e 
que podem ser estudadas segundo a mesma estratégia. Por exemplo, sabendo que houve 
uma eleição para presidente e senadores num determinado ano, que a eleição para 
presidente ocorre de 4 em 4 anos e que a eleição para senador ocorre de 6 em 6 anos, 
quando teremos uma nova eleição para presidente e senadores ao mesmo tempo? Outro 
exemplo, se dois planetas se encontram alinhados, um deles leva 4 anos terrestres para 
dar uma volta em torno do Sol e o outro leva 7 anos, quando estarão alinhados novamente? 
Sabendo que a estratégia de procurar o menor múltiplo em comum pode ser útil em várias 
situações, devemos ver a importância de se formalizar esta noção. 
 O menor múltiplo comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado 
de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação mmc. 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos M(6) e M(7), dos 10 menores múltiplos não negativos 
de 6 e 7, respectivamente. Analisando os dois conjuntos, podemos determinar o 
mmc(6,7). 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
19 
• M(6) = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54} 
• M(7) = { 0, 7, 14,21, 28, 35, 42, 49, 56, 63}. 
Observe que o primeiro múltiplo comum, que é o menor múltiplo comum, que aparece 
nos dois conjuntos é 42, logo mmc(6,7) = 42. Note que, nesse caso, 42 = 6×7, ou seja, o 
mmc é o produto entre os dois números. 
b) Determine o mmc(60,72). 
 Poderíamos proceder como em a), porém tomaremos um caminho mais simples. 
Vamos usar a decomposição dos dois números: 
60-72 2 ← menor primo positivo que divide 
60 e/ou 72 
30-36 2 ← menor primo positivo que divide 
30 e/ou 36 
15-18 2 ← menor primo positivo que divide 
15 e/ou 18 
15-9 3 ← menor primo positivo que divide 
15 e/ou 9 
5-3 
5-1 
1 − 1⏟ 
 3 ← menor primo positivo que divide 15 
e/ou 9 
 5 ← menor primo positivo que divide 5 
e/ou 1 
 __________ 
23 × 32 × 5 = 360 
 Observe que 360 = 6×60 = 5×72 e é o menor múltiplo comum entre 60 e 72. 
Nesse caso, mmc(60,72) ≠ 60×72 = 4320. Compare as decomposições de 60 =
22 × 3 × 5 e 72 = 23 × 32 com o mmc. No mmc aparecem os primos que estão 
presentes em pelo menos uma das decomposições, elevados ao maior expoente com que 
aparecem. 
c) Encontre o mmc(24 × 52 × 7, 22 × 3 × 5). 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
20 
Os primos que aparecem em pelo menos uma das decomposições elevados à maior 
potência são 24, 3, 52𝑒 7. Logo, mmc(24 × 52 × 7, 22 × 3 × 5) = 24 × 3 × 52 × 7. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 18: Aplique o conceito de menor múltiplo comum nos próximos problemas. 
a) Encontre: i) mmc(23.32.7, 2.52.17) ii) mmc(132, 74) iii) mmc(132, 74, 33) 
b) Um filho visita a mãe a cada 15 dias e o outro filho a cada 18 dias. Se os dois filhos 
visitaram a mãe hoje, daqui a quantos dias coincidirá novamente a visita dos dois? 
c) A soma de dois inteiros positivos é 30 e o mmc dos dois é 36. Determine esses 
números. 
 
 
Máximo divisor comum 
O maior divisor comum positivo de dois ou mais números inteiros, é chamado de 
máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação mdc. Dados a, b ∈ ℤ, o 1 
é sempre um divisor comum entre eles e será o maior, isto é, teremos mdc(a,b) = 1, 
quando a e b forem primos entre si. 
Para o conceito anterior, nós apresentamos uma situação-problema, elaboramos 
uma estratégia para entendê-la e vimos que seria interessante formalizar a ideia 
matemática de menor múltiplo comum. Esta parece ser uma ótima estratégia didática. 
Pelo menos é uma das principais orientações didáticas dos Parâmetros Curriculares 
Nacionais (PCN), que são uma coleção de documentos governamentais que têm como 
fim a orientação da formação do professor e das ações didáticas voltadas para a escola 
básica. Inclusive, praticar esta metodologia didática é muito útil também para se buscar 
contextualizar os conhecimentos matemáticos estudados em situações práticas ou do 
cotidiano, além de ser um ótimo exercício de preparação de aula para quem pretende ser 
professor. 
Nem sempre vamos adotar este recurso didático. O conceito de mdc, por exemplo, 
foi simplesmente apresentado, sem nenhuma contextualização. O leitor está convidado a 
buscar uma situação-problema onde a noção de mdc apareça naturalmente como 
estratégia de solução. Este é um exercício extra que pode muito bem ser praticado com 
todos os conceitos matemáticos que forem vistos neste texto. 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
21 
Exemplo: 
a) Vamos determinar os conjuntos D(36) e D(42), dos divisores positivos de 36 e 42, 
respectivamente. Analisando os dois conjuntos, determinamos o mdc(36,24). 
• D(36)={1,2,3,4,6,9,12,18,36} 
• D(42)={1,2,3,6,7,14,21,42}, 
Os divisores em comum são 1,2,3,6 e o maior deles é o 6, logo mdc(36,42)=6. 
b) Determine o mdc(60,72). 
 Vamos usar a decomposição dos dois números: 
60-72 2 ← menor primo positivo que divide 
60 e 72 
30-36 2 ← menor primo positivo que divide 
30 e 36 
15-18 3 ← menor primo positivo que divide 
15 e 18 
5 − 6⏟ 
Primos 
 entre si 
 Não há mais primo positivo 
divisor de 5 e 6, 
 então o processo termina. 
 __________ 
22 × 3 = 12 
= 𝑚𝑑𝑐(60,72) 
Vimos que 60 = 22 × 3 × 5 e 72 = 23 × 32, portanto no mdc(60,72) = 22 × 3 
aparecem os primos que estão presentes nas duas decomposições, elevados ao menor 
expoente com que aparecem. 
 Relacionando o mdc e o mmc, temos a seguinte igualdade mdc(a, b).mmc(a, b) = 
ab, para quaisquer a e b inteiros positivos. 
Atividade de aprendizagem 
 
Atividade 19: 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
22 
a) Encontre: i) mdc(124,328) ii) mdc(124,328,1200) 
 iii) mdc(32 × 53 × 11,2 × 33 × 5 × 101). 
b) Um terreno retangular mede 300m por 135m e será dividido em lotes quadrados iguais 
com a maior área possível. Qual é o comprimento de cada lote? Quantos lotes 
formaremos? 
c) Senhora Delícia, dona de uma fábrica caseira de bolos, recebeu a seguinte encomenda: 
24 bolos de chocolate, 36 de laranja e 48 de maracujá. Porém, no pedido havia a seguinte 
exigência: os bolos devem ser postos em embalagens contendo o mesmo número de bolos 
de cada tipo e a menor quantidade possível de bolos em cada embalagem. Como podemos 
ajudar a nossa confeiteira a não perder a encomenda? Quantas embalagens serão usadas? 
Quantos bolos de cada tipo serão postos em cada uma? 
d) Um terreno retangular tem 144m de comprimento e 112m de largura. Esse terreno foi 
cercado com coqueiros mantendo-se a mesma distância entre dois coqueiros 
consecutivos. Sabendo que plantamos um coqueiro em cada canto do terreno e que a 
distância entre dois coqueiros consecutivos é a maior possível, determine quantos 
coqueiros foram plantados no terreno. 
 
 
 
 
 
Gabarito 
Atividade 2: 
a) Como temos visto nesta unidade, para resolver este problema, o caminho é fazer uma 
contagem. Para montar um quadrado, precisamos de quatro palitos. Para montar dois 
quadrados, precisamos de 7 palitos. Para montar três quadrados, precisamos de 10 
palitos. Bom, o processo segue assim, sempre juntando mais 3 palitos para obter um 
outro quadrado. Ficou com dúvida sobre o processo descrito? Monte os quadrados e 
verifique os números citados. 
 Percebendo que a sequência de palitos necessários cresce de 3 em 3, a partir do 4, 
basta montar a seguinte tabela, com a primeira linha representando o número de 
quadrados e a segunda linha representando o número de palitos usados. 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
23 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 
Assim, são necessários 52 palitos. (Tente montar uma tabela como esta no seu 
computador, aproveite para praticar as orientações da atividade 1.) 
b) Vejamos uma tabela relacionando o custo das peças e a receita na venda das peças 
com a quantidade de peças. 
No de peças 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Custo 115 130 145 160 175 190 205 220 235 
Receita 30 60 90 120 150 180 210 240 270 
Na primeira linha, temos a contagem do número de peças. Na segunda linha, 
temos o custo correspondente à quantidade de peças. Para uma peça, temos a tarifa de 
100 reais pela entrega, mais 15 reais pelo custo da peça. Para duas peças, temos 115 
mais o custo da segunda peça. Daí por diante, continuamos a aumentar o custo em 15 
reais para cada nova peça, fazendo, assim, a contagem de 15 em 15. 
 Na terceira linha, temos a receita correspondente ao número de peças vendidas. 
Com uma peça vendida, o comerciante recebe30 reais. Com duas peças vendidas, ele 
recebe mais 30, somando 60, então. O preenchimento da terceira linha prossegue com 
a contagem de 30 em 30. 
 De acordo com os números obtidos, o comerciante tem que encomendar pelo 
menos 7 peças, para obter algum lucro (é quando temos a receita maior do que o custo 
– lembre que: lucro = receita  custo). 
c) No instante inicial, o tanque tem 6 litros. Daí por diante ele aumenta de 7 em 7 litros 
por minuto. A lista de variação fica, então: 
6, 13, 20, 27, 34, 41, 48 (ops, o tanque transbordou antes de completar 6 minutos!) 
A resposta, usando aproximação poderia ser, no intervalo entre 5 e 6 minutos. Se o 
aluno usou a animação, pode ver como melhorar a resposta. Pela figura vemos que o 
tempo foi de 5 min e 4/7 de um minuto. 
 
 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
24 
d) Usando a animação para resolução de problemas por contagem, podemos visualizar 
claramente o total de variação. 
 
Uma vez entendido como funciona esse tipo de problema, poderíamos simplesmente 
efetuar a conta, 3  (15) = 3 + 15 = 18. 
e) Pela figura, vemos que são 8 os múltiplos de 4 entre 15 e 45. 
 
Se usou uma planilha, deve ter obtido, 
1 2 3 4 5 6 7 8 
16 20 24 28 32 36 40 44 
f) Numa planilha eletrônica, é fácil montar a tabela representada parcialmente a seguir. 
77 84 91 98 105 
1 2 3 4 5 
 .... 
1981 1988 1995 2002 
273 274 275 276 
 Assim, a contagem mostra que existem 275 múltiplos. Se você tem dificuldades 
de manipular uma planilha eletrônica, pode se utilizar de uma trena de 2 metros e 
contar de 7 em 7 centímetros, a partir de 77 cm. Se você não gosta de usar a contagem 
nestes casos de números grandes, pode usar o segundo método de solução do exercício 
anterior. Experimente! 
g) Passaram-se 3500 anos antes do nascimento de Cristo e mais 2000 anos, 
aproximadamente, na nossa era. No total, o homem faz uso de numerais escritos há 
aproximadamente 5500 anos. 
h) i) Montando a tabela, com a primeira linha representando o tempo em minutos e a 
segunda linha representando a quantidade de água em litros, temos 
 
Matemática Básica Unidade 3 – Aritmética dos 
números inteiros 
Cederj 
25 
min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 
Litros 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 
 
Logo, jorrarão 44𝑙 de água em 11minutos. Veja que a quantidade Q de água que 
jorra em t minutos é dada por Q=4t. 
ii) Primeiro, o tempo será convertido para minutos, então 2h 21min equivale a 
2 × 60 + 21 = 141 𝑚𝑖𝑛. Assim, a quantidade de água que jorra em 141min é dada 
por 𝑄 = 4 × 141 = 564 𝑙. 
iii) Para determinar o tempo necessário para a torneira despejar 96 𝑙 de água devemos 
determinar 𝑡 tal que 4𝑡 = 96. Então, dividindo 96 por 4, obtemos 96 = 4 × 24. 
Portanto, serão necessários 24min. 
i) Um dos objetivos da maioria destas questões é mostrar que quando não sabemos 
nenhuma estratégia matemática para resolver uma questão, podemos apelar para a 
simples contagem. Esta questão é um bom exemplo. Para resolvê-la, basta pegar um 
calendário e contar os dias. 
 
Atividade 5: 
a) {..., 6, 3, 0, 3, 6, 9, ...} 
b) {..., 10, 5, 0, 5, 10, 15, ...} 
c) {..., 14, 7, 0, 7, 14, 21, ...} 
d) {..., 16, 8, 0, 8, 16, 24, ...} 
e) {..., 18, 9, 0, 9, 18, 27, ...} 
 
Atividade 6: 
a) {x  ℤ : x = 3n e n  ℤ} 
b) {x  ℤ : 5 | x} 
c) {x  ℤ : x = 7n e n  ℤ} 
d) {x  ℤ : x = 8n e n  ℤ} 
e) {x  ℤ : 9 | x } 
 
Atividade 7: 
 Vejamos a representação geométrica de alguns múltiplos de 3 na reta numérica, eles estão 
destacados como pontos. 
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números inteiros 
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26 
 
No desenho, você encontra a representação geométrica dos seguintes múltiplos de 3: (2) 
 3, (1)  3, 0  3, 1  3, 2  3 e 3  3. 
Verificamos que 7 não é múltiplo de 3, pois 2  3 = 6 < 7, 3  3 = 9 > 7 e não 
existe inteiro entre 2 e 3. Portanto, 3 não divide 7. Entenda a situação descrita a partir da 
representação geométrica. Veja como a sequência de bolinhas vermelhas, que representa 
os múltiplos de 3, pula o ponto que corresponde a 7. 
 
 
Atividade 8: 
a) Verdadeiro. Dado n  ℤ, vale que 0 = n.0. 
b) Falso. Não tem como realizar somas sucessivas de inteiros e obter o número 1. 
c) Falso. A noção de divisor não está definida para o número 0, a frase não faz sentido. 
d) Verdadeiro. Para todo n  ℤ, vale que n = 1.n (a propriedade também vale para n = 0). 
e) Falso. Sabemos que 0 vezes qualquer número é sempre 0, não tem como um número 
diferente de 0 ser múltiplo de 0. 
f) Verdadeiro. Para todo n  ℤ, vale que n = 1.n. 
g) Verdadeiro. Se n é diferente de zero então n.1 = n (a igualdade também vale para n = 
0, mas aí a noção de divisor não vale). 
 
Atividade 9: 
a) 3x + 1 = 10 ⇔ 3x = 9 ⇔ x = 3. Logo, S = {3}. 
 
b) 2x + 11 = 7 ⇔ 2x = -4 ⇔ x = -2. Logo, S = {2}. 
 
c) 3x− 1 = 9 ⇔ 3x = 10 ⇔ x = 
10
3
. Como 
10
3
 ∉ ℤ, segue que S = ∅. 
d) x− 2 = 5x + 2 ⇔ 4x = -4 ⇔ x = -1. Como -1 ∉ ℕ, segue que S = ∅. 
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27 
e) Temos a mesma equação do item d), com conjunto universo diferente. Como 1∈ ℤ, segue 
que S = {1}. 
 
Atividade 11: 
O objetivo é mostrar que 2103 + 2102 + 2101 – 2100 é da forma 26n, onde n representa 
um número inteiro. 
 2103 + 2102 + 2101 – 2100 = 2100(23 + 22 – 1) = 2100.(8 + 4 + 2 – 1) = 299.2.13 = 26.299. 
Como 299 é um número inteiro, segue que 26 divide a expressão dada. 
 
Atividade 13: 
a) 
b) 
c) Verifique que, quando 5 < x < 2, x atende à condição do conjunto. 
 
d) 
e) 
f) 
g) Os possíveis valores que q pode assumir são: q = 1 e assim n = 1; q = 0 e assim n = 6; q = 1 
e assim n = 11; q = 2 e assim n = 16; 
 
 
Atividade 14: 
a) a = 25 e b = 3  q = 8 e r = 1. A figura a seguir mostra múltiplos 3. Com 8 múltiplos 
de 3, chegamos a 24 e 1 é o resto para chegar a 25. 
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28 
 
b) a = 25 e b = 7  q = 3 e r = 4. 
c) a = 51 e b = 6  q = 8 e r = 3. 
d) a = 94 e b = 3  q = 31 e r = 1. 
Obs: Estas são as respostas, mas o exercício é realizar o procedimento geométrico para 
obter estes valores. 
 
Atividade 15: 
a) 25 = (7).4 + 3 
b) 25 = (6).(4) + 1 
c) 25 = 7.(4) + 3 
 
Atividade 16: 
a) i)792 ii)2625 iii) 5005 
b) i) 234 = 2 × 32 × 13 ii)512 = 29 iii)303 = 3 × 101 
c) 35 = 5 × 7 e 162 = 2 × 34, portanto não há primos em comum nas duas 
decomposições. Logo, são primos entre si. 
d) Como 175 = 52 × 7, temos as seguintes soluções inteiras: a = 5 e b = 7; a = 5 e b = 
7; a = 1 e b = 175; a = 1 e b = 175. 
 
Atividade 17: 
Lista 1: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20} 
Lista 2: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} 
Lista 3: {6, 12, 18} 
a) 6 é o menor número da 3ª lista e 18 é o maior número. 
b) Veja uma representação parcial de todos os múltiplos positivos de 2 e 3, 
respectivamente: 
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{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, ...}, 
{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, ...}. 
Uma lista parcial dos múltiplos em comum entre os múltiplos de 2 e de 3 é a 
seguinte: 
{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 75, 78, ...}. 
Note que podemos montar a terceira lista seguindo um padrão, mesmo sem ter as 
listas 1 e 2 completas. Por exemplo, basta notar que os múltiplos em comum 
aumentam de 6 em 6. Bom, é fácil perceber que esta lista tem um menor elemento,o 6, mas não terá um maior elemento. Sempre conseguimos um múltiplo em 
comum maior. Em particular, a terceira lista é infinita. 
 
Atividade 18: 
a) i) 𝑚𝑚𝑐(23 × 32 × 7,2 × 52 × 17) = 23 × 32 × 7 × 52 × 17 
ii) Fatorando os dois números , obtemos: 
 𝑚𝑚𝑐(132,74) = 𝑚𝑚𝑐(22 × 3 × 11,2 × 37) = 22 × 3 × 11 × 37. 
iii) Fatorando os três números , obtemos 𝑚𝑚𝑐(132,74,33) = 22 × 3 × 11 × 37. 
b) A visita dos filhos coincidirá quando tiverem se passado um número de dias que é um 
múltiplo comum entre 15 e 18. Para sabermos quando será o próximo encontro, devemos 
calcular mmc(15,18) = 2× 32 × 5 = 90. Logo, a visita dos dois coincidirá daqui a 90 
dias. 
c) Sejam m e n esses inteiros positivos, então 𝑚 + 𝑛 = 30 𝑒 𝑚𝑚𝑐(𝑚, 𝑛) = 36 =
22 × 32. Assim, m e n são divisores positivos de 36, isto é, pertencem ao conjunto {1, 2, 
3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. O único par de divisores cuja soma é 30 é dado por 12 e 18, e ainda 
de fato mmc(12, 18) = 30. Logo, os números são 12 e 18. 
 
Atividade 19: 
a) i)mdc(124, 328) = mdc(22 × 31, 23 × 41) = 22 = 4 
ii) mdc(124,328,1200) = mdc(22 × 31,23 × 41, 24 × 3 × 52) = 22 = 4 
iii)mdc(32 × 53 × 11,2 × 33 × 5 × 101) = 32 × 5 = 45. 
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30 
b) Para que tenhamos a maior área possível, a medida de cada lado dos lotes será dada 
pelo mdc(300, 135) = 15. Assim, o comprimento de cada lote é igual a 15m e formaremos 
20 × 9 = 180 lotes. 
c) Para que cada embalagem contenha os 3 tipos de bolos, o número de embalagens deve 
ser divisor comum de 24, 36 e 48. E para termos em cada embalagem a menor quantidade 
de cada tipo de bolo, o número de embalagens deve ser igual ao mdc(24,36,48)=12. Em 
cada embalagem, teremos 2 bolos de chocolate, 3 bolos de laranja e 4 de maracujá. 
d) A distância entre cada coqueiro é dada pelo 𝑚𝑑𝑐(144,112) = 𝑚𝑑𝑐(24 × 32, 24 ×
7) = 24 = 16 𝑚. Logo, foram plantados (2 × 144 + 2 × 112): 16 = 32 coqueiros. A 
seguinte ilustração pode ajudar a entender o problema. Por exemplo, se você não entendeu 
a fórmula que gerou a quantidade total de coqueiros, pode contar um a um no desenho.