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701 
AE-701 
Estruturas Aeronáuticas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flávio Luiz de Silva Bussamra 
flaviobu@aer.ita.br 
(0xx12) 3947-5977 
 
 
ITA – Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
SUMÁRIO 
 
Introdução..................................................................................................................... I 
 
Objetivo do Curso ........................................................................................................ II 
 
1. Conceitos Fundamentais.........................................................................................1.1 
1.1. Idealização estrutural .......................................................................................1.1 
1.2. Peças Estruturais..............................................................................................1.1 
1.3. Movimento de Corpo Rígido ...........................................................................1.3 
1.4. Apoios e Graus de Liberdade ...........................................................................1.4 
1.5. Classificação das Estruturas.............................................................................1.6 
1.6. Esforços Solicitantes........................................................................................1.7 
1.7 Exercícios.......................................................................................................1.10 
 
2. Cargas em Aeronaves .............................................................................................2.1 
2.1. Introdução .......................................................................................................2.1 
2.2. Peso e Posição do CG......................................................................................2.4 
2.3. Cargas de Inércia .............................................................................................2.6 
2.4. Fator de Carga (n) e Diagrama V-n..................................................................2.8 
2.5. Cargas no Solo ..............................................................................................2.12 
2.6. Cargas na Empenagem...................................................................................2.14 
2.6.1. Empenagem Horizontal...........................................................................2.14 
2.6.2. Empenagem Vertical...............................................................................2.14 
2.7. Cargas nas Asas.............................................................................................2.15 
2.8. Fuselagem .....................................................................................................2.17 
 
3. Bases da Teoria da Elasticidade..............................................................................3.1 
3.1. Conceito de Tensão e Deformação...................................................................3.1 
3.1.1. Tensão Normal .........................................................................................3.3 
3.1.2. Tensão de Cisalhamento ...........................................................................3.4 
3.1.3. Conceito de Deformação...........................................................................3.7 
3.1.4. Efeito Poisson...........................................................................................3.9 
3.2. Diagrama Tensão x Deformação ....................................................................3.12 
3.3. Estados Planos...............................................................................................3.15 
3.4. Equação de equilíbrio ....................................................................................3.18 
3.5. Equações Constitutivas ..................................................................................3.19 
3.6. Tensões Principais .........................................................................................3.20 
3.7. Equação de compatibilidade ..........................................................................3.27 
3.8. Teoria da Elasticidade Tridimensional ...........................................................3.28 
3.8.1. Equações de Equilíbrio no Estado Triplo.................................................3.28 
3.9. Exercícios de revisão .....................................................................................3.30 
 
 
 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Estruturas de Barras................................................................................................4.1 
4.1. Diagrama de Esforços Solicitantes...................................................................4.1 
4.2. Flexão de Vigas ...............................................................................................4.8 
4.2.1. Linha Elástica ...........................................................................................4.8 
4.2.2. Equações de Equilíbrio ...........................................................................4.12 
4.3. Tensões na Flexão .........................................................................................4.13 
4.3.1. Tensão normal ........................................................................................4.13 
4.3.2. Tensão de Cisalhamento .........................................................................4.16 
4.4. Estruturas Hiperestáticas................................................................................4.17 
4.5. Estruturas Geometricamente Simétricas.........................................................4.21 
4.6. Exercícios Propostos......................................................................................4.22 
 
5. Torção de Barras ....................................................................................................5.1 
5.1. Eixos Circulares ..............................................................................................5.1 
5.2. Eixos não Circulares ........................................................................................5.6 
5.3. Tubos de Paredes Finas..................................................................................5.10 
5.3.1. Perfis Fechados...................................................................................... 5.10 
5.3.2. Perfis Abertos ....................................................................................... 5.14 
5.4. Exercícios Propostos......................................................................................5.19 
 
6. Flexão de Placas Finas........................................................................................... .6.1 
6.1. Comportamento Geral das Placas.....................................................................6.1 
6.2. Hipóteses.........................................................................................................6.2 
6.3. Relações entre Deformações e Deslocamentos.................................................6.2 
6.4 Relações entre Tensões e Deformações.............................................................6.3 
6.5 Relações entre Tensões e Deslocamentos..........................................................6.3 
6.6 Relações entre Momentos e Deslocamentos......................................................6.3 
6.7. Equação de Equilíbrio......................................................................................6.5 
6.8. Distribuição de tensões ....................................................................................6.6 
6.9. Condições de Contorno....................................................................................6.76.10. Métodos de Resolução ...................................................................................6.8 
6.11. Exercício Resolvido.....................................................................................6.11 
6.12. Placas Circulares .........................................................................................6.13 
6.13. Cascas e Membranas....................................................................................6.14 
 
7. Bibliografia ............................................................................................................7.1 
 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
I 
Introdução 
Uma aeronave é basicamente uma estrutura. As estruturas são definidas para que as 
partes externas tenham determinadas características aerodinâmicas. A fuselagem, as 
asas, a empenagem vertical e horizontal são estruturas. Internamente, os assentos, as 
janelas, as tubulações e até o piso são estruturas. 
Projetar estruturas aeronáuticas não seria tão desafiador se não fossem dois objetivos 
antagônicos: a minimização do peso e o aumento da segurança. Quanto menor o peso 
próprio da aeronave, maior a carga útil (paga ou não), ou maior a velocidade. 
Entretanto, estruturas leves requerem análise cuidadosa para manterem-se dentro dos 
altos padrões de segurança requeridos pela atividade aeronáutica. 
Projetar estruturas aeronáuticas envolve a determinação das cargas atuantes, o projeto 
do lay-out, o dimensionamento, a escolha de materiais e a otimização de formas. 
A análise estrutural é uma fase essencial no projeto de uma estrutura. A Mecânica dos 
Sólidos é a ciência que estuda as formas de um objeto sólido resistir ou transmitir 
cargas. Os sólidos são compostos de partículas, que se aproximam ou se afastam em 
função de esforços aplicados. 
A figura a seguir ilustra resumidamente as etapas de um projeto estrutural. Na etapa da 
Análise Estrutural serão calculados as tensões, as deformações e os deslocamentos de 
cada peça estrutural, de modo a atender; de um lado, requisitos de flexibilidade e 
segurança, e de outro, minimização de peso. 
A análise estrutural é pré-requisito 
para o dimensionamento das peças e, 
portanto, para o detalhamento e projeto 
executivo. Critérios de dimensio-
namento e de detalhamento podem 
necessitar nova análise estrutural. Este 
ciclo deve se repetir até que haja 
convergência de soluções das equipes 
de análise, dimensionamento e 
detalhamento. 
Evidentemente, não é possível dimen-
sionar uma estrutura sem conhecermos 
quais as cargas envolvidas. A deter-
minação das cargas requer atenção 
especial, sendo regulamentada por ór-
gãos internacionais. 
Vários exercícios resolvidos são apresentados ao longo do curso, e outros são propostos 
ao final dos capítulos. Recomenda-se fortemente que o aluno consulte a bibliografia e 
que resolva o maior número de exercícios, recorrendo ao professor sempre que tiver 
dúvidas. 
 
Concepção 
Cargas 
Análise estrutural 
Dimensionamento 
Detalhamento 
Etapas de um projeto 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
II 
Objetivo do Curso 
O curso de AE-701 tem como objetivo apresentar os fundamentos da análise de 
estruturas e introduzir conceitos básicos sobre cargas em aeronaves. Ao final do curso, o 
aluno terá desenvolvido a habilidade de analisar estruturas simples e compreendido as 
origens das cargas atuantes em uma aeronave. 
Esta disciplina fornecerá subsídios para que o aluno se aprofunde no estudo de 
estruturas aeronáuticas. Somente após ter consolidado seu embasamento teórico sobre o 
tema, estará capacitado a utilizar programas computacionais como ferramentas 
auxiliares, lembrando que o engenheiro nunca deve utilizar um software para análise e 
projeto de estruturas se não souber modelar o problema sem ter o computador! 
 
 
Estrutura do Bandeirante EMB-110K1 – Cortesia EMBRAER 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.1 
1. Conceitos Fundamentais 
1.1. Idealização estrutural 
É praticamente impossível analisar peças estruturais com suas características físicas e 
geométricas exatas. É necessária uma simplificação, possibilitando o estudo de modelos 
estruturais. Assim, por exemplo, o modelo de viga estudada por Galileu Galilei, na 
figura abaixo, pode ser idealizado por uma viga bidimensional, com contornos 
absolutamente retos, de material homogêneo, com engastamento perfeito, de tal forma 
que a viga não gire no apoio A-B. Evidentemente, nenhuma destas simplificações são 
rigorosamente corretas, mas em geral conduzem a resultados plenamente satisfatórios, 
do ponto de vista da engenharia. Caberá ao engenheiro realizar uma adequada 
idealização estrutural, tendo um compromisso entre erros gerados por simplificações e 
viabilização do cálculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.2. Peças Estruturais 
Praticamente qualquer estrutura pode ser idealizada como uma composição de peças 
estruturais simples. A figura a seguir ilustra peças unidimensionais, geralmente 
denominadas de barras. Barras sujeitas a cargas não alinhadas no seu eixo sofrem 
flexão, e se chamam vigas. Barras apenas sujeitas a cargas axiais são chamadas de 
tirantes, caso a carga seja de tração, e coluna, caso compressão. 
 
 
 
Modelo idealizado da viga de Galileu 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.2 
 
 
 
 
 
 
 
Peças bidimensionais (figura a seguir) são chamadas de placas quando são planas e 
possuem cargas normais ao seu plano. Casca é o nome dado a peças bidimensionais não 
planas, que possuem cargas normais à sua superfície média. Chapas são superfícies 
planas com cargas no seu plano. E membrana é a peça não plana que resiste somente a 
esforços tangentes à superfície média. 
 
 
 
 
 
 
O caso mais geral de peça estrutural é o bloco, onde não há qualquer dimensão que 
predomine sobre as outras. Um exemplo de bloco é dado na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 viga bi-apoiada 
tirante 
Viga engastada 
(Cantilever) 
placa 
membrana Chapa 
casca 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.3 
1.3. Movimento de Corpo Rígido 
Um movimento qualquer de um corpo rígido no espaço tridimensional pode ser 
decomposto em seis movimentos independentes: três translações e três rotações, 
conforme figura a seguir. Cada um destes possíveis movimentos é chamado de grau de 
liberdade. No total, um sólido locomovendo-se livremente no espaço possui 6 graus de 
liberdade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando o sólido está restrito a mover em um plano, a análise dos graus de liberdade 
pode ser simplificada, conforme figura a seguir. Nota-se que agora há três possíveis 
movimentos independentes: 1 rotação e 2 translações. Qualquer movimento do corpo no 
plano pode ser obtido com uma combinação lineaar destes 3 movimentos. 
 
 
 
 
 
 
 
ux 
uy 
uz 
 rotações 
θx 
θy 
θz 
y 
x 
z 
Regra da mão direita! 
translações 
 Translações no plano 
ux 
uy 
θz 
y 
x 
z 
Rotação no plano 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.4 
Para impedir movimentos de corpo rígido das estruturas, é necessário restringir os graus 
de liberdade. Isso é feito com apoios.Os apoios são vínculos da estrutura com alguma 
superfície (rígida ou flexível), de forma a impedir pelo menos um grau de liberdade. Os 
apoios geralmente são idealizados em formas simplificadas. 
1.4. Apoios e Graus de Liberdade 
Estruturas planas requerem vínculos planos. A figura abaixo mostra um vínculo 
simples, chamado apoio simples. Sua função é impedir o movimento na direção y. O 
apoio duplo tem como objetivo restringir dois graus de liberdade; movimentos nas 
direções x e y. Assim, no apoio simples, a estrutura ainda possui dois graus de 
liberdade: rotação em torno do eixo z e translação em x. No apoio duplo, a estrutura 
ainda pode se mover através da rotação em torno do eixo z. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A viga a seguir possui 3 graus de liberdade (supondo-se problema plano). O vínculo da 
esquerda suprime 2 graus, e o da direita 1 grau. Somado os dois apoios, a viga teve 
todos os seus 3 graus de liberdade restritos, não podendo mais se movimentar como um 
corpo rígido (desde que não surja nenhuma carga na direção z!). A aplicação de cargas 
no plano x-y fará então que a estrutura se deforme. 
 
 
 
 
 
 
 
 
ux 
a) Simples 
θz 
b) Duplo 
θz 
z 
y 
x 
L=0,8m 
5 kN/m 
2 kN 
deformada 
2 kN 
z 
y 
x 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.5 
Outro exemplo de vínculo pode ser visto na estrutura abaixo. Trata-se de um 
engastamento perfeito. Este vínculo impede a estrutura de girar e de se locomover em x 
e em y. A estrutura abaixo possui seus 3 graus de liberdade restritos. 
 
 
 
 
 
 
Quando a estrutura for considerada espacial, devemos usar vínculos espaciais, que são 
análogos aos planos, conforme figuras a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Graus de liberdade: 
 ux , uz , θx , θy , θz 
 
Grau impedido: uy 
 
a) Apoio simples 
espacial 
x 
y 
z 
b) Rótula espacial 
Graus de liberdade: 
 θx , θy , θz 
 
Graus impedidos: 
 ux , uy , uz 
 
Graus de liberdade: 
 não há 
 
Graus impedidos: 
 ux , uy , uz , θx , θy , θz 
c) Engastamento espacial 
x 
y 
z 
z 
y 
x 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.6 
 
1.5. Classificação das Estruturas 
Um vínculo tem como objetivo suprimir graus de liberdade de uma estrutura. Caso não 
haja vínculos suficientes em uma estrutura, esta simplesmente se locomoverá com a 
aplicação da carga, adquirindo aceleração. Neste caso, diz-se que a estrutura é 
hipoestática. 
Caso haja a quantidade mínima suficiente para que a estrutura (ou partes dela) não se 
mova como um corpo rígido, a estrutura é dita isostática, conforme exemplificado na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer vínculo que for retirado das estruturas acima deixará a estrutura hipoestática. 
Por outro lado, ao acrescentarmos vínculos às estruturas isostáticas, tornar-se-ão 
hiperestáticas, conforme figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Treliça 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.7 
As estruturas hiperestáticas apresentam deslocamentos menores que as respectivas 
estruturas hipoestáticas. Do ponto de vista da segurança estrutural, apresenta a 
vantagem de não ocorrer ruína quando se rompe um vínculo (obviamente, se 
devidamente projetada para isso). Em compensação, irá transmitir esforços adicionais 
aos apoios, que deverão ser dimensionados para receber esta carga. 
A seguir, vêem-se típicas estruturas hiperestáticas: 
 
 
 
 
 
 
1.6. Esforços Solicitantes 
As ações que atuam sobre uma estrutura são chamadas genericamente de esforços. Os 
esforços externos são aqueles que resultam da interação entre a estrutura e o meio. Estes 
esforços são chamados de reativos se originados pelos apoios, e ativos se são cargas 
diretas sobre as peças estruturais. A tabela a seguir apresenta um detalhamento da 
classificação das cargas externas. 
 
 
 
 
 
Quando uma estrutura este em equilíbrio, então qualquer parte dela também está em 
equilíbrio. Através da estrutura, as cargas externas ativas são transmitidas até os apoios. 
Estas solicitações que “atravessam” as estruturas são chamadas de esforços internos. O 
esquema a seguir ilustra os possíveis esforços internos. Ao longo deste curso, 
estudaremos detalhadamente os efeitos de cada um destes esforços nas estruturas. 
 
 
Externos: 
Ativos 
pontuais (N, kgf) 
de superfície (N/m2, kgf/m2) 
de volume (N/m3, kgf/m3) 
Reativos (reações dos apoios) 
arco 
Pórtico 
plano Pórtico espacial 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A figura a seguir ilustra o esforço normal, e a convenção adotada para o sinal positivo. 
A figura intermediária mostra uma parte da estrutura toda. Esta parte isolada também 
deve estar em equilíbrio. A influência da parte da direita (que foi retirada) foi então 
substituída pela força N. Para que a parte remanescente fique em equilíbrio, então 
devemos ter P=N. N é chamado de esforço normal na seção considerada. 
 
 
 
 
 
 
 
O esforço cortante e seus sinais podem ser vistos na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
 
Internos
Solicitantes: 
Normal (N) 
Cortante (S ou V) 
Momento Fletor (M) 
Tensão normal (σ) 
Tensão de cisalhamento (τ) 
Resistentes
P>0 
 
 
P>0 
 
 
P<0 
N>0 
P>0 
 
 
 
 
 
P<0 
 a) Esforço Normal: Tração é positiva
�
S>0 
S<0 
Esforço cortante (S) 
S>0 
S<0 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.9 
O momento fletor nos é mostrado na figura a seguir. Há duas representações adotadas 
para o momento: flecha curva e a flecha dupla. Neste segundo caso, o sentido de 
rotação é dado pela regra da mão direita. 
 
 
 
�
 
 
 
 
 
 
 
Por fim, o momento torçor pode ser visto a seguir. Notar que o sinal, quando usado 
flecha dupla, é análogo ao adotado pelo esforço normal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
z 
Mz>0 
Mz<0 
Regra da mão direita! 
Momento fletor 
d)
R d
Tx>0 
Tx<0 
x 
y 
z 
Momento torçor 
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.10 
1.7 Exercícios 
1.7.1. Calcular as reações das estruturas a seguir: usando as seguintes equações da 
estática: 
Problemas Bidimensionais (2D, em x-y): 
∑∑∑ === 0 0 0 zyx MFF �
Problemas Tridimensionais (3D):
�
∑∑∑
∑∑∑
===
===
0 0 0
0 0 0
zyx
zyx
MMM
FFF
 
 
 
 
 
Solução: 
A carga distribuída é estaticamente equivalente à sua resultante, aplicada no centro de 
gravidade da distribuição de carga: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, as reações são, considerando os sinais: 
 
 
 
q=9500 N/m 
L=3,2 m 
m.N,.,MPLMM
N,PRPRF
RRF
zzz
yyy
xxx
k 1961430 0
k 430 0
0 0
−=−=⇒=+=
==⇒=−=
=⇒=−=
∑
∑
∑
 x 
y 
P=9500*3,2=30,4kN Ry Mz 
 Rx 
L=1,6 m 
 30,4 kN 19kNm 
________________________________________________
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.7.2. Avaliar a seguinte estruturaquanto ao equilíbrio: 
�
�
 
Solução: 
Temos: 3 equações de equilíbrio (2D):
�
Temos: 3 reações (incógnitas): RAx ; RAy ; RBy 
A Treliça é ISOSTÁTICA. 
 
1.7.3. Avaliar a seguinte estrutura quanto ao equilíbrio: 
�
�
 
Solução: 
Temos: 3 equações de equilíbrio (2D):
�
Temos: 4 reações (incógnitas): RAx ; RAy ; RBy ; R
A Treliça é Hiperestática (1 grau de hiperestaticida
 
1.7.4. Avaliar a seguinte estrutura quanto ao equ
�
 
 
Solução: 
Temos: 3 equações de equilíbrio (2D):
�
Temos: 4 reações (incógnitas): RAx ; RAy ; RBy ; R
A Treliça é Hiperestática (2 graus de hiperestaticid
 
A B 
A B 
A 
C 
_
i
________________________________ 1.11 
Cy 
de) 
líbrio: 
Cy ; RCx 
ade) 
B 
C
_________________________________________________________________________________ 
AE701-Instituto Tecnológico de Aeronáutica 
 
1.12 
1.7.5. Avaliar a seguinte estrutura quanto ao equilíbrio: 
�
�
 
 
 
Solução: 
Temos: 3 equações de equilíbrio (2D):
�
Temos: 2 reações (incógnitas): RAy ; RBy 
A Treliça é Hipoestática (pode se movimentar como um corpo rígido em x) 
 
1.7.6. Avaliar a seguinte estrutura quanto ao equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
Solução: 
6 equações de equilíbrio (3D) 
6 reações (incógnitas): RAx RAy Raz MAx MAy Mas 
1 força normal (incógnita) na barra BC: RBC 
Pórtico Internamente Hiperestático 
(1 grau de hiperestaticidade interna) 
A B 
A x 
y 
z 
F

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