Distribuições Estatísticas

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Métodos Estatísticos
Nara Reges F. P. Pereira
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Engenharia de Produção
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Modelos Probabilísticos Contínuos
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Distribuição Exponencial
Definição: Diz-se que X tem uma distribuição exponencial com
parâmetro λ (λ > 0) se a f.d.p. de X for
f (x ;λ) =
{
λe−λx , se x ≥ 0,
0, caso contrário.
Notação: Quando X tem distribuição exponencial escrevemos,
X ∼ Exp(λ).
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Distribuição Exponencial
A esperança e a variância de X são:
µ =
1
λ
e σ2 =
1
λ2
.
A função de densidade acumulada é obtida integrando f (x ;λ):
F (x ;λ) =
{
0, se x < 0,
1− e−λx , se x ≥ 0.
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Distribuição Exponencial
Example
O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado
uma v.a. com distribuição exponencial com 1/λ = 500. Segue-se que
a vida média do transistor é E(X ) = 500 horas e a probabilidade de
que ele dure mais do que a média é
P(X > 500) =
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Distribuição Exponencial
Example
O tempo de vida (em horas) de um transistor pode ser considerado
uma v.a. com distribuição exponencial com 1/λ = 500. Segue-se que
a vida média do transistor é E(X ) = 500 horas e a probabilidade de
que ele dure mais do que a média é
P(X > 500) = 1− P(X ≤ 500) = 1− F (500)
1− (1− e−500/500) = e−1 = 0,3678.
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A Função Gama
Definição: Para α > 0, a função gama Γ(α) é definida por
Γ(α) =
∫
∞
0
xα−1e−x dx .
Propriedades:
Para qualquer α > 1, Γ(α) = (α− 1) · · · Γ(α− 1).
Para qualquer inteiro positivo n, Γ(n) = (n − 1)!.
Γ(12 ) =
√
pi.
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Distribuição Gama
Definição: Diz-se que uma variável aleatória contínua X tem uma
distribuição gama se a f.d.p. de X for
f (x ;α, β) =
{
1
βαΓ(α)x
α−1e−x/β, se x ≥ 0,
0, caso contrário.
em que os parâmetros α e β satisfazem α > 0, β > 0.
Notação: Usaremos a notação
X ∼ Gama(α, β).
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Distribuição Gama
A esperança e a variância para uma v.a. X com distribuição gama são
µ = αβ e σ2 = αβ2.
A função de densidade acumulada é
F (x ;α, β) =
∫ x
0
yα−1e−y/β
βαΓ(α)
dy x > 0.
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Distribuição Qui-quadrado
Definição: Assuma ν como um inteiro positivo. Diz-se que uma
variável aleatória X tem uma distribuição qui-quadrado com parâmetro
ν se a f.d.p. de X for a densidade gama com α = ν/2 e β = 2. A f.d.p.
de uma v.a. qui-quadrado será
f (x ; ν) =
{
1
2ν/2Γ(ν/2)x
(ν/2)−1e−x/2, se x ≥ 0,
0, caso contrário.
O parâmetro ν é chamado número de graus de liberdade (gl) de X . O
símbolo χ2 ou χ2(ν) é frequentemente usado no lugar de
"qui-quadrado".
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Distribuição Qui-quadrado
A média e a variância para uma v.a. com distribuição qui-quadrado
são
µ = ν e σ2 = 2ν.
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Distribuição t de Student
Definição: Seja Z uma v.a. N(0,1) e Y uma v.a. χ2(ν), com Z e Y
independentes. Então a v.a.
t =
Z√
Y/ν
,
tem f.d.p. dada por
f (t ; ν) = Γ((ν + 1)/2)
Γ(ν/2)
√
piν
(1 + t2/ν)−(ν+1)/2, −∞ < t <∞.
Diremos que tal variável tem uma distribuição t de Student com ν
graus de liberdade e a indicaremos por t(ν).
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Distribuição t de Student
A esperança e a variância para esta distribuição são
µ = 0 e σ2 = ν
ν − 2 .
Na Tabela II temos os valores de tp tais que P(t ≤ tp) = p. Para um
certo valor fixado ν, se p < 0,50, então tp = −t1−p.
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Distribuição t de Student
Example
Se ν = 6, calcule tp quando
P(t ≤ t0,90) = 0,90 ⇒ t0,90 =
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Distribuição t de Student
Example
Se ν = 6, calcule tp quando
P(t ≤ t0,90) = 0,90 ⇒ t0,90 = 1,440
P(t ≤ t0,30) = 0,30 ⇒ t0,30 =
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Distribuição t de Student
Example
Se ν = 6, calcule tp quando
P(t ≤ t0,90) = 0,90 ⇒ t0,90 = 1,440
P(t ≤ t0,30) = 0,30 ⇒ t0,30 = − t1−0,3 = −t0,7 = −0,553
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Distribuição F de Snedecor
Definição: Sejam U e V duas v.a. independentes, cada uma com
distribuição χ2, com ν1 e ν2 graus de liberdade, respectivamente.
Então, a v.a.
W = U/ν1V/ν2
tem densidade dada por
g(w ; ν1,nu2) =
Γ((ν1 + ν2)/2)
Γ(ν1/2)Γ(ν2/2)
(
ν1
ν2
)ν1/2 w (ν1−2)/2
(1 + ν1w/ν2)(ν1+ν2)/2
w > 0.
Diremos que W tem distribuição F de Snedecor, com ν1 e ν2 graus de
liberdade, e usaremos a notação W ∼ F (ν1, ν2).
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Distribuição F de Snedecor
A esperança e a variância de W é
µ =
ν2
ν2 − 2
e σ2 =
2ν22(ν1 + ν2 − 2)
ν1(ν2 − 2)2(ν2 − 4)
.
Na Tabela são dados os pontos F0,95 e F0,99 em função de ν1 e ν2 tais
que P(W ≤ FP) = p para p = 0,95 e p = 0,99.
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Distribuição F de Snedecor
Example
Considere W ∼ F (5,7). Calcule F0,95 e F0,99.
Pela Tabela temos que
P(W ≤ F0,95) = 0,95 ⇒ F0,95 =
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Distribuição F de Snedecor
Example
Considere W ∼ F (5,7). Calcule F0,95 e F0,99.
Pela Tabela temos que
P(W ≤ F0,95) = 0,95 ⇒ F0,95 = 3,97
e
P(W ≤ F0,99) = 0,99 ⇒ F0,99 =
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Distribuição F de Snedecor
Example
Considere W ∼ F (5,7). Calcule F0,95 e F0,99.
Pela Tabela temos que
P(W ≤ F0,95) = 0,95 ⇒ F0,95 = 3,97
e
P(W ≤ F0,99) = 0,99 ⇒ F0,99 = 7,46
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FIM!
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