inferencia estatística

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Métodos Estatísticos
Nara Reges F. P. Pereira
Universidade Federal do Oeste da Bahia
Engenharia de Produção
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Inferência Estatística
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Amostragem Probabilística
Até agora vimos modelos teóricos, identificados por parâmetros,
capazes de representar adequadamente o comportamento de
algumas variáveis. A partir de agora veremos argumentos
estatísticcos para fazer afirmações sobre as características de uma
população, com base em informações dadas por amostras.
O uso de informações de uma amostra para concluir sobre o todo faz
parte da atividade diária da maioria das pessoas.
Quando uma cozinheira verifica se o prato que ela está
preparando tem ou não a quantidade adequada de sal
experimentando um pouco.
Quando um comprador, após experimentar um pedaço de laranja
numa banca de feira, decide se vai comprar ou não as laranjas.
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Amostragem Probabilística
Nas aulas anteriores vimos alguns modelos probabilísticos que
procuram medir a variabilidade de fenômenos casuais de acordo com
suas ocorrências. Na prática, frequêntemente o pesquisador tem
alguma ideia sobre a forma da distribuição, mas não dos valores
exatos dos parâmetros que a especificam.
Example
Parece razoável supor que a distribuição das alturas dos brasileiros
adultos possa ser representadda por um modelo normal (embora as
alturas não possam assumir valores negativos). Mas ainda
precisaríamos conhecer os parâmetros (média e variância).
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Amostragem Probabilística
Raramente se consegue obter a distribuição exata de alguma variável,
ou porque isso é muito dispendioso, ou muito demorado ou às vezes
porque consiste num processo destrutivo. Por exemplo, se
quisessemos saber a durabilidade de lâmpadas, não teria sentido
testar todas elas até queimarem.
A solução é selecionar parte dos elementos (amostra), analisá-la e
inferir propriedades para o todo (população).
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Amostragem Probabilística
Example
Gostaríamos de obter respostas para a seguinte indagação: a altura
que um produto é colocado na gôndola de um supermercado afeta a
sua venda?
Precisamos obter dados de vendas com o produto oferecido em
diferentes alturas, e que essas vendas sejam controladas para evitar
interferência de outros fatores que não a altura.
Supondo que as vendas Vh do produto oferecido na altura h (h = 1 -
baixo, h = 2 - meio, h = 3 - alto) segue uma distribuição próxima a
normal, ou seja, Vh ∼ N(µh, σ2), o nosso problema passa a ser o de
verificar, por meio de dados coletados do experimento (amostra), se
existe evidências de igualdade das médias µ1, µ2 e µ3.
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Amostragem Probabilística
Example
Digamos que X representa o peso real de pacotes de café, enchidos
automaticamente por uma máquina. Sabe-se que a distribuição de X
pode ser representada por uma normal, com parâmetros µ e σ2
desconhecidos. Sorteamos 100 pacotes e medimos seus pesos.
População: o conjunto de todos os pacotes enchidos ou que virão a
ser enchidos pela máquina.
Amostra: as 100 medidas obtidas dos pacotes selecionados.
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Amostragem Probabilística
Example
Para investigar a "honestidade"de uma moeda, nós a lançamos 50
vezes e contamos o número de caras observadas. A população pode
ser considerada como tendo a distribuição da variável X , assumindo o
valor 1, com probabilidade p, se ocorrer cara, e assumindo o valor 0,
com probabilidade 1 − p, se ocorrer coroa.
A população pode ser considerada como tendo distribuição de
Bernoulli com parâmetro p. A variável ficará completamente
especificada quando conhecermos p. A amostra será uma sequência
de 50 números zeros ou uns.
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Amostragem Aleatória Simples
O primeiro desafio é selecionar a amostra para análise. A maneira é
mais fácil é como se segue.
Definição: Uma amostra aleatória simples (AAS) de tamanho n de
uma variável aleatória X , com dada distribuição, é o conjunto de n
variáveis aleatórias independentes X1,X2, · · · ,Xn, cada uma com a
mesma distribuição de X .
Então, a amostra será a n-upla ordenada (X1,X2, · · · ,Xn), onde Xi
indica a observação do i-ésimo elemento sorteado.
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Amostragem Aleatória Simples
Example
Vamos retirar uma AAS de 5 alturas (em cm) de uma população de
mulheres cujas alturas X seguem a distribuição N(167;25).
Suponha que, usando um método computacional para geração de
números aleatórios, obtemos os valores:
x1 = 165, x2 = 161, x3 = 168, x4 = 173, x5 = 173.
Se gerarmos uma nova amostra, podemos obter valores diferentes
desses. Indicamos por X1 o valor observado na primeira extração,
concluímos que X1 ∼ N(167;25). Como a geração do segundo
número é feita independente do segundo, resulta que a v.a. X2, valor
observado na segunda extração, também segue uma distribuição
n(167;25), e assim por diante.
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Amostragem Aleatória Simples
No caso de uma população X contínua, com f.d.p. f (x), a f.d.p.
conjunta da amostra (X1,X2, · · · ,Xn), será dada por
f (x1, x2, ..., xn) = f1(x1)f2(x2) · · · fn(xn),
onde fi(xi) denota a distribuição de Xi , i = 1, · · · ,n.
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Estatística e Parâmetros
Definição: Uma estatística é uma característica da amostra, ou seja,
uma estatística T é uma função de X1,X2, · · · ,Xn.
As estatísticas mais comuns são:
X¯ = 1
n
{X1 + X2 + ...+ Xn} : média da amostra,
S2 = 1
n − 1{(X1−X¯)
2+(X2−X¯ )2+· · ·+(Xn−X¯)2} : variância da amostra
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Estatística e Parâmetros
X(1) = min(X1,X2, · · · ,Xn) : o menor valor da amostra,
X(n) = max(X1,X2, · · · ,Xn) : o maior valor da amostra,
W = X(n) − X(1) : amplitude amostral,
X(i) = a i-ésima maior observação da amostra.
Em geral, podemos considerar as estatísticas de ordem,
X(1) ≤ X(2) ≤ · · · ≤ X(n),
ou seja, os elementos da amostra ordenados.
Definição: Um parâmetro é uma medida usada para descrever uma
característica da população.
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Estatística e Parâmetros
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Distribuições Amostrais
O problema da inferência estatística é fazer uma afirmação sobre os
parâmetros da população através da amostra.
Digamos que queremos fazer uma afirmação sobre um parâmetro
θ da população (média, variância, ...).
Decidimos que usaremos uma AAS de n elementos.
Nossa decisão será baseada na estatística T = f (X1,X2, · · · ,Xn)
Colhida essa amostra, teremos observado um particular valor de
T , digamos t0, e baseados nesse valor é que faremos a afirmação
sobre θ.
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Distribuições Amostrais
A validade da nossa resposta seria melhor compreendida se
soubéssemos o que acontece com a estatística T , quando retiramos
todas as amostras de uma população conhecida segundo o plano
amostral adotado.
Isto é, qual a distribuição de T quando (X1,X2, · · · ,Xn) assume todos
os valores possíveis. Essa distribuição é chamada distribuição
amostral da estatística T .
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Distribuições Amostrais
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Distribuições Amostrais
Example
Considere o problema em que selecionamos todas as amostras de
tamanho 2, com reposição, da população {1,3,5,5,7}. Defina a
variável X : valor assumido pelo elemento na população. Indicamos
por X1 o número selecionado na primeira extração e por X2 o número
selecionado na segunda extração.
Vejamos qual é a distribuição da estatística
X¯ = X1 + X22 .
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Distribuições Amostrais
Distribuição das probabilidades das possíveis amostras de tamanho 2
que podem ser selecionadas com reposição da população
{1,3,5,5,7}:
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Distribuições Amostrais
Calculando as probabilidades para todos os valores que X¯ pode
assumir obtemos a distribuição amostral da estatística X¯ .
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Distribuições Amostrais
De forma análoga podemos obter as distribuições amostrais de outras
estatísticasde interesse.
Distribuição amostral de W = amplitude total.
Distribuição amostral de S2 = ∑(Xi − X¯ )2/(n − 1).
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FIM!
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