[Livro] - PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS: CONCEITOS E APLICAÇÕES - CLÓVIS DE ARAÚJO PERES, MARIA REGINA MADRUGA E HÉLITON RIBEITO TAVARES

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PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS:
CONCEITOS E APLICAC¸O˜ES
CLO´VIS DE ARAU´JO PERES
MARIA REGINA MADRUGA
HE´LITON RIBEIRO TAVARES
ii
Planejamento de Experimentos:
Conceitos e Aplicac¸o˜es
Clovis de Arau´jo Peres1
He´liton Ribeiro Tavares2
Maria Regina Madruga Tavares3
1 Professor Titular da Universidade Federal de Sa˜o Paulo (Unifesp). e-mail: cperes@medprev.epm.br
2 Professor Adjunto do Departamento de Estat´ıstica da Universidade Federal do Para´
(UFPA). e-mail: heliton@ufpa.br
3 Professor Adjunto do Departamento de Estat´ıstica da Universidade Federal do Para´
(UFPA). e-mail: madruga@ufpa.br
Peres, Tavares & Madruga
iii
Para
Nossos filhos(as) e companheiros(as).
Peres, Tavares & Madruga
Apresentac¸a˜o
A a´rea de Planejamento de Experimentos e´ uma das mais necessa´rias na vida cient´ıfica.
Ela comporta a pro´pria fase de planejamento de um estudo, bem como a de ana´lise dos
resultados nume´ricos do estudo.
Conteu´do
Apresentac¸a˜o v
Lista de Figuras ix
1 Introduc¸a˜o 1
1.1 Enunciado do problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Escolha dos fatores e seus respectivos n´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Escolha da unidade experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Escolha das varia´veis a serem medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5 Regras de atribuic¸a˜o das unidades experimentais . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.6 Aleatorizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.7 Repetic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8 Ana´lise estat´ıstica dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Experimentos com um fator 9
2.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Experimentos com um fator fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 Modelo matema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.2 Suposic¸o˜es associadas ao modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.3 Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Partic¸a˜o da soma de quadrados total e graus de liberdade . . . . . . . 12
2.2.5 Quadrados me´dios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.6 Esperanc¸as dos quadrados me´dios (EQM) . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.7 Estat´ıstica e regia˜o cr´ıtica do teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.8 Quadro da ana´lise de variaˆncia (ANOVA) . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.9 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.10 Estimac¸a˜o das me´dias dos tratamentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.11 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.12 Comparac¸o˜es mu´ltiplas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.13 Ana´lise de Res´ıduos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Modelo matema´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Suposic¸o˜es do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
viii Conteu´do
2.3.3 Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.4 Partic¸a˜o da soma dos quadrados total e graus de liberdade . . . . . . 32
2.3.5 Esperanc¸as dos quadrados me´dios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.6 Estat´ıstica e regia˜o cr´ıtica do teste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.7 Quadro de Ana´lise de Variaˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.8 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3.9 Estimac¸a˜o em experimentos com um fator aleato´rio . . . . . . . . . . . 33
2.3.10 Estimac¸a˜o de µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.11 Estimac¸a˜o de σ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.12 Estimac¸a˜o de σ2A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.3.13 Estimac¸a˜o de σ
2
A
σ2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.14 Estimac¸a˜o de σ
2
A
σ2A+σ
2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.15 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 Experimentos com Dois Fatores 39
3.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Notac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Experimentos cruzados fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.3.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2 Suposic¸o˜es associadas ao modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.3 Interpretac¸a˜o dos paraˆmetros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.3.4 Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.5 Partic¸a˜o da soma dos Quadrados Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.6 Esperanc¸a dos quadrados me´dios (EQM) . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3.7 Estat´ısticas e regioˆes cr´ıticas par os testes . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.3.8 Anova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.9 Estimac¸a˜o dos paraˆmetros do modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.3.10 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.4 Experimentos cruzados aleato´rios e cruzados mistos . . . . . . . . . . . . . . 51
3.5 Experimentos hiera´rquicos fixos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.1 Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.2 Suposic¸o˜es e restric¸o˜es associadas ao modelo . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.3 Hipo´teses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.5.4 Partic¸a˜o da soma do Quadrado Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.5 Esperanc¸a dos Quadrados Me´dios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5.6 Estat´ısticas e regiuo˜es cr´ıticas pra os testes de H01 e H02 . . . . . . . 55
3.5.7 Anova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.6 Experimentos hiera´rquicos aleato´rios e Experimentos hiera´rquicos mistos . . 55
3.6.1 Ana´lise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6.2 Exemplo(SEA-8025) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Peres, Tavares & Madruga
Lista de Figuras
2.1 Ilustrac¸a˜o das suposic¸o˜es do modelo matema´tico associado a um experi-
mento com um fator fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Res´ıduos para cada grupo de gestantes (dados da Tabela 2.7) . . . . . . . . 29
2.3 Normal plot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Res´ıduos segundo a ordem de obtenc¸a˜o das observac¸o˜es no estudo da HbA
em gestantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.1 Gra´ficos de Perfis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2 Perfis de me´dias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Cap´ıtulo 1
Introduc¸a˜o
Em uma pesquisa cient´ıfica o procedimento geral e´ formular hipo´teses e verifica´-las
diretamente ou por suas consequ¨eˆncias. Para isto e´ preciso um conjunto de observac¸o˜es e
o planejamento de experimentos e´ enta˜o essencial para indicar o esquema sob o qual as
hipo´teses possam ser verificadas. As hipo´teses sa˜o verificadas com a utilizac¸a˜o de me´todos
de ana´lise estat´ıstica quedependem da maneira sob a qual as observac¸o˜es forma obtidas.
Portanto, planejamento de experimentos e ana´lise dos resultados esta˜o intimamente ligados
e devem ser utilizadas em sequ¨eˆncia nas pesquisas cient´ıficas das diversas a´reas do conhe-
cimento. Isto pode ser visto por meio da seguinte representac¸a˜o gra´fica da circularidade
do me´todo cient´ıfico:
Fica bastante claro neste esquema que te´cnicas de planejamento devem ser utilizadas
entre as etapas (1) e (2) e os me´todos de ana´lise estat´ıstica devem ser utilizados na etapa
(3).
Desenvolvendo um pouco mais esta ide´ia podemos dizer que uma pesquisa cient´ıfica
estatisticamente planejada consiste nas seguintes etapas que dependem de um perfeito
entendimento entre o pesquisador e o estat´ıstico:
1. Enunciado do problema com formulac¸a˜o de hipo´teses.
2. Escolha dos fatores (varia´veis independentes) que devem ser inclu´ıdos no estudo.
3. Escolha da unidade experimental e da unidade de observac¸a˜o.
4. Escolha das varia´veis que sera˜o medidas nas unidades de observac¸a˜o.
5. Determinac¸a˜o das regras e procedimentos pelos quais os diferentes tratamentos (com-
binac¸a˜o de n´ıveis de fatores) sa˜o atribu´ıdos a`s unidades experimentais (ou vice-versa).
6. Ana´lise estat´ıstica dos resultados.
7. Relato´rio final contendo concluso˜es com medidas de precisa˜o das estimativas, inter-
pretac¸a˜o dos resultados com poss´ıvel refereˆncia a outras pesquisas similares e uma
avaliac¸a˜o dos ı´tens de 1 a 6 (desta pesquisa) com sugesto˜es para poss´ıveis alterac¸o˜es
em pesquisas futuras.
2 Introduc¸a˜o
A seguir ilustraremos com exemplos estas etapas.
1.1 Enunciado do problema
Como vimos, uma pesquisa cient´ıfica se inicia sempre com a formulac¸a˜o de hipo´teses.
Essas hipo´teses sa˜o primeiramente formuladas em termos cient´ıficos dentro da a´rea de es-
tudo (hipo´tese cient´ıfica) e em seguida devem ser expressas em termos estat´ısticos (hipo´tese
estat´ıstica). Deve haver uma correspondeˆncia perfeita entre as hipo´teses cient´ıfica e es-
tat´ıstica para evitar ambiguidade.
Portanto, no enunciado do problema, a hipo´tese cient´ıfica deve ser formulada de maneira
precisa e objetiva.
EXEMPLO 1.1 - Um pesquisador esta´ interessado em estudar o efeito de va´rios tipos de
rac¸a˜o que diferem pela quantidade de pota´ssio no aumento do peso de determinado tipo
de animal.
Esse objetivo pode ser atingido se planejarmos a pesquisa com uma das seguintes fina-
lidades:
a) comprar as me´dias dos aumentos de peso obtidas com cada uma das rac¸o˜es (igual-
dade de me´dia):
b) estabelecer uma relac¸a˜o funcional entre o aumento de peso me´dio e a quantidade
de pota´ssio.
1.2 Escolha dos fatores e seus respectivos n´ıveis
No exemplo 1.1, a varia´vel independente “rac¸a˜o”e´ um fator e os tipos de rac¸a˜o sa˜o os
n´ıveis deste fator, ou tratamentos. Assim, em um experimento para se estudar o efeito de
4 fertilizantes e 3 variedades de feija˜o na produc¸a˜o, ter´ıamos dois fatores: fertilizante, com
4 n´ıveis, e variedade, com 3 n´ıveis. Podemos tambe´m dizer que este experimento envolve
12 tratamentos correspondentes a`s combinac¸o˜es dos n´ıveis dos dois fatores. Pelo pro´prio
conceito de fator, vemos que em um esperimento, a escolha dos fatores e seus respectivos
n´ıveis (que fara˜o parte de um experimento) e´ basicamente um problema do pesquisador.
No entanto e´ importante para o planejamento e ana´lise distingu¨irmos as duas situac¸o˜es
abaixo:
EXEMPLO 1.2 - Uma indu´stria de parafusos adquiriu 5 ma´quinas de uma determinada
marca para produzir parafusos, e esta´ interessada em realizar um experimento para veri-
ficar se as 5 ma´quinas sa˜o homogeˆneas com relac¸a˜o a resisteˆncia me´dia dos parafusos por
elas produzidas.
EXEMPLO 1.3 - A indu´stria das ma´quinas do Exemplo 1.2 esta´ interessada em realizar
um experimento para verificar se as ma´quinas produzidas por ela sa˜o homogeˆneas com
Peres, Tavares & Madruga
1.3 Escolha da unidade experimental 3
relac¸a˜o a` resisteˆncia me´dia dos parafusos que estas ma´quinas ira˜o produzir. Como a po-
pulac¸a˜o de ma´quinas produzidas pela indu´stria e´ muito grande o pesquisador quer realizar
o experimento com uma amostra de ma´quinas (5 por exemplo), mas as concluso˜es devem
ser estendidas para a populac¸a˜o de ma´quinas.
No Exemplo 1.2 dizemos que o fator “ma´quina”e´ fixo e´ no Exemplo 1.3 o fator “ma´quina”e´
aleato´rio.
A diferenc¸a fundamental entre esses dois tipos de fatores e´, enta˜o , que no caso de
fatores fixos, as concluso˜es se referem apenas aos n´ıveis do fator que esta˜o presentes no
experimento. No caso de fatores aleato´rios as concluso˜es devem ser estendidas para a
populac¸a˜o dos n´ıveis.
1.3 Escolha da unidade experimental
Em um grande nu´mero de situac¸o˜es pra´ticas a unidade experimental e´ determinada
pela pro´pria natureza do material experimental. Por exemplo, em experimentos com ani-
mais, em geral, a unidade experimental e´ um animal. Em outras situac¸o˜es, a escolha da
unidade na˜o e´ assim ta˜o evidente, exigindo do pesquisador juntamente com o estat´ıstico
algum estudo no sentido escolher a unidade experimental mais adequada. Por exemplo,
em experimentos com plantas, a unidade experimental pode ser a`s vezes uma planta, um
conjunto de plantas ou uma a´rea. A escolha da unidade experimental, de um modo ge-
ral, deve ser orientada no sentido de minimizar o erro experimental, isto e´, as unidades
experimentais devem ser o mais homogeˆneas poss´ıvel, para que quando submetidas a dois
tratamentos diferentes, seus efeitos sejam facilmente detectados.
1.4 Escolha das varia´veis a serem medidas
As medidas realizadas nas unidades experimentais apo´s terem submetidas aos trata-
mentos constituem os valores da varia´vel dependente. A varia´vel dependente, em geral,
e´ pre´-determinada pelo pesquisador, isto e´, ele sabe qual a varia´vel que ele quer medir.
O que constitui problema, a`s vezes, e´ a maneira como a varia´vel e´ medida, pois disto
dependem a precisa˜o das observac¸o˜es, e a distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel a qual
e´ essencial para a escolha do me´todo de ana´lise estat´ıstica. Assim, por exemplo, se os
valores de uma varia´vel sa˜o obtidos diretamente por meio de um instrumento de medida,
(re´guas, paqu´ımetro, termoˆmetro, etc.) a precisa˜o de nossas observac¸o˜es vai aumentar se,
quando poss´ıvel, utilizarmos como observac¸a˜o a me´dia de treˆs medidas da mesma unidade
experimental. Com relac¸a˜o a` distribuic¸a˜o de probabilidade, em muitas situac¸o˜es, as ob-
servac¸o˜es na˜o sa˜o obtidas diretamente, e sim por meio de expresso˜es matema´ticas que as
ligam a outro valores obtidos diretamente. Neste caso, a distribuic¸a˜o de probabilidade das
observac¸o˜es vai depender da distribuic¸a˜o de probabilidade da varia´vel obtida diretamente
e da expressa˜o matema´tica que as relaciona.
Portanto, as varia´veis necessariamente presentes em um experimento sa˜o a varia´vel
Peres, Tavares & Madruga
4 Introduc¸a˜o
dependente, medida nas unidades experimentais, e o conjunto de fatores (varia´veis inde-
pendentes), que determinam as condic¸o˜es sob as quais os valores da varia´vel dependente
sa˜o obtidos. Qualquer outra varia´vel que possa influir nos valores da varia´vel dependente
deve ser mantida constante. Suponhamos, por exemplo, que o tempo necessa´rio para exe-
cutar um experimento seja de 20 dias e que a temperatura ambiente tenha influeˆncia sobre
a varia´vel dependente.
Neste caso, a temperatura ambiente deve ser mantida constante durante a execuc¸a˜o do
experimento. Se, por problemas experimentais, for imposs´ıvel mantermos a temperatura
ambiente constante, enta˜o devemos, ale´m da varia´vel dependente, medir a temperatura
correspondente a cada unidade experimental. Varia´veis deste tipo sa˜o consideradas no
estudo como covariadas e sua informac¸a˜o e´ utilizada para reduziro erro experimental.
1.5 Regras segundo as quais os tratamentos sa˜o atribu´ıdos
a`s unidades experimentais
Nas discusso˜es apresentadas sobre cada um dos ı´tens anteriores, a colaborac¸a˜o da es-
tat´ıstica e´ bem limitada exigindo-se a essencial colaborac¸a˜o do pesquisador. Pore´m, o
assunto discutido neste ı´tem e´ o que poder´ıamos denominar planejamento estat´ıstico de
experimentos. Trata-se de regras que associam as unidades experimentais aos tratamen-
tos e que praticamente determinam os diferentes planos experimentais. Lembramos neste
ponto que os tratamentos sa˜o cada uma das combinac¸o˜es entre os n´ıveis de todos os fatores
envolvidos no experimento.
Para que a metodologia estat´ıstica possa ser aplicada aos resultados de um experimento
e´ necessa´rio, que em alguma fase do experimento o princ´ıpio a ser obedecido e´ a repetic¸a˜o,
segundo o qual devemos ter repetic¸o˜es do experimento para que possamos produzir uma
medida de variabilidade necessa´ria aos testes de presenc¸a de efeitos de tratamentos ou a`
estimac¸a˜o desses efeitos. Discutiremos a seguir estes dois princ´ıpios.
1.6 Aleatorizac¸a˜o
Nesta fase do planejamento de um experimento ja´ sabemos quais fatores sera˜o estuda-
dos e o nu´mero de n´ıveis de cada fator que estara˜o presentes no experimento. Sabemos
ainda qual a unidade experimental escolhida e a varia´vel dependente. Podemos enta˜o ima-
ginar que de um lado temos um conjunto U de unidades experimentais, e de outro lado
um conjunto T de tratamentos que sa˜o as combinac¸o˜es dos n´ıveis de todos os fatores
envolvidos. Precisamos enta˜o estabelecer esquemas que associam subconjuntos de elemen-
tos de U a cada elemento de T. Passaremos a discutir alguns destes esquemas. No que
segue vamos supor que o conjunto U tem n elementos, o conjunto T tem t elementos, e o
nu´mero de elementos de U submetido ao tratamento Ti e´ ni, com i = 1, 2, . . . , t, de tal
modo que
∑t
i=1 ni = n. O nu´mero de unidades experimentais ni para cada tratamento Ti
e´ determinado a partir de informac¸o˜es sobre a variabilidade das unidades experimentais
Peres, Tavares & Madruga
1.6 Aleatorizac¸a˜o 5
em termos da varia´vel dependente, custo e poder dos testes de significaˆncia (Neter, 1974
pg. 492).
PLANO EXPERIMENTAL COMPLETAMENTE ALEATORIZADO
Em um esquema completamente aleatorizado as unidades experimentais que va˜o ser
submetidas a cada tratamento sa˜o escolhidas completamente ao acaso. Isto significa que
cada unidade experimental tem igual probabilidade de receber qualquer um dos tratamen-
tos, na˜o existindo restric¸a˜o alguma no crite´rio de aleatorizac¸a˜o.
EXEMPLO - Um pesquisador quer realizar um experimento para estudar o efeito de
um res´ıduo industrial que e´ adicionado rac¸o˜es de animais. Ele suspeita que este res´ıduo
conte´m uma substaˆncia to´xica, cuja presenc¸a no organismo produz um aumento relativo
de alguns o´rga˜os, como o f´ıgado por exemplo.
Apo´s uma entrevista com o pesquisador conseguimos as informac¸o˜es:
a) o experimento ira´ envolver um u´nico fator, rac¸a˜o, com treˆs n´ıveis: rac¸a˜o normal, sem
o res´ıduo industrial (grupo controle), rac¸a˜o normal com o res´ıduo tratado, isto e´, o
res´ıduo passa por um tratamento para eliminar a substaˆncia to´xica e rac¸a˜o normal
com o res´ıduo na˜o tratado. Portanto o conjunto T tem treˆs tratamentos (t=3).
b) Um conjunto U e´ formado por um grupo de 18 camundongos, todos rece´m-nascidos,
com o mesmo peso inicial e homogeˆneos em relac¸a˜o a caracter´ısticas gene´ticas ge-
rais. Por isto foi decidido distribuir completamente ao acaso 6 animais para cada
tratamento.
c) A varia´vel dependente e´ o peso relativo do f´ıgado apo´s 90 dias do in´ıcio do experi-
mento.
Uma maneira de se proceder o sorteio e´ a seguinte:
– enumera-se as unidades experimentais de 1 a 18.
– coloca-se os tratamentos em sequ¨eˆncia, por exemplo:
T1T1T1T1T1T1, T2T2T2T2T2T2, T3T3T3T3T3T3.
– sorteia-se uma sequ¨eˆncia de 18 nu´meros dentre os nu´meros de 1 a 18 em ta´bua de
nu´meros aleato´rios. Pode-se obter, por exemplo, a sequ¨eˆncia: 3, 1, 11, 15, 18, 16, 4, 5, 9,
12, 8, 7, 14, 2, 6, 13, 10.
Finalmente, o plano experimental e´ esquematizado conforme apresentamos na Tabela
1.1.
Este plano experimental e´ mais eficiente quanto maior for o grau de homogeneidade
entre unidades experimentais em termos da varia´vel dependente. Se as unidades experi-
mentais sa˜o heterogeˆneas, o nu´mero n de unidades experimentais necessa´rio para uma
Peres, Tavares & Madruga
6 Introduc¸a˜o
Tabela 1.1 - Distribuic¸a˜o das unidades experimentais
segundo os tratamentos
T1 T2 T3
U3 U4 U17
U1 U5 U14
U11 U9 U2
U15 U12 U6
U18 U8 U13
U16 U7 U10
boa precisa˜o pode ser muito grande. Quando este for o caso devemos procurar outros pla-
nos experimentais que reduzam o erro experimental. Algumas alterac¸o˜es no planejamento
descrito, tais como a introduc¸a˜o de blocos, ou simplesmente a utilizac¸a˜o de uma varia´vel
auxiliar (covariada) medida nas unidades experimentais, a qual e´ correlacionada com a
varia´vel dependente, podem reduzir consideravelmente o erro experimental.
OBSERVAC¸A˜O 1 - A descric¸a˜o de um plano experimental completamente aleatorizado
apresentada acima na˜o depende do nu´mero de fatores envolvidos e nem da maneira pela
qual os fatores sa˜o combinados, isto e´, se eles obedecem a uma classificac¸a˜o cruzada ou
hiera´rquica (veja Cap´ıtulo 3). Assim, se um experimento envolve 3 fatores, um deles com
dois n´ıveis, um outro com treˆs n´ıveis e o terceiro com treˆs n´ıveis, o nu´mero de tratamentos
sera´ 18 (2× 3× 3) e a associac¸a˜o entre os conjuntos U e T se faz da mesma maneira.
OBSERVAC¸A˜O 2 - Existem alguns fatores, que pela sua pro´pria natureza, impo˜e res-
tric¸o˜es na aleatorizac¸a˜o; pore´m, para efeito de ana´lise, o experimento e´ considerado com-
pletamente aleatorizado. Suponha que um grupo de 30 alunos da segunda se´rie do segundo
grau, sorteados entre todos os alunos do sistema escolar de Sa˜o Paulo, sendo 15 do sexo
masculino e 15 do sexo feminino, sa˜o submetidos a um determinado me´todo de ensino
durante um per´ıodo de tempo. O objetivo do experimento e´ comparar, quanto ao sexo,
o desempenho dos alunos em um teste aplicado apo´s o per´ıodo de aprendizado. Assim,
a unidade experimental e´ o aluno da segunda se´rie do segundo grau, o fator e´ sexo com
dois n´ıveis e a varia´vel dependente e´ a nota obtida no teste. Neste caso. As unidades expe-
rimentais na˜o podem ser distribu´ıdas completamente ao acaso entre os dois tratamentos
(sexo masculino e sexo feminino), pois a natureza do fator impo˜e uma restric¸a˜o natural na
aleatorizac¸a˜o. Quando isto acontece dizemos que o fator e´ de classificac¸a˜o. Caso contra´rio
dizemos que o fator e´ experimental. Para fins de ana´lise este experimento e´ equivalente ao
experimento completamente aleatorizado, porque, nas duas situac¸o˜es as observac¸o˜es cons-
tituem um conjunto de amostras aleato´rias independentes, sendo cada uma identificada
por uma combinac¸a˜o dos n´ıveis dos fatores, sejam eles experimentais ou de classificac¸a˜o.
Peres, Tavares & Madruga
1.7 Repetic¸a˜o 7
PLANO EXPERIMENTAL EM BLOCOS
Quando o conjunto U de unidades experimentais for muito heterogeˆneo (em termos da
varia´vel independente), o plano experimental completamente aleatorizado torna-se muito
grande. Em algumas situac¸o˜es dispomos de informac¸o˜es segundo as quais, antes da rea-
lizac¸a˜o do experimento, e´ poss´ıvel agruparmos as unidades experimentais em subconjuntos
de t unidades experimentais mais ou menos homogeˆneas, onde t e´ o nu´mero de tratamentos
envolvidos no experimento.
Estes subconjuntos sa˜o denominados blocos. Assim, a maior parte da heterogeneidade
interna do conjunto U e´ expressa pela heterogeneidade entre os blocos. A distribuic¸a˜o das
unidades experimentais entre os tratamentos obedece a uma restric¸a˜o impostopelos blocos,
isto e´, as t unidades de cada bloco sa˜o distribu´ıdas aleatoriamente entre os tratamentos.
Na ana´lise de um experimento em blocos, ale´m dos fatores de interesse, deve-se levar
em conta o fator de controle experimental, blocos, diminu´ıdo desta maneira o erro experi-
mental. Quanto maior for a heterogeneidade entre blocos, maior e´ a eficieˆncia deste plano
experimental em relac¸a˜o ao completamente aleatorizado.
EXEMPLO - Um educador quer realizar um experimento com alunos da segunda se´rie
do primeiro grau, para comparar treˆs me´todos de ensino. As unidades experimentais sa˜o
os alunos e suponha que eles formem um conjunto de bastante heterogeˆneo com relac¸a˜o
ao Q.I. Portanto uma maneira de controlar esta heterogeneidade e´ agrupar os alunos em
subconjuntos de treˆs alunos de acordo com as faixas de Q.I. Suponha que o experimento
vai ser realizado com 30 alunos, enta˜o, o nosso conjunto U sera´ formado por 10 blocos,
cada um com 3 unidades experimentais, que sera˜o submetidas aleatoriamente, uma a cada
me´todo de ensino. Para fins de ana´lise, este experimento tera´ dois fatores, me´todos de
ensino com treˆs n´ıveis, e blocos com 10 n´ıveis.
1.7 Repetic¸a˜o
Para que possamos entender o que significa repetir um experimento, consideremos um
experimento com um fator com treˆs n´ıveis (treˆs tratamentos). Um conjunto de 3 unidades
experimentais distribu´ıdos aleatoriamente, uma para cada tratamento, constituem uma
repetic¸a˜o do experimento. Mais treˆs unidades distribu´ıdas aleatoriamente aos tratamen-
tos constituem uma seguida repetic¸a˜o, etc. Para 4 repetic¸o˜es as observac¸o˜es podem ser
colocadas na seguinte tabela:
Este experimento poderia tambe´m ser realizado distribuindo-se aleatoriamente 4
unidades experimentais para cada tratamento. No primeiro plano experimental diremos
que o experimento completo foi repetido quatro vezes, e no segundo diremos que cada
tratamento foi repetido quatro vezes. Em geral as pro´prias condic¸o˜es de realizac¸a˜o do
experimento determinam quais dos dois planos deve ser utilizado. Estes dois processos
sa˜o completamente equivalentes desde que, no caso de repetic¸o˜es completas, cada unidade
experimental do conjunto U tenha a mesma probabilidade de pertencer a cada re´plica e
as re´plicas sejam executadas exatamente nas mesmas condic¸o˜es experimentais.
Peres, Tavares & Madruga
8 Introduc¸a˜o
Tratamentos
T1 T2 T3
y11 y21 y31
y12 y22 y32
y13 y23 y33
y14 y24 y34
1.8 Ana´lise estat´ıstica dos resultados
Vimos no in´ıcio deste cap´ıtulo que o objetivo da ana´lise estat´ıstica e´ verificar as
hipo´teses formuladas no in´ıcio da pesquisa cient´ıfica. Dentro da terminologia definida no
decorrer deste cap´ıtulo, estas hipo´teses va˜o sempre ser expressas em termos da relac¸a˜o en-
tre a varia´vel dependente e os fatores envolvidos. Este assunto sera´ tratado nos cap´ıtulos
subsequ¨entes.
Peres, Tavares & Madruga
Cap´ıtulo 2
Experimentos com um fator
2.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo apresentamos a ana´lise de experimentos completamente casualizados
com um fator. Contudo, na ana´lise de experimentos com um fator e´ importante considerar-
mos se esse fator e´ fixo ou aleato´rio. Na Sec¸a˜o 2.2 apresentamos a ana´lise de experimentos
com um fator fixo e na Sec¸a˜o 2.3 a ana´lise de experimentos com um fator aleato´rio. Antes
disso vamos apresentar alguma notac¸a˜o comum a ambos os casos.
Seja k o nu´mero de n´ıveis desse fator. A notac¸a˜o que vamos adotar para representar as
observac¸o˜es obtidas no experimento e´ dada na Tabela 2.1
Tabela 2.1 - Observac¸o˜es referentes a um experimento
com um fator com k n´ıveis
Tratamento Total
1 2 · · · k
y11 y21 · · · yk1
...
...
...
y1n1 y2n2 · · · yknk
me´dia amostral y¯1. y¯2. · · · y¯k. y¯..
variaˆncia amostral S21. S
2
2. · · · S2k. S2..
tamanho da amostra n1 n2 · · · nk n
onde,
yij e´ a j-e´sima observac¸a˜o correspondente ao i-e´simo tratamento
ni e´ o nu´mero de unidades experimentais submetidas ao i-e´simo tratamento
n =
∑n
i=1 ni e´ o nu´mero total de unidades experimentais.
10 Experimentos com um fator
As me´dias amostrais por tratamento e geral sa˜o dadas, respectivamente, por
y¯i. =
1
ni
ni∑
j=1
yij ; y¯.. =
1
n
k∑
i=1
ni∑
j=1
yij .
e as variaˆncias amostrais por
S2i. =
1
ni − 1
ni∑
j=1
(yij − yi.)2; S2.. =
1
n− 1
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y..)2.
Tambe´m e´ frequente considerarmos a variaˆncia combinada (ou pooled), definida por
S2p =
1
n− k
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − yi.)2.
2.2 Experimentos com um fator fixo
Em experimentos completamente casualizados com um fator fixo, temos interesse em
verificar a influeˆncia dos k n´ıveis desse fator em uma varia´vel dependente y em estudo. Uma
forma de verificarmos a existeˆncia dessa influeˆncia e´ comparar as me´dias populacionais da
varia´vel y sob efeito dos k tratamentos.
No decorrer desta sec¸a˜o, apresentarmos um teste de igualdade dessas k me´dias bem
como as suposic¸o˜es necessa´rias para executarmos tal teste.
2.2.1 Modelo matema´tico
O modelo matema´tico associado a experimentos com um fator fixo e´
yij = µ+ Ti + eij , (2.1)
ou
yij = µi + eij , (2.2)
onde µ e´ a me´dia comum a todas as observac¸o˜es, definidas como
µ =
1
n
k∑
i=1
niµi, (2.3)
sendo µi a me´dia populacional de Y no i-e´simo tratamento,
Ti e´ o efeito no i-e´simo n´ıvel do fator na varia´vel dependente e mede o afastamento
da me´dia µi em relac¸a˜o a µ, isto e´:
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 11
Ti = µi − µ,
eij e´ um erro casual na˜o observa´vel.
Pelas definic¸o˜es de µ e Ti acima, temos que o modelo (2.1) possui a restric¸a˜o
k∑
i=1
niTi = 0,
pois,
k∑
i=1
niTi =
k∑
i=1
ni(µi − µ) =
k∑
i=1
niµi − nµ = 0,
onde a u´ltima igualdade segue de (2.3).
2.2.2 Suposic¸o˜es associadas ao modelo
As suposic¸o˜es associadas aos componentes do modelo (2.1) sa˜o que os erros eij sa˜o
varia´veis aleato´rias normalmente distribu´ıdas, com me´dia zero e mesma variaˆncia em todos
os tratamentos, e que sa˜o independentes. Essas suposic¸o˜es normalmente sa˜o representadas
por: eij ∼ N(0, σ2), indep.
Como yij sa˜o func¸o˜es lineares de eij , das suposic¸o˜es sobre os erros decorre que:
a) E(yij) = µ+ Ti = µi
b) V ar(yij) = σ2
c) yij sa˜o normalmente distribu´ıdos e independentes.
Resumidamente, vamos escrever
yij ∼ N(µi, σ2), indepenedentes.
2.2.3 Hipo´teses
A hipo´tese geral e´
H0 : T1 = . . . = Tk = 0, (2.4)
ou seja, vamos testar a na˜o existeˆncia de efeito do fator.
Peres, Tavares & Madruga
12 Experimentos com um fator
Figura 2.1 Ilustrac¸a˜o das suposic¸o˜es do modelo matema´tico associado a um experimento com um
fator fixo
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.2.4 Partic¸a˜o da soma de quadrados total e graus de liberdade
Consideremos a identidade
yij − y¯.. = (yij − y¯i.) + (y¯i. − y¯..) (2.5)
O termo
yij − y¯..
mede o desvio de uma observac¸a˜o em relac¸a˜o a` me´dia amostral geral, sem levar em conta
a que tratamento pertence essa observac¸a˜o. Observemos que esse desvio e´ a soma de duas
componentes: (yij − y¯i.), que e´ a medida do desvio da observac¸a˜o em relac¸a˜o a` me´dia do
seu grupo, e (y¯i.− y¯..), que e´ uma medida do afastamento da me´dia do i-e´simo tratamento
em relac¸a˜o a` me´dia geral.
Elevando ao quadrado os dois membros da identidade (3.2) e somando em relac¸a˜o aos
ı´ndices i e j, e notando que os duplos produtos sa˜o nulos, obtemos:
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y¯..)2 =
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y¯i.)2 +
k∑
i=1
ni(y¯i. − y¯..)2
A soma dos quadrados:
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 13
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y¯..)2
e´ denominada somados quadrados total e vamos denota´-la por SQT. Este termo e´ uma
me´dida da variabilidade total das observac¸o˜es em relac¸a˜o a` me´dia geral. O nu´mero de
graus de liberdade associado a SQT e´ n− 1, pois temos n observac¸o˜es e a restric¸a˜o
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y¯..) = 0.
A parcela:
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − y¯i.)2
e´ deniminado soma de quadrados residual (SQR), e e´ uma medida da homogeneidade
interna dos tratamentos. Quanto mais pro´ximas estiverem as observac¸o˜es dentro de cada
grupo, menor e´ a SQR. Notemos que a magnitude da SQR na˜o depende da diferenc¸a entre
as me´dias dos tratamentos. Considerando apenas o i-e´simo tratamento, teremos que
ni∑
j=1
(yij − y¯i.)2
possui ni − 1 graus de liberadade. Assim, o nu´mero de graus de liberadade associado a
SQR e´
k∑
i=1
(ni − 1) = n− k.
A segunda componente de SQT:
k∑
i=1
ni(y¯i. − y¯..)2
mede a variabilidade entre as me´dias dos tratamentos e por isso e´ denominada soma de
quadrados entre tratamentos (SQE). Quanto mais diferente entre si forem essas me´dias,
maior sera´ a SQE. Desde que temos k tratamentos e a restric¸a˜o de que
k∑
i=1
ni(y¯i. − y¯..) = 0
SQE possui k − 1 graus de liberdade. Adotando a notac¸a˜o que acabamos de introduzir,
podemos escrever que
Peres, Tavares & Madruga
14 Experimentos com um fator
SQT = SQR+ SQE.
2.2.5 Quadrados me´dios
Dividindo SQR e SQE pelos correspondentes graus de liberdade, obtemos, respectiva-
mente o quadrado me´dio residual (QMR) e o quadrado me´dio entre tratamentos (QME),
isto e´,
QMR =
SQR
n− k e QME =
SQE
k − 1
Obs: As SQ podem ser escritas tambe´m como
SQT =
k∑
i=1
ni∑
j=1
y2ij − ny¯2.. =
k∑
i=1
ni∑
j=1
y2ij −
Y 2..
n
SQE =
k∑
i=1
y2i. − ny¯2.. =
k∑
i=1
Y 2i.
ni
− Y
2
..
n
SQR = SQT − SQE
2.2.6 Esperanc¸as dos quadrados me´dios (EQM)
Mostramos Apeˆndice A que:
E(QME) = σ2 +
1
k − 1
k∑
i=1
niT
2
i e E(QMR) = σ
2
Assim, temos que QME e´ um estimador na˜o viesado da variaˆncia σ2, se a hipo´tese dada
pela relac¸a˜o (2.2) for verdadeira, e o QMR e´ sempre um estimador na˜o viesado de σ2.
2.2.7 Estat´ıstica e regia˜o cr´ıtica do teste
A estat´ıstica para o teste e´
F0 =
QME
QMR
As expresso˜es das EQM nos indicam que o valor observado de F0 deve ser pro´ximo de
1 se H0 ja´ verdadeira, enquanto que valores grandes dessa estat´ıstica sa˜o uma indicac¸a˜o
de que H0 e´ falsa.
Pelo Teorema de Cochran (Neter, 1974, pa´g.92), temos que:
(i) SQE
σ2
tem distribuic¸a˜o χ2 com (k − 1) graus de liberdade, sob H0:
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 15
(ii) SQR
σ2
tem distribuic¸a˜o χ2 com (n− k) graus de liberdade;
(iii) SQE
σ2
e SQR
σ2
sa˜o independentes.
Portanto, a estat´ıstica F0 tem, sob H0, distribuic¸a˜o F-Snedecor com (k − 1) e (n − k)
graus de liberdade. Resumidamente, indicamos:
F0 ∼ Fk−1,n−k, sob H0.
rejeitamos H0 ao n´ıvel de significaˆncia α se
F0 > Fk−1,n−k,α.
onde Fk−1,n−k,α e´ quantil de ordem (1−α) da distribuc¸a˜o F-Snedecor com (k−1) e (n−k)
graus de liberdade, ou, de forma equivalente, se o p-value associado for menor que α.
2.2.8 Quadro da ana´lise de variaˆncia (ANOVA)
Dispomos as expresso˜es necessa´rias ao teste de H0 na Tabela 2.2 denominada Quadro
de Ana´lise de Variaˆncia (ANOVA).
Tabela 2.2 - ANOVA em experimentos com um fator
fonte de variac¸a˜o g.l SQ QM EQM F0
entre tratamentos k-1 SQE QME σ2 + 1k−1
∑k
i=1 niT
2
i
QME
QMR
res´ıduo (dentro dos tratamentos) n-k SQR QMR σ2
total n-1 SQT σ2
2.2.9 Exemplo
Em uma fase de um experimento efetuado para se estudar diabetes gestacional, desejava-
se avaliar o comportamento da hemoglobina glicolisada (HbA) em gestantes normais (N),
gestantes com toleraˆncia diminuida (TD) e gestantes diabe´ticas (D). Para isto foram es-
colhidas aleatoriamente 10 gestantes de cada tipo e mediu-se suas HbA. Na Tabela 2.3
apresentamos os dados obtidos nesse experimento.
Neste experimento temos um fator, Tipo de Gestante, com treˆs n´ıveis: N, TD e D. Nosso
objetivo e´ verificar se as HbA me´dias dos treˆs grupos de gestantes sa˜o iguais.
SQT =
SQE =
SQR = SQT − SQE =
Peres, Tavares & Madruga
16 Experimentos com um fator
Tabela 2.3 - Hemoglobina glicosilada (HbA) em gestantes normais (N),
com toleraˆncia Diminu´ıda (TD) e Diabe´ticas (D)
tratamento
N TD D
7,86 6,20 9,67
6,38 7,82 8,08
6,90 8,50 9,25
7,78 6,50 8,20
8,17 8,09 8,64
6,26 6,90 9,67
6,30 7,82 9,23
7,86 7,45 10,43
7,42 7,75 9,97
8,63 7,43 9,59
me´dia amostral 7,36 7,45 9,27 8,03
tamanho da amostra 10 10 10 30
Tabela 2.4 - ANOVA do estudo da HbA em gestantes
F.V. g.l SQ QM F0 p-value
entre grupos 2 23,403 11,702 19,36 0,000
res´ıduo 27 16,316 0,604
total 29 39,719
Na Tabela 2.4 constru´ımos a ANOVA correspondente a este experimento. Pelo valor
de F0 observado conclu´ımos, ao n´ıvel de significaˆncia α = 0, 05, que as HbA me´dias dos
treˆs tipos de gestantes na˜o sa˜o iguais. A mesma consclusa˜o poderia ser obtida olhando-se
para o p-value; caso este valor seja inferior ao n´ıvel de significaˆncia pre´-estabelecido (α)
rejeitamos a hipo´tese em teste.
2.2.10 Estimac¸a˜o das me´dias dos tratamentos
Os estimadores de mı´nimos quadrados dos paraˆmetros do modelo (2.1) sa˜o obtidos
minimizando-se a soma dos quadrados dos res´ıduos:
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 17
k∑
i=1
ni∑
j=1
(yij − µ− Ti)2
em relac¸a˜o a µ e Ti, i = 1, . . . , k, sujeito a` restric¸a˜o:
k∑
i=1
niTi = 0.
Assim procedendo, obtemos que os estimadores de µ e Ti sa˜o respectivamente, dados
por:
µˆ = y¯.. e Tˆi = y¯i. − y¯..
O estimador de mı´nimos quadrados de µi e´:
µˆi = µˆ− Tˆi = y¯i. , i = 1, . . . , k.
Para constru´ırmos um intervalo de confianc¸a para a me´dia de cada tratamento, devemos
notar que das siposic¸o˜es sobre a distribuic¸a˜o dos erros decorre que:
yˆi. ∼ N
(
µi,
σ2
ni
)
,
Vimos que o quadrado me´dio residual (QMR) e´ um estimador na˜o viesado de σ2 e
que SQR
σ2
tem distribuic¸a˜o χ2 com (n − k) graus de liberdade. Pode-se tambe´m mostrar
que SQR/σ2 e´ independente de y¯1., . . . , y¯k. Portanto,
y¯i. − µi√
QMR
ni
tem distribuic¸a˜o t-student com (n−k) graus de liberdade. Um intervalo de confianc¸a para
µi com coeficiente confianc¸a γ = 1− α e´, enta˜o, dado por[
y¯i. − tc
√
QMR
ni
; y¯i. + tc
√
QMR
ni
]
.
onde tc e´ o quantil de ordem 1− α2 da distribuic¸a˜o t-student com (n-k) graus de liberdade.
2.2.11 Exemplo
Considerando o exemplo dado em 2.2.10. apresentamos na Tabela 2.5 as extimativas
por ponto e por intervalo das HbA me´dias em cada grupo de gestante.
Peres, Tavares & Madruga
18 Experimentos com um fator
Tabela 2.5 - Estimativas por ponto e por intervalo das HbA me´dias
de gestantes N, TD e D (dados na Tabela 2.3)
N TD D
µˆi 7,36 7,453 9,27
IC(, µi, γ = 0, 95) [6,85;7,87] [6,94;7,95] [8,76;9,78]
2.2.12 Comparac¸o˜es mu´ltiplas
Se pela ANOVA constatarmos que existe efeito do fator em estudo, e´ interessante
prosseguir a ana´lise a fim de localizarmos as diferenc¸as entre as me´dias nos diferentes
tratamentos. A continuidade da ana´lise e´ feita de te´cnicas estat´ısticas denominadas com-
parac¸o˜es mı´ltiplas que permitem testar hipo´teses do tipo:
H0 : C = 0 versus H1 : C 6= 0
onde
C =
k∑
i=1
ciµi, (2.6)
com a restric¸a˜o de que
k∑
i=1
ci = 0.
A func¸a˜o C definida acima e´ denominada contraste. Nesta sec¸a˜o vamos apresentar
quatro me´todos de comparac¸o˜es mu´ltiplas e estabelecer as situaco˜es nas quais um desses
me´todos e´ mais adequado que os demais. Antes disso, pore´m, vamos considerar o problema
de estimac¸a˜o por intervalo de um contraste.
Um estimador na˜o viesado de um contraste C e´:
Cˆ =
k∑
i=1
ciy¯i. (2.7)
A variaˆnciadesse estimador e´ dada por:
V ar(Cˆ) = V ar
k∑
i=1
ciy¯i. =
k∑
i=1
c2i V ar y¯i. = σ
2
k∑
i=1
c2i
ni
.
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 19
Como QMR e´ um estimador na˜o viesado de σ2, a estat´ıstica:
̂V ar(Cˆ) = QMR
k∑
i=1
c2i
ni
(2.8)
e´ um estimador na˜o viesado de V ar(Cˆ). Para obtermos um intervalo de confianc¸a para
C, devemos lembrar que Cˆ e´ uma combinac¸a˜o linear da varia´veis aleato´rias independentes
e normalmente distribuidas e tem, portanto, distribuic¸a˜o normal. Ale´m disso, SQRσ2 tem
distribuic¸a˜o χ2 com (n − k) graus de liberdade e e´ independente de y¯i., . . . , y¯k.. Assim, a
estat´ıstica:
Cˆ − C√
QMR
∑k
i=1
c2i
ni
tem distribuic¸a˜o t-student com (n−k) graus de liberdade e um intervalo de confianc¸a para
um particular contraste C com coeficiente de confianc¸a γ = 1− α e´ dado por:Cˆ − tc
√√√√QMR k∑
i=1
c2i
ni
; Cˆ + tc
√√√√QMR k∑
i=1
c2i
ni
 (2.9)
onde tc e´ o quantil de ordem 1 − α2 da distribuic¸a˜o t-stundent com (n − k) graus de
liberdade.
2.2.13.b Exemplo
Consideremos o estudo da HbA em gestantes normais, com toleraˆncia diminu´ıda
e diabe´ticas. Conclu´ımos, atrave´s de uma ana´lise de variaˆncia, que a HbA me´dia nos
treˆs grupos de gestantes na˜o e´ a mesma. Suponhammos que o pesquisador ja´ estivesse
particularmente interessado, antes de realizar o experimento, na comparac¸a˜o das HbA
me´dias de gestantes com toleraˆncia diminu´ıda com as diabe´ticas.
Neste caso,
C = µ2 − µ3
onde µ2 e´ a HbA me´dia na populac¸a˜o de gestantes com toleraˆncia dininu´ıda, e µ3 e´ a HbA
me´dia na populac¸a˜o de gestantes diabe´ticas.
Pela relac¸a˜o (2.4), temos que:
Cˆ = 7, 45− 9, 27 = −1, 82.
Por (2.6) um intervalo de confianc¸a para C com γ = 0, 95 e´ dado por:
Peres, Tavares & Madruga
20 Experimentos com um fator
[
−1, 82− 2, 05
√
0, 611
(
1
10
+
1
10
)
;−1, 82 + 2, 05
√
0, 611
(
1
10
+
1
10
)]
=
= [−2, 54 ; −1, 10].
Como o ponto zero na˜o pertence a esse intervalo, conclu´ımos, ao n´ıvel de significaˆncia
α = 0, 05, que as HbA me´dias das gestantes com toleraˆncia diminu´ıda e das diabeticas sa˜o
diferentes.
2.2.13.c Me´todo de contrastes ortogonais
Dizemos que dois contrastes:
C1 =
k∑
i=1
ci1µi e C2 =
k∑
i=1
ci2µi
sa˜o ortogonais se:
k∑
i=1
ci1ci2
ni
= 0
O me´todo de contraste ortogonais consiste em particionar a SQE em (k − 1) parcelas,
cada uma com 1 grau de liberdade, correspondentes a contrastes ortogonais. Essas parcelas
sa˜o dadas por:
SQ(Cj) =
Cˆ2j∑k
i=1
C2ij
ni
(2.10)
onde
Cˆj =
k∑
i=1
cij y¯i..
Estamos interessados em testar as hipo´teses:
H0j : Cj = 0 vs H1j : Cj 6= 0. (2.11)
A estat´ıstica:
SQ(Cj)
σ2
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 21
tem, sob H0j , distribuic¸a˜o de χ2 com 1 grau de liberdade e e´ independente de SQR. Ja´
vimos que SQR/σ2 tem distribuc¸a˜o de χ2 com (n − k) graus de liberdade. Portanto as
estat´ısticas:
Fj =
SQ(Cj)
QMR
(2.12)
tem, sob H0j , distribuic¸a˜o F-snedecor com 1 e (n−k) graus de liberdade e sera˜o utilizadas
para testar as hipo´teses (2.8).
O me´todo de contrastes ortogonais possui as seguintes restric¸o˜es:
i) So´ podemos testar um conjunto de (k − 1) contrastes ortogonais que nem sempre
fornece ao pesquisador a informac¸a˜o de interesse a cerca do tipo de diferenc¸a existente
entre as me´dias;
ii) Para garantirmos o n´ıvel de significaˆncia em cada teste, os contrastes a serem testados
devem ser escolhidos antes da realizac¸a˜o do experimento (Neter, 1974, pa´gina 472).
Quando o fator em estudo e´ quantitativo, e´ poss´ıvel verificarmos qual o grau do po-
linoˆmio que relaciona a varia´vel dependente com os n´ıveis do fator, utilizando a te´cnica
de contrastes ortogonais. Ilustramos esta afirmac¸a˜o no exemplo dado em 2.2.13.d.
2.2.13.d Exemplo
Um mesmo tipo de condutor ele´trico tem sido usado em linhas de transmissa˜o que
possuem as mesmas caracter´ısticas, variando unicamente a altitude da regia˜o por onde
essas linhas passam. O tempo de vida ativa desse condutor tem apresentado variac¸o˜es que
levaram o fabricante a suspeitar que a pressa˜o atmofe´srica (e portanto a altitude) exerce
influeˆncia no seu tempo de vida. Realizou-se um experimento com o objetivo de testar
essa hipo´tese e de se avaliar o tipo relac¸a˜o existente entre altitude e tempo de vida. Doze
condutores rece´m-sa´ıdos da fa´brica foram divididos aleatoriamente em 3 grupos com 4
condutores cada um, e utilizados nas linhas de transmissa˜o em 3 altitudes espec´ıficas que
sa˜o de grande interesse do ponto de vista te´cnico: 0m; 500m; 1.000m.
Apresentamos abaixo as me´dias amostrais e o quadro de ana´lise de variaˆncia constru´ıdo
com os resutados obtidos neste esperimento:
y¯1. = 2, 58 (0m) n1 = 4
y¯2. = 4, 10 (500m) n2 = 4
y¯3. = 6, 13 (1.000m) n3 = 4
Como F2;9;0.01 = 8, 02, rejeitamos a hipo´teses a hipo´tese de que na˜o existe efeito de altitude.
Vamos proseguir a ana´lise com o objetivo de avaliar o grau do polinoˆmio que relaciona
tempo de vida e altitude. Isto e´ feito construindo contrastes que permitem verificar a
Peres, Tavares & Madruga
22 Experimentos com um fator
F.V. g.l SQ QM F
entre tratamentos 2 25, 38 12, 69 23, 07
res´ıduo 9 4, 99 0,55
total 11 30,37
existeˆncia de efeitos linear, quadra´tico, cu´bico, etc. nesta ordem. Como o nu´mero ma´ximo
de contrastes e´ k − 1, no nosso exemplo podemos apenas testar a existeˆncia de efeitos
linear e quadra´tico. Com esta finalidade, consideremos os contrastes:
C1 = µ1 − µ3
e
C2 =
µ1 + µ3
2
− µ2
Esses constrastes sa˜o ortogonais pois:
3∑
i=1
ci1ci2 = 0.
Vamos testar as hipo´teses:
H01 : C1 = 0 vs H11 : C1 6= 0 (2.13)
e
H02 : C2 = 0 vs H12 : C2 6= 0 (2.14)
utilizando a estat´ıstica dada pela relac¸a˜o (2.9). Por (2.7) temos que
SQ(C1) =
(2, 58− 6, 13)2
1/4 + 1/4
= 25, 21
SQ(C2) =
[(2, 58 + 6, 13)/2− 4, 10]2
1/16 + 1/16 + 1/4
= 0, 17
Reescrevemos abaixo o quadro de ana´lise de variaˆncia deste experimento, indicando a
partic¸a˜o da SQE e os valores da estat´ıstica Fj dada pela relac¸a˜o (2.9).
Como F1;9;0,01 = 6, 63, rejeitamos a hipo´tese de que C1 = 0 e na˜o rejeitamos a hipo´tese
de que C2 = 0. Em outras palavras, existente efeito linear e na˜o existe quadra´tico da
altitude no tempo de vida me´dio dos condutores. Assim, a relac¸a˜o entre altitude e tempo
de vida e´ do tipo:
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 23
ANOVA
F.V. g.l SQ QM F
C1 1 25,21 25,21 45,84
C2 1 0,17 0,17 0,31
entre tratamentos 2 25,38 12,69 23,07
res´ıduo 9 4, 99 0,55
total 11 30,37
Y = α + βX + ε,
onde:
Y e´ o tempo de vida
X e´ a altitude
α e β sa˜o os paraˆmentros desconhecidos, e
ε e´ um erro casual.
Existem va´rias propostas de testes para identificac¸a˜o das diferenc¸as, tais como Tukey,
Scheffe´, Bonferrony, Duncan, Dunnett, Sidak, dentre outros. Abaixo, apresentamos os treˆs
primeiros para ilustrac¸a˜o.
2.2.13.e Me´todo de Tukey para o conjunto de todas as diferenc¸as
entre me´dias de dois tratamentos
Este me´todo de comparac¸o˜es mu´ltiplas permite construir intervalos de confianc¸a para
todos os
(
k
2
)
= k(k−1)2 contrastes do tipo
Cij = µi − µj , i 6= j,
fixando-se um coeficeiente de confianc¸a γ = 1 − α para toda a famı´lia de intervalos.
Podemos enta˜o comparar as me´dias dos tratamentos duas a duas, garantindo que o n´ıvel
de significaˆncia conjunto de todos os testes e´ igual a α.
Para experimentos balanceados com r observac¸o˜es em cada tratamento, o intervalo de
confianc¸a para Cij e´[
(y¯i. − y¯j.)− q∗
√
QMR
r
; (y¯i. − y¯j.) + q∗
√
QMR
r
]
(2.15)
Peres, Tavares & Madruga
24 Experimentos com um fator
onde q∗ e´ o quantil de ordem
(
1− α2)
da distribuic¸a˜o da estat´ıstica:
q(k, v) =
max(y¯i. − µi)−min(y¯i. − µi.)√
QMR
r
Essa distribuic¸a˜o e´ denominada “studentized range”com paraˆmetros k e v que, em nosso
caso, sa˜o iguais ao nu´mero de tratamentos e o nu´mero de graus de liberdade do res´ıduo,
respectivamente, e esta´ tabulada, dentre outros, em Neter (1974, pa´g. 824-825).
Se o experimento for na˜o balanceado, os limites de confianc¸a para Cij sa˜o obtidos de
forma aproximada e sa˜o dados por:
[
(y¯i. − y¯j.)−
q∗√
2
√
QMR
(
1
ni
+
1
nj
)
; (y¯i. − y¯j.) +
q∗√
2
√
QMR
(
1
ni
+
1
nj
)]
(2.16)
2.2.13.f Me´todo de Scheffe´ para o conjunto de todos os contrastes
O me´todo de Scheffe´ fornece intervalos de confianc¸a para todos os contrastes
C =
k∑
i=1
ciµi,
k∑
i=1
ci = 0.
Estes intervalos sa˜o dados por
[Cˆ − S
√
V̂ ar(Cˆ); Cˆ + S
√
V̂ ar(Cˆ)] (2.17)
onde
S2 = (k − 1)Fc,
Fc e´ o quantil de ordem (1 − α) da distribuc¸a˜o F-Snedecor com (k − 1) e (n − k) graus
de liberdade; Cˆ e V̂ ar(Cˆ) sa˜o dados, respectivamente, pelas relac¸o˜es (2.4) e (2.5). O
coeficiente de confianc¸a conjunto de todos os poss´ıveis intervalos e´ γ = 1 − α. Assim, se
utilizarmos esses intervalos para testar hipo´teses do tipo:
H0 : C = 0,
o n´ıvel de significaˆncia conjunto de todos esses testes igual a α. Observemos que o me´todo
de Scheffe´ e´ exato mesmo para experimentos na˜o balanceados, ao contra´rio do me´todo de
Tukey.
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 25
2.2.13.g Me´todo de Bonferroni
Este me´todo de comparac¸a˜o mu´ltipla pode ser utilizado para experimentos na˜o ba-
lanceados e e´ adequado quando estamos interessados em um nu´mero fixado de contrastes
p. O intervalo de confianc¸a para um contraste Cj e´ dado por[
Cˆj −B
√
ˆV ar Cˆj ; Cˆj +B
√
ˆV ar Cˆj
]
 = 1, . . . , p (2.18)
onde
B e´ o quantil de ordem
[
1− α2p
]
da distribuic¸a˜o t-Student com (n−k) graus de liberdade;
Cˆj e ˆV ar Cˆj sa˜o dados, respectivamente, pelas relac¸o˜es (2.4) e (2.5).
O me´todo de Bonferroni garante que a probabilidade de que os p intervalos estejam
simultaneamente corretos e´ maior ou igual a γ = 1− α.
2.2.13.h Comparac¸o˜es entre os me´todos de comparac¸o˜es mu´ltiplas
Sempre que os contrastes de interesse forem escolhidos antes da realizac¸a˜o do expe-
rimento e pertencerema um mesmo conjunto de (k − 1) contrastes ortogonais, devemos
adotar a te´cnica de contraste ortogonais para detectarmos as poss´ıveis diferenc¸as entre
as me´dias dos tratamentos. O motivo dessa escolha e´ que os intervalos de confianc¸a ob-
tidos por esta te´cnica teˆm amplitude menor que os fornecidos pelos outros me´todos de
comparac¸o˜es mu´ltiplas apresentados nesta sec¸a˜o.
Se os contrastes a serem estimados forem escolhidos a priori mas na˜o forem ortogonais
entre si, a te´cnica de comparac¸o˜es mu´ltipla a ser adotada deve ser escolhida entre os
metodos de Turkey, Scheffe´ ou Bonferroni. Para decidirmos qual a te´cnica a ser aplicada,
devemos procurrar aquela que fornece intervalos de confianc¸a de menor amplitude para os
contrastes de interesse. Observando os intervalos (2.12), (2.13) e (2.14), podemos concluir
que:
a) O me´todo de Turkey deve ser adotado quando tivermos interesse em todas as poss´ıveis
comparac¸o˜es de me´dias dos tratamentos duas a duas. Quando o mu´mero de com-
parac¸a˜o for pequeno em relac¸a˜o a k(k−1)/2, o me´todo de Bonferroni e´ mais preciso
que o de Turkey.
b) O me´todo de Scheffe´ deve ser adotado quando temos interesse em va´rios contrastes,
com pelo menos um deles envolvendo mais de duas me´dias. Se o nu´mero de contrastes
a serem estimados for pequeno, o me´todo de Bonferrone e´ prefer´ıvel ao me´todo de
Scheffe´.
Peres, Tavares & Madruga
26 Experimentos com um fator
Se os contrastes de interessse forem determinados apo´s a realizac¸a˜o do experimento,
devemos escolher entre os me´todos de Turkey ou Scheffe´. Pelas relac¸o˜es (2.12) e (2.13),
conclu´ımos que:
a) Se todos os contrastes a serem estimados envolverem apenas duas me´dias, o me´todo
de Turkey fornece intervalos de menor amplitude que os de Scheffe´ e deve, neste
caso, ser adotado.
b) Se pelo menos um contraste envolver mais de duas me´dias o me´todo de Scheffe´ deve
ser o escolhido.
2.2.13.i Exemplo
Consideremos o estudo da HbA em gestantes normais, com toleraˆncia diminu´ıda e
diabe´ticas. Na Sec¸a˜o 2.2.10 conclu´ımos, atrave´s da ANOVA, que a HbA me´dia na˜o e´ a
mesma nos treˆs grupos de gestante. Vamos agora comparar duas a duas as HbA me´dias
dos treˆs tratamentos, isto e´, vamos considerar os contrastes:
C1 = µ1 − µ2, (2.19)
C2 = µ1 − µ3,
C3 = µ2 − µ3.
A Tabela 2.6 fornecemos as estimativas de Cj , j = 1, 2, 3 e respectivamente intervalos
de confianc¸a obtidos pelos me´todos de Turkey, Scheffe´ e Bonferroni.
Tabela 2.6 - Estimativas por ponto e intervalos de confianc¸a (γ = 0, 95)
para os contrastes Cj dados pelas relac¸o˜es (2.15)
Cj Cˆ Intervalo de confianc¸a
Tukey Scheffe´ Bonferroni
C1 0,09 [-0,96;0,78] [-0,99;0,81] [-1,10;0,92]
C2 -1,91 [-2,78;-1,04] [-2,81;-1,01] [-2,93;-0,90]
C3 -1,82 [-2,69;-0,95] [-2,72;-0,92] [-2,84;-0,81]
Adotando qualquer um dos me´todos de construc¸a˜o de intervalo de confianc¸a, a partir da
Tabela 2.6 conclu´ımos que a me´dia da HbA das gestantes normais e´ igual a` das gestantes
com toleraˆncia diminu´ıda (os intervalos para C1 conte´m o ponto zero) e que as gestantes
diabe´ticas apresentam um comportamento diferente dos outros grupos quanto a` me´dia da
HbA. O n´ıvel de significaˆncia conjunto para essas concluso˜es e´ α = 0, 05.
Observamos que os intervalos de confianc¸a abtidos pelo me´todo de Turkey teˆm amplitude
menor que os fornecidos pelos me´todos de Scheffe´ e Bonferroni.
Peres, Tavares & Madruga
2.2 Experimentos com um fator fixo 27
2.2.13 Ana´lise de Res´ıduos
O res´ıduo correspondente a uma observac¸a˜o yij e´ definido como:
zij = yij − yˆij = yij − y¯i.,
ou seja, o res´ıduo correspondente a` parte da observac¸a˜o que na˜o foi explicada pelo mo-
delo. Calculando os res´ıduos correspondente a todas as observac¸o˜es de um experimento e
analisando-os descritivamente de forma apropriada, podemos saber se as suposic¸o˜es esta˜o
satisfeitas, ou seja, se o modelo adotado na ana´lise foi adequado. Ale´m disso, atrave´s da
ana´lise de res´ıduos, conseguimos detectar observac¸o˜es sujeitas e erros de medida ou de co-
dificac¸o˜es (transcric¸a˜o), ou observac¸o˜es associadas a` indiv´ıduos que teˆm comportamento
patolo´gico em relac¸a˜o a populac¸a˜o que esta´ sendo estudado (“outliers”) com o aux´ılio do
pesquisador que realizou o experimento, podemos corrigir as medidas sujeitas e erro, e
imcluir ou na˜o as observac¸o˜es referentes a indiv´ıduos com comportamento expu´rio.
Relativamente a`s suposic¸o˜es, precisamos verificar se (i) a dsitribuic¸a˜o dos res´ıduos e´
normal; (2) se as variaˆncias sa˜o iguais nos k tratamentos e (iii) se os res´ıduos sa˜o inde-
pendentes. Estas suposic¸o˜es sa˜o verificadas abaixo utilizando-se as sa´ıdas do Minitab e
SPSS.
Os procedimentos de ana´lise que vamos apresentar na˜o se alterarem se dividirmos todos
os res´ıduos por uma mesma constante. Por convenieˆncia vamos considerar os res´ıduos
divididos por
√
QMR.
Para exemplificar algumas te´cnicas desdritivas de ana´lise de res´ıduos, consideramos
os dados do experimento descritivo na Sec¸a˜o 2.2.10 (Estudo da HbA em gestantes). A
Tabela 2.7 fornece os valores dos res´ıduos desse experimento divididos por
√
QMR obtida
a partir da ANOVA.
2.2.14.a Homocedasticidade
Na Figura 2.2 representamos graficamente os res´ıduos correspondentes a cada grupo de
gestantes. Notamos que a variabilidade dos res´ıduos e´ aproximadamente igual para os treˆs
grupos, o que nos indica descritivamente a suposic¸a˜o da igualdade das variaˆnciasdentro
de cada tratamento. Nenhum res´ıduo e´ muito maior ou menor que os demais, o que nos
garante a na˜o existeˆncia de “outliers”.
2.2.14.b Normalidade
No Gra´fico 2.2.13 podemos averiguar a hipo´tese de normalidade dos res´ıduos. Os res´ıduos
devem permanecer em torno de uma linha reta.
2.2.14.c Independeˆncia Para verificarmos a validade da hipo´tese de independeˆncia
dos erros, constru´ımos na Figura 2.3 um gra´fico dos res´ıduos em func¸a˜o da ordem segundo
a qual as respectivas observac¸o˜es foram obtidas. Notamos que os res´ıduos se distribuem
Peres, Tavares & Madruga
28 Experimentos com um fator
Tabela 2.5 - Res´ıduos padronizados:
gestantes N, TD e D (dados na Tabela 2.3)
T TD D
0,64 (7) -1,60 (2) 0,51 (25)
-1,25 (12) 0,47 (15) -1,52 (29)
-0,59 (3) 1,34 (28) -0,03 (30)
0,54 (11) -1,22 (9) -1,37 (21)
1,04 (10) 0,82 (8) -0,81 (16)
-1,41 (16) -0,70 (18) 0,51 (1)
-1,36 (27) 0,47 (17) -0,05 (5)
0,64 (20) 0,00 (24) 1,48 (14)
0,08 (22) 0,38 (23) 0,89 (13)
1,62 (26) -0,03 (19) 0,41 (4)
Obs: Os nu´meros entre pareˆnteses indicam a ordem
em que as respectivas observac¸o˜es forma obtidas.
erraticamente em torno do eixo das abcissas, o que e´ uma indicac¸a˜o da validade da inde-
pendeˆncia.
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio
Vimos no primeiro cap´ıtulo que, quando o fator e´ aleato´rio, apenas uma amostra dos
n´ıveis do fator faz parte do experimento, mas as concluso˜es devem ser estendidas a` toda a
populac¸a˜o de n´ıveis da qual a amostra foi retirada. Assim, a me´dia da varia´vel dependente
Y associada aos n´ıveis do fator presentes no experimento, na˜o sa˜o paraˆmetros, mas sim
valores da varia´vel aleato´ria: me´dia da varia´vel Y associada a todos os poss´ıveis n´ıveis
da populac¸a˜o de n´ıveis do fator “me´dia dos n´ıveis”. Portanto, quando realizamos um
experimento completamente casualizado com um fator aleato´rio estamos interessados em
verificar a hipo´tese da igualdade das me´dias associadas a` populac¸a˜o de n´ıveis do fator, ou
seja, a hipo´tese de que a varia´vel aleato´ria “me´dia dos n´ıveis”e´ uma constante, ou ainda a
hipo´tese de que a variaˆncia da varia´vel aleato´ria “me´dia dos n´ıveis”e´ igual a zero.
Veremos que a formulac¸a˜o matema´tica na situac¸a˜o de fator aleato´rio e´ diferente da
formulac¸a˜o com fator fixo, mas ao final o crite´rio de decisa˜o sera´ axatamente o mesmo.
Isso na˜o ocorrera´ se tivermos mais de um fator envolvido no experimento.
2.3.1 Modelo matema´tico
Vamos adotar o modelo;
Peres, Tavares & Madruga
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio 29
Figura 2.2 Res´ıduos para cada grupo de gestantes (dados da Tabela 2.7)
yij = µ+ Ti + eij , i = 1, . . . , k, j = 1, . . . , ni, (2.20)
Este modelo e´ ana´logo ao escolhido para experimentos com um fator fixo. Entretanto,
pelo fato dos n´ıveis do fator serem escolhidos aleatoriamente, as me´dias dos tratamentos
µi e seus efeitos Ti sa˜o varia´veis aleato´rias. A me´dia geral µ e´ agora definida como:
µ = E(µi) e Ti = µi − µ
2.3.2 Suposic¸o˜es do modelo
Na ana´lise de experimentos com um fator aleato´rio, vamos fazer as seguintes suposic¸o˜es
a cerca das distribuic¸o˜es das varia´veis aleato´rias Ti e eij :
a) eij sa˜o v.a.i.i.d. com distribuic¸a˜o N(0, σ2);
b) Ti sa˜o v.a.i.i.d. com distribuic¸a˜o N(0, σA2)
c) eij e Ti sa˜o independentes.
Das suposic¸o˜es acima, decorre que:
a) E(Yij) = µ, ∀i , j ;
Peres, Tavares & Madruga
30 Experimentos com um fator
Figura 2.3 Normal plot
b) V ar(Yij) = σ2A + σ
2
c) Cov(Yij , Yij′) = E[(Yij − µ)(Yij′ − µ)]
= E[(Ti + eij)(Ti + eij , )]
= E[T 2i + Tieij + Tieij + eijeij′ ] = E[T
2
i ] = σ
2
A
e
Cov(Yij , Yi′,j′) = 0, i 6= i′;
d) yij sa˜o normalmente distribu´ıdos.
Na Tabela 2.8 resumimos as consequeˆncias das suposic¸o˜es sobre a distribuic¸a˜o das
varia´veis aleato´rias que compo˜em os modelos fixo e aleato´rio.
Notemos que, devido ao fato do fator ser aleato´rio, a variaˆncia de cada observac¸a˜o tem
duas componentes: σ2 e σ2A. Assim como no modelo fixo, a variaˆncia dos erros σ
2 e´ uma
medida de variabilidade interna dos tratamentos e e´ constante para todos os n´ıveis do
fator. Como estamos sorteando os n´ıveis do fator a serem estudados, a me´dia µi de cada
tratamento e´ uma varia´vel aleato´ria com valor esperado igual a µ. A componente σ2A e´ uma
medida da variabilidade de µi ao redor de µ, i = 1, . . . , k. Na Figura 2.4 esquematizamos
o significado de σ2 e σ2A, considerando um fator aleato´rio com dois n´ıveis.
Cabe ainda ressaltar que as observac¸o˜es de um mesmo tratamento sera˜o correlacionadas,
diferentemente do que ocorria no caso de fatores fixos.
Peres, Tavares & Madruga
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio 31
Figura 2.4 Res´ıduos segundo a ordem de obtenc¸a˜o das observac¸o˜es no estudo da HbA em gestantes
Tabela 2.8 - Consequeˆncias das suposic¸o˜es feitas sobre os componentes dos modelos fixo
e aleato´rio na distribuic¸a˜o da varia´vel dependente
Modelo fixo Modelo aleato´rio
E(yij) µi = µ+ Ti µ
V ar(yij) σ2 σ2 + σ2A
Cov(yij , yij , ) 0 σ2A
j 6= j
Cov(yij , yi,j) 0 0
i 6= i
distribuic¸a˜o de yij Normal Normal
2.3.3 Hipo´teses
Se σ2A=0, enta˜o as me´dias de todos os poss´ıveis n´ıveis do fator em estudo sa˜o iguais a
µ. Assim, nossa hipo´tese de interesse e´
H0 : σ2A = 0. (2.21)
Peres, Tavares & Madruga
32 Experimentos com um fator
2.3.4 Partic¸a˜o da soma dos quadrados total e graus de liberdade
A partic¸a˜o da soma dos quadrados total e o nu´mero de graus de liberdade associado
a cada fonte de variac¸a˜o sa˜o ideˆnticas ao do modelo fixo.
2.3.5 Esperanc¸as dos quadrados me´dios
Em um modelo aleato´rio, pode-se mostrar que:
E(QME) = σ2 +
1
k + 1
(n− 1
n
k∑
i=1
n2i )σ
2
A
E(QMR) = σ2
Portanto, o QMR e´ um estimador na˜o viesado de σ2. Se a hipo´tese (2.17) for verdadeira,
QME tambe´m e´ um estimador na˜o viesado de σ2.
2.3.6 Estat´ıstica e regia˜o cr´ıtica do teste
Se a hipo´tese (2.17) for verdadeira, devemos esperar que o valor da estat´ıstica:
F0 =
QME
QMR
seja pro´ximo de 1. Pelos mesmos argumentos utilizados no caso do modelo fixo, a estat´ıstica
F0 tem, sob H0, distribuic¸a˜o F-snedecor com (k − 1) e (n− k) graus de liberdade.
A regia˜o cr´ıtica do teste da Hipo´tese (2.17) e´ constitu´ıda pelos valores da estat´ıstica F0
tais que:
F0 > Fk−1,n−k,α
onde Fk−1,n−k,α e´ o quantil de ordem (1 − α) da distribuic¸a˜o F-snedecor com (k − 1) e
(n− k) graus de liberdade.
2.3.7 Quadro de Ana´lise de Variaˆncia
Na Tabela 2.9 apresentamos o quadro de ana´lise de variaˆncia correspondente a um
experimento com um fator aleato´rio com k n´ıveis.
2.3.8 Exemplo
Um pesquisador esta´ interessado em avaliar se a temperatura me´dia do corpo dos
animais de uma espe´cie e´ constante. Como e´ imposs´ıvel a realizac¸a˜o de um experimento
com todos os animais da espe´cie, ele sorteou 5 animais e fez 4 medidas de suas temperaturas
de forma completamente casualizada. Apresentamos os dados obtidos na Tabela 2.10. O
quadro de ana´lise de variaˆncia e´ dado na Tabela 2.11.
Peres, Tavares & Madruga
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio 33
Tabela 2.9 - ANOVA para experimentos com um fator aleato´rio com k n´ıveis
Fonte de variac¸a˜o g.l SQ QM EQM F0
entre tratamentos k-1 SQE QME σ2 + 1k+1
[
n− 1n
∑k
i=1 n
2
i
]
σ2A
QME
QMR
res´ıduo n-k SQR QMR σ2
Total n-1 SQT
Tabela 2.10 - Temperatura(oc)em 5 animais de uma mesma espe´cie
Animais
1 2 3 4 5 Total
26 23 25 28 30
28 20 28 27 32
25 24 24 29 28
29 22 27 31 31
Total 108 89 104 115 121 537
me´dia 27, 00 22, 25 26, 00 28, 75 30,25 26, 85
tamanho da amostra 4 4 4 4 4 20
Neste experimento o fator de interesse e´ animal, cujos 5 n´ıveis constituem uma amostra
de todos os animais da espe´cie estudada.
Como F4;15;0;01 = 4.89, reijeitamos a hipo´tesede que a temperatura me´dia e´ constante
para todos os animais da espe´cie que esta´ sendo estudada.
2.3.9 Estimac¸a˜o em experimentos com um fator aleato´rio
Nesta sec¸a˜o vamos considerar a estimac¸a˜o por ponto e por intervalo de alguns paraˆmetros
de interesse do modelo aleato´rio, nos restringindo a experimentos balanceados, isto e´, va-
mos supor ni = n2 = . . . = nk = r
Peres, Tavares & Madruga
34 Experimentos com um fator
Tabela 2.11 - ANOVA do experimento executado para o estudo
dos animais de uma espe´cie
Fonte de variac¸a˜o g.l SQ QM F p-value
entre animais 4 148,300 37,075 12,02 0,000
res´ıduo 15 46, 250 3,083
Total 19 194,550
2.3.10 Estimac¸a˜o de µ
Como ja´ vimos anteriormente, o paraˆmetro µ e´ o valor esperado das me´dias µi, i =
1, . . . , k. No exemplo dado em 2.3.9, µ correspondente a` temperatura me´dia de todos os
animais da espe´cie e e´ um paraˆmetro de bastante interesse em nosso estudo.
Para obtermos um estimador para µ, devemos notar que a me´dia amostral de todas as
observac¸a˜o de um experimento pode ser escrita em termos dos paraˆmetros do modelo da
seguinte forma:
y¯.. = µ+
1
k
k∑
i=1
Ti +
1
n
k∑
i=1
r∑
j=1
eij .
Considerando agora as suposic¸o˜es associadas ao modelo aleato´rio, temos que:
E(y¯..) = µ,
e, portanto, y¯.. e´ um estimador na˜o viesado de µ. Utilizando os mesmos argumentos obte-
mos que a variaˆncia do estimador y¯.. e´:
V ar(y¯..) =
1
k2
k∑
i=1
σ2A +
1
n2
k∑
i=1
ni∑
j=1
=
σ2 + rσ2A
n
.
Como, para experimentos balanceados
E(QME) = σ2 + rσ2A,
temos que um estimador na˜o viesado da varia´vel de V ar(y¯..) e´:
̂V ar(y¯..) =
QME
n
.
Utilizando-se os resutados acima, pode-se mostrar que estat´ıstica:
y¯.. − µ√
QME
n
Peres, Tavares & Madruga
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio 35
tem distribuic¸a˜o t-student com (k− 1) graus de liberdade e que um intervalo de confianc¸a
para µ, com coeficiente de confianc¸a γ = 1− α e´ dada por:
[
y¯.. − tc
√
QME
n
; y¯.. + tc
√
QME
n
]
,
onde tc e´ o quantil de ordem 1− α2 da distribuic¸a˜o t-student com (k−1) graus de liberdade.
2.3.11 Estimac¸a˜o de σ2
Um estimador na˜o viesado de σ2 e´:
σˆ2 = QME.
Pode-se mostrar que:
(n− k)QMR
σ2
tem distribuic¸a˜o de χ2 com (n − k) graus de liberdade. A partir deste fato, obtemos que
um intervalo de confianc¸a para σ2 com coeficiente γ = 1− α e´ dada por:[
(n− k)QMR
χ2c1
;
(n− k)QMR
χ2c2
]
onde χ2c1 e χ
2
c2 sa˜o respectivamente, os quantis de ordem (1− α2 ) e (α2 ) da distribuic¸a˜o χ2
com (n− k) graus de liberdade.
2.3.12 Estimac¸a˜o de σ2A
Sabemos que: E(QME) = σ2 + rσ2A e E(QMR) = σ
2. Assim, um estimador na˜o
viesado de σ2A e´:
σˆ2A =
QME −QMR
r
Pode ocorrer que, em um particular experimento, σˆ2A assuma um valor negativo. Como
na˜o tem sentido o fato de uma variaˆncia ser negativa, devemos, em tais casos, considerar
que a estimativa de σ2A e´ nula.
Para a construc¸a˜o de um intervalo de confianc¸a para σ2A, necessitamos da distribuic¸a˜o
de (QME-QMR). No entanto, e´ bastante dif´ıcil determinar-se a distribuic¸a˜o exata dessa
estat´ıstica. Bulmer (1957) apresenta me´todos aproximados de construc¸a˜o de intervalos de
confianc¸a para σ2A. Na˜o vamos, entretanto, inclu´ı-los neste texto.
Peres, Tavares & Madruga
36 Experimentos com um fator
2.3.13 Estimac¸a˜o de
σ2A
σ2
Podemos ter interesse em estimador σ
2
A
σ2
. Este quociente e´ uma medida da relac¸a˜o exis-
tente entre a variac¸a˜o entre a variac¸a˜o as me´dias µi e a variac¸a˜o interna dos tratamentos.
Pode ser provado (Neter, 1974) que um intervalo de confianc¸a para σ
2
A
σ2
com coeficiente
de confianc¸a γ = 1− α e´ dado por.
[
1
r
(
QME
QMR
.
1
F2
− 1
)
;
1
r
(
QME
QMR
.
1
F1
− 1
)]
onde, F1 e F2 sa˜o, respectivamente, os quantis de ordem α2 e
[
1 − α2
]
da distribuic¸a˜o
F-snedecor com (k − 1) e (n− k) graus de liberdade.
2.3.14 Estimac¸a˜o de
σ2A
σ2A+σ
2
Esta quantidade e´, em geral, de grande interesse na ana´lise de experimentos com um
fator aleato´rio, pois representa a proporc¸a˜o da variaˆncia total atribu´ıda aos tratamentos,
ou seja, a proporc¸a˜o da variaˆncia total correspondente a` variac¸a˜o entre as me´dias µi.
A partir do intervalo de confianc¸a para σ
2
A
σ2
dado pela relac¸a˜o (2.18), obtemos que um
intervalo de confianc¸a para
σ2A
σ2A + σ2
com coeficiente de confianc¸a γ = 1− α e´ dada por:
[
Li
1 + Li
;
Ls
1 + Ls
]
,
onde
Li =
1
r
(
QME
QMR
.
1
F2
− 1
)
e Ls =
1
r
(
QME
QMR
.
1
F1
− 1
)
e F1 e F2, sa˜o respectivamente, os quantis de ordem (α2 ) e (1−α2 ) da distribuic¸a˜o F-snedecor
com (k − 1) e (n− k) graus de liberdade.
Peres, Tavares & Madruga
2.3 Experimentos com um fator Aleato´rio 37
2.3.15 Exemplo
Considerando os dados apresentados na Tabela 2.10, obtemos as seguintes estimativas.
Paraˆmetro Estimativa por ponto Intervalo de confianc¸a(γ = 0.95)
µ 26,85 [23,07;30,63]
σ2 3,08 [1,68;7,38 ]
σ2A 8,50
σ2A
σ2
[0,54;59,64]
σ2A
σ2+σ2A
[0,35;0,98]
Observando os resultados acima, conclu´ımos que a temperatura me´dia da espe´cie em
estudo e´ 26,85oc e que a variabilidade entre as me´dias das temperaturas dos animais
explica de 0,35 a 0,98 da variabilidade total. Notamos tambe´m que a variabilidade entre
as temperaturas me´dias dos animais de toda a espe´cie e´ grande em relac¸a˜o a` variabilidade
da temperatura de cada animal.
Peres, Tavares & Madruga
Cap´ıtulo 3
Experimentos com Dois Fatores
3.1 Introduc¸a˜o
Neste cap´ıtulo apresentaremos a ana´lise de experimentos com dois fatores. A diferenc¸a
que surge no caso de dois fatores tanto pode ser quanto ao tipo de planejamento, quanto
a` poss´ıvel interfereˆncia de efeito de um fator sobre o outro. Por exemplo, duas drogas
podem ter efeitos positivos com relac¸a˜o a` sau´de, mas quando combinadas podem trazer
resultados negativos. Esta poss´ıvel interac¸a˜o sera´ vista mais adiante.
Para melhor compreendermos os tipos de planejamento que podem ocorrer quando temos
dois fatores envolvidos em um experimento, consideremos os exemplos a seguir.
EXEMPLO 3.1 (Classificac¸a˜o Cruzada) - Uma companhia tem interesse em investi-
gar o efeito de prec¸o de venda e tipo de companha publicita´ria nas vendas de um de seus
produtos. Para isto ela vai realizar um experimento considerando treˆs prec¸os de venda (R$
100,00, R$110,00 e R$ 120,00 ) e dois tipos de campanha publicita´ria (anu´ncio em ra´dio
e anu´ncio em jornal).
Temos, neste exemplo, um experimento com dois fatores: prec¸o de venda (fator A) e
tipo de campanha publicita´ria (fator B) com 2 e 3 n´ıveis, respectivamente. Combinado
cada n´ıvel de A com um n´ıvel de B, obtemos 6 tratamentos, descritos na Tabela 3.1.
Tabela 3.1 - Experimento com 2 fatores
Classificac¸a˜o cruzada
Tratamento Descric¸a˜o
1 R$100,00 ra´dio
2 R$110,00 ra´dio
3 R$120,00 ra´dio
4 R$100,00 jornal
5 R$110,00 jornal
6 R$120,00 jornal
EXEMPLO 3.2 (Classificac¸a˜o Hiera´rquica)- Um industrial tem treˆs ma´quinas que
produzem um tipo de bacia de pla´stico. Dois operadores diferentes trabalham em uma
40 Experimentos com Dois Fatores
das ma´quinas. Seu objetivo e´ avaliar o efeito de ma´quina e operador na flexibilidade do
produto.
Os fatores de interesse neste experimento sa˜o tipo de ma´quina (fator A) com treˆs n´ıveis
e operador (fator B) com dois n´ıveis. Combinando os n´ıveis desses fatores obtemos 6
tratamentos, descritos na Tabela 3.2.
Tabela 3.2 - Experimento com 2 fatores
Classificac¸a˜o Hiera´rquica
Tratamento Descric¸a˜o
1 Ma´quina 1 Joa˜o
2 Ma´quina 1 Carlos
3 Ma´quina 2 Raimundo
4 Ma´quina 2 Antoˆnio
5 Ma´quina 3 Jose´
6 Ma´quina 3 Nonato
Notemos que, no Exemplo 3.1 os treˆs prec¸osde vendas considerados sa˜o os mesmos para
cada tipo de veiculac¸a˜o publicita´ria. Ja´ no Exemplo 3.2, os fatores se combinam de uma
forma diferente, pois os operadores diferem de ma´quina para ma´quina. Em experimentos
do tipo considerado no Exemplo 3.1, onde cada n´ıvel de um fator esta´ combinado com
todos os n´ıveis do outro fator, dizemos que os fatores obedecem a uma classificac¸a˜o cru-
zada (experimentos cruzados). Em experimentos nos quais existe uma hierarquia entre os
n´ıveis dos fatores, isto e´, os n´ıveis de um fator (operador) sa˜o espec´ıficos a cada n´ıvel do
outro fator (ma´quina), temos uma classificac¸a˜o hiera´rquica (experimentos hiera´rquicos).
Dizemos neste caso que “operador”e´ um subfator do fator “ma´quina”.
A ana´lise estat´ıstica de um experimento com dois fatores depende da forma como eles
esta˜o combinados e tambe´m do fato deles serem fixos ou aleato´rios. Vamos apresentar a
ana´lise de cada tipo de experimento isoladamente. Antes, pore´m, e´ necessa´rio introduzir-
mos a notac¸a˜o que vai ser adotada neste cap´ıtulo.
3.2 Notac¸a˜o
Adotamos neste cap´ıtulo a notac¸a˜o abaixo para quantidades e paraˆmetros. Vale ressal-
tar que estamos supondo, por facilidade, que o experimentos e´ balanceado, ou seja, todos
os tratamentos teˆm o mesmo nu´mero de observac¸o˜es.
• a e´ o nu´mero de n´ıveis do fator A;
Peres, Tavares & Madruga
3.3 Experimentos cruzados fixos 41
• b e´ o nu´mero de n´ıveis do fator B;
• r e´ o nu´mero de obseervac¸o˜es a cada tratamento;
• ni. = br e´ o nu´mero de observac¸o˜es no i-e´simo n´ıvel de A;
• n.j = ar e´ o nu´mero de observac¸o˜es no j-e´simo n´ıvel de B;
• n = abr e´ o nu´mero total de observac¸o˜es;
• yijk e´ a observac¸a˜o correspondente a` k-e´sima unidade experimental submetida ao
i-e´simo n´ıvel de A e j-e´simo n´ıvel de B;
• µij e´ a me´dia populacional da varia´vel dependente no i-e´simo n´ıvel de A e j-e´simo
n´ıvel de B;
• µi. e´ a me´dia populacional da varia´vel dependente no i-e´simo n´ıvel de A;
• µ.j e´ a me´dia populacional da varia´vel dependente no j-e´simo n´ıvel de B;
• µ e´ a me´dia populacional da varia´vel dependente livre de qualquer tratamento.
Os estimadores dos paraˆmetros de me´dias µij , µi., µ.j e µ, sa˜o dados, respectivamente,
por
y¯ij. =
1
n
r∑
k=1
yijk
y¯i.. =
1
n.j
b∑
j=1
r∑
k=1
yijk
y¯.j. =
1
n.j
a∑
i=1
r∑
k=1
yijk
y¯... =
1
n
a∑
i=1
b∑
j=1
r∑
k=1
yijk
3.3 Experimentos cruzados fixos
Nesta sec¸a˜o consideramos experimentos com dois fatores fixos obedecendo a uma clas-
sificac¸a˜o cruzada, que e´ a
Peres, Tavares & Madruga
42 Experimentos com Dois Fatores
3.3.1 Modelo
O modelo associado a este tipo de experimento e´
yijk = µ+ αj. + βj + αβij + eijk (3.1)
com i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . , r, onde:
αi e´ o efeito do i-e´simo n´ıvel do fator A, definido como:
αi = µi. − µ
βj e´ o efeito do j-e´simo n´ıvel do fator B, definido como:
βj = µ.j − µ
αβij e´ o efeito da interac¸a˜o entre o i-e´simo n´ıvel de A e o j-e´simo n´ıvel de B e e´ definido
como:
αβij = µij − (µ+ αi + βj)
αβij = µij − µi. − µ.j + µ
eijk e´ um erro casual associado a` observac¸a˜o yijk.
3.3.2 Suposic¸o˜es associadas ao modelo
Vamos supor que os erros eijk sa˜o varia´veis aleato´rias independentes e identicamente
distribu´ıdas com distribuic¸a˜o N(0, σ2), isto e´,
eijk ∼ N(0, σ2), independentes
Das definic¸o˜es dos paraˆmetros do modelo seguem-se as seguintes restric¸o˜es:
a∑
i=1
αi = 0,
b∑
j=1
βj = 0;
a∑
i=1
αβij = 0,∀j e
b∑
j=1
αβij = 0,∀i;
Como consequ¨eˆncia das suposic¸o˜es feitas sobre a distribuic¸a˜o dos erros, temos que:
yijk ∼ N(µ+ αi + βj , σ2), independentes.
Peres, Tavares & Madruga
3.3 Experimentos cruzados fixos 43
3.3.3 Interpretac¸a˜o dos paraˆmetros do modelo
Efeitos principais: os efeitos αi e βj , i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b sa˜o denominados efeitos
principais. Observando o modelo (3.1), notamos que, se na˜o existe efeito de interac¸a˜o,
yijk = µ+ αj. + βj + eijk
Dizemos neste caso que os efeitos de A e B sa˜o aditivos. Em experimentos deste tipo
toda a informac¸a˜o sobre o efeito dos fatores A e B na varia´vel dependente pode ser obtida
fazendo-se infereˆncias apenas sobre as me´dias µj. e µ.j . Isto decorre do fato de que, em
experimentos aditivos, a diferenc¸a entre as me´dias populacionais em quaisquer 2 n´ıveis de
um fator a mesma qualquer que seja o n´ıvel do outro fator, isto e´:
µij − µi′j = c1 i 6= i′,
µij − µij′ = c2 j 6= j′,
onde c1 e c2 sa˜o constantes.
Em experimentos onde ocorre interac¸a˜o, essa diferenc¸a na˜o e´ constante, ou seja, o padra˜o
de diferenc¸a, entre os n´ıveis de um fator depende dos n´ıveis do outro fator. Consideremos,
por exemplo, um experimento com dois fatores A e B com 2 e 3 n´ıveis respectivamente.
Na Figura 3.1(d) representamos graficamente a existeˆncia de interac¸a˜o e na Figura 3.1(c)
a na˜o existeˆncia de interac¸a˜o desse efeito. Esses gra´ficos sa˜o conhecidos como Gra´ficos
de Perfis e sa˜o extremamente u´teis em uma primeira averiguac¸a˜o vusual sobre interac¸o˜es
entre fatores, podendo haver as seguintes situac¸o˜es:
(a) Existe efeito de A, mas na˜o de B
(b) Existe efeito de B, mas na˜o de A
(c) Existe efeito de A, de B, mas na˜o de interac¸a˜o AB
(d) Existe efeito de A, de B, e interac¸a˜o AB
(e) Na˜o existe nenhum efeito
Pela pro´pria definic¸a˜o, αβij e´ a diferenc¸a entre µij e o valor que deveria ser esperado
se os fatores fossem aditivos. Em experimentos onde existe efeito de interac¸a˜o, para avali-
armos os efeitos existentes na varia´vel dependente, devemos verificar o efeito de um fator
dentro da cada n´ıvel do outro. Por exemplo, interac¸a˜o entre um fator Droga (com 2 n´ıveis,
digamos) e o fator Sexo, indica que o efeito da droga na˜o e´ o mesmo para homens e mu-
lheres; se no primeiro n´ıvel da droga a resposta me´dia for maior para o sexo masculino, no
segundo n´ıvel a diferenc¸a pode aumentar ainda mais, inverter-se, ou ainda tornar-se nula.
Peres, Tavares & Madruga
44 Experimentos com Dois Fatores
Figura 3.1 Gra´ficos de Perfis
(a) Efeito de A, mas não de B
4
4,5
5
5,5
6
6,5
7
7,5
B1 B2 B3
Níveis do Fator B
M
éd
ia
 
da
 
v
ar
iá
v
el
 
re
sp
o
st
a
A1
A2
Efeito de A e B, com interação
4
6
8
10
12
14
16
B1 B2 B3
Níveis do Fator B
M
éd
ia
 
da
 
v
ar
iá
v
el
 
re
sp
o
st
a
A1
A2
(c) Efeito de A e B, sem interação
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
B1 B2 B3
Níveis do Fator B
M
éd
ia
 
da
 
v
ar
iá
v
el
 
re
sp
o
st
a
A1
A2
(b) Efeito de B, mas não de A
4
5
6
7
8
9
10
11
B1 B2 B3
Níveis do Fator B
M
éd
ia
 
da
 
v
ar
iá
v
el
 
re
sp
o
st
a
A1
A2
3.3.4 Hipo´teses
Nossas hipo´teses gerais sa˜o:
H01 : α1 = α2 = . . . = αa = 0 (na˜o existe efeito do fator A)
H02 : β1 = β2 = . . . = βb = 0 (na˜o existe efeito do fator B)
H03 : αβ11 = αβ12 = . . . = αβab = 0 (na˜o existe efeito de interac¸a˜o).
3.3.5 Partic¸a˜o da soma dos Quadrados Total
Consideremos a identidade:
yijk − y¯.. = (y¯i.. − y¯...) + (y¯.j. − y¯...) + (y¯ij. − y¯i.. − y¯.j. + y¯...) + (yijk − y¯ij.)
= αˆi + βˆj + αˆβij + eˆijk (3.2)
Peres, Tavares & Madruga
3.3 Experimentos cruzados fixos 45
Elevando ao quadrado ambos os lados dessa relac¸a˜o e somando em relac¸a˜o aos ı´ndices
i, j e k, obtemos:
SQT = SQA+ SQB + SQR.
SQT e´ denominada soma de quadrados total e e´ uma medida de variabilidade das ob-
servac¸o˜es em relac¸a˜o a` me´dia geral estimada; SQA, denominada soma dos quadrados do
fator A, e´ uma medida da variabilidade das me´dias amostrais dos n´ıveis de A em relac¸a˜o
a y¯.... Da mesma