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2 Créditos Linha Matemática Financeira para Profissionais não Financistas Curso Capitalização Composta Professor Conteudista Adriana Paffrath Hecke Designer Educacional Vânia Regina Ribeiro Análise de Língua Juliana Binotto Designer Gráfico Ewerton Rudinick Diagramador Raphael Fernandes Benedette Revisão Final Livaneide Paes de Sousa Ilustrador Juliano Henrique Roque e Ricardo Carneiro Meira 3 1. Objetivos da aprendizagem 2. Situação-problema 3. Capitalização composta 4. Títulos equivalentes em regime de capitalização composta Referências Indicação de leitura Mapa do curso 4 1. Objetivos da aprendizagem • Aprender o conceito de capitalização composta e como calcular juros compostos • Entender o conceito e como calcular equivalência de capitais a juros compostos • Adquirir noções de desconto composto comercial e racional 2. Situação-problema Que tal começarmos os nossos estudos com uma situação-problema? Analise a situação a seguir e pense na atitude mais sensata a se tomar. Comprar um automóvel é o sonho de muitas pessoas. Mas, essa decisão deve vir acompanha- da sempre de muita paciência e racionalidade. Se comprar um carro faz parte dos seus planos, é importante, antes de qualquer coisa, decidir se você prefere economizar uma quantia mensalmente até atingir o montante necessário para realizar seu sonho ou se vai recorrer a um financiamento desse veículo, optando, assim, por ter o veículo à sua disposição imediatamente e assumir um pagamento mensal que pode durar até 60 meses. Imagine que você faz parte dessa parcela de pessoas que tem o sonho de adquirir um carro novo e que tomou a decisão de comprar esse veículo por meio de um financiamento de 60 parcelas para ter seu veículo o mais breve possível, sem ter que esperar até economizar todo o dinheiro sufi- ciente para a compra. Leia as alternativas a seguir, escolha a que você considera conter a decisão mais acertada e depois clique em cada uma delas para conferir os feedbacks. ( ) a. Você vai até uma loja de veículos, escolhe o automóvel dos seus sonhos e informa-se sobre o valor das parcelas para saber se seus vencimentos são suficientes para o pagamento dessas parcelas. ( ) b. Além de escolher o veículo dos seus sonhos, você busca informações com o vendedor sobre o valor da parcela mensal e as taxas que estão sendo cobradas nesse financiamento, bem como quais são os outros encargos que incidirão, como impostos, seguro etc. ( ) c. Escolhe o veículo que deseja adquirir e incrementa o novo carrão com alguns acessó- 5 rios, que poderão ser incluídos no financiamento e só vão aumentar “um pouquinho” o valor de cada parcela. 3. Capitalização composta Neste curso vamos conversar sobre capitalização composta. Mas, afinal, você sabe o que é ca- pitalização composta? Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo, portanto, os juros gerados em um período são acrescidos ao principal e, no próximo perío- do, incidirão juros sobre esse novo montante. E como se calculam os valores onde é aplicada a capitalização composta? Antes de aprender a calcular temos que conhecer alguns conceitos básicos de Matemática Financeira, como Capital, Juros, Montante e Período ou Prazo. O capital é o valor que será aplicado através de alguma operação financeira, o valor que será emprestado ou, ainda, o valor a ser financiado. Alguns autores também utilizam para o Capital os ter- mos: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Quando se utiliza calculadoras financeiras para o cálculo da capitalização composta, referencia-se com o termo em inglês Present Value (PV). Os juros podem ser expressos de duas maneiras: juros simples ou juros compostos. Essas duas maneiras de expressar juros representam a remuneração que será recebida, ou paga, do Capital em- pregado em alguma atividade produtiva. O juro é a remuneração recebida quando o dinheiro é emprestado de/a alguém. Ele existe porque há muitas pessoas que optam pelo consumo imediato ao invés de poupar para comprar aque- le seu “objeto de desejo” e, em função disso, está disposta a pagar um preço por isso. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir o que gostaria, e ainda, duran- te o período de espera, estiver disposta a emprestar este capital a alguém, deve ser recompensado por essa espera na proporção de tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Montante, que também é conhecido como Valor Acumulado, é o Capital Aplicado mais o juro produzido em determinado tempo. Para se chegar a essa conclusão, podemos utilizar a relação matemática: M = C + ( t . i . C) onde, M = Montante C = Capital t = tempo de investimento i = taxa de juro 6 O prazo ou período de capitalização é o tempo pelo qual o capital é aplicado. Aqui, representaremos o prazo por: n Alguns autores também utilizam a letra t para representar o prazo. Taxa de juro composto No sistema financeiro o regime de juros mais utilizado é o de juros compostos, sendo, assim, o regime mais útil para os cálculos de problemas do nosso dia a dia. Conforme citado anteriormente, todos os juros gerados a cada período são somados ao montante para o cálculo dos juros do período seguinte. Conhecemos como capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos: 1º mês: M = C. (1 + i) 2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C . (1 + i) . (1 + i) 3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = C . (1 + i) . (1 + i) . (1 + i) Simplificando, obtemos a fórmula: M = C . (1 + i)n A taxa i deve ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, se a taxa de juros estiver expressa em meses, o tempo também deverá ser utilizado em meses. Para calcularmos apenas os juros, basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M – C Fique atento Podemos, ainda, transformar uma taxa de juro em uma capitalização composta, pois se temos duas taxas i1 e i2, equivalentes, e se elas forem aplicadas ao mesmo Capital P durante o mesmo perí- odo de tempo, por meio de diferentes períodos de capitalização, produzem o mesmo montante final. Você deve estar se perguntando: Mas como? Veja: 7 • Se considerarmos um capital C aplicado por um ano a uma taxa anual ia. • O montante M ao final do período de 1 ano será igual a M = C (1 + i a ) • Consideremos, agora, o mesmo capital C aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im • O montante M’ ao final do período de 12 meses será igual a: M’ = C (1 + im)12 Pela definição de taxas equivalentes, deveremos ter M = M’ Portanto, C (1 + ia) = C (1 + im)12 Então, concluímos que 1 + ia = (1 + im)12 Com esta fórmula podemos calcular a taxa anual equivalente a uma taxa mensal conhecida. Vamos ver alguns exemplos: 1 - Qual a taxa anual equivalente a 6% ao semestre? Em um ano temos dois semestres, então teremos: 1 + ia = (1 + is)2 1 + ia = 1,062 ia = 0,1236 = 12,36% a.a. 2 - Qual a taxa anual equivalente a 0,8% ao mês? 1 + ia = (1 + im)12 1 + ia = (1,008)12 ia = 0,100338 = 10,03% a.a. Mas, afinal, por que se cobra juro? Imagine que você tem uma casa, mas no momento não tem ninguém morando nela, então você decide alugá-la para alguém e em troca cobra um aluguel. O motivo dessa cobrança é que você gastou certa quantia do seu dinheiro para comprá-la e, portanto, merece receber uma compensação de quem quer morar na casa, pois ela foi comprada com o suor do seu trabalho. 8 A cobrança de juros surge exatamentedessa ideia. Quando você trabalha duro, você recebe seu salário, e pode usá-lo da maneira que bem entender. Agora, se ao invés de você gastar o seu dinheiro alguém quiser esse dinheiro emprestado, você não vai mais poder usá-lo imediatamente. Portanto, para que você se sinta motivado a emprestá-lo, é justo que cobre juros sobre o empréstimo: depois de um determinado tempo, devolve-se o dinheiro emprestado, mais outro tanto. É como se fosse um aluguel pelo uso do dinheiro. Período fracionário Os juros normalmente são cobrados em períodos integrais ou em períodos fracionários. Por exemplo, se estamos pagando um determinado empréstimo a uma taxa de juros anual e o período de financiamento não contempla um total de meses múltiplos de 12, são convencionados os períodos fracionários para a cobrança proporcional dos juros devidos. Existem duas maneiras de se calcular os juros de períodos fracionários, a convenção linear e a convenção exponencial. Na convenção linear utiliza-se uma combinação de juro simples e juro com- posto, e na convenção exponencial utiliza-se somente o juro composto. A seguir, vamos conhecer um pouco mais sobre cada uma dessas convenções. Convenção linear (ou mista) Nessa modalidade de cálculo atualiza-se o capital a juros compostos no número inteiro de pe- ríodos de capitalização e corrige-se esse montante a juros simples no período fracionário. Depois de calculado o montante composto para a parte inteira do prazo, capitaliza-se esse montante, a juros simples, na parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator do juro simples (1 + in). M = C (1 + i) 1 . (1 + i . m/n) Esse tipo de cálculo de capitalização é uma combinação de regime composto e de regime simples, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária. Convenção exponencial Nessa modalidade de convenção dos juros do período fracionário calcula-se o montante a ju- ros compostos sobre o período total de capitalização. Após calcularmos o montante composto para a parte inteira do prazo, capitalizamos esse mon- tante, a juros compostos, pela parte fracionária do prazo, multiplicando-o pelo fator de juros compos- tos (1 + i)n. M = C (1 + i)1 x (1 + i)m/n 9 Esse tipo de cálculo adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, uti- liza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária. Essa convenção é mais comumente usada na prática, sendo assim, considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não intei- ros. Desconto composto A ideia de capitalização composta, além da sua utilização para a cobrança de juros, também é muito utilizada no cálculo de descontos. Desconto composto é aquele obtido em função de cálculos exponenciais. São conhecidos dois tipos de descontos: o desconto comercial ou desconto “por fora” e o desconto racional ou desconto “por dentro”. Portanto, existem duas maneiras de calcularmos o desconto composto. O desconto comercial não possui nenhuma utilização prática conhecida, pelo menos no Brasil. No entanto, o desconto racional nada mais é do que a diferença entre o valor futuro de um título e o seu valor atual, determinado com base no regime de capitalização composta, portanto, de aplicação generalizada. Para o cálculo do desconto composto utilizam-se algumas premissas, veja: N = valor nominal do título que deve ser descontado Va = valor atual ou valor descontado D = desconto i = taxa de desconto n = número de períodos de antecipação Desconto comercial O desconto comercial composto é pouco utilizado nas operações práticas e a fórmula que dá o valor atual para o desconto comercial composto é: Vacc = N (1 – i)n E o desconto comercial composto será dado por: Dcc = N – Vacc Desconto racional Neste caso, consideramos que o valor nominal N é igual ao montante do valor atual racional composto Varc para um número de períodos n igual ao da antecipação. Ou seja, se aplicássemos o valor atual racional composto durante os n períodos de antecipação, a juros compostos, o montante 10 seria igual ao valor nominal. A taxa de juros utilizada para o cálculo é chamada de taxa de desconto racional composto. Sendo assim: M = C (1 + i)n N = Varc (1 + i)n Varc = N/(1 + i)n Para calcularmos o desconto racional composto devemos fazer: Drc = N – Varc 4. Títulos equivalentes em regime de capitalização composta Taxas equivalentes são aquelas que, aplicadas ao mesmo capital P durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo montante. Seja o capital P aplicado por um ano a uma taxa anual ia. O montante S ao final do período de 1 ano será igual a S = P (1 + i a ). Consideremos, agora, o mesmo capital P aplicado por 12 meses a uma taxa mensal im. O montante S’ ao final do período de 12 meses será igual a S’ = P (1 + im)12. Pela definição de taxas equivalentes, deveremos ter S = S’. Portanto, P (1 + i a) = P (1 + im)12 Então, concluímos que: 1 + ia = (1 + im)12 Esta fórmula permite calcular a taxa anual equivalente a uma determinada taxa mensal conhe- cida. Exemplo: Qual a taxa de juros anual equivalente a 3% a. m.? Ora, lembrando que 3% = 3/100 = 0,03, então: 1 + ia = (1 + 0,03)12 ou 1 + ia = 1,0312 = 1,4257 Portanto, ia = 1,4257 – 1 = 0,4257 = 42,57% Observe, portanto, que no regime de juros compostos a taxa de juros de 3% a.m. equiva- le à taxa anual de 42,57% a.a. e não 36% a.a., como poderia parecer. Podemos generalizar a conclusão vista anteriormente, conforme os dados a seguir. Seja: ia = taxa de juros anual 11 is = taxa de juros semestral im = taxa de juros mensal id = taxa de juros diária As conversões das taxas podem ser feitas de acordo com as seguintes fórmulas: 1 + im = (1 + id)30 [porque 1 mês = 30 dias] 1 + ia = (1 + im)12 [porque 1 ano = 12 meses] 1 + ia = (1 + is)2 [porque 1 ano = 2 semestres] 1 + is = (1 + im)6 [porque 1 semestre = 6 meses] Todas essas convenções são baseadas no mesmo princípio fundamental de que taxas equiva- lentes aplicadas a um mesmo capital produzem montantes iguais. Não é necessário memorizar todas as fórmulas. Basta verificar a lei de formação que é bastante clara. Por exemplo, se iq = taxa de juro em um quadrimestre, poderíamos, por exemplo, escrever: 1 + ia = (1 + iq)3 [Porque 1 ano = 3 quadrimestres] Exercício Lembra-se daquele veículo que você gostaria de comprar, do qual falamos lá no início do nosso curso? Chegou, então, a hora de aplicar todos os conhecimentos adquiridos nesse curso para saber exatamente qual valor seria pago no financiamento desse objeto de desejo. Suponha que o veículo que você gostou e pretende comprar custa R$25.800,00 e será total- mente financiado a uma taxa de 1,98% ao mês, durante 60 meses. Calcule qual o valor total a ser pago pelo veículo e qual o valor dos juros cobrados pela finan- ceira. Bom trabalho! a. Não seria a atitude mais conveniente, pois o correto seria preocupar-se também com o valor das taxas que serão cobradas nesse financiamento e com a escolha do regime de capitalização utilizado. b. Essa é a melhor atitude, pois é importante que você saiba, além do valor financiado, quais são os encargos que estão sendo cobrados e quais os outros ônus que virão acompanhando seu carro novo. c. Não seria a atitude mais conveniente, pois, às vezes, aumentar “um pouquinho” a parcela pode significar uma diminuição nos seus recursos disponíveis durante um longo período de tempo. Gabarito da situação-problema 12 Referências ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. São Paulo: Atlas, 2001. BRANCO, A.C.C. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP 12-C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thompson Learning,2002. SILVEIRA JR, A. Manual de matemática financeira. Brasília: UnB, 2009. SÓ MATEMÁTICA – Portal Matemático. Capitalização composta. Disponível em: <http://www.soma- tematica.com.br>. Disponível em: 15/08/2012. SOUZA, A; CLEMENTE, A. Decisões financeiras e análise de investimentos: fundamentos, técnicas e aplicações. São Paulo: Atlas, 2006. • Se quiser aprender um pouquinho mais sobre Matemática Financeira, acesse: http://www.somatematica.com.br/financeira.php • Para efetuar todos esses cálculos utilizando as funções da sua calculadora financeira HP12C, acesse: http://www.mat.ufba.br/disciplinas/financeira/utiliz_hp.pdf • Se desejar conhecer um pouquinho da história da Matemática Financeira, acesse: http://www.administradores.com.br/informe-se/artigos/a-historia-da-matematica-financei ra/30965/ Indicação de leitura
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