ÁLGEBRA LINEAR- Vetores no plano e no espaço

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AULA1 
 
VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO 
 
 
 
1. VETORES NO PLANO 
 
1.1 - Introdução 
Um vetor é a representação gráfica de uma grandeza vetorial . 
 
Observe que 
 
- Grandeza escalar- só precisa de módulo (é o valor numérico não-negativo e a 
unidade); 
- Grandeza vetorial- para ser bem definida precisa-se de módulo, direção e 
sentido; 
 
Considere o segmento orientado AB na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
Note que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante 
definidos: 
 
- MÓDULO ( que é dado pelo comprimento). 
- DIREÇÃO 
- SENTIDO 
 
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentos orientados 
equipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados 
que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB. 
 
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo: 
 
Na prática , para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos 
segmentos orientados que o compõe. Guarde esta idéia, pois ela é importante! 
A B 
 2
 
1.2 propriedades dos vetores 
A) O VETOR OPOSTO 
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção 
do vetor u , porém , de sentido oposto. 
 
B) O VETOR UNITÁRIO 
É o vetor cujo módulo é igual à unidade, ou seja: | u | = 1. 
 
C) O VETOR NULO 
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentido indeterminados. 
 
1.3 Representação de um vetor no plano cartesiano 
 
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas 
cartesianas e, por conseguinte, O(0, 0) e que as coordenadas de P sejam x 
(abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y), um vetor é representado como 
na figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, v = (a,b) 
 
Logo, o vetor v, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do 
sistema de coordenadas cartesianas. 
 
Exemplo 1. 
Representar geometricamente os vetores u = (1, 3), v = (-2, 2) e w = (0, - 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a 
b O 
1 
3 
-2 
2 
-1 
 3
A seguir, apresentamos a álgebra vetorial: soma, diferença, produto por escalar e 
norma de um vetor. Inicialmente vamos considerar vetores no plano. 
 
1.4 - Álgebra Vetorial 
 
SOMA: MÉTODO GEOMÉTRICO 
Dados dois vetores u e v , define-se o vetor soma u + v , conforme indicado nas 
figuras abaixo. 
 
 
 
 
 
 
SOMA: MÉTODO ANALÍTICO 
Sendo u = (a1, b2) e v = (a2, b2), então u + v = (a1 + b1, a2 + b2 ) 
 
Exemplo 2. Seja u = (2,5) e v = (1, -3) ⇒ u + v = (2 + 1, 5 + (-3)) = (3, 2) 
 
SUBTRAÇÃO: MÉTODO GEOMÉTRICO 
Considerando-se a existência do vetor oposto -v , podemos definir a diferença u - 
v , como sendo igual à soma u + ( -v ) . 
Veja a figura abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR 
 
Podemos escrever o vetor w como produto de um escalar do seguinte modo: 
 w = k v , onde k é número real. 
 
 Exemplo 3 Dados u = (2,3) e v = (-2,1) 
W1 = 2u = 2(2,3) = (4, 6); w2 = -3v = -3(-2, 4) = (6, -3) 
 
A figura abaixo, mostra a representação no plano cartesiano do produto de um 
vetor por escalar 
 
 
Regra do triângulo Regra do paralelogramo 
u-v 
u 
v 
 4
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 4. Sendo u = (1, 3) e v = (-2, 2 ), determine e represente 
geometricamente os vetores 
a) w1 = 2u + 2v; 
b) b) w1 = u - 2v; 
 
Solução: 
a) W1 = 2(1, 3) + 2(-2, 2) 
= (2, 6) + (- 4,4) = (- 2, 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Faça você mesmo. 
 
Observação 1: Dados dois pontos do plano, ),( e ),( 2211 yxQyxP == , podemos 
determinar um vetor v que é dado pelo segmento ),( 1212 yyxxPQPQ −−=−=
→
. 
x 
v 
2v 
3v 
y 
-2v 
1 
v 
u 
2u 
2v 
-2 
2 
-4 
4 
3 
6 
2 
8 
 5
Exemplo 5. Dados os pontos )3,1( e )5,3( =−= QP , determine as coordenadas do 
vetor 
→
= PQv . 
Solução: 
)2,4()53),3(1( −=−−−=−==
→
PQPQv 
NORMA OU COMPRIMENTO DE UM VETOR 
 
Sendo v = (a,b) então a norma ou comprimento de v é dado por 
 
22|| bav +=
 
 
Exemplo 6. Dado v = (1,3) , Então |v| = 1091 =+ 
 
 
 
1.5 Produto escalar ou produto interno 
 
Definição: Dados dois vetores vetores u e v ,no plano (R2), define-se o produto 
interno desses vetores por: 
 u . v = |u|. |v|. cos α 
 
onde u e v são os módulos dos vetores e β o ângulo formado entre eles. 
 
Observação: 
Da definição acima, tem-se que: 
 
a) se dois vetores são paralelos, (α = 0º e cos 0º = 1) então o produto interno 
deles, coincidirá com o produto dos seus módulos, isto é u . v = |u|. |v| 
 
b) o produto interno de um vetor por ele mesmo, será igual ao quadrado do seu 
módulo, pois neste caso, α = 0º e cos 0º = 1 ∴ u.u = |u|.|u|.1 = |u|2 
c) se dois vetores são perpendiculares, (α = 90º e cos 90º = 0) então o produto 
interno deles será nulo, Isto é se u e v são perpendiculares então u.v = 0 
d) o produto interno de dois vetores será sempre um número real. 
 
e) o produto interno de vetores é também conhecido como produto escalar. 
 
O PRODUTO INTERNO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DO VETOR 
 
Sabendo que um vetor v pode ser escrito como combinação linear dos vetores i e 
j, temos que, v = ai + bj. Então, 
 6
 
Obs. Lembrando que, geometricamente, os vetores i e j são unitários, tais que, 
| i | = | j | = 1 e que são perpendiculares entre si. 
 
Sejam os vetores u = (a, b) = a i + b j e v = (c, d) = c i + d j 
Vamos multiplicar escalarmente os vetores u e v . 
u.v = (a i + b j).(c i + d j) = ac i.i + ad i.j + bc j.i + bd j.j 
 
Como i e j são perpendiculares e considerando-se as conclusões acima, teremos: 
i.i = j.j = 1 e i.j = j.i = 0 
 
Fazendo as substituições, vem: 
u.v = ac . 1 + ad . 0 + bc . 0 + bd . 1 = ac + bd 
Então concluímos que o produto interno de dois vetores, é igual à soma dos 
produtos das componentes correspondentes ou homônimas. 
Unindo a conclusão acima, com a definição inicial de produto interno de vetores, 
chegamos a uma importante fórmula, a saber: 
 
Sejam os vetores: u = (a,b) e v = (c, d) 
Já sabemos que: u.v = |u|.|v|.cos α = ac + bd 
 
Logo, se u = (a,b)= ai + bj e v = (c,d) = c i + dj, então 
 
 u.v = ac + bd 
 
Exemplo 1: u = ( 2,3) e v = (0, 2) ⇒ u.v = 2.0 + 3. 2 = 6 
Logo,como u.v = |u|.|v.|cós α = ac + bd, o ângulo formado pelos vetores, será tal 
que: 
 
 ||.||
..
cos
vu
dbca +
=α
 
 
 
Onde u e v correspondem aos módulos dos vetores e a, b, c, d são as suas 
coordenadas. Portanto, para determinar o ângulo formado por dois vetores, basta 
dividir o produto interno deles, pelo produto dos seus módulos. Achado o cosseno, 
o ângulo estará determinado. 
 
Aplicação 
. 
Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto 
interno de vetores. 
 7
Seja o triângulo retângulo da figura abaixo: 
 
 
 
É óbvio que: w = u + v 
Elevando ao quadrado a igualdade, isto é w2 = (u + v)2, obtemos 
w2 = u2 + 2.u.v + v2 
Como u e v são perpendiculares, então u.v = 0 
Assim, substituindo, vem: 
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é igual 
à soma dos quadrados dos catetos). 
 
Exercício 
 
1 - Dados os vetores, u = 2 i - 5 j e v = i + j , determinar: 
a) o vetor soma u + v 
b) o módulo do vetor u + v 
c) o vetor diferença u - v 
d) o vetor 3 u - 2 v 
e) o produto interno u.v 
f) o ângulo formado pelos vetores u e v 
 
Solução 
a) Temos: u = (2, -5) e v = (1, 1). Logo, u + v = (2, -5) + (1, 1) = (3, -4) = 3 i - 4 j 
b) | u + v| = 52543 22==+ ou 5 u.c (u.c. = unidades de comprimento). 
c) u - v = (2, -5) - (1, 1) = (1, -6) = i - 6 j 
d) 3u - 2v = 3.(2, -5) -2( 1, 1) = (6, -15) + (-2, -2) = (4, -17) = 4 i - 17 j 
e) u.v = 2.1 + (-5).1 = - 3 
f) conforme visto acima, teremos que calcular os módulos de u e de v . 
Vem: 
u = 29254)5(2 22 =+=−+ e v = 211 22 =+ 
 
Logo, cos α= (-3) / √ 29.√ 2 = (-3) / √ 58 = (-3/58).√ 58 ≅ - 0,3939 
 
Portanto, o ângulo α será igual aproximadamente a 113,19738º , obtido de uma 
calculadora científica. 
 
 
 
 8
 
2. VETORES E PONTOS NO ESPAÇO 
 
2.1 INTRODUÇÃO : O desenvolvimento é análogo ao caso de vetores e pontos no 
plano, mudando apenas o fato de que os pontos possuem uma 3ª coordenada e 
os vetores uma 3ª componente. 
 
Assim, um ponto no espaço é representado por p = (x,y,z) e um vetor por 
V = (a,b,c) 
 
2.2 REPRESENTAÇÃO DE UM VETOR NO ESPAÇO 
 
Primeiro vamos aprender como marcar um ponto no espaço. 
 
A representação geométrica é dada como na figura abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Norma de v 
|v| = 222 cba ++ 
 
Exemplo 7. Represente o vetor v = (2,3,5) no espaço e determine a norma de v. 
 
 
|v| = 38532 222 =++ 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 ÁLGEBRA VETORIAL – Vetores no espaço 
 
a 
b 
c 
v = (a,b,c) 
2 
3 
5 
v 
 9
Dados v1= (a1, b1, c1) e v2= (a2, b2, c2), então 
Soma: v1 + v2 = (a1, b1, c1) + (a2, b2, c2) = (a1 + b1, a2 + b2, c1 + c2) 
 
Produto por escalar : k v1 = k (a1, b1, c1) = (ka1,k b1, kc1) 
 
O produto interno ou escalar entre dois vetores no espaço, é definido de modo 
análogo ao caso de vetores no plano. 
 
Sendo u = (a, b, c) e v= (c, d, e), então 
 u.v = a.c + b.d + c.e 
 
 
Em termos dos vetores i, j e k, temos que 
u = a.i + b.j + c.k e v = c.i + d.j + e.k, onde 
| i | = | j | = | k | = 1 (vetores unitários) 
i.j = j.k = i.k =0 (perpendiculares entre si, produto interno = 0) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. 
Dados u = 3i + 2j – k e v = i – 3j + 2j 
u.v = 3.1+2.(-3) + (-1). 2 = 3 – 6 – 2 = – 5 
 
Exercício 
 
Determine o valor de x para que os vetores u = (x, 2,-2) e v= (3, x– 1, – 6) 
y 
x 
z 
j 
i 
k 
 10 
Sejam perpendiculares 
 
Solução: Para que u e v sejam perpendiculares, u.v = 0 
 
u.v = 3x +2(x– 1) + 12 = 0 
3x +2x – 2 + 12 = 0 
5x +10 = 0 
5x = -10 
x = -5 
2.4 PRODUTO VETORIAL 
 
Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Pode ser denominado também como produto externo. Seu 
resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um 
escalar. Seu principal uso baseia-se no fato que o resultado de um produto 
vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Sendo u e v dois 
vetores do espaço R3, tais que u kcjbia 111 ++= e 
v = kcjbia 222 ++= , o produto vetorial é um vetor w, denotado por w = u x v e que 
satisfaz as seguintes condições: 
i) |u x v| = | u | | v | sen(α), onde α é o ângulo entre os vetores u e v. 
ii) w = u x v é um vetor perpendicular aos vetores u e v. 
iii) Se u e v são paralelos então u x v = 0 
 
O produto vetorial em termos das coordenadas dos vetores 
 
O produto vetorial em termos das coordenadas dos vetores u e v é dado pelo 
determinante da matriz 
 
322
11 1
 
 
k j 
 u x v
cba
cba
i
= 
 
Exemplo 1. Dados os vetores u = 2i – 3j + k e v = i + j – 2k, determine u x v. 
Solução 
 
2 1 1
3 1 2
k j 
 u x v
−
−=
i
 
 
 
Resolvendo o determinante, obtemos u x v = i + j + k. 
 11 
 
Observe que o produto vetorial resulta em um vetor. 
 
Exercício: Determine um vetor que seja perpendicular aos vetores 
u = 3i –2j + k e v = -i + j – 4k. 
 
Interpretação geométrica do produto vetorial 
 O produto vetorial pode ser interpretado como sendo a área de um paralelogramo 
de lados dados pelos vetores u e v. Considere a figura 1 
 
 
 
 
 
: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que o triângulo AMC é retângulo, portanto, |||| u
h
sen =α ou αsenuh ||||= 
A área do paralelogramo é dada por A = base x altura. Temos que a base é dada 
por |v|, logo 
 
 A = |u| |v| sen α = |u x v| (definição de produto vetorial.) 
 
 
 
Exemplo 2: Dados três vértices consecutivos de um paralelogramo, A = (1, 2, 0) , 
B = (0,1, 2) e C = (2, 1, 1), calcule a área desse paralelogramo. 
 
Solução: Sabemos que dois pontos determinam um vetor (aula 10), portanto, 
Sejam u = AB =B – A = (-1, 1, 2) e v = AC = C – A = (1, 0, 1) 
 
Temos que 
 
1 0 1 
2 1 1-
k j 
 u x v
i
= = i + 3j – k 
 
A = |u x v| = 11191 =++ 
α 
v 
u 
A = |u x v| 
h 
A B 
C D 
 
Figura 1: Área do paralelogramo ABCD = |u x v| 
M 
 12 
 
Observação: Na figura 1, Observe que a área do triângulo ABC pode ser calculada 
e nesse caso, a área será dada por 
 A = 
2
|u x v|
. 
 
Exemplo 3. Calcule a área do triângulo que tem como vértices a origem , 
A = (3,1,-2) e B = (3,-1,1). 
Solução 
Sejam u = AO = (3,1,-2) e v = OB = (3, -1,1) 
Temos que 
1 1 - 3
2 1 3
k j 
 u x v −=
i
 = – i – 9 j – 6 k 
|u x v| = 11836811 =++ 
A = 
2
118
 
 
2.5 PRODUTO MISTO 
 
O produto misto é assim chamado porque é o resultado de um produto vetorial e 
de um produto interno. 
 
Definição: Dados 3 vetores u, v e w, o produto misto desses vetores é definido 
como sendo o escalar (u × v) .w) . 
 
Notação [u, v, w] =(u × v).w) 
 
 
Em termos das coordenadas dos vetores, o produto misto é como segue 
 
Sejam que u kcjbia 111 ++= , v = kcjbia 222 ++= e que w kcjbia 333 ++= , então 
 
 [u, v, w] = 
333
22 2
111
 
 
 
 
cba
cba
cba
 
 
Exemplo 1: Dados u = 2i – j + 3k, v= i +3j –k e w = -2i + j +2k, calcule o produto 
misto entre esses vetores. 
 
Solução: 
 
 13 
 [u, v, w] = 35
2 1 2
1 3 1 
 3 1 2 
=
−
−
−
 
 
Observe que 
 
 
 
O resultado do produto misto é um NÚMERO REAL e não um vetor. 
 
 
Interpretação geométrica do produto misto 
Geometricamente, o módulo do produto misto ( )wvu rrr ×⋅ é igual ao volume do 
paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores wevu
rrr
 , . 
 
Assim, V = |[u, v, w]| 
 
 
 
 
Note que o produto vetorial de u por v nos dá a área do plano da base do 
paralelepípedo, enquanto que o produto escalar de w pelo vetor resultante do 
produto vetorial nos dá , portanto, se multiplicarmos os dois valores teremos o 
volume do paralelepípedo, o que corresponde ao produto misto. 
 
Lembrando que: O volume do paralelepípedo é igual a área da base x altura. 
Logo, 
 14 
 
|],,[|cos||||||| wvuwvuV =×= α
 
 
 
NOTA: 
Se se [u,v,w] = 0 então o vetores u, v, e w são coplanares, 
isto é, estão em um mesmo plano. 
 
 
Exemplo 2. Determine o volume do paralelepípedo formado pelos vetores u = (1, 
2, 0), v = (0,1, -2) e w = (3,- 1, 5) . – Aula 12 
 
Solução: basta calcular o módulo do produto misto 
 
[u,v,w] = 9
5 1 - 3
2 1 0 
 0 2 1 
−=− ⇒ V = |- 9| = 9 
 
Exemplo 3. 
Determine o valor de m para que os vetores u = (-2, 2, m+1), v = (1, 2, -3) e 
w = (1,- 1, m) sejam coplanares. 
 
 
Solução: Para que os vetores sejam coplanares, [u,v, w] = 0 
 
Assim, temos que0
 1 0 
3 2 1 
 1m 2 2- 
=−
+
m
 
 
 Resolvendo o determinante, obtemos 
 
 – 5m – 5 = 0 ⇒ m = – 1