Resumão de Fórmulas Matemática e Cálculo 20130209181702

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Resumão de Fórmulas – Matemática e Cálculo – Prof. Michel 
 
 1 
I – TRIGONOMETRIA 
 
1. Identidades Fundamentais: 
 1.1. cotg x =
tgx
1
; sec x =
xcos
1
; cossec x =
xsen
1
 
 1.2. tg x =
x
x
cos
sen
; cotg x =
x
x
sen
cos
 
 1.3. sen
2
x + cos
2
x = 1 
 1+ tg
2
x = sec
2
x 
 1+ cotg
2
x = cossec
2
x 
2. Fórmulas de Redução: 
 2.1. sen(

/2 

 x) = cos x 
 cos(

/2 

 x) = 

 sen x 
 tg(

/2 

 x) = 

 cotg x 
 2.2. sen(

 x) = 

 sen x 
 cos(

 x) = 
xcos
 
 tg(

 x) = 

 tg x 
 2.3. sen(2

 x) = 

 sen x 
 cos(2

 x) = cos x 
 tg(2

 x) = 

 tg x 
3. Função da Soma e Diferença de 2 Ângulos: 
3.1. sen(x

y) = sen x . cos y 

 sen y . cos x 
 3.2. cos(x

y) = cos x . cos y 

 sen x . sen y 
 3.3 tg(x

y) =
tgytgx
tgytgx
.1

 
4. Fórmulas de Fatoração: 
4.1. sen x + sen y = 2 . sen
2
yx
 . cos
2
yx
 
 4.2. sen x – sen y = 2 . cos
2
yx
 . sen
2
yx
 
 4.3. cos x + cos y = 2 . cos
2
yx
 . cos
2
yx
 
 4.4. cos x – cos y = 
2
 sen
2
yx
 . sen
2
yx
 
 4.5. 
tgx
 tg y = 
yx
yx
cos.cos
)sen( 
 
5. Relação entre as funções de x e 2x 
5.1. sen 2x = 2 . sen x . cos x 
 5.2. cos 2x = cos
2
x – sen2x = 2.cos2x – 1= 1 – 2.sen2x 
 5.3. sen
2
x = ½ . (1 – cos 2x) 
 5.4. cos
2
x = ½ . (1 + cos 2x) 
 5.5. tg 2x = 
xtg
tgx
21
.2

 
6. Expressões para qualquer Triângulo 
 6.1. Lei do cosseno: a
2
 = b
2
 + c
2
 – 2bc.cos  
 6.2. Lei do seno: 
C
c
B
b
A
a
sensensen

 
 6.3. Área: ½ bc . sen  
 
Rad 0 
6

 
4

 
3

 
2

  
2
3
 
Grau 0
o 
30
o 
45
o 
60
o 
90
o 
180
o
 270
o
 
Sen 0 
2
1
 
2
2
 
2
3
 
1 0 -1 
Cos 1 
2
3
 
2
2
 
2
1
 0 -1 0 
Tg 0 
3
3
 
1 
3
 
 0 

 
Cotg 

 
3
 
1 
3
3
 
0 

 0 
Sec 1 
3
32
 
2
 
2 

 -1 

 
Cosec 

 2 
2
 
3
32
 
1 

 -1 
 
 II – ÁLGEBRA 
 
1. Fórmula Binomial: 
 (x + y)
n
 = x
n
 + n . x
n – 1
. y + 
22
!2
)1(
yx n
nn  
 + 
33
!3
)2()1(
yx n
nnn  
 + 

 + 
1 nxyn
+ 
ny
 
 onde n é um nº positivo e n! (n fatorial) é 
 n! = n . (n – 1) . (n – 2) . . . 2 . 1 
2. Produtos Especiais: 
2.1 (x + y)
2
 = x
2
 + 2xy + y
2 
 
2.2 (x – y)2 = x2 – 2xy + y2 
 2.3 (x + y)
3
 = x
3
 + 3x
2
y + 3xy
2
 + y
3
 
 2.4 (x – y)3 = x3 – 3x2y + 3xy2 – y3 
 2.5 x
2
 – y2 = (x – y) (x + y) 
 2.6 x
3
 – y3 = (x – y) (x2 + xy + y2) 
 2.7 x
3
 + y
3
 = (x + y) (x
2
 – xy + y2) 
 2.8. 
)).(.( 21
2 xxxxacbxax 
 
3. Equação do 2º Grau: 
 As raízes da equação do 2º grau ax
2
 + bx + c = 0, são 
determinadas por: 
 
a
acbb
x
2
42 

 onde 
acb 42 
 
 Se 

 < 0 

 raízes imaginárias 
 Se 

 = 0 

 raízes iguais 
 Se 

 > 0 

 raízes reais e diferentes 
 Se x1 e x2 são raízes então: x1+x2 =
a
b
 e x1.x2 =
a
c
 
 Abscissa do vértice da parábola:
2)(
21 xx
vx


 ou 
a
b
vx 2)(

 
 
4. Propriedades da Potenciação e Radiciação: 
 4.1. a
p
.a
q
 = a
p + q
 4.2. 
q
p
a
a
 = a
p – q 
 4.3. (a
p
)
q
 = a
p . q
 4.4. a
0
 = 1, a  0 
 4.5. a
 – p 
 = 
pa
1
 4.6. (a . b)
p
 = a
p
 . b
p
 
 4.7.
nmn m aa /
 4.8. 
n
n
b
an
b
a 
 
 4.9. 
nnn baba .. 
 4.10. 
pnn p aa
.

 
 4.11. 
  n mmn aa 
 4.12. pn pmn m aa . . 
 
5. Logarítmo: 
 Se N = a
x
, onde a é um número positivo diferente 
de 1, então x = logaN, é chamado logarítmo de N 
na base a, onde N > 0. 
 
6. Propriedades dos Logarítmos: 
6.1. logaM.N = logaM + logaN 
6.2. loga
N
M
= logaM – logaN 
6.3. logaa = 1 
6.4. logaN
n
 = n . logaN 
6.5. loga
N
1
= – logaN 
6.6. loga1 = 0 
6.7. 
NN an
n
a loglog
1 
 
6.8. logba = 
balog
1
 
6.9. logbN = logaN . logba = 
b
N
a
a
log
log
 
6.10. logaa
N
 = N . logaa = N 
6.11. ln e
N
 = e
ln N
 = N 
 
 
 
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 2 
III – DERIVADAS 
 
Seja u, v, w 

 funções de uma variável x. 
Seja a, k, m, n 

 constantes. 
As derivadas de u, v, w em relação a x serão: 
 1. D(u 

 v 

 w) = Du 

 Dv 

 Dw 
 2. D(k) = 0 
 3. D(x) = 1 
 4. D(kx) = k 
 5. D(k.x
n
) = n.k.x
n-1
 
 6. D(k.u) = k.Du 
 7. D(u.v) = u.Dv + v.Du 
 8. D(u.v.w) = v.w.Du + u.w.Dv + u.v.Dw 
 9. D
  2v
DvuDuv
v
u 
 
10. D
  21 v
Dv
v

 
11. D
  2. v
Dv
v
k k
 
12. D(u
m
) = m.u
m-1
.Du 
13. D
 
m mum
Dum u
1

 
14. D(a
u
) = a
u
.ln a. Du 
15. D(e
u
) = e
u
. Du 
16. D(v
u
) = v
u
. ln v. Du + u.v
u-1
. Dv (exponencial geral) 
17. D(logau) = 
au
Du
ln
 
18. D(ln u) = 
u
Du
 
19. 
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy

 (Regra da Cadeia) 
20. 
dy
dxdx
dy 1
 (Derivada da Função Inversa) 
21. D(sen u) = (cos u). Du 
22. D(cos u) = ( – sen u). Du 
23. D(tg u) = (sec
2 
u). Du 
24. D(cotg u) = ( – cossec2 u). Du 
25. D(sec u) = (sec u . tg u). Du 
26. D(cossec u) = ( – cossec u . cotg u). Du 
27. D(arc sen u ) = 
21 u
Du

 ou D(sen
– 1 
u)
 
 
28. D(arc cos u) = 
21 u
Du


 ou D(cos
– 1 
u)
 
29. D(arc tg u) = 
21 u
Du

 ou D(tg
– 1 
u)
 
30. D(arc cotg u) = 
21 u
Du


 ou D(cotg
– 1 
u)
 
31. D(arc sec u) =
12uu
Du
 ou D(sec
– 1 
u)
 
32. D(arc cossec u) = 
12

uu
Du
 ou D(cossec
– 1 
u)
 
33. D(senh u) = (cosh u). Du 
34. D(cosh u) = (senh u). Du 
35. D(tgh u) = (sech² u). Du 
36. D(cotgh u) = ( – cosech² u). Du 
37. D(sech u) = ( – sech u. tgh u). Du 
38. D(cosech u) = ( – cosech u. cotgh u). Du 
 
IV – DIFERENCIAIS 
 
As regras para diferenciais são análogas às das 
derivadas, já que “diferencial de uma função y = f(x) 
é igual à derivada da função multiplicada pela 
diferencial da variável independente”, e obtemos: 
 
dy = Df(x).dx ou dy = f ’(x).dx 
 
 
 
V – INTEGRAIS IMEDIATAS 
 
 1. 
    dwdvdudwdvdu )(
 
 2. 
  duadua
 
 3. 
  Cudu
 
 4. 
 


C
n
u
duu
n
n
1
1 
)1( n
 
 5. 
  Cuu
du
ln
 
 6. 
C
a
a
duau
u  ln
 
 7. 
Cedue uu 
 
 8. 
Cuduu  cossen
 
 9. 
Cuduu  sencos
 
10. 
Ctguduu 
2sec
 
11. 
Cguduu  cotseccos
2
 
12. 
Cudutguu  secsec
 
13. 
Cuduguu  seccoscotseccos
 
14. 
Cudutgu  secln
 
15. 
Cudugu  senlncot
 
16. 
Ctguuduu  )ln(secsec
 
17. 
Cguuduu  )cotsecln(cosseccos
 
18. 
C
a
u
arctg
aau
du


1
22
 ou = 
C
a
u
tg
a
 1
1
 
19. 
C
au
au
aau
du





ln
2
1
22
 
20. 
C
ua
ua
aua
du





ln
2
1
22
 
21. 
 

C
a
u
ua
du
arcsen
22
 ou =
C
a
u
1sen
 
22. 
  

Cauu
au
du 22
22
ln
 
23.
  Ca
ua
ua
u
duua arcsen
22
2
2222
 
 ou = 
C
a
ua
ua
u
 1
2
22 sen
22
 
 
24.
  Cauuaauuduau  22
2
2222 ln
22
 
 
25. Integração por partes
  duvvudvu
 
 
 
 
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 3 
VI – GEOMETRIA 
 
1.Triângulo: área = 
2
hb 
 
1.1. Equilátero: altura =
2
3l
; área =
4
32l
 
1.2. Qualquer: área =
))()(( cpbpapp 
 
 Onde 
2
cba
p


 (semi - perímetro) 
 
2. Retângulo: área: = 
hb 
 
 
3. Paralelogramo: área = 
hb 
 
 área = 
senba
 (

 ângulo agudo formado 
 pelos lados a e b, consecutivos) 
 
4. Trapézio: área =
2
)( 21 hbb 
 
5. Círculo: comprimento = 
2
r 
 área = 

r
2
 
 
6. Paralelepípedo Retângulo: 
área = 2(ab + ac + bc) 
 volume = 
cba 
 
 
7. Esfera: área = 
4
r
2
 
 volume = 

3
4
r
3
 
 
8. Cilindro Circular Reto: 
 área lateral = 
2
rh 
 área total = 
2
rh + 
2
r
2
 
 volume = 

r
2
h 
 
9. Cone Circular Reto: g (geratriz) 
 área lateral = 

r
 22 hr
rg 
 área total = 

rg + 

r
2
 
 volume = 

3
1
r
2
h 
 
10. Tronco de Cone: B

 área da base 
 volume =
 2121
3
BBBB
h

 
 volume = 
)(
3
22 rRrR
h

 
 área lateral = 
lrR  )(
 
 onde 
22 )( rRhl 
 
 
11. Pirâmide: volume = 
3
1
B.h 
12. Tronco de Pirâmide: 
 volume = 
 2121
3
BBBB
h

 
 
 
 
VII – GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA 
 
1. Distância – Coeficiente Angular – Ponto Médio 
1.1. Distância entre P1(x1, y1) e P2(x2, y2) 
 
2
12
2
12 )()( yyxxd 
 
1.2. Coeficiente Angular da Reta Passando por P1 e P2: 
12
12
xx
yy
mtg



 
1.3. Ponto Médio de P1 e P2: 
 
2
21 xxx


 
2
21 yyy


 
2. As Quatro Formas da Equação da Reta: 
 
2.1. Ax + By + C = 0 2.2. y – y1 = m(x – x1) 
2.3. y = mx + b 2.4. 
1
b
y
a
x
 
 
3. Distância de um ponto P(x0,yo) à uma reta 
 Ax + By + C = 0. 
 
22
00
BA
CByAx
D



 
 
4. Ângulo  formado por duas Retas de 
 Coeficientes Angulares m1 e m2: 
4.1 Retas Paralelas: m1 = m2 
4.2 Retas Perpendiculares: m1 . m2 = – 1 
4.3 
21
21
1
tan
mm
mm



 
 
 5. Equação das Cônicas: 
5.1. Circunferência: (x – h)2 + (y – k)2 = r2 
 onde (h, k) 

 centro e r = raio 
5.2. Elipse: 
12
2
2
2 )()(  
b
ky
a
hx
 (semi-eixos a, b) 
 e eixo > horizontal se a > b 
5.3. Hipérbole: 
12
2
2
2 )()(  
b
ky
a
hx
 
 (eixo transversal horizontal) 
5.4. Hipérbole Equilátera: a = b 
5.5. Parábola: (y – k)2 = 4p(x – h), vértice em (h, k) 
 e foco em (h + p, k) 
 
VIII – GEOMETRIA ANALÍTICA 
TRIDIMENSIONAL 
 
1. Distância entre P1(x1, y1, z1) e P2(x2, y2, z2) 
2
12
2
12
2
12 )()()( zzyyxxd 
 
 
2. Co-senos Diretores da reta que liga P1e P2 
a = cos  =
d
xx 12
; b = cos  =
d
yy 12
; c = cos  =
d
zz 12
 
onde , , , são os ângulos que a reta 
21

PP
 faz com 
o sentido positivo dos eixos x, y, z. 
 
3. Relação entre os Co-senos Diretores: 
 cos
2 + cos2 + cos2 = 1 ou a2 + b2 + c2 = 1 
4. Equação da Reta 
21PP
 
 
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx







 ou 
c
zz
b
yy
a
xx 111  
 
 
5. Equação do Plano: 
5.1. Equação Geral: Ax + By + Cz + D = 0 
 
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 4 
5.2. Passando pelos pontos P1, P2, P3: 
 
0
131313
121212
111




zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
 
 
5.3. Em Relação às suas intersecções a, b, c, com os 
eixos x, y, z: 
1
c
z
b
y
a
x
 
 
6. Equação da Reta que passa pelo ponto (x0, y0, z0) 
 e é perpendicular ao plano Ax + By + Cz + D = 0: 
C
zz
B
yy
A
xx 000  
 
 7. 
Distância de um ponto (x0 y0 z0) ao plano 
 Ax + By + Cz + D = 0: 
 
CBA
DCxByAx
D



22
000
 
 
8. Superfícies Quádricas: 
8.1. Elipsóide: 
12
2
0
2
2
0
2
2
0 )()()( 

c
zz
b
yy
a
xx
 
 • todos os traços são elipses 
 • (x0, y0, z0) 

 coordenadas do centro 
 • se a = b = c 

 esfera 
8.2. Parabolóide Elíptico: 
2
2
0
2
2
0 )()(
b
yy
a
xx
c
z  
 
 • traços horizontais são elipses 
 • traços verticais são parábolas 
 • (x0,, y0, z0) 

 coordenadas de extremante 
 • se a = b 

 parabolóide circular 
 • a variável elevada à primeira potência indica 
 o eixo do parabolóide. 
8.3. Parabolóide Hiperbólico: 
2
2
0
2
2
0 )()(
b
yy
a
xx
c
z  
 
 • traços horizontais são hipérboles 
 • traços verticais são parábolas 
 • (x0, y0, z0) 

 ponto de sela 
8.4. Cilindro Elíptico: 
12
2
2
2

b
y
a
x
 
 • com eixo coincidente com o eixo z. 
 • a e b são os semi-eixos do corte seccional elíptico 
 • se a = b 

 cilindro circular de raio a 
8.5. Cone Elíptico: 
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 
 
 • com eixo coincidente com o eixo z 
 • se a = b

 cone circular 
8.6. Hiperbolóide de Uma Folha: 
12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 • traços horizontais são elipses 
 • traços verticais são hipérboles 
 • a variável de coeficiente negativo corresponde ao 
eixo de simetria 
 8.7. Hiperbolóidede Duas Folhas: 
12
2
2
2
2
2

c
z
b
y
a
x
 
 • traços horizontais são elipses em z = k , 
 se k > c ou se k < – c 
 • traços verticais são hipérboles 
 • os dois sinais negativos indicam duas folhas 
 
 
 
 
 
 
IX – NÚMEROS COMPLEXOS 
 
 O número complexo é expresso por z = a + bi, onde 
a e b são números reais, e i, chamada unidade imaginária i 
= 
1
, possui a propriedade i
2
 = – 1. 
 
1. Complexos conjugados: 
 z = a + bi e 
z
= a – bi 
 
2. Módulo: | z | = 
22 ba 
 
 
3. Operações: 
3.1. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i 
3.2. (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d) i 
3.3. (a + bi) . (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc) i 
3.4. 
  i
dc
adbc
dc
bdac
dic
dic
dic
bia
dic
bia 










2222
 
 
4. Forma Trigonométrica ou Polar: 
 y (imaginários) 
 
b P 
 r z = r . (cos  + i . sen ) 
  
 x (reais) 
 
5. Operações na forma Trigonométrica: 
5.1. z1 . z2 = r1 . r2 . [cos(1 + 2) + i . sen(1 + 2) ] 
5.2. 
2
1
z
z
=
2
1
r
r
.[ cos(1 – 2) + i . sen(1 – 2) ] 
5.3. Zn = rn .(cos n + i . sen n) 
5.4. 
 
n
k
n
knn irz  22 sencos  
 
onde 
Zk
e 
nk 
 
 
6. Relações entre Funções Exponenciais 
e Trigonométricas: 
6.1. 
ie
 = cos  + i . sen  
 
ie
= cos  – i . sen  
 
 Identidades de Euler: 
6.2. sen  = 
i
ee ii
.2
 
 
6.3. cos  = 
2
 ii ee 
 
6.4. tg  = 
 

ii
ii
eei
ee




 
 
7. Propriedade das Funções Exponenciais: 
 
  iki ee  )2( (k = inteiro) 
 
8. Forma Polar de um número complexo expressa como 
uma função exponencial: 
 
Seja x + iy um número complexo: 
 x + iy = r . (cos  + i . sen ) = r . 
ie
 
a 
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 5 
X – RELAÇÕES ENTRE COORDENADAS 
Conversão Fórmulas Restrições 
Cilíndricas para retangulares 
),,(),,( zyxzr 
 
Retangulares para cilíndricas 
),,(),,( zrzyx 
 
cosrx 
;
rseny 
;
zz 
 
22 yxr 
;
x
ytg 
;
zz 
 
0r
; 
0
; 
 20 
; 
 0
 
Esféricas para cilíndricas 
),,(),,( zr  
 
Cilíndricas para esféricas 
),,(),,(  zr
 
 senr 
; 
 
;
 cosz
 
22 zr 
;
 
;
z
rtg 
 
Esféricas para retangulares
),,(),,( zyx
 
Retangulares para esféricas 
),,(),,( zyx
 
 cossenx 
;
 senseny 
;
 cosz
 
222 zyx 
;
x
ytg 
;
222cos zyxz 
 
 
Coordenadas polares Coordenadas cilíndricas Coordenadas esféricas 
 
 
 
 
XI- DERIVADAS DIRECIONAIS 
Em 2-D: 
uyxfyxfDu ).,(),( 
 
Em 3-D: 
uzyxfzyxfDu ).,,(),,( 
 
Gradiente: 
Em 2-D:
jyxfiyxfyxf yx ),(),(),( 
 
Em 3-D:
kzyxfjzyxfizyxfzyxf zyx ),,(),,(),,(),,( 
 
Campos Vetoriais: 
Se: 
Em 2-D: 
jyxgiyxfyxF ),(),(),( 
 
Em 3-D: 
kzyxhjzyxgizyxfzyxF ),,(),,(),,(),,( 
 
Divergente do campo vetorial F: 
z
h
y
g
x
f
FFdiv








 .
 
Rotacional do Campo vetorial F: 
k
y
f
x
g
j
x
h
z
f
i
z
g
y
h
hgf
zyx
kji
FFrot 







































 
Integrais de linha: 
Em 2-D: 
dt
dt
dy
dt
dx
tytxfdsyxf
b
aC
 












22
))(),((),(
, para a equação paramétrica de C: 
)(txx 
 e 
)(tyy 
com 
bta 
; 
Em 3-D: 
dt
dt
dz
dt
dy
dt
dx
tztytxfdszyxf
b
aC
 


















222
))(),(),((),,(
, para a equação paramétrica de C: 
)(txx 
, 
)(tyy 
e 
)(tzz 
com 
bta 
; 
Resumão de Fórmulas – Matemática e Cálculo – Prof. Michel 
 
 6 
Em x: 
dttxtytxfdxyxf
b
aC
  )('))(),((),(
 C: 
)(txx 
 e 
)(tyy 
com 
bta 
; 
Idem para
dyyxf
C
 ),(
, 
dxzyxf
C
 ),,(
, 
dyzyxf
C
 ),,(
, 
dzzyxf
C
 ),,(
 
Geralmente aparecem em conjunto: 
dyyxgdxyxfdyyxgdxyxf
CCC
  ),(),(),(),(
 
Se 
CnCCCC  ...321
então 
 
nCCCCC
...
321
 
Massa de um arame de curva C e densidade 
),( yx
 M =
dsyx
C
 ),(
 
Comprimento de um arco de curva D e 
1),( yx
 C = 
ds
C

 
Trabalho de um campo vetorial 
jyxgiyxfyxF ),(),(),( 
 (em 2-D) ou 
kzyxhjzyxgizyxfzyxF ),,(),,(),,(),,( 
 (em 3-D) sobre uma curva C orientada. 
Em 2-D: 
dyyxgdxyxfW
C
),(),(  
 
Em 3-D: 
dzzyxhdyzyxgdxzyxfW
C
),,(),,(),,(  
 
Teorema de Green: Se C é uma curva fechada e orientada no sentido anti-horário, então
dA
y
f
x
g
dyyxgdxyxf
RC
 










 ),(),(
 
 
 
XII- Equações diferenciais 
 
ED de primeira ordem: 
 
ED separável: 
0)()(  dyyNdxxM
 ou 
0')()(  yyNxM
 
Solução por Bernoulli: Se 
)()(' xQyxPy 
então pode-se multiplicar os membros da ED por  dxxPe )( , quando o 
primeiro membro da ED passa a ser 
dx
yed
dxxP
)(
)( . 
A ED 
0),(),(  dyyxNdxyxM
 é exata se 
dyyxNdxyxM xy ),(),( 
. 
 
 
ED de segunda ordem: 
 
0'''  cybyay
  eq. Característica 
02  cbrar
 
 
Tipos de soluções Resultado da ED 
Soluções reais e diferentes (r1 e r2) 
trtr
eCeCy 21 21 
 
Soluções reais e iguais (r) 
rtrt teCeCy 21 
 
Soluções imaginarias    i 
teCtseneCy tt   cos21 
 
 
 
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 7 
XIII- Séries e seqüências 
 
Nome Proposição Comentário 
Convergência de 
seqüências 
Uma seqüência {an} converge se 
Lan
n


lim
 
Série geométrica 
A série 


0k
kar
 converge se |r|<1 e diverge se 
|r|1. 
Se a série convergir, terá soma 
r
a
ar
k
k



 10
. 
Teste da divergência Se 
0lim 

k
k
u
, então 
 ku
diverge Se
0lim 

k
k
u
, então 
 ku
pode ou não convergir. 
Teste da integral Seja 
 ku
uma série com termos positivos e seja 
f(x) a função que resulta quando k for substituído 
por x no termo geral da série. Se f for decrescente e 
contínua para x1. Então 


1k
ku
e 
dxxf

1
)(
 
ambas convergem ou divergem. 
Aplica-se apenas para séries 
com termos positivos. Use-o 
quando f(x) for fácil de 
integrar. 
P séries (série hiper-
harmônica) 


1
1
k
pk
 converge se p > 1 e diverge 0<p1. 
 
Teste da comparação 
Sejam 


1k
ka
e 


1k
kb
 séries de termos não 
negativos tais que: 
,...,, 3312211 bababa 
 
Se 


1k
kb
convergir, então 


1k
ka
também 
converge, se 


1k
ka
divergir, então 


1k
kb
também 
diverge. 
Aplica-se apenaspara séries 
com termos não negativos. 
Teste da razão Seja 
 ku
uma série de termos positivo e suponha 
que 
k
k
k u
u 1lim 


 
a) A serie converge se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
 
Tente este teste quando 
ku
 
envolver k-ésimas potências ou 
fatoriais. 
Teste da raiz Seja 
 ku
uma série de termos positivo e tal que
k
k
k
k
k
k
uu /1)(limlim


 
a) A serie converge se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
Tente este teste quando 
ku
 
envolver k-ésimas potências. 
Teste da comparação 
dos limites Sejam 
 ka
e 
 kb
 séries de termos positivos 
tais que: 
k
k
k b
a

 lim
 
Se 0 < p < , então as séries convergem ou 
divergem. 
 
Teste da série 
alternada A série




1
1)1(
k
k
k a
ou 




1
)1(
k
k
k a
 converge 
se: 
a) 
...321  aaa
 ; 
b) 
0lim 

k
k
a
. 
Aplica-se apenas à séries 
alternadas 
Resumão de Fórmulas – Matemática e Cálculo – Prof. Michel 
 
 8 
Teste da razão para 
convergência absoluta 
Seja 
 ku
uma série de termos diferentes de zero 
tal que: 
||
||
lim 1
k
k
k u
u 


 
a) A serie converge absolutamente se p<1 
b) A serie diverge se p>1 
c) O teste é inconclusivo se p=1 
A série não necessita ser 
termos positivos nem ser 
alternada para usar este teste. 
 
Uma série será 
condicionalmente convergente 
quando for convergente e 
absolutamente divergente 
Série de potência 
Teremos uma série de potência, 


0k
k
k xc
, quando 
seus termos forem dependentes de da variável x 
 
As série de Taylor e Maclaurin 
são casos particulares das séries 
de potências. 
Convergência de série 
de potência 
Para cada série de potencia, uma das condições é válida: 
a) A série converge somente se x = 0; 
b) A série converge absolutamente para todos os valores reais de x. 
A série converge absolutamente para todos os valores de x em algum intervalo aberto 
finito (-R, R) e diverge se x < -R ou x > R. Em cada um dos pontos x=R e x=-R a série 
pode convergir absolutamente, convergir condicionalmente ou divergir, dependendo da 
série em particular 
Se f tiver derivadas de todas as ordens em 0, então chamamos a série 
...
!
)0(
...
!2
)0(''
)0(')0(
!
)0( )(
0
2
)(



k
k
k
k
k
x
k
f
x
f
xffx
k
f
 
de série de Maclaurin para f. 
Se f tiver derivadas de todas as ordens em x0, então chamamos a série 
...)(
!
)(
...)(
!2
)(''
))((')()(
!
)(
0
0
)(
0
2
0
0
0000
0
)(



k
k
k
k
k
xx
k
xf
xx
xf
xxxfxfxx
k
xf
 
de série de Taylor para f em torno de x = x0. 
 
XIV - Fórmulas de Euler 
jz
ee
Zsen
jzjZ 

 
z
ee
Z
jzjZ 
cos
 
XV - Série de Fourier 
Chama-se série de Fourier a função dada pela seguinte soma: 




0
0 )cos(
2
)(
k
nn nxsenbnxa
a
xf
 onde: 





dxxfa )(
1
0
; 





nxdxxfan cos)(
1
 e 





nxdxsenxfbn )(
1
 
XVI - Transformada de Laplace: 
)(sX
=£
  


 dtetxtx st)()(
 
Teorema: se £
  )()( sXtx 
, então £
 
ds
sXd
txt
))((
)(. 
 
XVII - Transformada de Fourier: 
)(sX
=F
  


 dtetxtx tj)()(
 
XVIII – Algumas funções usadas nas transformadas: 
Função degrau: 


 

casosoutrosnos
tse
t
0
01
)(
 
Função delta: 






0
00
)(
tse
tse
t
 (tem-se também que: £
 
a
e
bat
sb
 )(
 
 
Função retangular: 


 

casosoutrosnos
tse
atret a
0
0||1
)( 2
1