Física 4-02

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 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 02 
 Questão 1
Num certo gerador a f.e.m. é dada por: ࣟ ൌ ͳͷͲ …‘•ሺʹߨ ή ͵ͲͲݐሻ. (a) Calcule a frequência 
das oscilações. (b) Determine o valor máximo da 
f.e.m. 
Resolução: 
a) Para a frequência teremos: ߥ ൌ ߱ʹߨ 
(1.1) 
Logo, de (1.1), teremos: ߥ ൌ ͸ͲͲߨʹߨ ൌ ͵ͲͲ�ݏିଵ 
(1.2) 
Do enunciado da questão, podemos concluir que o 
valor máximo da f.e.m. é: ࣟ௠ ൌ ͳͷͲ�ܸ 
(1.3) 
 Questão 2
Um capacitor de ͲǡͶͲ�ߤܨ está ligado, como 
mostra a figura 2.1, a um gerador cuja f.e.m. 
máxima e dada por: ࣟ௠ ൌ ʹͲͲ�ܸ. Calcule a 
amplitude ݅௠ da corrente elétrica obtida supondo 
que a frequência angular possua os valores (a) ͳͲͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ, (b) ͵͹͹�ݎܽ݀ ή ݏିଵ. 
Figura 2.1 
Resolução: 
a) Para ߱ ൌ ͳͲͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ, teremos: ݅௠ ൌ ࣟ௠ܺ஼ Ǣ �ܺ஼ ൌ ሺ߱ܥሻିଵ 
݅௠ ൌ ࣟ௠߱ܥ ൌ ʹͲͲ ή ͳͲͲ ή ͲǡͶ ή ͳͲି଺ ׵ ݅௠ ൌ ͺ�݉ܣ 
 (2.1) 
 
b) Para ߱ ൌ ͵͹͹�ݎܽ݀ ή ݏିଵ, teremos, de (2.1): 
 ݅௠ ൌ ʹͲͲ ή ͵͹͹ ή ͲǡͶ ή ͳͲି଺ ׵ ݅௠ ؆ ͵Ͳ�݉ܣ 
(2.2) 
 
 Questão 3
 
Considere a figura 3.1. Suponha os seguintes 
valores: ࣟ௠ ൌ ͶͲͲ�ܸǡ ܮ ൌ ͲǡͶ�݉ܪ�‡�ܺ௅ ൌ ͺ�ȳ. 
Determine: (a) a frequência angular de oscilação, 
(b) a frequência da oscilação, (c) a amplitude da 
corrente alternada e (d) o valor da corrente 
quando ݐ ൌ ͵ߨ ή ͳͲିସ�ݏ. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 
 
Resolução: 
a) Tomando a expressão da reatância indutiva, 
teremos: 
 ܺ௅ ൌ ߱ܮ 
(3.1) 
 
Teremos: 
 ߱ ൌ ܺ௅ܮ ൌ ʹͲ ή ͳͲଷ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(3.2) 
 
b) Tomando (1.1), teremos para a frequência: 
 ߥ ൌ ʹͲ ή ͳͲିଷʹߨ ൌ ͵ͳͺ͵ǡͳ�ݏିଵ 
(3.3) 
 
c) Para a amplitude de corrente teremos: 
 ̱ 
C 
ࣟ�
 ̱ 
L 
ࣟ�
 
 
 
 
 
 
 
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݅௠ ൌ ࣟ௠ܺ௅ ൌ ͶͲͲͺ ൌ ͷͲ�ܣ 
(3.4) 
 
d) Considere que a tensão nos terminais do 
indutor é seja dada por: 
௅ܸ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(3.5) 
Assim, poderemos encontrar a intensidade de 
corrente para o indutor: ܮ ݀݅݀ݐ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ�� ݅ ൌ ࣟ௠ܮ න ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ݐ �� ׵ ݅ ൌ െࣟ௠߱ܮ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(3.6) 
Utilizando os dados numéricos no resultado de 
(3.6), teremos: ݅ ൌ െͷͲܿ݋ݏሺʹͲ ή ͳͲଷ ή ͵ߨ ή ͳͲିସሻ ൌ െͷͲ�ܣ 
(3.7) 
 Questão 4
Na figura 4.1, considere ܴ ൌ ͶǡͲ�ȳǡ ܥ ൌ ͳͲ�ߤܨǡܮ ൌ ͸Ͳ�݉ܪǡ ߥ ൌ ͸Ͳ�ܪݖ�‡�ࣟ௠ ൌ ͵ͲͲ�ܸ. Determine: 
(a) ܺ஼ , (b) ܺ௅, (c) Z, (d) ݅௠, (e) ߶. Neste caso, ࣟ௠ se 
adianta ou se atrasa em relação a ݅௠? 
Figura 4.1 
Resolução: 
a) Para a reatância capacitiva, teremos: ܺ஼ ൌ ͳ߱ܥ ൌ ͳʹߨ ή ͸Ͳ ή ͳͲିହ ؆ ʹ͸ͷǡ͵�ȳ 
(4.1) 
b) Para a reatância indutiva, teremos: 
ܺ௅ ൌ ߱ܮ ൌ ʹߨ ή ͸Ͳ ή ͸Ͳ ή ͳͲିଷ ؆ ʹʹǡ͸ʹ�ȳ 
(4.2) 
 
c) Para a impedância, utilizando (4.1) e (4.2), 
teremos: 
 ܼ ൌ ඥܴଶ ൅ ሺܺ௅ െ ܺ஼ሻଶ�� ܼ ؆ ξͳ͸ ൅ ͷͺͺͻͶ � ׵ ܼ ؆ ʹͶʹǡ͹�ȳ 
(4.3) 
 
d) Para a amplitude de intensidade de corrente, 
utilizando (4.3), teremos: 
 ݅௠ ൌ ࣟ௠ܼ ؆ ͵ͲͲʹͶʹǡ͹ ൌ ͳǡʹͶ�ܣ 
(4.4) 
 
e) Para o ângulo de fase, utilizando (4.1) e (4.2), 
teremos: 
 ߶ ൌ ܽݎܿ�ݐ݃ ܺ௅ െ ܺ஼ܴ �� ߶ ൌ ܽݎܿ�ݐ݃�െʹͶʹǡ͸ͺͶ �׵ ߶ ؆ െͺͻι� 
(4.5) 
 
Do resultado de (4.5), podemos concluir que ݅௠ 
precede ࣟ௠. 
 
 Questão 5
 
Sabemos que o valor médio de ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻ vale 
0,5. Suponha que ߶ seja um ângulo de fase 
constante. Determine o valor médio (durante um 
período) das seguintes funções periódicas: 
(a)ݏ݁݊�ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ, 
(b)ݏ݁݊ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ, 
(c)ܿ݋ݏଶሺ߱ݐ െ ߶ሻ, 
(d) ݏ݁݊ଶሺ߱ݐ െ ߶ሻ ൅ ܿ݋ݏଶሺ߱ݐሻ. 
Resolução: 
a) Para o valor médio temos: 
 ݏ݁݊�ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨන ݏ݁݊�ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻଶగ଴ �� ݏ݁݊�ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨ ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻʹ ቤ଴ଶగ ׵ ݏ݁݊�ሺ߱ݐሻܿ݋ݏሺ߱ݐሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ Ͳ 
(5.1) 
 
 
 ̱ 
C 
ࣟ�R L 
 
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3 
b) ݏ݁݊ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨන ݏ݁݊ଶሺ߱ݐ ൅ ߶ሻ݀ሺ߱ݐሻଶగ଴ 
(5.2) 
Podemos fazer uma mudança de variável: ߚ ൌ ߱ݐ ൅ ߶ ֜ ݀ߚ ൌ ݀ሺ߱ݐሻ 
(5.3) 
Agora, substituindo (5.2) em (5.3), teremos: 
ݏ݁݊ଶሺߚሻതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨන ݏ݁݊ଶሺߚሻ݀ߚଶగାథథ � �ݏ݁݊ଶሺߚሻതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨ ൤ʹߚ െ ݏ݁݊ʹߚͶ ൨థଶగାథ� ݏ݁݊ଶሺߚሻതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹߨ ൤ߨ െ ʹݏ݁݊߶ܿ݋ݏ߶Ͷ ൅ ʹݏ݁݊߶ܿ݋ݏ߶Ͷ ൨��� ׵ ݏ݁݊ଶሺߚሻതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹ 
(5.4) 
 
c) De forma semelhante, ao que foi feito em (5.2), 
(5.3) e (5.4), teremos: 
ܿ݋ݏଶሺ߱ݐ െ ߶ሻതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳʹ 
(5.5) 
d) Levando em consideração (5.4) e (5.5), 
teremos: ݏ݁݊ଶሺ߱ݐ െ ߶ሻ ൅ ܿ݋ݏଶሺ߱ݐሻതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതതത ൌ ͳ 
(5.6) 
 
 Questão 6
Sabemos que é nulo o valor médio de uma força 
eletromotriz dada por ࣟ ൌ ࣟ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ. (a) Calcule 
o valor eficaz da f.e.m. durante um ciclo. (b) 
Calcule o valor médio e o valor eficaz da f.e.m. para 
a metade de um ciclo. 
Resolução: 
a) Para o valor eficaz durante um ciclo, teremos: 
ࣟ௘௙ ൌ ቊ ͳʹߨන ࣟଶ݀ሺ߱ݐሻଶగ଴ ቋభమ 
(6.1) 
Utilizando a expressão do enunciado da questão, 
teremos: 
 ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ ቊ ͳʹߨන ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻଶగ଴ ቋభమ�� ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ ൝ ͳʹߨ ቈ߱ʹݐ െ ݏ݁݊ሺʹ߱ݐሻͶ ቉଴ଶగൡభమ�� ׵ ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ξʹ 
(6.2) 
 
b) Para o valor médio, durante meio ciclo, 
teremos: 
 ࣟҧ ൌ ࣟ௠ߨ න ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻగ଴ �� ࣟҧ ൌ ࣟ௠ߨ ሾെܿ݋ݏሺ߱ݐሻሿ଴గ�� ׵ ࣟҧ ൌ ʹࣟ௠ߨ 
(6.3) 
 
E para o valor eficaz: 
 ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ ቊͳߨන ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻగ଴ ቋభమ ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ ቊͳߨ ቈ߱ʹݐ െ ݏ݁݊ሺʹ߱ݐሻͶ ቉଴గቋభమ ׵ ࣟ௘௙ ൌ ࣟ௠ξʹ 
(6.4) 
 
Obs.: No enunciado da questão, como no 
enunciado original, na consta que é nulo o valor 
médio da força eletromotriz para um ciclo 
completo. 
 
 Questão 7
 
Considere um circuito RLC como o indicado na 
figura 4.1. Utilize os seguintes dados: ܴ ൌ͵�ȳǡ ܺ௅ ൌ ͻ�ȳǡ ܺ஼ ൌ ͷ�ȳǡ ߥ ൌ ͸Ͳ�ܪݖ�݁�ࣟ௠ ൌ ͳͲͲ�ܸ. 
Calcule: (a) a corrente máxima, (b) a corrente 
eficaz, (c) a potência dissipada, (d) a potência 
consumida, (e) o fator de potência, (f) a razão ܺ௅ ܺ஼Τ para que a potência consumida seja 
máxima. 
Resolução: 
a) A intensidade de corrente máxima será: 
 
 
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݅௠ ൌ ࣟ௠ܼ 
(7.1) 
Em que Z é a impedância do circuito dada pela 
relação de (4.3). Assim, teremos: 
 ݅௠ ൌ ͳͲͲξͻ ൅ ͳ͸ ൌ ʹͲ�ܣ 
(7.2) 
b) A intensidade de corrente eficaz será: ݅௘௙ ൌ ݅௠ξʹ ൌ ʹͲξʹ ؆ ͳͶǡͳͶ�ܣ 
 (7.3) 
c) A potência dissipada é dada por: തܲ ൌ ܴ݅௘௙ଶ ൌ ͵ ή ʹͲʹଶ ൌ ͸ͲͲ�ܹ 
(7.4) 
d) A potência consumida é dada por: തܲ ൌ ࣟ௘௙݅௘௙ܿ݋ݏ߶ 
(7.5) 
Em que ߶ é dado pela expressão em (4.5). Dos 
dados fornecidos, teremos: ݐ݃߶ ൌ Ͷ͵ 
(7.6) 
E utilizando a expressão trigonométrica dada por: ݏ݁ܿଶ߶ െ ݐ݃ଶ߶ ൌ ͳ 
(7.7) 
Assim, teremos: ܿ݋ݏ߶ ൌ ͷ͵ 
(7.8) 
Agora, utilizando (7.5) e (7.8), teremos: തܲ ൌ ͳͲͲ ή ʹͲʹ ή ͷ͵ ൌ ͸ͲͲ�ܹ 
(7.9) 
e) Vide (7.8). 
f) Para a potência fornecida adquirir seu valor 
máximo, temos que o fator de potência, dado por 
(7.8), deve ser igual a unidade. Assim, teremos: 
 ݏ݁݊߶ ൌ Ͳ ֜ ݐ݃߶ ൌ Ͳ 
(7.10) 
 
De (4.5), teremos: 
 ݐ݃߶ ൌ ܺ௅ െ ܺ஼ܴ ׵ ܺ௅ܺ஼ ൌ ͳ 
(7.11) 
 
 Questão 8
 
Considere o circuito da questão anterior. 
Suponha que a potência fornecida a este circuito 
seja igual a 100 W. (a) Usando os valores de R, de 
L e de C indicados no problema anterior, calcule o 
valor da frequência angular que produz a potência 
mencionada acima. Utilize neste cálculo o mesmo 
valor da f.e.m. máxima mencionada na questão 
anterior. (b) Qual deveria ser o valor da potência 
para que este circuito entrasse em ressonância? 
Resolução: 
a) Mantidas as condições, da questão anterior e 
utilizando (7.5), teremos: 
 ͳͲͲ ൌ ͳͲͲ ή ݅௠ʹ ή ͷ͵ ׵ ݅௠ ൌ ͳͲ͵ �ܣ 
(8.1) 
 
Agora, utilizando (7.1), teremos: 
 ͳͲ͵ ൌ ͳͲͲඨͻ ൅ ߱ଶ ቀͲǡͲʹͶ െ ͳͲǡͲͲͲͷ͵ቁଶ�� ׵ ߱ ؆ ͳǡ͸ ή ͳͲିଶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(8.2) 
 
Em que, dos dados da questão anterior: 
 ܮ ൌ ܺ௅ʹߨߥ ൌ ͻʹߨ͸Ͳ ൌ ͲǡͲʹͶ�ܪ 
(8.3) 
 
 
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E ܥ ൌ ͳʹߨߥ ή ܺ஼ ൌ ͳʹߨ ή ͸Ͳ ή ͷ ൌ ͲǡͲͲͲͷ͵�ܨ 
(8.4) 
b) Para esse circuito entrar em ressonância, a 
frequência angular deve ser igual a ሺܮܥሻିభమ. Desta 
forma, teremos ݐ݃�߶ ൌ Ͳ o que implica em ܿ݋ݏ߶ ൌ ͳ. Logo, de (7.5), teremos: തܲ ൌ ࣟ௠݅௠೘žೣʹ 
(8.5) 
Em que ݅௠೘žೣ é a intensidade máxima de corrente, 
que é dada por: ݅௠೘žೣ ൌ ࣟ௠ܴ 
(8.6) 
Utilizando (8.6) em (8.5), juntamente com os 
dados numéricos fornecidos, teremos: തܲ ൌ ࣟ௠ଶʹܴ ൌ ͳͲͲଶ͸ ؆ ͳǡ͸͹ ή ͳͲଷ�ܹ 
(8.7) 
 Questão 9
Calcule o fator de potênciapara um circuito 
RCL em série, para os seguintes dados: (a) ܴ ൌ Ͳǡͷ�ȳǡ ܺ௅ ൌ ͳͲହ�ȳǡ ܺ஼ ൌ ͳͲ�ȳ;(b)ܴ ൌ ͳȳǡ ܺ௅ ൌܺ஼;(c)ܴ ൌ ͲǡͲͳ�ȳǡ ܺ௅ ൌ ʹ�ȳǡ ܺ஼ ൌ ͳͲସ�ȳ;(d)ܴ ൌʹȳǡ ܺ௅ ൌ ͵ȳǡ ܺ஼ ൌ Ͷȳ; (e) ܴ ൌ Ͳǡ ܺ௅ ൌ Ͳǡ ܺ஼ ൌ Ͷȳ. 
Resolução: 
a) O ângulo ߶ é dado pela expressão de (4.5). 
Utilizando a expressão dada em (7.7), teremos 
então para o fator de potência: ܿ݋ݏ߶ ൌ ܴඥܴଶ ൅ ሺܺ௅ െ ܺ஼ሻଶ 
(9.1) 
Utilizando os dados numéricos, teremos: 
ܿ݋ݏ߶ ൌ ͲǡͷඥͲǡͷଶ ൅ ሺͳͲହ െ ͳͲሻଶ ൌ ͷ ή ͳͲି଺ 
(9.2) 
 
b) Utilizando (9.1), juntamente com os dados 
numéricos, teremos: 
 ܿ݋ݏ߶ ൌ ͳඥͳଶ ൅ ሺͲሻଶ ൌ ͳ 
(9.3) 
 
c) Utilizando (9.1), juntamente com os dados 
numéricos, teremos: 
 ܿ݋ݏ߶ ൌ ͲǡͲͳඥͲǡͲͳଶ ൅ ሺʹ െ ͳͲସሻଶ ൌ ͳ ή ͳͲ଺ 
(9.4) 
 
d) Utilizando (9.1), juntamente com os dados 
numéricos, teremos: 
 ܿ݋ݏ߶ ൌ ʹඥʹଶ ൅ ሺ͵ െ Ͷሻଶ ൌ Ͳǡͺͻ 
(9.5) 
 
e) Utilizando (9.1), juntamente com os dados 
numéricos, teremos: 
 ܿ݋ݏ߶ ൌ ͲඥͲ ൅ ሺͲ െ Ͷሻଶ ൌ Ͳ 
(9.6) 
 
 Questão 10
 
Num circuito LRC, tal como o indicado na figura 
4.1, temos: ܴ ൌ ʹͲ�ȳǡ ܥ ൌ ʹͲ�ߤܨ�‡�ܮ ൌ ͶǡͲ�ܪ. (a) 
Calcule a frequência de ressonância. (b) Para qual 
frequência angular a resposta é igual a metade da 
resposta máxima? Define-se a resposta como 
sendo medida pela corrente eficaz que atravessa o 
circuito. 
Resolução: 
a) Para a frequência angular de ressonância, 
temos: 
 ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ 
(10.1) 
 
 
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Substituindo os dados numéricos, teremos: ߱ ൌ ͳξͶ ή ʹͲ ή ͳͲି଺ ؆ ͳͳͳǡͺ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(10.2) 
Assim, a frequência será: ߥ ൌ ߱ʹߨ ؆ ͳ͹ǡͺ�ݏିଵ 
(10.3) 
b) Para determinar a frequência (ou as 
frequências), temos: ݅௘௙ ൌ ࣟ௘௙ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ 
(10.4) 
Como a resposta deve ser a metade de ݅௘௙೘žೣ ൌ ࣟ೐೑ோ , 
teremos: ࣟ௘௙ʹܴ ൌ ࣟ௘௙ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ�� ܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶ ൌ Ͷܴଶ�� ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶ ൌ ͵ܴଶ�� ߱ܮ െ ͳ߱ܥ ൌ േܴξ͵�� ׵ ܮ߱ଶ ט ܴξ͵ ή ߱ െ ͳܥ ൌ Ͳ 
(10.5) 
O sinal ט que aparece no resultado de (10.5) 
indica que teremos como resultado 4 frequências 
angulares, a saber: ߱ଵǡ ߱ଶǡ ߱ଷ�‡�߱ସ. Sendo que ߱ଵ ൌ െ߱ଷ�݁�߱ଶ ൌ െ߱ସ. Óbvio é que teremos 
apenas duas frequências angulares. Sem nenhum 
pretexto, utilizaremos o resultado de (10.5) com o 
sinal negativo e com o auxílio da fórmula de 
Báskhara resolveremos a equação. Assim, 
teremos: Ͷ߱ଶ െ ͵Ͷǡ͸߱ െ ͷͲͲͲͲ ൌ Ͳ 
(10.6) 
 
Cujas raízes serão dadas por: 
 ߱ ൌ ͵Ͷǡ͸ േ ඥ͵Ͷǡ͸ଶ െ Ͷ ή Ͷ ή ͷͲͲͲͲͺ �� ߱ଵ ൌ െͳͲ͹ǡ͸�ݎܽ݀ ή ݏିଵǢ�߱ଶ ൌ ͳͳ͸ǡʹͳ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(10.7) 
 
Se utilizássemos o sinal positivo, em (10.5), 
teríamos como raízes: 
 ߱ଷ ൌ ͳͲ͹ǡ͸�ݎܽ݀ ή ݏିଵǢ�߱ସ ൌ െͳͳ͸ǡʹͳ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(10.8) 
 
Ou seja, as raízes serão: 
 ߱ଵ ൌ ͳͲ͹ǡ͸�ݎܽ݀ ή ݏିଵ�‡�߱ଶ ൌ ͳͳ͸ǡʹͳ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(10.9) 
 
Que conduz às frequências: 
 ߥଵ ൌ ͳ͹ǡͳʹ�ݏିଵ�‡�ߥଶ ൌ ͳͺǡͷ�ݏିଵ 
(10.10) 
 
Nessa condição de resposta, a diferença ߱ଶ െ߱ଵ ൌ ȟ߱, fornece a largura da curva de 
ressonância. No entanto, ficaremos com a 
primeira frequência como resposta da questão, ou 
seja, ߥଵ ൌ ͳ͹ǡͳʹ�ݏିଵ. 
 
 Questão 11
 
Num circuito série, como indicado na figura 4.1, 
com uma combinação ܮଵܥଵܴଵ, ocorre uma 
ressonância com a mesma frequência de um outro 
circuito com os componentes ܮଶܥଶܴଶ. Conectando-
se em série todos os elementos destes dois 
circuitos obtemos um novo circuito série ܮ௘௤ܥ௘௤ܴ௘௤. Determine para este novo circuito: (a) 
a indutância equivalente, (b) a capacitância 
equivalente, (c) a nova frequência angular de 
ressonância. (d) a frequência de ressonância 
depende dos valores de ܴଵ e de ܴଶ? (e) Se ܮଵܥଵ 
fosse diferente de ܮଶܥଶ, qual seria a frequência 
angular de ressonância do novo circuito? 
Resolução: 
a) A indutância equivalente para será dada por: 
 ܮ௘௤ ൌ ܮଵ ൅ ܮଶ 
(11.1) 
 
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Em que (11.1) é o resultado de uma associação em 
série. 
b) Para a capacitância equivalente (série) 
teremos: ܥ௘௤ ൌ ܥଵܥଶܥଵ ൅ ܥଶ 
(11.2) 
c) Para a nova frequência angular teremos: ߱௡௢௩௔ ൌ ൫ܮ௘௤ܥ௘௤൯ିଵଶ 
(11.3) 
Utilizando os resultados de (11.1) e (11.3), 
teremos: 
߱௡௢௩௔ ൌ ͳቂሺܮଵ ൅ ܮଶሻ ή ቀ ܥଵܥଶܥଵ ൅ ܥଶቁቃభమ�� ߱௡௢௩௔ ൌ ͳቂܮଵܥଵܥଶ ൅ ܮଶܥଵܥଶܥଵ ൅ ܥଶ ቃభమ 
(11.4) 
Conforme foi relatado no enunciado da questão, 
temos: ߱ଵ ൌ ߱ଶ ֜ ܮଵܥଵ ൌ ܮଶܥଶ 
(11.5) 
Utilizando (11.5) em (11.4) teremos: 
߱௡௢௩௔ ൌ ͳቂܣ ή ܥଶ ൅ ܥଵܥଵ ൅ ܥଶቃభమ ൌ ͳܣభమ ׵ ߱௡௢௩௔ ൌ ߱ଵ ൌ ߱ଶ 
(11.6) 
Em que ܣ ൌ ܮଵܥଵ ൌ ܮଶܥଶ. 
d) Pelo resultado de (11.6) podemos concluir que 
a nova frequência angular de ressonância é igual a 
frequência de ressonância do primeiro circuito 
que por sua vez é igual a frequência de 
ressonância do segundo. E nenhuma delas 
depende das resistências. 
e) A nova frequência será dada apenas pela 
expressão de (11.3). 
 
 Questão 12
 
Mostre que, para frequências maiores do que a 
frequência de ressonância, o circuito é 
predominantemente indutivo, enquanto que para 
frequências menores do que a frequência 
ressonante é predominantemente capacitivo. O 
que significa isso? Como é que você interpreta 
isso? 
Resolução: 
Para circuitos indutivos temos: 
 ܺ௅ ൐ ܺ஼ 
(12.1) 
 
Assim, podemos concluir que: 
 ߱ܮ ൐ ͳ߱ܥ�� ׵ ߱ ൐ ͳξܮܥ 
(12.2) 
 
Em que 
ଵξ௅஼ é a frequência de ressonância. Da 
relação (12.1) teremos da expressão dada por 
(7.11): 
 ݐ݃߶ ൐ Ͳ ֜ ߶ ൐ Ͳ 
(12.3) 
 
O resultado (12.3) nos leva a concluir que a força 
eletromotriz precede a corrente em um diagrama 
de fasores. Para circuitos capacitivos temos: 
 ܺ௅ ൏ ܺ஼ 
(12.4) 
 
Assim, podemos concluir: 
 ߱ܮ ൏ ͳ߱ܥ�� ׵ ߱ ൏ ͳξܮܥ 
(12.5) 
 
E da relação (12.4), teremos: 
 
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8 
ݐ݃߶ ൏ Ͳ ֜ ߶ ൏ Ͳ 
(12.6) 
De (12.6), podemos concluir que a corrente 
precede a força eletromotriz em diagrama de 
fasores. 
 
 Questão 13
Mostre que a amplitude das oscilações da carga 
(não da corrente) num circuito LRC como o da 
figura 4.1 é dada por: ݍ௠ ൌ ࣟ೘ඥሺఠమ௅ିଵ ஼Τ ሻమାሺఠோሻమ. 
 
Para que valor de ߱ a amplitude ݍ௠ será máxima? 
Resolução: 
A amplitude da intensidade de corrente no 
capacitor é dada por: ݅௠ ൌ ࣟ௠ܺ஼ 
(13.1) 
Em que, para o capacitor: ࣟ௠ ൌ ݍ௠ܥ 
(13.2) 
Agora utilizando (7.1), (13.1) e (13.2), teremos: ݍ௠ܥܺ஼ ൌ ࣟ௠ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ�� ݍ௠ ൌ ܥࣟ௠߱ܥ ή ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ�� ׵ ݍ௠ ൌ ࣟ௠ට߱ଶܴଶ ൅ ቀ߱ଶܮ െ ͳܥቁଶ 
(13.3) 
Em que ܺ஼ ൌ ଵఠ஼. Para ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ, teremos: ݍ௠ ൌ ࣟ௠ܴ߱ 
(13.4) 
 Questão 14
 
 Largura da ressonância. Um circuito RLC em 
série possui indutância L, resistência R e 
capacitância C. A fonte ac possui amplitude de 
voltagem V e frequência angular variável ߱. A) 
Quando ߱ for igual à frequência angular de 
ressonância ߱଴ ൌ ሺܮܥሻିభమ, qual será a amplitude ܫ଴ 
da corrente através do circuito? B) Suponha que a 
frequência angular seja ligeiramente diferente de ߱଴. Então podemos escrever ߱ ൌ ߱଴ ൅ ο߱, onde ȁο߱ȁ é muito menor do que ߱଴. Mostre que a 
impedância é aproximadamente dada por ඥܴଶ ൅ Ͷܮሺο߱ሻଶ. (Dica: Use a série binomial ሺͳ ൅ ݖሻ௡ ൌ ͳ ൅ ݊ݖ ൅ ݊ሺ݊ ൅ ͳሻ ݖଶ ʹΤ ൅ ڮ, válida 
para o caso ȁݖȁ ൏ ͳ). C) Aplicando a expressão 
aproximada da impedância da parte (B), calcule os 
dois valores da frequência angular ߱ ൌ ߱଴ ൅ ο߱ 
para os quais a amplitude da corrente é igual a 
metade do valor da ressonância. Explique por que 
esses resultados são válidos somente quando R é 
muito menor do que ඥͶܮ ͵ܥΤ . D) A diferença entre 
as duas frequências angulares encontradas na 
parte (C) denomina-se largura da ressonância. 
Encontre uma expressão para a largura de 
ressonância no caso ܴ ൏൏ ඥͶܮ ͵ܥΤ . Use esse 
resultado e aquele encontrado na parte (A) para 
explicar por que a forma da curva de ressonância 
varia quando R diminui. E) Determine ܫ଴, a 
frequência angular na ressonância e a largura da 
ressonância para um circuito RLC em série com ܮ ൌ ʹǡͷͲ�ܪǡ ܥ ൌ ͲǡͶͲͲ�ߤܨ�݁�ܸ ൌ ͳʹͲ�ܸ 
considerando: i) ܴ ൌ ͳͷǡͲ�ȳ; ii) ܴ ൌ ͳǡͷͲ�ȳ. 
Resolução: 
a) Utilizando (7.1), para ߱଴ ൌ ሺܮܥሻିభమ, teremos: 
 ܫ଴ ൌ ܸܴ 
(14.1) 
 
b) Para resolver essa parte, faremos a seguinte 
mudança: 
 ߱ ൌ ߱଴ ൅ ߚ 
(14.2) 
 
Em que ߚ ൌ ୼ఠଶ ൏൏ ߱଴. Assim, utilizando (14.2)para a impedância, teremos: 
 
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9 
ܼ ൌ ඨܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶ�� ܼ ൌ ඨܴଶ ൅ ൤ሺ߱଴ ൅ ߚሻܮ െ ͳሺ߱଴ ൅ ߚሻܥ൨ଶ� 
ܼ ൌ ඪܴଶ ൅ ൦ߚܮ ൅ ඨܮܥ െ ቌඨܥܮ ൅ ߚܥቍିଵ൪ଶ 
(14.3) 
Agora, utilizaremos a expansão sugerida. 
ቌඨܥܮ ൅ ߚܥቍିଵ ൌ ඨܮܥۉۇͳ ൅ ߚܥටܥܮیۊ
ିଵ� 
؆ ඨܮܥ ൫ͳ െ ߚξܮܥ൯ 
(14.4) 
Agora utilizando o resultado de (14.4) no 
resultado de (14.3), teremos: 
ܼ ؆ ඩܴଶ ൅ ቎ߚܮ ൅ ඨܮܥ െ ඨܮܥ ൅ ߚܮ቏ଶ� ׵ ܼ ؆ ඥܴଶ ൅ Ͷܮଶߚଶ 
(14.5) 
c) Para a metade da resposta máxima (conforme 
questão 10), teremos: ܸʹܴ ൌ ܸඥܴଶ ൅ Ͷܮଶߚଶ�� Ͷܴଶ ൌ ܴଶ ൅ Ͷܮଶߚଶ�� ׵ ߚ ൌ േ ܴܮ ඨͶ͵ 
(14.6) 
Assim, teremos: 
߱ ൌ ߱଴ േ ܴܮ ඨͶ͵ 
(14.7) 
d) Para a largura de ressonância, teremos: 
ο߱ ൌ ʹȁߚȁ ׵ ο߱ ൌ ܴξ͵ܮ 
(14.8) 
 
Em que ο߱ será a nossa largura de ressonância. 
Agora, da razão 
ఉఠబ, teremos: 
 ߱ߚ଴ ൌ ܴܮ ඨͶ͵ ή ξܮܥ�� ׵ ߱ߚ଴ ൌ ܴ ή ඨ͵ܥͶܮ 
(14.9) 
 
Como 
ఉఠబ ൏൏ ͳ, teremos: 
 ܴ ൏൏ ඨͶܮ͵ܥ 
(14.10) 
 
De (14.8) podemos observar que à medida que a 
resistência diminui a largura da curva de 
ressonância também diminui. 
 
e) Os valores de ܫ଴, utilizando (14.1), para as 
respectivas resistências serão: 
 ܫ଴ଵହ ൌ ͺ�ܣ�‡�ܫ଴ଵǡହ ൌ ͺͲ�ܣ 
(14.11) 
 
Para as frequências angulares: 
 ߱଴ଵହ ൌ ߱଴ଵǡହ ൌ ͳͲͲͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(14.12) 
 
Para as larguras, utilizando (14.8): 
 ο߱ଵହ ൌ ͳͲǡͶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ�‡�ο߱ଵǡହ ൌ ͳǡͲͶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
(14.13) 
 
Utilizando (14.8), ainda poderemos escrever a 
razão: 
 ο߱߱଴ ൌ ܴξ͵߱଴ܮ 
(14.14) 
 
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10 
O gráfico da figura 14.1 mostra as duas curvas de 
ressonâncias para as respectivas resistências. 
 
 
 
 
Figura 14.1 
Podemos concluir da figura 14.1 que o pico 
aumenta para resistências pequenas, já a largura 
de ressonância diminui. 
Obs.: 
I. No item (b) preferi mudar a variável para poder 
usar ο߱ como largura da curva de ressonância. 
II. Para construir o gráfico da figura 14.1 utilizei a 
expressão dada em (10.4) com auxílio de uma 
planilha. 
 Questão 15
Observe as figura 15.1. Quais são (a) ௕ܸ௖ǡ௘௙ e (b) തܲ para o resistor R, em cada um dos casos 
indicados? 
Figura 15.1a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.1b 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15.1c 
 
Resolução: 
Para o caso da figura 15.1a: 
 ௕ܸ௖ǡ௘௙ ൌ ࣟ௠ξʹ 
(15.1) 
 
Para o caso da figura 15.1b: 
 
௕ܸ௖ǡ௘௙ ൌ ࣟ௠ ቊ ͳʹߨ ቈන ݏ݁݊ଶሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻగ଴ ൅න Ͳଶ݀ሺ߱ݐሻଶగగ ቉ቋభమ�� 
௕ܸ௖ǡ௘௙ ൌ ࣟ௠ ቊ ͳʹߨ ൤߱ʹݐ െ ݏ݁݊ʹ߱ݐͶ ൨଴గቋభమ �� ׵ ௕ܸ௖ǡ௘௙ ൌ ࣟ௠ʹ 
(15.2) 
 
0
10
20
30
40
50
60
70
80
600,00 800,00 1000,00 1200,00 1400,00
I (A) 
Frequência angular (rad/s) 
15 ohms
1,5 ohms
ͳǡͲͶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
ͳͲǡͶ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ 
 ̱ ࣟሺݐሻ�R a 
b 
c 
d 
+ - 
 
 
 
௕ܸ௖ തܸ௕௖ ൌ Ͳ ࣟ௠ ߱ݐ 
 ̱ ࣟሺݐሻ�R a 
b 
c 
d 
+ - 
 
௕ܸ௖ തܸ௕௖ ൌ ࣟ௠ ߨΤ ࣟ௠ ߱ݐ 
 ̱ ࣟሺݐሻ�R a 
b 
c 
d 
+ - 
 
௕ܸ௖ തܸ௕௖ ൌ ʹࣟ௠ ߨΤ ࣟ௠ ߱ݐ 
 
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11 
Para o caso da figura 15.1c: 
É semelhante ao caso da figura 15.1a. As duas 
expressões ao quadrado fornecem o mesmo 
resultado: 
௕ܸ௖ǡ௘௙ ൌ ࣟ௠ξʹ 
(15.3) 
Para a potência: 
Caso da figura 15.1a, utilizando 15.1, teremos: തܲ ൌ ௕ܸ௖ǡ௘௙ଶܴ ൌ ࣟ௠ଶʹܴ 
(15.4) 
Caso da figura 15.1b, utilizando 15.2, teremos: തܲ ൌ ௕ܸ௖ǡ௘௙ଶܴ ൌ ࣟ௠ଶͶܴ 
(15.5) 
Caso da figura 15.1c, utilizando 15.3, teremos: തܲ ൌ ௕ܸ௖ǡ௘௙ଶܴ ൌ ࣟ௠ଶʹܴ 
(15.6) 
 Questão 16
Na figura 16.1, na qual ܴଵ ൐൐ ܴଶ e tanto ௘ܸ௡ 
como ௦ܸ௔ são diferenças de potencial constantes, 
mostre que o fator de atenuação, ௦ܸ௔ ௘ܸ௡ ؆ ܴଶ ܴଵΤΤ . 
Compare com a figura 16.2 e a seguinte equação: ௦ܸ௔ǡ௠ ௘ܸ௡ǡ௠ ൌ ܺ஼ ܺ௅ΤΤ , onde o fator de atenuação 
(ca) é (aproximadamente) ܺ஼ ܺ௅Τ . Discuta as 
analogias e as diferenças. 
Figura 16.1 
Resolução: 
Da figura 16.1, podemos escrever: 
௦ܸ௔ ൌ ܴଶ ή ݅ 
(16.1) 
 
E também: 
 ௘ܸ௡ ൌ ሺܴଵ ൅ ܴଶሻ݅ 
(16.2) 
 
Utilizando as equações (16.1) e (16.2), teremos: 
 ௦ܸ௔௘ܸ௡ ൌ ܴଶܴଵ ൅ ܴଶ 
(16.3) 
 
E como ܴଵ ൐൐ ܴଶ, então teremos: 
 ௦ܸ௔௘ܸ௡ ؆ ܴଶܴଵ 
(16.4) 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 16.2 
 
Na figura 16.1 temos um circuito que atenua 
diferenças de potenciais em regime de corrente 
contínua. Na figura 16.2 o circuito funciona para 
atenuar de forma apreciável diferenças de 
potenciais variáveis no tempo. 
 
 Questão 17
 
Mostre que, para aplicações de alta tensão e 
baixa corrente (tal como as fontes de potência 
para os tubos de imagem de televisores), pode-se 
substituir o indutor L da figura 16.2 por um 
resistor “grande”, R, e ainda conseguir uma 
substancial redução do componente ca de ௘ܸ௡ sem 
uma redução demasiadamente grande do 
componente cc. 
Resolução: 
Seja 
 ௘ܸ௡ ൌ ௘ܸ௡ǡ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(17.1) 
 
ܴଵ�
ܴଶ ܸ௘௡ ܸ௦௔ 
C 
L 
௘ܸ௡ ௦ܸ௔ 
 
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12 
E ݅ ൌ ݅௠ݏ݁݊ሺ߱ݐ െ ߶ሻ 
(17.2) 
Em que ݅௠ ൌ ௘ܸ௡ǡ௠ඥܴଶ ൅ ܺ஼ଶ 
(17.3) 
Sendo ܴ ൐൐ ܺ஼ , então (17.3) se torna: ݅௠ ؆ ௘ܸ௡ǡ௠ܴ 
(17.4) 
 
E utilizando (7.11), teremos: ݐ݃߶ ൌ െܺ஼ܴ 
(17.5) 
Em que utilizando o fato de ܴ ൐൐ ܺ஼ , (17.5) se 
torna: ݐ݃߶ ؆ Ͳ ֜ ߶ ؆ Ͳ 
(17.6) 
Agora, utilizando (17.2), (17.4) e (17.6), teremos: ݅ ؆ ௘ܸ௡ǡ௠ܴ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(17.7) 
Agora, utilizando (17.7), podemos encontrar a 
carga no capacitor. Logo: ݀ݍ݀ݐ ؆ ௘ܸ௡ǡ௠ܴ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ�� ݍ ൌ ௘ܸ௡ǡ௠ܴ߱ නݏ݁݊ሺ߱ݐሻ݀ሺ߱ݐሻ�� ׵ ݍ ൌ െ ௘ܸ௡ǡ௠ܴ߱ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(17.8) 
A diferença de potencial de saída será a diferença 
de potencial do capacitor, que é dada por ௦ܸ௔ ൌ ௤஼. 
Logo, utilizando o resultado de (17.8), teremos: 
௦ܸ௔ ൌ െܺ஼ܴ ௘ܸ௡ǡ௠ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(17.9) 
 
Então podemos concluir: 
 ௦ܸ௔ǡ௠௘ܸ௡ǡ௠ ൌ ܺ஼ܴ 
(17.10) 
 
 Questão 18
 
Um filtro passa-alto. Uma aplicação do 
circuito RLC em série consiste no uso de um filtro 
passa-alto ou de um filtro passa-baixo, que filtram, 
respectivamente, os componentes de baixa 
frequência ou os componentes de alta frequência 
de um determinado sinal. Um filtro passa-alto é 
indicado na figura 18.1, onde a tensão de saída é 
tomada através da combinação LR. (A combinação 
LR representa uma bobina de indução que 
também possui uma resistência, pois seu 
enrolamento é um fio com um comprimento muito 
grande.) Deduza uma expressão para ௦ܸ௔ ܸΤ , a 
razão entre a amplitude da tensão na saída e a 
amplitude de tensão da fonte, em função de 
frequência angular ߱ da fonte. Mostre que, 
quando ߱ é pequeno, essa razão é proporcional a ߱ e, portanto, é pequena, e mostre que ela tende a 
1 no limite de frequências elevadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18.1 
 
Resolução: 
Utilizando (10.4), teremos para a intensidade de 
corrente eficaz: 
 ݅௘௙ ൌ ௙ܸ௘௙ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ 
(18.1) 
 ̱ C ிܸ �
R L 
௦ܸ௔ 
 
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13 
Para a tensão eficaz de saída, teremos: 
௦ܸ௔௘௙ ൌ ݅௘௙ ή ඥܴଶ ൅ ሺ߱ܮሻଶ 
(18.2) 
Agora, utilizando (18.1) e (18.2), teremos: 
௦ܸ௔௘௙௙ܸ௘௙ ൌ ൦ ܴଶ ൅ ሺ߱ܮሻଶܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൪
భమ
 
(18.3) 
Que conduz a: 
௦ܸ௔ܸ ൌ ൦ ܴଶ ൅ ሺ߱ܮሻଶܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൪
భమ
 
(18.4) 
De (18.4), para frequências elevadas, teremos: 
Ž‹ఠ՜ஶ ௦ܸ௔ܸ ൌ Ž‹ఠ՜ஶ ൦ ܴଶ ൅ ሺ߱ܮሻଶܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൪
భమ
 
Ž‹ఠ՜ஶ ௦ܸ௔ܸ ൌ Ž‹ఠ՜ஶ ۏێێێ
ۍ ܴଶ ߱ଶൗ ൅ ܮଶܴଶ ߱ଶൗ ൅ ቀܮ െ ͳ߱ଶܥቁଶےۑۑۑ
ېభమ
 
Ž‹ఠ՜ஶ ௦ܸ௔ܸ ൌ ቈܮଶܮଶ቉భమ ൌ ͳ 
(18.5) 
De (18.4), para frequências pequenas, tanto que ܺ௅ ൏൏ ܴ, teremos: 
௦ܸ௔ܸ ؆ ൦ ܴଶቀ ͳ߱ܥቁଶ൪
భమ
 
׵ ௦ܸ௔ܸ ؆ ܴ߱ܥ 
(18.6) 
Em (18.7), foi considerado que ܴ ൏ ܺ஼ , para esse 
regime de frequência. 
 Questão 19
 
Um filtro passa-baixo. A figura 19.1 mostra 
um filtro passa-baixo (veja questão anterior); a 
tensão de saída é tomada através do capacitor do 
circuito RLC em série. Deduza uma expressão para ௦ܸ௔ ܸΤ , a razão entre a amplitude da tensão na 
saída e a amplitude da tensão da fonte, em função 
da frequência angular ߱ da fonte. Mostre que, 
quando ߱ é grande, essa razão é proporcional a ߱ିଶ e, portanto, é muito pequena, e mostre que 
ela tende a 1 no limite de frequências pequenas. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 19.1 
 
Resolução: 
A tensão desaída será dada por: 
 ௦ܸ௔௘௙ ൌ ܺ஼ ή ݅௘௙ 
(19.1) 
 
Assim, de (18.1), teremos: 
 ௦ܸ௔௘௙ ൌ ௙ܸ௘௙߱ܥ ή ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ 
(19.2) 
 
Logo, poderemos escrever diretamente: 
 ௦ܸ௔ܸ ൌ ͳ߱ܥ ή ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ 
(19.3) 
 
Para frequências grandes ሺܺ௅ ൐ ܴ�‡�ܺ௅ ൐൐ ܺ஼ሻ 
teremos, de (19.3): 
 ௦ܸ௔ܸ ؆ ͳ߱ଶܮܥ 
(19.4) 
 
Para frequências pequenas ሺܺ஼ ൐ ܴ�‡�ܺ஼ ൐൐ ܺ௅ሻ 
teremos, de (19.3): 
 ̱ C ிܸ �
R 
L 
௦ܸ௔ 
 
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14 
௦ܸ௔ܸ ؆ ͳ߱ܥ ή ටቀ ͳ߱ܥቁଶ ൌ ͳ 
(19.5) 
 Questão 20
Escreva a equação diferencial para um circuito 
LC alimentado por uma f.e.m. harmônica do tipo ௠ܸݏ݁݊ሺ߱ݐሻ. Ache a solução desta equação em 
função do tempo. Seja ߱଴ ൌ ሺܮܥሻିభమ e ߱ a 
frequência angular da fonte de alimentação; 
obtenha uma relação para ݍ௠ em função de ௠ܸǡ ܮǡ ߱଴�‡�†‡�߱. 
Resolução: 
Utilizando a lei das malhas, teremos: ࣟ ൌ ܮ ή ݀݅݀ݐ ൅ ݍܥ 
(20.1) 
Lembrando que 
ௗ௜ௗ௧ ൌ ௗమ௤ௗ௧మ , teremos: ܮ ݀ଶݍ݀ݐଶ ൅ ͳܥ ݍ ൌ ௠ܸݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(20.2) 
Para a resolução de (20.2), tentaremos a seguinte 
função: ݍ ൌ ܣݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ֜ ݀ଶݍ݀ݐଶ ൌ െܣ߱ଶݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(20.3) 
Em que A é uma constante a ser determinada. 
Utilizando as expressões de (20.3) em (20.2), 
teremos: െܮܣ߱ଶݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൅ ܮܣ߱଴ଶݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ௠ܸݏ݁݊ሺ߱ݐሻ�� ׵ ܣ ൌ ௠ܸሺ߱଴ଶ െ߱ଶሻܮ 
(20.4) 
Assim, teremos: ݍ ൌ ݍ௠ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(20.5) 
Em que ݍ௠ é dado pelo resultado de (20.4). 
 Questão 21
 
O circuito RLC em paralelo. Um resistor, um 
indutor e um capacitor são ligados em paralelo 
com uma fonte ac com amplitude de voltagem V e 
frequência angular ߱. Suponha que a voltagem da 
fonte seja dada por ݒ ൌ ܸܿ݋ݏሺ߱ݐሻ. A) Mostre que a 
voltagem instantânea nos terminais de cada 
elemento ݒோ ǡ ݒ௅�‡�ݒ஼ em qualquer instante é a 
mesma da fonte ݒ e que ݅ ൌ ݅ோ ൅ ݅௅ ൅ ݅஼ , onde ݅ é a 
corrente que passa na fonte e ݅ோ ǡ ݅௅�݁�݅஼ são as 
correntes que passam no resistor, no indutor e no 
capacitor, respectivamente. B) Quais são as fases 
de ݅ǡ ݅ோ ǡ ݅௅�‡�݅஼ em relação a ݒ? Use fasores para 
representar as correntes ݅ǡ ݅ோ ǡ ݅௅�‡�݅஼ . Sobre o 
diagrama de fasores, mostre as fases dessas 
quatro correntes em relação a ݒ. C) Use o 
diagrama de fasores do item (B) para mostrar que 
a amplitude da corrente ܫ para a corrente ݅ que 
passa na fonte é dada por ܫ ൌ ඥܫோଶ ൅ ሺܫ஼ െ ܫ௅ሻଶ. D) 
Mostre que o resultado da parte (C) pode ser 
escrito na forma ܫ ൌ ܸ ܼΤ , com ͳ ܼΤ ൌඥͳ ܴଶΤ ൅ ሺ߱ܥ െ ͳ ߱ܮΤ ሻଶ. 
Resolução: 
A) Como temos uma ligação em paralelo, a 
voltagem para cada elemento será: 
 ݒோ ൌ ݒ௅ ൌ ݒ஼ ൌ ݒ 
(21.1) 
 
E para a corrente, teremos: 
 ݅ ൌ ݅ோ ൅ ݅௅ ൅ ݅஼ 
(21.2) 
 
B) Para o resistor, teremos: 
 ݅ோ ൌ ܸܴ ܿ݋ݏሺ߱ݐሻ 
(21.3) 
 
Para o indutor, teremos: 
 ܮ ݀݅௅݀ݐ ൌ ܸܿ݋ݏሺ߱ݐሻ�� ݅௅ ൌ ܸܮ නܿ݋ݏሺ߱ݐሻ݀ݐ�� ׵ ݅௅ ൌ ܸ߱ܮ ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(21.4) 
 
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15 
Em (21.4), podemos efetuar a seguinte 
substituição: ݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ܿ݋ݏ ቀ߱ݐ െ గଶቁ, assim, 
teremos para (21.4): ݅௅ ൌ ܸ߱ܮ ܿ݋ݏ ቀ߱ݐ െ ʹߨቁ 
(21.5) 
Para o capacitor, teremos: ݍܥ ൌ ܸܿ݋ݏሺ߱ݐሻǢ�݅஼ ൌ ݀ݍ݀ݐ�� ݅஼ ൌ െܸ߱ܥݏ݁݊ሺ߱ݐሻ 
(21.6) 
Em (21.6) temos: െݏ݁݊ሺ߱ݐሻ ൌ ݏ݁݊ሺെ߱ݐሻ ൌܿ݋ݏ ቀ߱ݐ ൅ గଶቁ. Então, teremos para (21.6): ݅஼ ൌ ܸ߱ܥܿ݋ݏ ቀ߱ݐ ൅ ʹߨቁ 
(21.7) 
Utilizando um diagrama de fasores: 
 
Figura 21.1 – Diagrama de fasores 
Observa-se da figura 21.1 e também dos conjuntos 
dos resultados (21.3) – (21.7) as fases dos fasores 
de cada corrente. Em azul, temos a corrente no 
resistor que se encontra em fase com a fonte V. 
Em verde observamos a corrente no indutor que 
se encontra defasada de ഏమ�௥௔ௗ com relação à fonte. 
Em vermelho a corrente no capacitor que se 
encontra adiantada de ഏమ�௥௔ௗ com relação à fonte. A 
corrente na fonte I possui uma fase dada por: 
 ݐ݃߶ ൌ ܫ஼ െ ܫ௅ܫோ � ݐ݃߶ ൌ ߱ܥܸ െ ܸ߱ܮܸܴ �� ׵ ݐ݃߶ ൌ ܴ ൬߱ܥ െ ͳ߱ܮ൰ 
(21.8) 
 
C) Observa-se da figura 21.1 que a corrente que 
na fonte I é dada por: 
 ܫ ൌ ටܫோଶ ൅ ሺܫ஼ െ ܫ௅ሻଶ 
(21.9) 
 
D) Considerando que ܫ ൌ ௏௓, temos de (21.9): 
 ටܫோଶ ൅ ሺܫ஼ െ ܫ௅ሻଶ ൌ ܸܼ� ׵ ͳܼ ൌ ඨ ͳܴଶ ൅ ൬߱ܥ െ ͳ߱ܮ൰ଶ 
(21.10) 
 
 
O resultado (21.8) conduz a uma ressonância ሺ߶ ൌ Ͳሻ quando: 
 ߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ 
(21.11) 
 
 Questão 22
 
A)Para qual frequência angular a amplitude da 
voltagem através do resistor atinge sue valor 
máximo em um circuito RLC em série? B)Para qual 
frequência angular a amplitude da voltagem 
através do indutor atinge seu valor máximo em 
um circuito RLC em série? C)Para qual frequência 
angular a amplitude da voltagem através do 
capacitor atinge seu valor máximo em um circuito 
RLC em série? 
Resolução: 
 
ࡵࡾ ൌ ࢂࡾ 
ࢂ 
࣓࢚ 
ࡵࡸ ൌ ࢂ࣓ࡸ 
ࡵ࡯ ൌ ࢂ࣓࡯ 
 
 
࣊ ૛ൗ ࣊ ૛ൗ 
࣊࣊ൗ࣊࣊ࡵ࡯ െ ࡵࡸ 
ࡵ 
ࣘ 
 
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16 
A) A amplitude de voltagem no resistor em um 
circuito RLC em série é dada por: 
௠ܸǡோ ൌ ܸܼ ή ܴ 
(22.1) 
Em que Z é dado por (4.3). Assim, a amplitude 
será máxima quando Z for mínimo. Logo: 
ܼ ൌ ඨܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶ ൌ ܴ��’ƒ”ƒ�߱ ൌ ሺܮܥሻିభమ 
(22.2) 
B) A amplitude de voltagem no indutor é dada 
por: 
௠ܸǡ௅ ൌ ܸܼ ή ܺ௅ 
(22.3) 
Em que ܺ௅ ൌ ߱ܮ. Para encontrar a voltagem 
máxima, efetuaremos a diferenciação de ௠ܸǡ௅. 
Assim teremos: 
݀ ௠ܸǡ௅݀߱ ൌ ܸ ቎݀ܺ௅݀߱ ή ܼ െ ܺ௅ ή ܼܼ݀݀߱ଶ ቏�� 
݀ ௠ܸǡ௅݀߱ ൌ ܸ
ۏێێ
ێێێێ
ۍܮටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶെ ߱ܮ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ߱ଶܥቁටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ ےۑۑ
ۑۑۑۑ
ې
 
(22.4) 
 
Agora, fazendo 
ௗ௏೘ǡಽௗఠ ൌ Ͳ, poderemos encontrar o 
valor procurado para a frequência. Assim, sendo: 
ܮඨܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶ െ߱ܮ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ߱ଶܥቁටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ ൌ Ͳ�� ܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܮ൰ଶ ൌ ߱൬߱ܮ െ ͳ߱ܮ൰ ൬ܮ ൅ ͳ߱ଶܥ൰�� ܴଶ െ ʹܮܥ ൅ ʹ߱ଶܥଶ ൌ Ͳ�� ׵ ߱ ൌ ඩ ͳܮܥ െ ሺܴܥሻଶʹ 
(22.5) 
C) A amplitude de voltagem para o capacitor será: 
௠ܸǡ஼ ൌ ܸܼ ή ܺ஼ 
(22.6) 
 
Em que ܺ஼ ൌ ଵఠ஼. Logo, de (22.6), teremos: 
 ௠ܸǡ஼ ൌ ܸ߱ܥටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ 
(22.7) 
 
Para encontrar a voltagem máxima, efetuaremos a 
diferenciação de ௠ܸǡ஼ . Assim teremos: 
 ݀ ௠ܸǡ஼݀߱ ൌ ܸ ۏێێێ
ۍെ ͳ߱ଶܥ ή ͳටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൅ ͳ߱ܥ ή ቀ߱ܮ െ
ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ߱ଶܥቁ൬ܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൰యమ ےۑۑۑ
ې
 
(22.8) 
 
Com o mesmo procedimento anterior, teremos o 
valor procurado para a frequência. Assim, 
teremos: 
 െ ͳ߱ටܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ ൌ ቀ߱ܮ െ
ͳ߱ܥቁ ቀܮ ൅ ͳ߱ଶܥቁ൬ܴଶ ൅ ቀ߱ܮ െ ͳ߱ܥቁଶ൰యమ � െቆܴଶ ൅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ଶቇ ൌ ߱൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰ ൬ܮ ൅ ͳ߱ଶܥ൰� െܴଶ ൅ ʹܮܥ ൌ ʹ߱ଶܮଶ�� ׵ ߱ ൌ ඨ ͳܮܥ െ ʹܴଶܮଶ 
(22.9) 
 
 Questão 23
 
Números complexos em um circuito. A 
voltagem através de um dado elemento em um 
circuito ac não está necessariamente em fase com 
a corrente que passa através desse elemento. 
Portanto, as amplitudes das voltagens através dos 
elementos ligados em uma dada malha do circuito 
não podem ser somadas algebricamente para se 
determinar a voltagem total. Um método 
geralmente usado para simplificar a análise de um 
circuito ac alimentado por uma fonte de tensão 
consiste em representar Z como um número 
complexo. A parte real do número complexo é a 
resistência R da impedância e a reatância ܺ ൌ ܺ௅ ൅ ܺ஼ é a parte imaginária. Portanto, para 
 
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17 
um ramo o circuito com um resistor, um indutor e 
um capacitor em série, a impedância complexa é 
dada pelo número complexo ܼ௖௣௫ ൌ ܴ ൅ ݅ܺ, onde ݅ଶ ൌ െͳ. Se a amplitude da voltagem através do 
ramo do circuito é ௖ܸ௣௫, definimos uma amplitude 
de corrente complexa através da relação ܫ௖௣௫ ൌ ௖ܸ௣௫ ܼ௖௣௫Τ . A amplitude da corrente real é 
dada pelo módulo da amplitude de corrente 
complexa, ou seja, ܫ ൌ ൫ܫ௖௣௫כ ܫ௖௣௫൯ଵ ଶΤ . O ângulo de 
fase ߶ da corrente em relação à voltagem da fonte 
é dado pela expressão ݐ݃߶ ൌ ܫ݉൫ܫ௖௣௫൯ ܴ݁൫ܫ௖௣௫൯ൗ . 
As amplitudes das voltagens ோܸ௖௣௫ǡ ௅ܸ௖௣௫�‡� ஼ܸ௖௣௫ 
através do resistor, do indutor e do capacitor, 
respectivamente, são obtidas multiplicando-se ܫ௖௣௫ por ܴǡ ݅ܺ௅�‘— െ ݅ܺ஼ , respectivamente. Usando 
a representação complexa para as amplitudes das 
voltagens, a voltagem total através de um ramo do 
circuito é simplesmente dada pela soma algébrica 
das voltagens através de cada elemento do 
circuito: ௖ܸ௣௫ ൌ ோܸ௖௣௫ ൅ ௅ܸ௖௣௫ ൅ ஼ܸ௖௣௫. O valor 
efetivo de qualquer amplitude de corrente ou 
amplitude de voltagemé o valor absoluto da 
grandeza complexa correspondente. Considere o 
circuito RLC em série indicado na figura 23.1. Os 
valores dos elementos dos circuitos da amplitude 
da voltagem da fonte e da frequência angular da 
fonte são indicados na figura. Analise o circuito 
usando o método dos números complexos. A) 
Determine a impedância complexa do circuito. 
Tome o valor absoluto desse número complexo 
para obter o valor de Z, a impedância efetiva do 
circuito. B) Suponha que a amplitude da voltagem 
da fonte seja real e calcule a amplitude da 
corrente ܫ௖௣௫. Determine a amplitude da corrente 
efetiva calculando o valor absoluto de ܫ௖௣௫. C) 
Calcule o ângulo de fase ߶ da corrente em relação 
à amplitude da voltagem da fonte usando as 
partes reais e imaginárias do número complexo ܫ௖௣௫, como explicado anteriormente. D) Calcule a 
representação complexa das voltagens através do 
resistor, do indutor e do capacitor. E) Somando as 
respostas encontradas na parte (D), verifique se a 
soma desses números complexos é real e igual a 
200 V, a tensão fornecida pela fonte. 
Figura 23.1 
Resolução: 
A) Para a impedância complexa, teremos: 
 ܼ௖௣௫ ൌ ܴ ൅ ݅ ൬߱ܮ െ ͳ߱ܥ൰�� ׵ ܼ௖௣௫ ൌ ͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲ 
(23.1) 
 
O módulo da impedância complexa será: 
 ܼ ൌ ඥͶͲͲଶ ൅ ͵ͲͲଶ ൌ ͷͲͲ�ȳ 
(23.2) 
 
B) Para a amplitude de corrente teremos: 
 ܫ௖௣௫ ൌ ʹͲͲͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲ ή ͶͲͲ െ ݅͵ͲͲͶͲͲ െ ݅͵ͲͲ� ׵ ܫ௖௣௫ ൌ ͶͲͲ െ ݅͵ͲͲͳʹͷͲ 
(23.3) 
 
O valor absoluto de ܫ௖௣௫ será: 
 หܫ௖௣௫ห ൌ ܫ ൌ ξͶͲͲଶ ൅ ͵ͲͲଶͳʹͷͲ ൌ ͲǡͶ�ܣ 
(23.4) 
 
C) Para o ângulo de fase: 
 ߶ ൌ ܽݎܿݐ݃ ͵ͲͲͶͲͲ ؆ ͵͸ǡͺ͹ι 
(23.5) 
 
D) Para as voltagens, teremos: 
 ோܸ௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ ή ܴ ൌ Ͳǡ͵ʹሺͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲሻ 
(23.6) 
 ௅ܸ௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ ή ݅ܺ௅ ൌ ͲǡͶሺെ͵ͲͲ ൅ ݅ͶͲͲሻ 
(23.7) 
 ஼ܸ௖௣௫ ൌ ܫ௖௣௫ ή ሺെ݅ܺ஼ሻ ൌ Ͳǡ͸Ͷሺ͵ͲͲ െ ݅ͶͲͲሻ 
(23.8) 
 
E) Para a voltagem total, teremos, de (23.6)-
(23.8): 
 ܸ ൌ Ͳǡ͵ʹሺͶͲͲ ൅ ݅͵ͲͲሻ ൅ ͲǡͶሺെ͵ͲͲ ൅ ݅ͶͲͲሻ ൅ Ͳǡ͸Ͷሺ͵ͲͲ െ ݅ͶͲͲሻ� ׵ ܸ ൌ ʹͲͲ�ܸ 
(23.9) ܸ ൌ ʹͲͲ�ܸ ߱ ൌ ͳͲͲͲ�ݎܽ݀ ή ݏିଵ ̱ 
ܥ ൌ ͳǡʹͷߤܨ�
ܴ ൌ ͶͲͲȳ� ܮ ൌ ͲǡͷͲͲ�ܪ�
 
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18 
 Questão 24
Um transformado possui 800 espiras no 
primário e 20 espiras no secundário. (a) Supondo 
que o secundário constitua um circuito aberto e 
sabendo que ଵܸǡ௘௙ ൌ ͳʹͲ�ܸ, calcule o valor eficaz 
da tensão do secundário. (b) Suponha agora que o 
secundário esteja ligado a uma carga resistiva ܴ ൌ ͳͷ�ȳ. Calcule os valores ݅ଵǡ௘௙�݁�݅ଶǡ௘௙. Suponha 
um transformador ideal com ߶ ൌ Ͳ. 
Resolução: 
a) Para a tensão no secundário, teremos: 
ଶܸǡ௘௙ ൌ ଵܸǡ௘௙ ή ଶܰܰଵ�� ଶܸǡ௘௙ ൌ ͳʹͲ ή ʹͲͺͲͲ ��׵ ଶܸǡ௘௙ ൌ ͵�ܸ 
(24.1) 
b) Para as intensidades de correntes: ݅ଶǡ௘௙ ൌ ଶܸǡ௘௙ܴ ൌ ͳ͵ͷ ൌ ʹͲͲ�݉ܣ 
(24.2) 
ଵܸǡ௘௙݅ଵǡ௘௙ ൌ ଶܸǡ௘௙݅ଶǡ௘௙� ͳʹͲ݅ଵǡ௘௙ ൌ ͵ ή ʹͲͲ ׵ ݅ଵǡ௘௙ ൌ ͷ�݉ܣ 
(24.3) 
 Questão 25
Em um transformador, mostre que ݅ଵሺݐሻ no 
primário permanece inalterada, se uma 
resistência ܴᇱሾൌ ܴሺ ଵܰ ଶܰΤ ሻଶሿ é ligada diretamente 
ao gerador, removendo-se o transformador e o 
secundário, Isto é, que se tem ݅ଵ ൌ ࣟோᇱ. 
 
Neste sentido, vemos que um transformador não 
apenas “transforma” diferenças de potencial e 
correntes, como também resistências. No caso 
mais geral, no qual a carga do secundário contém 
elementos capacitivos e indutivos, além de 
resistivos, diz-se que um transformador 
transforma impedâncias. 
Resolução: 
Utilizando a expressão dada em (24.1) e a 
conservação de energia: 
ଵܸ݅ଵ ൌ ଶܸଶܴ 
(25.1) 
 
Assim, teremos: 
 ݅ଵ ൌ ଵܴܸ ൬ ଶܰܰଵ൰ଶ 
(25.2) 
 
Agora, para o primário utilizando ݅ଵ ൌ ௏భோᇱ, teremos: 
 ܴᇱ ൌ ܴ ൬ ଵܰܰଶ൰ଶ 
(25.3) 
 
 Questão 26
 
Casamento de impedância. Vimos na questão 
anterior que um transformador pode servir como 
um dispositivo transformador de resistência (em 
geral, de impedâncias). Além disso, sabemos que a 
transferência de potência de um gerador ca 
(resistência interna r) para um carga resistiva R é 
máxima quando ܴ ൌ ݎ. Suponha que, ݎ ൌͳǡͲ�݇ȳǡ ܴ ൌ ͳͲ�ȳǡ߱ ʹߨΤ ൌ ͸Ͳ�ܪݖ�‡�ࣟ௘௙ ൌ ͳʹͲ�ܸ. 
Projete um transformador, a ser interposto entre 
o gerador de ca e a carga, que assegure máxima 
transferência de potência para R. Suponha um 
transformador ideal com ߶ ൌ Ͳ. Uma técnica 
como essa é utilizada quando, por exemplo, é 
necessário transferir potência eficientemente de 
um amplificador de áudio (impedância elevada) 
para um autofalante (impedância baixa). 
Resolução: 
Para o gerador transferir a máxima potência, 
teremos: 
 ݎ ൌ ܴԢ 
(26.1) 
 
Em que R’ é dada por (25.3). Logo: 
 ଶܰ ൌ ଵܰͳͲ 
(26.2) 
 
O transformador deve ter no primário, 10 vezes o 
número de espiras do secundário.