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Física 4 06 exercícios resolvidos

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1 
ߠ ߠ
Ͷͷι 
ʹ�݉ 
ݔ 
 Prof. A.F.Guimarães 
Física 4 – Questões 06 
 Questão 1
O índice de refração de um material depende 
do comprimento de onda da onda eletromagnética 
que incide sobre o material. Suponha que o índice 
de refração de um material para a luz violeta ൫ߣ ൌ ͶͲͲͲ�Հ൯ seja igual a 1,515 e que para a luz 
vermelha ൫ߣ ൌ ͹ͲͲͲ�Հ൯ seja igual a 1,505. Calcule 
a razão entre a velocidade de uma luz vermelha e 
a velocidade de uma luz violeta no interior deste 
material. 
Resolução: 
A razão entre as velocidades será: ݒ௩௘௥ݒ௩௜௢ ൌ ܿ ݊௩௘௥ൗܿ݊௩௜௢ൗ ൌ ݊௩௜௢݊௩௘௥ ൌ ͳǡͷͳͷͳǡͷͲͷ ؆ ͳǡͲͲ͹ 
(1.1) 
 Questão 2
Um raio luminoso para ir em linha reta de A até 
B atravessa um meio homogêneo e isotrópico de 
índice de refração igual a ݊ଵ, que preenche a 
metade da distância entre A e B. A outra metade 
da distância entre A e B é preenchida por um 
material homogêneo e isotrópico com índice de 
refração ݊ଶ ൌ ͳǡ͸Ͳ. A superfície de separação 
entre os dois meios é plana e o raio luminoso 
incide ortogonalmente a esta superfície de 
separação. Determine o índice de refração ݊ଵ, 
sabendo que a distância entre A e B é de ͳͲ�݉ e 
que o caminho ótico de A até B vale ͳͷ�݉. 
Resolução: 
O caminho ótico entre os referidos pontos é dado 
por: ݈ ൌ ݊ଵ݈ଵ ൅ ݊ଶ݈ଶ�� 
 (2.1) 
Em que ݈ଵ�‡�݈ଶ são respectivamente a distância 
entre o ponto A até a superfície de separação 
entre os meios e a distância entre o ponto B até a 
mesma superfície de separação. Levando em 
consideração que a situação é simétrica, teremos: 
 ݈ଵ ൌ ݈ଶ ൌ ͷ�݉�� 
 (2.2) 
 
Agora, utilizando (2.1), temos: 
 ͳͷ ൌ ሺ݊ଵ ൅ ͳǡ͸Ͳሻ ή ͷ ׵ ݊ଵ ൌ ͳǡͶͲ 
(2.3) 
 
 Questão 3
 
Uma estaca está a 2,0 metros do fundo de uma 
piscina a 0,5 metro acima da água. A luz do Sol 
incide a Ͷͷι. Qual é o comprimento da sombra da 
estaca no fundo da piscina? 
Resolução: 
Vamos considerar que o índice de refração da 
água para a luz em questão seja igual a 1,33. 
Vamos considerar, previamente, apenas a parte 
submersa da estaca com 2 metros de 
comprimento, ou seja até a superfície da água. A 
figura 3.1, abaixo, mostra a configuração descrita. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3.1 
 
Utilizando a lei de Snell-Descartes, teremos: 
 ݊௔௥ݏ݁݊Ͷͷι ൌ ݊ž௚௨௔ݏ݁݊ߠ� ͳ ή ξʹʹ ൌ ͳǡ͵͵ ή ݏ݁݊ߠ�� ׵ ݏ݁݊ߠ ؆ Ͳǡͷ͵ʹ 
(3.1) 
 
De (3.1), teremos: 
 ܿ݋ݏߠ ؆ ͲǡͺͶ͹ 
(3.2) 
 
 
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2 
ߠ ߠ ߠ ߠ
 
Ͷͷι 
ʹ�݉ 
ݔ 
Ͷͷι 
ݔݔԢ 
Então, utilizando os resultados de (3.1) e (3.2), a 
sombra da parte submersa será: ݔ ൌ ʹ ή ݐ݃ߠ� ݔ ൌ ʹ ή Ͳǡͷ͵ʹͲǡͺͶ͹ �׵ ݔ ൌ ͳǡʹͷ͸�݉ 
(3.3) 
A parte emersa projeta uma sombra dada por: 
Figura 3.2 ݔᇱ ൌ Ͳǡͷ ή ݐ݃Ͷͷι ൌ Ͳǡͷ�݉ 
(3.4) 
Assim, a sombra total, utilizando os resultados de 
(3.3) e (3.4), será: ݔ ൅ ݔᇱ ൌ ͳǡ͹ͷ͸�݉ 
(3.5) 
 Questão 4
Provar que, quando se gira um espelho de um 
ângulo ߙ, o feixe refletido gira de ʹߙ. 
Resolução: 
A figura 4.1 a seguir mostra a configuração da 
questão. 
Figura 4.1 
Os prolongamentos das retas normais aos 
espelhos em A e em B, formam o triângulo ABC. Já 
os prolongamentos dos raios refletidos em A e em 
B formam o triângulo ABD, conforme mostra a 
figura 4.1. 
Para o triângulo ABC, temos: 
 ߠ஻ ൌ ߠ஺ ൅ ߙ 
(4.1) 
 
E para o triângulo ABD, temos: 
 ʹߠ஻ ൌ ʹߠ஺ ൅ ݔ 
(4.2) 
 
Comparando (4.1) e (4.2), teremos: 
 ݔ ൌ ʹߙ 
(4.3) 
 
 Questão 5
 
Provar que um raio de luz, incidente sobre uma 
superfície de uma lâmina de vidro, de espessura t, 
emerge na face oposta paralelamente à direção 
inicial, mas deslocado lateralmente, como se vê na 
figura 5.1. Mostrar que, para pequenos ângulos, de 
incidência, ߠ, tal deslocamento é dado por: 
 ݔ ൌ ݐߠ ή ௡ିଵ௡ , 
 
onde n é o índice de refração e ߠ é medido em 
radianos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5.1 
 
Resolução: 
Na face esquerda, o ângulo de incidência vale ߠ. 
Pela lei de Snell-Descartes, temos: 
Ȉ ߙ ݔ ߙ 
ȈȈ
A 
B 
C 
D 
ߠ஺ ߠ஻ ߠ஺஺ߠߠ ߠ஺ ஻ ߠ஻ 
 ߠ ߠ 
ݐ 
ݔ 
 
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3 
ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߙ 
 (5.1) 
Levando em consideração que o vidro está imerso 
no ar. Em (5.1), o ângulo ߙ é o ângulo de refração. 
Na face direita, o raio também forma com a 
normal, um ângulo ߙ. Assim sendo, aplicando 
novamente a lei de Snell-Descartes, o ângulo de 
emergência também será ߠ. Logo, os raios serão 
paralelos. 
Observando a figura 5.2, teremos: 
 
Figura 5.2 ݔ ൌ ܣܤݏ݁݊ሺߠ െ ߙሻ 
(5.2) 
Também temos: ܿ݋ݏߙ ൌ ݐܣܤ 
(5.3) 
Logo, de (5.2) e (5.3), teremos: ݔ ൌ ݐ ή ݏ݁݊ሺߠ െ ߙሻܿ݋ݏߙ 
(5.4) 
Em (5.4), temos ainda: ݔ ൌ ݐ ή ሾݏ݁݊ߠܿ݋ݏߙ െ ܿ݋ݏߠݏ݁݊ߙሿܿ݋ݏߙ �� ݔ ൌ ݐ ൤ݏ݁݊ߠ െ ܿ݋ݏߠݏ݁݊ߙܿ݋ݏߙ ൨ 
(5.5) 
Utilizando (5.1) em (5.5), teremos: 
ݔ ൌ ݐ ൤ݏ݁݊ߠ െ ܿ݋ݏߠݏ݁݊ߠ݊ܿ݋ݏߙ ൨ 
(5.6) 
 
Sendo ߠ pequeno e dado em radianos, teremos: 
 ݏ݁݊ߠ ՜ ߠǡ ܿ݋ݏߠ ՜ ͳ�‡�ܿ݋ݏߙ ՜ ͳ 
(5.7) 
 
Assim, utilizando (5.7) em (5.6), teremos: 
 ݔ ൌ ݐ ൤ߠ െ ݊ߠ൨ ׵ ݔ ൌ ݐߠሺ݊ െ ͳሻ݊ 
(5.8) 
 
 Questão 6
 
Mostrar que, para um prisma delgado ሺ߮�’‡“—‡‘ሻ e incidência próxima da normal ሺߠଵ�’‡“—‡‘ሻ, o desvio angular é independente do 
ângulo de incidência, sendo igual a ሺ݊ െ ͳሻ߮ (ver 
figura 6.1). 
 
Figura 6.1 
 
Resolução: 
Na face da esquerda temos: 
 ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠଵ 
(6.1) 
 
Para ߠ pequeno, podemos, a partir de (6.1), 
escrever: 
 ߠ ؆ ݊ ή ߠଵ 
(6.2) 
 
Na face direita, ocasião que o raio de luz emerge 
do prisma, temos: 
 ݊ ή ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݏ݁݊ߠଷ 
(6.3) 
 
 ߠ ߠ ݐ ݔ 
ߙ 
ߠ െ ߙ ܣ ܤ 
߮ ߮ ߠଵ ߠଶ ߠଷ ߠ 
 
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4 
E também, para ߠ pequeno, teremos: ݊ ή ߠଶ ൌ ߠଷ 
(6.4) 
Para ߮, temos a relação, a partir do triângulo 
formado pelas retas normais e pelo raio refratado, 
dada por: ߮ ൌ ߠଵ ൅ ߠଶ 
(6.5) 
O ângulo de desvio será dado por: ݀ ൌ ߠ െ ߠଵ ൅ ߠଷ െ ߠଶ 
(6.6) 
Agora, utilizando as relações (6.2), (6.4) e (6.5) em 
(6.6), teremos: ݀ ؆ ݊ߠଵ ൅ ݊ߠଶ െ ߮�� ׵ ݀ ؆ ሺ݊ െ ͳሻ߮ 
(6.7) 
 Questão 7
Um raio luminoso incide normalmente sobre a 
face ab do prisma de vidro ሺ݊ ൌ ͳǡͷͺሻ, como se vê 
na figura 7.1. (a) Supondo que o prisma esteja 
imerso no ar, determinar o maior valor do ângulo ߮ para o qual o raio é totalmente refletido na face 
ac. (b) Determinar ߮, no caso do prisma estar 
imerso no álcool etílico. 
 
Figura 7.1 
Resolução: 
a) O raio incide na face ab normalmente, o que 
significa que ele não sofrerá desvio. Assim, 
podemos observar, da figura 7.2, que o ângulo de 
incidência na face ac será: 
ʹߨ െ ߮ 
(7.1) 
 
 
Figura 7.2 
 
Agora, aplicando a lei de Snell-Descartes, teremos: 
 ݊ ή ݏ݁݊ ቀʹߨ െ ߮ቁ ൌ ݏ݁݊ ʹߨ 
(7.2) 
 
Sabendo que ݏ݁݊ ቀగଶ െ ߮ቁ ൌ ܿ݋ݏ߮, teremos para 
(7.2): 
 ܿ݋ݏ߮ ൌ ͳͳǡͷͺ�� ׵ ߮ ൌ ܿ݋ݏିଵͲǡ͸͵ ؆ ͷͲǡ͹ι 
(7.3) 
 
b) Utilizando o mesmo princípio, porém com o 
prisma imerso no álcool etílico: 
 ܿ݋ݏ߮ ൌ ͳǡ͵͸ͳǡͷͺ�� ׵ ߮ ൌ ܿ݋ݏିଵͲǡͺ͸ ؆ ͵Ͳǡ͸ι 
(7.4) 
 
 Questão 8
 
Um raio luminoso incide sobre uma placa de 
vidro, de seção quadrada, como o da figura 8.1. 
Qual deve ser o índice de refração do vidro, para 
que haja reflexão interna total na face vertical? 
 
 
 
 
 
 
Figura 8.1 
 
 Ȉ ߮ 
ܽ 
Ȉܾ ܿ 
Ȉ ߮ 
ܽ 
Ȉܾ ܿ ߮ ʹߨ െ ߮ 
Ͷͷι 
 
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5 
Resolução: 
Aplicando a lei de Snell-Descartes, teremos: 
 ݏ݁݊Ͷͷι ൌ ݊௩ ή ݏ݁݊ߠ�� ׵ ݊௩ ή ݏ݁݊ߠ ൌ ξʹʹ� 
(8.1) 
Observando a figura 8.2, podemos concluir que na 
face vertical, o ângulo de incidência será: ʹߨ െ ߠ 
(8.2) 
Figura 8.2 
Agora aplicando novamente a lei de Snell-
Descartes na face vertical, teremos: ݊௩ ή ݏ݁݊ ቀʹߨ െ ߠቁ ൌ ͳ�� ׵ ݊௩ ή ܿ݋ݏߠ ൌ ͳ 
(8.3) 
Agora, podemos utilizar a relação do seno e 
cosseno, dada por: ݏ݁݊ଶߠ ൅ ܿ݋ݏଶߠ ൌ ͳ 
(8.4) 
Então, utilizando (8.1), (8.3) em (8.4), teremos: ͳ݊௩ଶ ൬ͳʹ ൅ ͳ൰ ൌ ͳ ׵ ݊௩ ൌ ൬͵ʹ൰భమ ؆ ͳǡʹʹ 
(8.5) 
O índice de refração do vidro deverá assumir 
qualquer valor que suplantar o valor dado em 
(8.5). 
 Questão9
 
Um raio de luz monocromática, inicialmente no 
ar, incide sobre um prisma de ͻͲι em P (ver figura 
9.1), sendo aí refratado. Em Q, ocorre outra 
refração, de tal modo que o raio roça a superfície 
do lado direito do prisma, após emergir para o ar 
no ponto Q. (a) Determinar o índice de refração do 
prisma, em relação ao ar, para esse comprimento 
de onda, em termos do ângulo de incidência ߠଵ, 
que dá lugar à situação descrita. (b) Dar um limite 
superior numérico para o índice de refração do 
prisma. (c) Mostrar, através de um diagrama, o 
que ocorre se o ângulo de incidência em P é pouco 
maior que ߠଵ, e se é pouco menor que ߠଵ. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9.1 
 
Resolução: 
 
a) Em P, utilizando a lei de Snell-Descartes, 
teremos: 
 ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊௣ݏ݁݊ߠ௉ ׵ ݏ݁݊ߠ௉ ൌ ݏ݁݊ߠଵ݊௣ 
(9.1) 
 
Em que ݊௣�‡�ߠ௉ são respectivamente, o índice de 
refração do prisma e o ângulo de refração em P. 
Em Q, utilizando novamente a lei de Snell-
Descartes: 
 ݏ݁݊ߠொ ൌ ͳ݊௣ 
(9.2) 
 
Aqui, ߠொ é o ângulo de incidência no ponto Q. Da 
figura 9.1, podemos concluir a partir do triângulo 
formado pelas retas normais e o raio refratado, 
que: 
 ߠொ ൌ ʹߨ െ ߠ௉ 
Ͷͷι 
ߠ ߠ ߨൗʹ െ ߠ ߠߠ ߨൗʹߨߨ ʹʹ െ ߠ ߠଵ P Q 
 
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6 
׵ ݏ݁݊ߠொ ൌ ܿ݋ݏߠ௉ 
(9.3) 
Utilizando (9.3) em (9.2), teremos: ܿ݋ݏߠ௉ ൌ ͳ݊௣ 
(9.4) 
Agora utilizando a relação trigonométrica (8.4), 
juntamente com (9.1) e (9.4), teremos: ݏ݁݊ଶߠଵ݊௣ଶ ൅ ͳ݊௣ଶ ൌ ͳ ׵ ݊௣ ൌ ሾݏ݁݊ଶߠଵ ൅ ͳሿభమ 
(9.5) 
b) Levando em consideração que o valor máximo 
do seno é a unidade, teremos, utilizando (9.5): ݊௣೘žೣ ൌ ξʹ ؆ ͳǡͶͳ 
(9.6) 
c) ߠ ൐ ߠଵ: 
Figura 9.2 
ߠ ൏ ߠଵ: 
Figura 9.3 
 Questão 10
 
Uma fonte luminosa puntiforme é colocada a 
uma distância ݄ abaixo da superfície de um lago, 
grande e profundo. (a) Mostrar que a fração ݂, da 
energia luminosa que escapa diretamente através 
da superfície do líquido, independe de ݄, sendo 
dada por: 
 ݂ ൌ ଵଶെ ଵଶ௡ξ݊ଶ െ ͳ, 
 
onde ݊ é o índice de refração da água. (Nota: 
Desprezar a absorção pela água e pela reflexão na 
superfície – exceto quando esta é total.) (b) 
Calcular esta fração, para ݊ ൌ ͳǡ͵͵. 
Resolução: 
A figura 10.1 mostra a fonte colocada a uma 
distância ݄ da superfície do lago. 
 
Figura 10.1 
 
O ângulo limite ߠ௟ é dado por: 
 ݏ݁݊ߠ௟ ൌ ͳ݊ 
(10.1) 
 
Em que ݊ é o índice de refração da água. 
Assim, a fração de luminosidade que pode 
escapar da água se encontra limitada dentro de 
um cone cujo diâmetro máximo da base é dado 
por: 
 ܦ௠ž௫ ൌ ʹ݄ݐ݃ߠ௟ 
(10.2) 
 
 
ߠ௟ ߠ௟ 
 ݄ 
ܽ 
ܦ௠ž௫ 
ߠߠ௟ߠ௟ ݄
ܽ
ߠଵ P ߠଵ ߠߠ 
Q 
ߠଵ P ߠଵ ߠߠ 
Q 
 ߙ ߙ ߙߙ
 
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7 
 
 
ߠ௟ ݄ െ ܽ 
ܽ 
݄ 
ܦ௠ž௫ ʹΤ ݄�ݏ݁݊ߠ௟ 
Sabemos que a intensidade luminosa pode ser 
representada por: ܫ ൌ ܧܣ ή οݐ 
(10.3) 
Em que ܧ é a energia irradiada no intervalo de 
tempo οݐ e ܣ é a área da superfície formada pela 
frente de onda, no caso, a área de uma esfera de 
raio ݄. Utilizando (10.3), teremos para a energia 
contida somente na calota esférica que emergirá: ܧᇱ ൌ ܧͶߨ݄ଶ ή ܣ௖௔௟௢௧௔ 
(10.4) 
Logo, para a fração solicitada, teremos: ܧԢܧ ൌ ܣ௖௔௟௢௧௔Ͷߨ݄ଶ 
(10.5) 
O problema agora se resume em achar a área da 
calota esférica, mostrada na figura (10.1) em 
vermelho. A área da referida calota esférica é dada 
por: ܣ௖௔௟௢௧௔ ൌ ʹߨ݄ܽ 
(10.6) 
Por meio de uma semelhança de triângulos, 
poderemos determinar o valor de ܽ. Considere a 
figura 10.2 que mostra o perfil da situação. 
Figura 10.2 
Utilizando então a semelhança de triângulos: ʹ݄ݏ݁݊ߠ௟ܦ௠ž௫ ൌ ݄ െ ݄ܽ 
(10.7) 
Utilizando a relação (10.2) em (10.7), teremos: 
 ܽ ൌ ݄ ൬ͳ െ ݏ݁݊ߠ௟ݐ݃ߠ௟ ൰ 
(10.8) 
 
Agora, utilizando a relação trigonométrica (8.4), 
juntamente com (10.1), teremos: 
 ܿ݋ݏߠ ൌ ξ݊ଶ െ ͳ݊ 
(10.9) 
 
Que conduz a: 
 ݐ݃ߠ ൌ ξ݊ଶ െ ͳ݊ଶ െ ͳ 
(10.10) 
 
Agora vamos utilizar (10.1), (10.6), (10.8) e 
(10.10) em (10.5): 
 ܧᇱܧ ൌ ͳʹ െ ͳʹ ή ͳൗ݊ξ݊ଶ െ ͳ ݊ଶ െ ͳൗ ׵ ݂ ൌ ܧԢܧ ൌ ͳʹ െ ͳʹ݊ ή ඥ݊ଶ െ ͳ 
(10.11) 
 
c) Utilizando o dado numérico em (10.11), 
teremos: 
 ݂ ൌ ܧԢܧ ؆ ͳ͹Ψ 
(10.12) 
 
Obs.: Para (10.6) ver: Spiegel M. R. Manual de 
fórmulas e tabelas matemáticas (Coleção Schaum). 
Ed. McGraw-Hill, Rio de Janeiro, 1973. 
 
 Questão 11
 
A figura 11.1 mostra um prisma de desvio 
constante. Embora feito de uma única peça de 
vidro, equivale a dois prismas de ͵Ͳι െ ͸Ͳι െ ͻͲι 
e um de Ͷͷι െ Ͷͷι െ ͻͲι. Luz branca incide na 
direção i. Varia-se ߠଵ girando o prisma de tal 
maneira que luz, de qualquer comprimento de 
onda desejado, é obrigada a seguir a trajetória 
 
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8 
mostrada, emergindo em r. Provar que, sendo ݏ݁݊ߠଵ ൌ ଵଶ݊, então ߠଵ ൌ ߠଶ e os raios i e r serão 
perpendiculares entre si. 
 
Figura 11.1 
Resolução: 
O raio luminoso i incide no prisma 30-60-90 e 
refrata com um ângulo ߙ, que de acordo com a lei 
de Snell-Descartes é dado por: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ݏ݁݊ߙ 
(11.1) 
Agora observando a figura 11.1, percebe-se que o 
raio refratado no prisma 30-60-90, é 
perpendicular à superfície do prisma 45-45-90, 
antes da reflexão. Logo, teremos: ߙ ൌ ͵Ͳι 
(11.2) 
Logo, utilizando (11.2) em (11.1), teremos: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݊ʹ 
(11.3) 
Temos também: ߙ ൅ ߚ ൌ ͹ͷι ֜ ߚ ൌ Ͷͷι 
(11.4) 
Também, da figura 11.1, podemos concluir que o 
ângulo ߛ ൌ ͸Ͳι o que conduz a: ߜ ൌ ͵Ͳι 
(11.5) 
Logo: 
ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݊ʹ ׵ ߠଵ ൌ ߠଶ 
(11.6) 
 
 Questão 12
 
Usando o princípio de Fermat, provar que o 
raio refletido, o raio incidente e a normal estão 
num mesmo plano. 
Resolução: 
 
Figura 12.1 
 
O caminho percorrido pelo raio de luz do ponto 1 
até o ponto 2 é dado por: 
 ݈ ൌ ሺ݄ଵଶ ൅ ݔଵଶሻభమ ൅ ሺ݄ଶଶ ൅ ݔଶଶሻభమ 
(12.1) 
 
Da figura 12.1, podemos concluir: 
 ݀ݏ݁݊ߙଶ ൌ ݔଵݏ݁݊ߙଵ 
(12.2) 
 
E 
 ݔଶ ൌ ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵ 
(12.3) 
 
Assim, utilizando (12.3) em (12.1), teremos: 
 ݈ ൌ ሺ݄ଵଶ ൅ ݔଵଶሻభమ ൅ ሾ݄ଶଶ ൅ ሺ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵሻଶሿభమ 
(12.4) 
 
Pelo princípio de Fermat, temos que: 
 ݈݀݀ݔଵ ൌ Ͳ 
(12.5) 
 
Assim, calculando a derivada de (12.4) e 
utilizando (12.5), teremos: 
͵Ͳι 
͵Ͳι 
͸Ͳι 
͸Ͳι 
Ͷͷι Ͷͷι ͻͲι ͻͲι 
Ͷͷι ͻͲι 
ߠଵ ߠଶ 
݅ 
ݎ ͹ͷι ߙ ͹ͷι
ߚ ߚߚ ߚ ߜ ͻͲι ͹ͷι͹ͷι͹ͷι͹ͷι͹ͷι ߛ 
 
ܰ ͳ ʹ ݔଵ ݔଶ ݄ଵ ݔ݄ଶ ߠଵ ʹ ߠଶ ߙଵ ݔଶ ߙଶ ݀ 
 
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9 
ݔଵሺ݄ଵଶ ൅ ݔଵଶሻభమ ൌ ܿ݋ݏߙଵ ή ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵሾ݄ଶଶ ൅ ሺ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵሻଶሿభమ 
(12.6) 
Mas: ݔଵሺ݄ଵଶ ൅ ݔଵଶሻభమ ൌ ݏ݁݊ߠଵ 
(12.7) 
E ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵሾ݄ଶଶ ൅ ሺ݀ܿ݋ݏߙଶ െ ݔଵܿ݋ݏߙଵሻଶሿభమ ൌ ݏ݁݊ߠଶ 
(12.8) 
Logo, de (12.6)-(12.8), teremos: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ܿ݋ݏߙଵ ή ݏ݁݊ߠଶ 
(12.9) 
Sabendo da validade da lei dos ângulos da 
reflexão, ou seja, ߠଵ ൌ ߠଶ, teremos para (12.9): ܿ݋ݏߙଵ ൌ ͳ ׵ ߙଵ ൌ ߙଶ ൌ Ͳ 
(12.10) 
O que demonstra que os raios de incidência e 
reflexão e a reta normal são coplanares. Por outro 
lado, se os referidos raios e a reta normal são 
coplanares, ou seja, ߙଵ ൌ ߙଶ ൌ Ͳ, teremos, de 
(12.9): ݏ݁݊ߠଵ ൌ ݏ݁݊ߠଵ ֜ ߠଵ ൌ ߠଶ 
(12.11) 
O que também valida a lei da reflexão para os 
ângulos. 
 Questão 13
A figura 13.1 mostra dois pontos A e B, unidos 
por um raio luminoso AvB. Mostrar que, em 
relação aos vizinhos, como AcB, o raio AvB 
representa um caminho ótico mínimo, 
estacionário ou máximo, conforme a distância ܽ 
seja, respectivamente menor, igual ou maior que a 
quantidade 
ܴ ή ሺ݊ ൅ ͳሻ ሺ݊ െ ͳሻΤ 
 
onde ܴ é o raio de curvatura da superfície esférica 
e, ݊, o índice de refração do meio existente à 
direita da superfície. 
 
Figura 13.1 
 
Resolução: 
 
Figura 13.2 
 
Observando a figura 13.2, teremos pela lei de 
Snell-Descartes: 
 ݏ݁݊ߛ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ 
(13.1) 
 
Do triângulo AcO, utilizando a lei dos senos, 
teremos: 
 ܣܿതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ ൅ ܴݏ݁݊ሺߨ െ ߛሻ 
(13.2) 
 
Mas ݏ݁݊ሺߨ െ ߙሻ ൌ ݏ݁݊ߛ. Logo, de (13.2), teremos: 
 ܣܿതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ ൅ ܴݏ݁݊ߛ 
(13.3) 
 
Do triângulo BcO, utilizando a lei dos senos, 
teremos: 
A B 
c 
v 
a a 
R 
߮� n 
A B 
c 
v 
aa 
R 
߮� n ߙ ߚ ߛ ߠ vv ߮ߠߠߨ െ ߛ 
O 
 
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10 
ܤܿതതതതݏ݁݊ሺߨ െ ߮ሻ ൌ ܽ െ ܴݏ݁݊ߠ 
(13.4) 
Mas ݏ݁݊ሺߨ െ ߮ሻ ൌ ݏ݁݊߮. Logo, de (13.4), teremos: ܤܿതതതതݏ݁݊߮ ൌ ܽ െ ܴݏ݁݊ߠ 
(13.5) 
Agora utilizando (13.1), (13.3) e (13,5), teremos: ܣܿതതതܤܿതതതത ൌ ͳ݊ ή ൬ܽ ൅ ܴܽ െ ܴ൰ 
(13.6) 
Agora, mas analisar as situações que podem 
ocorrer com os caminhos ܣܿതതത e ܤܿതതതത, utilizando 
(13.6). 
· ܣܿതതത ൐ ܤܿതതതത: ܣܿതതതܤܿതതതത ൐ ͳ ฺ ܽ ൏ ܴሺ݊ ൅ ͳሻ݊ െ ͳ 
(13.7) 
O raio de luz percorre o caminho mais longo no 
meio onde sua velocidade é maior. Logo teremos 
um mínimo para essa condição. 
· ܣܿതതത ൌ ܤܿതതതത ൌ ܽ: ܣܿതതതܤܿതതതത ൌ ͳ ฺ ܽ ൌ ܴሺ݊ ൅ ͳሻ݊ െ ͳ 
(13.8) 
O raio de luz percorre a mesma distância, tanto no 
meio onde sua velocidade é maior quanto no meio 
onde sua velocidade é menor. Esse é o trajeto AvB. 
Logo, temos um tempo estacionário para essa 
condição. 
· ܣܿതതത ൏ ܤܿതതതത: ܣܿതതതܤܿതതതത ൏ ͳ ฺ ܽ ൐ ܴሺ݊ ൅ ͳሻ݊ െ ͳ 
(13.9) 
O raio de luz percorre o caminho mais longo no 
meio onde sua velocidade é menor. Logo teremos 
um máximo para essa condição. 
 
 Questão 14
 
Um arco-íris é produzido pela reflexão da luz 
solar em gotas de água esféricas existentes no ar. 
A figura 14.1 indica um raio que se refrata para o 
interior de uma gota no ponto A, é refletido na 
superfície posterior da gota no ponto B e se 
refrata voltando para o ar no ponto C. 
 
Figura 14.1 
 
Os ângulos de incidência e refração, ߠ௔�‡�ߠ௕, são 
indicados nos pontos A e C, e os ângulos de 
incidência e de reflexão, ߠ௔�‡�ߠ௥ , são indicados no 
ponto B. (A) Mostre que ߠ௔஻ ൌ ߠ௕஺ǡ ߠ௔஼ ൌ ߠ௕஺�݁�ߠ௕஼ ൌߠ௔஺. (B) Mostre que o ângulo em radianos antes de 
ele entrar na gota em A e depois que ele sai da 
gota em C (a deflexão angular total do raio) é dado 
por οൌ ʹߠ௔஺ െ Ͷߠ௕஺ ൅ ߨ. (Dica: Determine a 
deflexão angular que ocorre em A, em B e em C e 
some para encontrar ο.) (C) Use a lei de Snell para 
escrever ο em termos de ߠ௔஺ e de n, o índice de 
refração da água na gota. (D) O arco-íris se forma 
quando o ângulo de deflexão ο é estacionário em 
relação a ߠ௔஺, ou seja, quando ݀ο ݀ߠ௔஺Τ ൌ Ͳ. 
Quando essa condição for obedecida, todos os 
raios próximos de ߠ௔஺ sairão da gota retornando 
na mesma direção, produzindo uma faixa 
brilhante no céu. Chame de ߠଵ o ângulo para o 
qual isso ocorre. Mostre que ܿ݋ݏଶߠଵ ൌ భయ൫௡మାଵ൯. 
(Dica: Talvez você ache conveniente usar a 
fórmula da derivada ݀൫ܽݎܿ�ݏ݁݊�ݑሺݔሻ൯ ݀ݔΤ ൌሺͳ െ ݑଶሻିభమሺ݀ݑ ݀ݔΤ ሻ). (E) O índice de refração da 
água é igual a 1,342 para a luz violeta e 1,330 para 
a luz vermelha. Use os resultados do itens (C) e 
(D) para calcular ߠଵ e ο para a luz vermelha e para 
a luz violeta. Quando você vê o arco-íris, qual das 
 
 
 
Ar Água 
ߠ௔஺ 
ߠ௕஺ ߠ௔஻ ߠ௥஻ ߠ௔஼ 
ߠ௕஼ 
A 
B 
C 
O ÁguaÁgua
ߠߠ௕௕஺஺௕௕ ߠߠߠ௔஻ߠ௥஻ߠ௔஼஼
A
C
a OOOOOO
 
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11 
duas cores do arco-íris primário está mais 
afastada do horizonte, a vermelha ou a violeta? 
Resolução: 
A) Observando a figura 14.1, podemos concluir, a 
partir do triângulo ABO, que é isóscele, que: ߠ௕஺ ൌ ߠ௔஻ 
(14.1) 
Pela lei da reflexão, temos: ߠ௥஻ ൌ ߠ௔஻ 
(14.2) 
O triângulo COB, também é isóscele. Logo: ߠ௔஼ ൌ ߠ௥஻ 
(14.3) 
Assim, de (14.1)-(14.3), teremos: ߠ௕஺ ൌ ߠ௔஼ 
(14.4) 
Pela lei de Snell, em A, temos: ݏ݁݊ߠ௔஺ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௕஺ 
(14.5) 
Em C, pela lei de Snell, temos: ݏ݁݊ߠ௕஼ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௔஼ 
(14.6) 
Então, de (14.4)-(14.6), podemos concluir: ݏ݁݊ߠ௔஺ ൌ ݏ݁݊ߠ௕஼ ׵ ߠ௔஺ ൌ ߠ௕஼ 
(14.7) 
B) Os desvios: 
Em A: ο஺ൌ ߠ௔஺ െ ߠ௕஺ 
(14.8) 
Em B: ο஻ൌ ߨ െ ߠ௔஻ െ ߠ௥஻ 
(14.9) 
Utilizando (14.1) e (14.2), teremos para (14.9): 
 ο஻ൌ ߨ െ ʹߠ௕஺ 
(14.10) 
 
Em C: 
 ο஼ൌ ߠ௕஼ െ ߠ௔஼ 
(14.11) 
 
Utilizando (14.4) e (14.7), teremos para (14.11): 
 ο஼ൌ ߠ௔஺ െ ߠ௕஺ 
(14.12) 
 
Para o desvio total, tomando a soma, teremos, de 
(14.8), (14.10) e (14.12): 
 οൌ ʹߠ௔஺ െ Ͷߠ௕஺ ൅ ߨ 
(14.13) 
 
C) Utilizando (14.5) em (14.13), teremos: 
 οൌ ʹߠ௔஺ െ Ͷܽݎܿ�ݏ݁݊ ቆݏ݁݊ߠ௔஺݊ ቇ ൅ ߨ 
(14.14) 
 
D) Calculando a derivada de (14.14), teremos: 
 ݀ο݀ߠ௔஺ ൌ ʹ െ Ͷቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠ௔஺݊ଶ ቇିభమ ή ܿ݋ݏߠ௔஺݊ 
(14.15) 
 
Impondo a condição ݀ο ݀ߠ௔஺Τ ൌ Ͳ e chamando de ߠଵ para a referida condição, teremos: 
 ʹ ቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠଵ݊ଶ ቇିభమ ή ܿ݋ݏߠଵ݊ ൌ ͳ Ͷܿ݋ݏଶߠଵ ൌ ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଵ ׵ ܿ݋ݏଶߠଵ ൌ ͳ͵ ሺ݊ଶ െ ͳሻ 
(14.16) 
 
E) Utilizaremos agora, as expressões (14.14) e 
(14.16), para as cores violeta e vermelha. Seja ߠ௩௜ 
o ângulo relativo à cor violeta. Assim, teremos: 
 ܿ݋ݏଶߠ௩௜ ൌ ͳ͵ ሺͳǡ͵Ͷʹଶ െ ͳሻ ؆ Ͳǡʹ͸͹ 
 
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12 
׵ ߠ௩௜ ؆ ͳǡͲʹ͹�ݎܽ݀ ൌ ͷͺǡͺ͸ͻι 
(14.17) 
 
O desvio será: ο௩௜ൌ ʹǡͶ͵ʹ�ݎܽ݀ ؆ ͳ͵ͻǡ͵Ͷ͵ι 
(14.18) 
De (14.18), teremos para o ângulo interno o valor 
aproximado de ͶͲǡ͹ι. Para a cor vermelha 
utilizaremos ߠ௩௘ . Assim, teremos: ܿ݋ݏଶߠ௩௘ ൌ ͳ͵ ሺͳǡ͵͵Ͳଶ െ ͳሻ ׵ ߠ௩௘ ؆ ͳǡͲͶͲ�ݎܽ݀ ؆ ͷͻǡͷͺͺι 
(14.19) 
O desvio será: ο௩௘ൌ ʹǡͶͲͲ�ݎܽ݀ ؆ ͳ͵͹ǡͷͳͲι 
(14.20) 
Que conduz a um ângulo interno de 
aproximadamente Ͷʹǡͷι. Para o arco-íris primário 
vemos a cor vermelha mais afastada do horizonte 
e a cor violeta mais próxima. 
 Questão 15
Um arco-íris secundário se forma quando a luz 
incidente sofre duas reflexões no interior de uma 
gota de água, como indica a figura 15.1. 
 
Figura 15.1 
(A) Em relação ao ângulo de incidência ߠ௔஺ e ao 
índice de refração ݊ da gota, qual é a deflexão 
angular ο do raio? Ou seja, qual é o ângulo entre o 
raio antes de ele entrar na gota e depois que ele 
sai da gota? (B) Qual é o ângulo de incidência ߠଶ 
para o qual a derivada de ο em relação ao ângulo ߠ௔஺ é igual a zero? (C) Os índices de refração para a 
luz vermelha e para a luz violeta são fornecidos no 
item (E) da questão anterior. Use os resultados 
dos itens (A) e (B) para calcular ߠଶ e ο para a luz 
vermelha e para a luz violeta. Quando você vê um 
arco-íris secundário, qual é a cor que está mais 
afastada do horizonte, a vermelha ou a violeta? 
Resolução: 
A) Previamente, vamos determinar os ângulos que 
são equivalentes. O triângulo AOB é isóscele, logo: 
 ߠ௕஺ ൌ ߠ௔஻ 
(15.1) 
 
Pela lei da reflexão, temos que ߠ௔஻ ൌ ߠ௥஻ e ߠ௔஼ ൌ ߠ௥஼ . 
O triângulo BOC é isóscele, logo: 
 ߠ௔஻ ൌ ߠ௥஻ ൌ ߠ௔஼ ൌ ߠ௥஼ 
(15.2) 
 
Assim, de (15.1) e (15.2), temos: 
 ߠ௕஺ ൌ ߠ௥஼ 
(15.3) 
 
O triângulo COD é isóscele, logo: 
 ߠ௔஽ ൌ ߠ௥஼ ൌ ߠ௕஺ 
(15.4) 
 
Em A, utilizando a lei de Snell, teremos: 
 ݏ݁݊ߠ௔஺ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௕஺ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௔஽ 
(15.5) 
 
Em D, utilizando a lei de Snell, teremos: 
 ݏ݁݊ߠ௕஽ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௔஽ ൌ ݊ ή ݏ݁݊ߠ௕஺ 
(15.6) 
 
Logo: 
 ߠ௔஺ ൌ ߠ௕஽ 
(15.7) 
 
Para o desvio temos: 
 
Em A: 
 ο஺ൌ ߠ௔஺ െ ߠ௕஺ 
(15.8) 
 
ߠ௔஺ ߠ௕஺ ߠ௔஻ ߠ௥஻ 
ߠ௔஼ ߠ௥஼ ߠ௔஽ ߠ௕஽ 
ܣ ܤ 
ܥ ܦ 
ܱ ߠ௕஺ ߠ௔஻஻ߠ௥஻
ߠ௔஼ߠ௥஼ߠ௔஽ܦ ܱ
 
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13 
Em B: ο஻ൌ ߨ െ ʹߠ௕஺ 
(15.9) 
 
Em C: ο஼ൌ ߨ െ ʹߠ௕஺ 
(15.10) 
Em D: ο஽ൌ ߠ௔஺ െ ߠ௕஺ 
(15.11) 
Em (15.9) até (15.11), foram utilizados as 
igualdades (15.1), (15.2), (15.3), (15.4) e (15.7). 
Para o desvio total, somando (15.8)-(15.11), 
teremos: οൌ ʹߠ௔஺ െ ͸ߠ௕஺ ൅ ʹߨ 
(15.12) 
Ou ainda, utilizando (15.5), teremos: οൌ ʹߠ௔஺ െ ͸ܽݎܿ�ݏ݁݊ ቆݏ݁݊ߠ௔஺݊ ቇ ൅ ʹߨ 
(15.13) 
B) Derivando a expressão (15.13) com relação a ߠ௔஺ e igualando a zero, teremos: 
͵ቆͳ െ ݏ݁݊ଶߠଶ݊ଶ ቇିభమ ή ܿ݋ݏߠଶ݊ ൌ ͳ ͻܿ݋ݏଶߠଶ ൌ ݊ଶ െ ݏ݁݊ଶߠଶ ׵ ܿ݋ݏଶߠଶ ൌ ͳͺ ሺ݊ଶ െ ͳሻ 
(15.14) 
C) Utilizando os dados numéricos teremos, para a 
cor violeta: ߠ௩௜ ؆ ͳǡʹͶͻ�ݎܽ݀ ൌ ͹ͳǡͷ͸ʹι 
(15.15) 
E ο௩௜؆ ʹ͵͵ǡʹͷͳι 
(15.16) 
O que corresponde a um ângulo interno 
aproximadamente igual a ͷ͵ǡ͵ι. E para a cor 
vermelha, teremos: 
 ߠ௩௘ ؆ ͳǡʹͷ͸�ݎܽ݀ ؆ ͹ͳǡͻ͸͵ι 
(15.17) 
 
E 
 ο௩௘؆ ʹ͵ͲǡͳͲͲι 
(15.18) 
 
O ângulo interno valendo aproximadamente ͷͲǡͳι. 
O arco-íris secundário se apresenta de forma 
invertida com relação ao arco-íris primário, ou 
seja, a cor violeta se encontra mais afastada do 
horizonte enquanto a cor vermelha se encontra 
mais próxima do horizonte. 
 
 Questão 16
 
Uma fibra óptica consiste num núcleo de vidro 
(índicede refração ݊ଵ) circundado por uma 
película (índice de refração ݊ଶ ൏ ݊ଵ). Suponha um 
feixe de luz entrando na fibra, proveniente do ar, 
num ângulo ߠ com o eixo da fibra, como nos 
mostra a figura 16.1. (a) Mostre que o maior valor 
possível de ߠ para o qual o raio pode se propagar 
na fibra é dado por ߠ ൌ ݏ݁݊ିଵඥ݊ଵଶ െ ݊ଶଶ. (b) 
Suponha que os índices de refração do vidro e da 
película sejam 1,58 e 1,53, respectivamente, e 
calcule o valor deste ângulo. 
 
Figura 16.1 
 
Resolução: 
Aplicando a lei de Snell, teremos: 
 ݏ݁݊ߠ ൌ ݊ଵ ή ݏ݁݊ߠଵ 
(16.1) 
 
Em que ߠଵ é o ângulo de refração no núcleo de 
vidro, conforme mostra a figura 16.2. 
ߠ 
 
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14 
 
Figura 16.2 
Observando a figura 16.2, podemos concluir que 
os ângulos ߠଵ�‡�ߠଶ são complementares, logo: ݏ݁݊ߠଵ ൌ ܿ݋ݏߠଶ 
(16.2) 
Na situação limite, ou seja, ߠଶ ൌ ߠ௅, teremos: ݏ݁݊ߠଶ ൌ ݊ଶ݊ଵ 
(16.3) 
Utilizando a relação trigonométrica (8.4), 
teremos: 
ܿ݋ݏߠଶ ൌ ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ݊ଵ 
(16.4) 
De (16.1), (16.2) e (16.4), teremos: ݏ݁݊ߠ ൌ ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ�� ׵ ߠ ൌ ܽݎܿ�ݏ݁݊ሺ݊ଵଶ െ ݊ଶଶሻభమ 
(16.5) 
b) Utilizando os dados numéricos, teremos: ߠ ؆ ʹ͵ǡʹʹι 
(16.6) 
 Questão 17
Numa fibra óptica (veja a questão anterior), 
diferentes raios percorrem diferentes trajetórias 
ao longo da fibra, conduzindo a diferentes tempos 
de percurso. Isto causa o espalhamento do pulso 
luminoso ao se propagar ao longo da fibra, 
resultando em perda de informação. O tempo de 
atraso pode ser minimizado durante o 
planejamento da fibra. Considere um raio que 
percorra uma distância ܮ ao longo do eixo da fibra 
e outro que seja refletido, no ângulo crítico, 
quando ele se propaga na mesma direção do 
primeiro. (a) Mostre que a diferença οݐ entre os 
tempos de chegada é dada por 
 οݐ ൌ ௅௖ ή ௡భ௡మ ሺ݊ଵ െ ݊ଶሻ, 
 
onde ݊ଵ é o índice de refração do núcleo de vidro e ݊ଶ é o índice de refração do revestimento da fibra. 
(b) Calcule οݐ para fibra da questão anterior, com ܮ ൌ ͵ͲͲ�݉. 
Resolução: 
 
Figura 17.1 
 
Ao longo do eixo temos: 
 οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵ 
(17.1) 
 
Para o trajeto refletido no ângulo crítico ߠ, temos: 
 οݐଶ ൌ ܮܿ ή ݏ݁݊ߠ ή ݊ଵ 
(17.2) 
 
Mas, ݏ݁݊ߠ ൌ ௡మ௡భ. Então, teremos para (17.2): 
 οݐଶ ൌ ܮܿ ή ݊ଶ ή ݊ଵଶ 
(17.3) 
 
Agora, utilizando (17.1) e (17.3), teremos: 
 οݐଶ െ οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵଶ݊ଶ െ ܿܮ ή ݊ଵ ׵ οݐଶ െ οݐଵ ൌ ܿܮ ή ݊ଵ݊ଶ ሺ݊ଵ െ ݊ଶሻ 
(17.4) 
ߠ ߠଵ 
ߠଶ ߠଵߠଵ ߠߠଶଶߠଶଶ
ߠ 
ܮ 
ߠ
 
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15 
b) Utilizando os dados numéricos, teremos: οݐଶ െ οݐଵ ؆ ͷǡʹ ή ͳͲି଼�ݏ 
(17.5) 
 Questão 18
Ondas sonoras geradas na Terra pela 
detonação de uma pequena quantidade de 
explosivo obedecem às mesmas Leis da Reflexão, 
Refração e Reflexão interna total do mesmo modo 
que os raios luminosos. Detectores, colocados em 
linha reta a partir do ponto de detonação S (veja 
figura 18.1), assinalam a chegada das ondas 
sonoras. Suponha que uma camada de solo onde a 
velocidade do som é ݒଵ cubra um leito de rocha 
firme onde a velocidade do som é ݒଶ; suponha que ݒଶ ൐ ݒଵ. As ondas chegam num detector por dois 
caminhos: i) uma onda superficial direta; ii) uma 
onda incidindo na interface solo-leito rochoso no 
ângulo crítico de reflexão total; esta onda se 
propaga ao longo da fronteira com velocidade ݒଶ, 
gerando ondas que retornam à superfície, 
deixando a interface com um ângulo igual ao de 
incidência. (Ondas simplesmente refletidas da 
interface não são consideradas.) (a) Mostre que o 
tempo de percurso destas ondas criticamente 
refletidas é dado por 
ݐ௖ ൌ ଶ஽ට௩మమି௩భమ௩భ௩మ ൅ ௫௩మ, 
onde D é a espessura da camada superior e x a 
distância medida a partir do detonador S até o 
detector. (b) Mostre que além de uma certa 
distância x*, as ondas criticamente refletidas 
chegam antes que as ondas diretas, e que ݔכ ൌ ʹܦ ή ටଵା௡ଵି௡ � ǡ ݊ ൌ ௩భ௩మ. 
 
E consequentemente, determinando x*, você 
obterá a espessura D da camada superior. Este 
método é largamente empregado na determinação 
da conveniência de terrenos para fins de 
construção, quando são traçadas as zonas 
subterrâneas aquíferas etc., e é chamado de 
levantamento topográfico sísmico. 
 
Figura 18.1 
Resolução: 
Quando ocorre a reflexão total da luz em um meio, 
o ângulo crítico é dado por: 
 ݏ݁݊ߠ௖ ൌ ݊ଶ݊ଵ ൌ ܿ ݒଶൗܿ ݒଵൗ ൌ ݒଵݒଶ 
(18.1) 
 
Utilizaremos (18.1) para o caso do som se 
propagando no solo para o leito rochoso. 
O tempo total para o som descer, percorrer a 
fronteira do leito rochoso e depois retornar à 
superfície será: 
 ݐ ൌ οݐଵ ൅ οݐଶ 
(18.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 18.2 
 
Em que 
 οݐଵ ൌ ʹܦݒଵܿ݋ݏߠ஼ 
(18.3) 
 
E 
 οݐଶ ൌ ݄ݒଶ 
(18.4) 
 
ݔ�
ܦ ࢜૚ ࢜૛ Solo 
Leito rochoso 
Explosivo ࢏ 
࢏࢏ 
 
ݔ�
ܦ ࢜૚ ࢜૛ Solo 
Leito rochoso 
Explosivo ࢏ ࢏࢏ ࡸ ࢎ ࡸ ࣂࢉ 
 
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16 
De (18.1), juntamente com relação trigonométrica 
(8.4), temos: 
ܿ݋ݏߠ௖ ൌ ሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶ 
(18.5) 
Logo, teremos para (18.3): 
οݐଵ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶଶ െ ݒଵଶ ή ݒଶݒଵ 
(18.6) 
Para o tempo total, de (18.2), (18.4) e (18.6), 
teremos: 
ݐ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶଶ െ ݒଵଶ ή ݒଶݒଵ ൅ ݄ݒଶ 
(18.7) 
Agora, para ݒଶ ൐ ݒଵ ฺ ݒଶଶ െ ݒଵଶ ื ݒଶଶ�‡�݄ ื ݔ, 
pois o ângulo crítico tende para um valor muito 
pequeno. Logo, teremos para (18.7): 
ݐ ؆ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ ൅ ݔݒଶ 
(18.8) 
Em linha reta, o tempo para a percorre a distância 
x será: ݐ௜ ൌ ݔݒଵ 
(18.9) 
Tomando a diferença entre (18.8) e (18.9), 
teremos: 
ݐ௜ െ ݐ௜௜ ൌ ݔݒଵ െ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ െ ݔݒଶ 
(18.10) 
Para a diferença ser tornar nula, teremos: 
ݔ ൬ ͳݒଵ െ ͳݒଶ൰ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଵݒଶ � 
ݔ ൌ ʹܦሺݒଶଶ െ ݒଵଶሻభమݒଶെݒଵ �� ݔ ൌ ʹܦ ή ඨ ݒଶଶ െ ݒଵଶሺݒଶ െ ݒଵሻଶ� ׵ ݔ ൌ ʹܦ ή ඨͳ ൅ ݊ͳ െ ݊ Ǣ ݊ ൌ ݒଵݒଶ 
(18.11)

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