1° prova 2009

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1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Curso de Cieˆncias Exatas
Departamento de Matema´tica - ICE - UFJF
07/04/2009
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
1. Resolva, usando escalonamento de matrizes (me´todo de Gauss ou de Gauss-
Jordan), os sistemas: (40 pts)
(a)

2x + y − 2z = 10
3x + 2y + 2z = 1
5x + 4y + 3z = 4
(b)

x + 2y − 3z + 2w = 2
2x + 5y − 8z + 6w = 5
3x + 4y − 5z + 2w = 4
x + 2y − z = 2
2. Considere a matriz: A =
 0 3 52 −5 4
1 2 1
. (20 pts)
(a) Determine se A e´ invert´ıvel.
(b) Caso seja invert´ıvel, encontre a matriz inversa de A.
3. (a) Calcule o determinante da matriz: A =

1 2 2 3
1 0 −2 0
3 −1 1 −2
4 −3 0 2
. (20 pts)
(b) O sistema AX = 0¯ tem soluc¸a˜o na˜o trivial? Justifique.
4. Classifique cada uma das afirmac¸o˜es abaixo como VERDADEIRA ou FALSA. Se ver-
dadeira, prove; se falsa, prove ou deˆ um contra-exemplo. (20 pts)
(a) Se A e B sa˜o matrizes n × n tais que det(AB) = 0 enta˜o A e´ singular ou B e´
singular(na˜o invert´ıvel).
(b) Para quaisquer matrizes A e B n× n vale: det(A+B) = det(A) + det(B).
(c) Se AB = 0¯ enta˜o A = 0¯ ou B = 0¯.
(d) Se A, B e AB sa˜o sime´tricas enta˜o AB = BA. (Lembre-se: uma matriz A e´ dita
sime´trica se At = A.)