1° prova 2013

Prévia do material em texto

1
1a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Departamento de Matema´tica - UFJF - 22/06/2013
Quest. Notas
1
2
3
4
5
6
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 6 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se na questa˜o 6. A
prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
PARTE I: MU´LTIPLA ESCOLHA. Resolva as questo˜es 1 e 2 e marque suas respostas,
a` caneta, dentre as alternativas apresentadas.
1). (10 pontos) Considere a matriz A =

−1 1 3 −2
0 0 2 1
2 0 −1 α
2 6 0 −2
. Sabendo que detA = 4, podemos
afirmar que o valor de α satisfaz:
a). 3 < α ≤ 5 b). −3 ≤ α ≤ 0 c). 0 < α ≤ 2 d). −7 ≤ α ≤ −4
2
2). (10 pontos) Resolvendo o sistema de equac¸o˜es lineares:

x + 2y − 3z = 4
x + 3y + z = 11
x − y − 9z = −11
−x − y + 7z = 3
y + 2z = 5
,
vemos que:
(a) o sistema possui infinitas soluc¸o˜es da forma (x, y, z) tais que −3y + 2z = 9.
(b) o sistema na˜o possui soluc¸a˜o.
(c) o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z) tal que x− y + 3z = 1.
(d) o sistema possui uma u´nica soluc¸a˜o (x, y, z) tal que x− 2y + z = −9.
3
PARTE II: DISCURSIVAS.
3). (20 pontos) Considere a matriz A =
 1 0 0a 1 0
b c 1
, onde a, b, c ∈ R. Verifique que a matriz A e´
invert´ıvel (justifique) e encontre A−1.
4
4). (20 pontos) Uma matriz quadrada A e´ dita sime´trica se At = A.
a). Verifique se a matriz N dada por N =

1 0 2 3
0 −1 5 0
2 5 0 3
3 3 0 3
 e´ uma matriz sime´trica. Justifique sua
resposta.
b). Mostre que se B e´ uma matriz n x n sime´trica e invert´ıvel , enta˜o C = B−1 tambe´m e´ uma matriz
sime´trica.
5
5). (20 pontos) Dadas as matrizes A =
 3 0 0−1 1 0
0 2 −2
 , B = [ 3 1−1 0
]
e C =
 1 −10 1
−1 0
 ,
encontre a matriz X tal que A−1XB−1 = (adjA)CBt.
6
6). (20 pontos) A partir de uma matriz A de tamanho 3× 3 , fizemos as seguintes operac¸o˜es elemen-
tares, obtendo, sequencialmente, as matrizes B, C e D:
A 3× 2alinha→ 2alinha B 1alinha↔ 3alinha C 4× 1alinha+ 2alinha→ 2alinha D.
Se D =
 3 2 −10 1 2
0 0 5
, calcule o determinante de A.