2ª prova 2013

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2a Prova de Geometria Anal´ıtica e Sistemas Lineares
Instituto de Cieˆncias Exatas - UFJF - 16/02/2013
Departamento de Matema´tica
Quest. Notas
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3
4
5
Total
Aluno: Matr´ıcula: Turma:
Observac¸o˜es: Esta prova deve conter 5 questo˜es em 3 folhas, encerrando-se no item 5(c). A
prova e´ individual, sem consulta e na˜o e´ permitido o uso de calculadora.
1). (20 pontos) O paralelogramo determinado pelos vetores U = (1,−1, 0) e V = (a, 3,−2) (a ∈ R)
tem a´rea igual a 3 u.a. Calcule os poss´ıveis valores de a para que isso ocorra.
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2). (20 pontos)
a). Dados os vetores do espac¸o U = (2,−1, 0) e V = (3, 0 − 3), determine um vetor W que seja
ortogonal a U e V ao mesmo tempo e que tenha norma 1.
b). Encontre o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores U , V e W do exerc´ıcio 2a.
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3). (20 pontos) Dadas as retas r e s de equac¸o˜es:
r :

x = 2 + 2t
y = 2t t ∈ R
z = t
s :

x = 2 + t
y = t t ∈ R
z = t
determine equac¸o˜es parame´tricas e geral do plano que conte´m as duas retas ao mesmo tempo.
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4). (20 pontos)
a). Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta r de intersec¸a˜o dos planos cujas equac¸o˜es sa˜o:
2x− y + z = 0 e x+ 2y − z = 1.
b). Encontre equac¸o˜es parame´tricas para a reta s que e´ paralela a` reta q de equac¸o˜es
{
x− 3
2
=
y + 1
3
=
z
2
e passa pelo ponto A = (1, 0, 0).
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5). (20 pontos)
a). Verifique se os pontos A = (1, 0,−1), B = (4, 2,−2) e C = (−2,−2, 0) sa˜o colineares.
b). Encontre o valor real de a para que os vetores U = (3, 2,−1) e W = (a, 0, 5) sejam ortogonais.
c). Dado o vetor V = (4,−3, 0), determine um vetor U no espac¸o que seja paralelo a V , tenha sentido
oposto ao de V e tenha norma 2.