Resolucao lista 1

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA E A DISTÂNCIA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
	
Fundamentos de Análise
Lista 1 – Números Reais
Prove as propriedades (a) à (f) da página 13 do livro texto base.
a) 
, para todo x real
De fato, seja 
, como sabemos que 
 e como R é corpo temos que 
. Então somando x em ambos os lados da igualdade temos 
�� EMBED Equation.3 logo provamos que 
.
Pelo mesmo argumento acima temos que 
 aplicando a comutatividade da soma segue que 
.
b) 
 e 
A primeira igualdade segue da comutatividade do produto, pois 
A segunda também pois 
c) 
De fato, observe que 
para todo
e usando a propriedade distributiva. Outra forma de provar é observar que 
 assim podemos concluir que 
.
d) Se 
 e 
, então 
 ou 
Suponha que 
 e que 
 assim temos que existe 
, multiplicando em ambos os lados da igualdade, temos 
, do mesmo modo supondo 
 conclui-se que 
.
e) i)
, ii)
 e iii)
.
i) Observe que 
, assim temos 
, somando 
em ambos os lados obtemos 
 obtendo 
como queríamos demonstrar. Com o mesmo raciocínio prova-se que 
.
iii) Para provar que 
, basta observar que 
 o que mostra que 
.
ii) Agora vamos prova que
. De fato, observe que se usarmos a afirmação anterior teremos 
 que por (iii) temos 
 assim provamos que 
.
f) Temos que provar que 
 . Como temos por hipótese que 
 somando 
 em ambos os lados obtemos 
, logo podemos concluir por (d) que 
 ou 
, assim temos 
.
Prove as propriedades O1, O2, O3 e O4 da relação de ordem x < y da página 14 do livro texto base.
O1) Transitividade: se x < y e y < z, então x < z.
Pela definição temos que se 
, se 
 segue então que 
 o que mostra que 
.
O2) Tricotomia: Dados 
, então tem-se 
 ou 
ou 
.
Sabemos que se 
então temos que 
 e 
 ou 
 ou 
. Assim obtemos: Se 
 temos 
, se 
 temos 
e se 
e temos 
 ou seja 
.
O3) Monotocidade da adição: Dados 
, se 
então 
 
.
Sabemos que se 
 temos 
, assim 
 pois 
. Segue então que 
 o que mostra que 
.
O3) Monotocidade do produto: Dados 
, (i) se 
 e 
, então 
e (ii) se 
 e 
, então 
.
(i) Sabemos que se 
 temos 
, como 
 segue que 
 assim 
 o que mostra que 
.
(ii) Sabemos que se 
 temos 
, como 
 segue que 
 assim 
 o que mostra que 
 ou seja, 
.
Exercícios 1.6 da página 19 do livro texto base.
a) 
Como 
 ou 
 temos que 
. Assim temos 
 podemos então concluir que 
 como o valor absoluto é sempre positivo segue que 
.
Outra maneira de mostrar é a seguinte:
Suponha que 
 e 
 então 
 e 
 e 
logo temos 
 e 
 o que mostra que 
.
Se 
e 
 então 
 e 
 e 
logo temos 
 e 
 o que mostra que 
.
Se 
 e 
 prova-se de modo análogo.
Se 
 e 
 então 
 e 
 e 
logo temos 
 e 
 o que mostra que 
.
b) 
 (desigualdade triangular)
Observe que 
 e 
 logo temos que 
 do mesmo modo tem-se 
 e 
 logo 
 assim temos que 
c) 
De fato, pois 
 assim se somarmos 
em ambos os lados temos 
 ou seja 
.
d) 
Por (c) temos 
 e que 
, como 
 segue que 
, logo provamos que 
.
e) 
Temos que 
	 
 
 
 
f) 
Observe que 
como queríamos provar.
g) 
De fato, pois por hipótese 
então pela letra (C) segue que 
 assim podemos concluir que 
Prove as propriedades de supremo e ínfimo da página 18 do livro texto base.
I) Seja 
tal que 
, então:
i) 
.
Temos pela definição de supremo e ínfimo que:
 e 
. Então suponha por absurdo que 
. Logo teremos que 
 então 
 o que é um absurdo pois por hipótese 
 o que prova 
.
ii) 
tal que 
.
Suponha que 
, logo temos que 
 e 
 
. Logo podemos concluir que 
, como temos 
 segue que 
.
 
II) Sejam 
, conjuntos limitados e 
, então:
1) São limitados os conjuntos 
e 
Como A é limitado então 
 e como B é limitado 
 sendo assim segue que 
 o que mostra que 
 é limitado. Também segue que 
 o que mostra que 
 é limitado.
2) 
 e 
.
Sejam 
, 
, 
 e 
 assim 
 e 
então 
 logo 
 é cota superior de A + B. Basta mostrar que é a menor das cotas inferiores.
 tal que 
 logo 
 que pertence a A + B. Logo 
.
Além disso 
 e 
�� EMBED Equation.DSMT4 segue que 
 
 o que mostra que 
é cota inferior para A + B. Também temos 
 tal que 
 então 
. Logo 
.
3) Se 
, 
 e 
Sejam 
 e 
 então 
 e 
, então dado 
segue que 
 e 
�� EMBED Equation.DSMT4 . Também temos que 
 tais que 
 e 
 então 
 e 
, o que mostra que 
 e 
.
4) Análogo a 3
Para cada conjunto abaixo liste três cotas superiores:
[0, 1] cotas superiores: 1; 3/2; 2,5
(0, 1) cotas superiores: 1; 3/2; 2,5
{2, 7} cotas superiores: 7; 8; 9
{π, e} cotas superiores: 4; 5; 6
 cotas superiores: 1; 2; 3
{0} cotas superiores: 1; 2; 3
[0, 1]
[2, 3] cotas superiores: 3; 4; 5
= 
 cotas superiores: 1; 2; 3
 cotas superiores: 2/3; 8/9; 26,27
 cotas superiores: 2; 3; 4
 cotas superiores: 2; 3; 4
{0, 1, 2, 4, 8, 16} cotas superiores: 16; 17; 18
 não possui cotas superiores
 cotas superiores: 2; 3; 4
Repita o exercício anterior para cotas inferiores.
a) [0, 1] cotas inferiores: 0;- 3/2; -2,5
(0, 1) cotas inferiores: 0; -3/2; -2,5
{2, 7} cotas inferiores: 2; 1; 0
{π, e} cotas inferiores:2; 1; 0
 cotas inferiores: 0; -1; -2
{0} cotas inferiores: 0; -1; -2
[0, 1]
[2, 3] cotas inferiores: 0; -1; -2
= 
 cotas inferiores: 0; -1; -2
 cotas inferiores: 0; -1; -2
 não tem cotas inferiores
 cotas inferiores: -3; -4; -2
{0, 1, 2, 4, 8, 16} cotas inferiores: 0; -1; -2
 cotas inferiores: 0; -1; -2
 não tem cotas inferiores
Para cada conjunto do exercício 5, determine seu supremo e seu ínfimo, caso existam.
a) sup = 1 e inf = 0 b) sup = 1 e inf = 0
c) sup = 7 e inf = 2 d) sup = 
 e inf = 
e) sup = 1 e inf =0 f) sup = 0 e inf =0
g) sup = 3 e inf =0 h) sup = 1 e inf = 0
i) sup = 1 e inf = 2/3 j) sup = 2 e inf não tem
k) sup = 2 e inf = -2 l) sup = 16 e inf = 0
m) sup não tem e inf = 0 n) sup = 2 e inf não tem
Escreva os seguintes conjuntos com notação de intervalos:
 
 
 
 
Usando valor absoluto, escreva expressões para os seguintes conjuntos:
O conjunto dos pontos da reta real cuja distância a 1 é menor do que ou igual a 4;
O conjunto dos pontos da reta real cuja distância a -5 é menor do que 2;
O conjunto dos pontos da reta real cuja distância a 6 é maior do que 3.
Mostre que os dois conjuntos são iguais:
e 
De fato, pois sabemos que 
como temos que 
segue que
 desenvolvendo a desigualdade temos 
 o que mostra que os dois conjuntos são iguais.
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