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Aula 1 - Funções MA111 - Cálculo I Turmas O, P e Q Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas Segunda-feira, 24 de Fevereiro de 2014 Motivação Estimativa da vazão de água na usina hidrelétrica de Furnas. Definição, Notação e Nomenclatura Definição (Ingênua) Uma função é uma lei que associa cada elemento x ∈ D um único elemento y = f (x) ∈ E . Notação: f : D −→ E Nomenclatura: I Domínio de f é D e o contra-domínio é E . I Imagem: {y ∈ E : y = f (x), x ∈ D}. I Gráfico: {(x , y) : y = f (x), x ∈ D}. I x e y são chamados variável independente e dependente, respectivamente. Função Linear f (x) = mx + b I m é chamado coeficiente angular. I b é a intersecção com o eixo y (vertical). Exemplo f (x) = 3x − 2 Polinômios P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . .+ anxn I a0,a1,a2, . . . ,an são chamados coeficientes. I n, para an 6= 0, é o grau do polinômio. Exemplo P2(x) = 1 + x + x2 Exemplo P3(x) = 1 + x + x2 + x3 Exemplo P4(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 Funções Racionais, Algébricas e Transcedentais Funções Racionais f (x) = P(x) Q(x) em que P e Q são polinômios. Funções Algébricas Construídas por meio de operações algébricas em polinômios. Funções Transcedentais Funções que não são algébricas. Exemplos I Funções Trigonométricas. I Funções Exponenciais. I Funções Logarítmicas. I Infinitas outras... Exemplo Função Racional: f (x) = 1+x+x 2 1+x+x2+x3 Exemplo Função Algébrica: f (x) = x2/3(x − 2)2 Exemplo Função Valor Absoluto: |x | = { x , x ≥ 0, −x , x < 0. Translação Vertical g(x) = f (x) + c Exemplo f (x) = x2/3(x − 2)2 e c = 3. Translação Horizontal g(x) = f (x − c) Exemplo f (x) = x2/3(x − 2)2 e c = 3. Expansão/contração Vertical g(x) = cf (x) Exemplo f (x) = x2/3(x − 2)2 e c = 3. Expansão/contração Horizontal g(x) = f (x/c) Exemplo f (x) = x2/3(x − 2)2 e c = 3. Composta e Algumas Propriedades de Funções Composta Dadas funções f e g, a composta de f com g é a função (f ◦ g)(x) = f (g(x)). Propriedades: I Função Par: f (−x) = f (x). I Função Ímpar: f (−x) = −f (x). Existem funções que não são pares nem ímpares. I Função Crescente: t < x implica f (t) < f (x). I Função Decrescente: t < x implica f (t) > f (x). Existem funções que não são crescentes nem decrescente. Função Par – Simetria com o eixo vertical f (x) = x2. Não é crescente nem decrescente. Função Ímpar – Simetria com a origem f (x) = x3. Função crescente. Função que não é par nem ímpar f (x) = x2 + x + 1. Não é crescente nem decrescente. Composta f (x) = x2 e g(x) = sen(x). (f ◦ g)(x) = f (g(x)) = sen2(x). Não é crescente nem decrescente. Composta f (x) = x2 e g(x) = sen(x). (g ◦ f )(x) = g(f (x)) = sen(x2). Não é crescente nem decrescente.
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