Aula22

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Aula 22
Integrais Indefinidas.
Regra da Substituição.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Integral Indefinida
Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2)
Se f for contínua em [a,b], então∫ b
a
f (x)dx = F (b)− F (a) = F (x)|ba ,
em que F é uma primitiva qualquer de f .
Definição 2 (Integral Indefinida)
A notação
F (x) =
∫
f (x)dx é equivalente à F ′(x) = f (x).
Exemplo 3
I
∫
x2dx =
x3
3
+ c.
I
∫
sec2 xdx = tg x + c.
Observação:
I A integral definida
∫ b
a
f (x)dx é um número!
I A integral indefinida
∫
f (x)dx é uma classe de funções
que diferem por uma constante!
Tabela de Integrais - Parte 1
Tabela de Integrais - Parte 2
Exemplo 4
Encontre a integral indefinida geral∫
(10x4 − 2 sec2 x)dx .
Exemplo 4
Encontre a integral indefinida geral∫
(10x4 − 2 sec2 x)dx .
Resposta:∫
(10x4 − 2 sec2 x)dx = 2x5 − 2 tg x + c.
Exemplo 5
Calcule ∫
cos θ
sen θ
dθ.
Exemplo 5
Calcule ∫
cos θ
sen θ
dθ.
Resposta: ∫
cos θ
sen θ
dθ = −cossecθ + c.
Exemplo 6
Determine ∫ 2
0
(
2x2 − 6x + 3
x2 + 1
)
dx
Exemplo 6
Determine ∫ 2
0
(
2x2 − 6x + 3
x2 + 1
)
dx
Resposta:
−4 + 3 tg−1 2.
Exemplo 7
Calcule ∫ 9
1
2t2 + t2
√
t − 1
t2
dt
Exemplo 7
Calcule ∫ 9
1
2t2 + t2
√
t − 1
t2
dt
Resposta:
18 + 18 +
1
9
− 2− 2
3
= 32
4
9
.
Regra da Substituição
Exemplo 8
Determine ∫
2x
√
1 + x2dx .
Regra da Substituição
Exemplo 8
Determine ∫
2x
√
1 + x2dx .
Resposta:
2
3
(x2 + 1)3/2 + c.
Regra da Substituição
Exemplo 9
Encontre ∫
x3 cos(x4 + 2)dx .
Regra da Substituição
Exemplo 9
Encontre ∫
x3 cos(x4 + 2)dx .
Resposta:
1
4
sen(x4 + 2) + c.
Regra da Substituição
Exemplo 10
Calcule ∫ √
2x + 1dx .
Regra da Substituição
Exemplo 10
Calcule ∫ √
2x + 1dx .
Resposta:
1
3
(2x + 1)3/2 + c.
Regra da Substituição
Exemplo 11
Encontre ∫
x√
1− 4x2dx .
Regra da Substituição
Exemplo 11
Encontre ∫
x√
1− 4x2dx .
Resposta:
−1
4
√
1− 4x2 + c.
Regra da Substituição
Exemplo 12
Determine ∫ √
1 + x2x4dx .
Regra da Substituição
Exemplo 12
Determine ∫ √
1 + x2x4dx .
Resposta:
1
7
(1 + x2)7/2 − 2
5
(1 + x2)5/2 +
1
3
(1 + x2)3/2 + c.
Regra da Substituição
Exemplo 13
Calcule ∫
tg xdx .
Regra da Substituição
Exemplo 13
Calcule ∫
tg xdx .
Resposta:
− ln | cos x |+ c
ou
ln | sec x |+ c.
Regra da Substituição
Exemplo 14
Calcule ∫ 4
0
√
2x + 1dx .
Regra da Substituição
Exemplo 14
Calcule ∫ 4
0
√
2x + 1dx .
Resposta:
26
3
.
Regra da Substituição
Exemplo 15
Calcule ∫ 2
1
dx
(3− 5x2) .
Regra da Substituição
Exemplo 15
Calcule ∫ 2
1
dx
(3− 5x2) .
Resposta:
1
14
.
Regra da Substituição
Exemplo 16
Calcule ∫ e
1
ln x
x
dx .
Regra da Substituição
Exemplo 16
Calcule ∫ e
1
ln x
x
dx .
Resposta:
1
2
.
Regra da Substituição
Suponha que queremos calcular a integral indefinida∫
f (g(x))g′(x)dx .
Tomando u = g(x), temos que
du
dx
= g′(x) ⇐⇒ du = g′(x)dx .
Logo, ∫
f (g(x)︸︷︷︸
u
)g′(x)dx︸ ︷︷ ︸
du
=
∫
f (u)du
Regra da Substituição
Teorema 17 (Integrais Indefinidas)
Se u = g(x) for uma função derivável cuja imagem é um
intervalo I e f for contínua em I, então∫
f (g(x))g′(x)dx =
∫
f (u)du.
Teorema 18 (Integrais Definidas)
Se g′ for uma função contínua em [a,b] e f for contínua na
imagem de u = g(x), então∫ b
a
f (g(x))g′(x)dx =
∫ g(b)
g(a)
f (u)du.
Simetria
Teorema 19 (Integrais de Funções Simétricas)
Seja f : [−a,a]→ R uma função contínua.
I Se f é par, então∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx .
I Se f é ímpar, então ∫ a
−a
f (x)dx = 0.
Simetria
Exemplo 20
Calcule ∫ 2
−2
(x6 + 1)dx .
Simetria
Exemplo 20
Calcule ∫ 2
−2
(x6 + 1)dx .
Resposta:
2
(
27
7
+ 2
)
=
284
7
.
Simetria
Exemplo 21
Determine ∫ 1
−1
tg x
1 + x2 + x4
dx .
Simetria
Exemplo 21
Determine ∫ 1
−1
tg x
1 + x2 + x4
dx .
Resposta:
0.