Cálculo I: Volumes por Cascas Cilíndricas e Integração Simétrica

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Aula 24
Volumes por Cascas
Cilíndricas. O Logarítmo
como uma Integral.
Integração de Funções
Simétricas.
MA111 - Cálculo I
Turmas O, P e Q
Marcos Eduardo Valle
Departamento de Matemática Aplicada
Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Universidade Estadual de Campinas
Exemplo 1
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em
torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.
Exemplo 1
A região R, limitada pelas curvas y = x e y = x2, é girada em
torno do eixo x . Encontre o volume do sólido resultante.
Resposta: V = 2pi/15.
Exemplo 2
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R
do exemplo anterior em torno do eixo y .
I Resolveremos usando dois métodos diferentes!
Exemplo 2
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região R
do exemplo anterior em torno do eixo y .
I Resolveremos usando dois métodos diferentes!
Resposta: V = pi/6.
Método das Cascas Cilíndricas
Definição 3 (Método das Cascas Cilíndricas)
O volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da
região sob a curva y = f (x) de a até b é dado por
V =
∫ b
a
2pix︸︷︷︸
circumferência
f (x)︸︷︷︸
altura
dx︸︷︷︸
espessura
.
Exemplo 4
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do
eixo y da região delimitada por
y = 2x2 − x3 e y = 0.
Exemplo 4
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do
eixo y da região delimitada por
y = 2x2 − x3 e y = 0.
Resposta: V = 16pi/5.
Exemplo 5
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região
delimitada por
y = x − x2 e y = 0,
em torno da reta x = 2.
Exemplo 5
Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região
delimitada por
y = x − x2 e y = 0,
em torno da reta x = 2.
Resposta:
V =
pi
2
.
O Logaritmo como uma Integral
A função logaritmo pode ser definida como segue usando a
noção de integral:
Definição 6 (Logaritmo Natural)
A função logaritmo natural é definida pela equação
ln x =
∫ x
1
1
t
dx , x > 0.
Observação:
A integral existe porque f (t) = 1/t é contínua nos intervalos de
integração [x ,1] e [1, x ], para qualquer x > 0. Além disso,
ln 1 =
∫ 1
1
1
t
dt = 0.
Corolário 7
Pelo teorema fundamental do cálculo - parte 1, temos
d
dx
[ln x ] =
1
x
.
Propriedades:
Se x e y forem reais positivos e r for um racional, então
1. ln(xy) = ln x + ln y .
2. ln(x/y) = ln x − ln y .
3. ln(x r ) = r ln x .
Demonstração do item 1.
Considere a função f (x) = ln(ax), para a > 0.
Pela regra da cadeia,
d
dx
[f (x)] =
1
ax
d
dx
[ax ] =
1
x
.
Logo, f (x) = ln(ax) também é uma primitiva de 1/x .
Consequentemente, existe uma constante c tal que
f (x) = ln(ax) = ln x + c.
Tomando x = 1, obtemos
lna = ln 1 + c = c.
Além disso, se a = y , encontramos
ln(xy) = ln x + ln y .
Função Exponencial
A função exponencial é definida como a inversa da função ln.
Definição 8 (Função Exponencial)
A função exponencial é definida de modo que:
y = ex ⇐⇒ ln y = x .
Propriedades:
Se x e y forem reais e r for um racional, então
1. ex+y = exey .
2. ex−y = ex − ey .
3. (ex)r = erx .
4.
d
dx
[ex ] = ex .
Simetria
Teorema 9 (Integrais de Funções Simétricas)
Seja f : [−a,a]→ R uma função contínua.
I Se f é par, então∫ a
−a
f (x)dx = 2
∫ a
0
f (x)dx .
I Se f é ímpar, então ∫ a
−a
f (x)dx = 0.
Simetria
Exemplo 10
Calcule ∫ 2
−2
(x6 + 1)dx .
Simetria
Exemplo 10
Calcule ∫ 2
−2
(x6 + 1)dx .
Resposta:
2
(
27
7
+ 2
)
=
284
7
.
Simetria
Exemplo 11
Determine ∫ 1
−1
tg x
1 + x2 + x4
dx .
Simetria
Exemplo 11
Determine ∫ 1
−1
tg x
1 + x2 + x4
dx .
Resposta:
0.