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Variáveis Dummies
Cap. 9
INTRODUÇÃO:
Universidade Federal de Sergipe UFS/DEE Econometria Profa. Heliana Quintino
Dummy; variável artificial para quantificar atributo.
𝐷𝑢𝑚𝑚𝑦
1, 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛ç𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜
0, 𝑎𝑢𝑠ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑎𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑜
1) Modelos de Análise da Variância (ANOVA)
𝑖) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐷2𝑖+ ∈𝑖 𝑖𝑖) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐷2𝑖 + 𝛽3𝐷3𝑖+ ∈𝑖
𝑖𝑖. 1) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 1, 𝐷3𝑖 = 0) = 𝛽1 + 𝛽2
𝑖𝑖. 2) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0, 𝐷3𝑖 = 1) = 𝛽1 + 𝛽3
𝑖𝑖. 3) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0,𝐷3𝑖 = 0) = 𝛽1
𝑖. 1) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 1) = 𝛽1 + 𝛽2
𝑖. 2) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0) = 𝛽1
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Salário inicial (Y)
Milhares de dólares
Sexo
D=1: masculino
D=0: feminino
22,0 1
19,0 0
18,0 0
21,7 1
18,5 0
21,0 1
20,5 1
17,0 0
17,5 0
21,2 1
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 1 − 𝐸𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑟 𝑚𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑒𝑠𝑠𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑣𝑒𝑟𝑠𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜:
𝑖. 1) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 = ?
𝑖. 2) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 = 1 = ?
𝑖. 3) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 = 0 = ?
𝑖) 𝑌𝑖= 𝛽1 + 𝛽2𝐷2𝑖+ ∈𝑖
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𝑖𝑖) 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐷2𝑖 + 𝛽3𝐷3𝑖+ ∈𝑖 em que 𝐷2𝑖 𝑁𝑜𝑟𝑑𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑒 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 − 𝑂𝑒𝑠𝑡𝑒 ; 𝑒 𝐷3𝑖 (Sul)
𝐸𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 2: Salário dos professores da escola pública, por região (tabela 9.1) – Oeste, Nordeste, Centro-Oeste e Sul
𝑖𝑖. 1) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 = 1,𝐷3𝑖 = 0 = 24.424,14
𝑖𝑖. 2) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0, 𝐷3𝑖 = 1) = 22.894,00
𝑖𝑖. 3) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0, 𝐷3𝑖 = 0) = 26.158,62
𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 , 𝐷3𝑖 = 26.158,62 − 1.734,473𝐷2𝑖 − 3.264,615𝐷3𝑖
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𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒊𝒍𝒉𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝑽𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝑩𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒂𝒔  𝐷𝑒𝑡(𝑋’𝑋)−1= 0 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
Obs: Teste o exercí𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1
Modelo 1: MQO, usando as observações 1960-1969 (T = 10) 
Variável dependente: Sal 
Omitido devido a colinearidade exata: D2 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
const 18 0,311769 57,7350 <0,0001 *** 
D1 3,28 0,440908 7,4392 <0,0001 *** 
 
Média var. dependente 19,64000 D.P. var. dependente 1,849444 
Soma resíd. quadrados 3,888000 E.P. da regressão 0,697137 
R-quadrado 0,873701 R-quadrado ajustado 0,857913 
F(1, 8) 55,34156 P-valor(F) 0,000073 
Log da verossimilhança −9,465934 Critério de Akaike 22,93187 
Critério de Schwarz 23,53704 Critério Hannan-Quinn 22,26800 
rô 0,599856 Durbin-Watson 0,667284 
 
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𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒊𝒍𝒉𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝑽𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝑩𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒂𝒔  𝐷𝑒𝑡(𝑋’𝑋)−1= 0 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝟏:Estimação do modelo sem intercepto
Os estimadores fornecerão diretamente os valores médios das diversas categorias
Obs: Teste o exercí𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1
Modelo 3: MQO, usando as observações 1960-1969 (T = 10) 
Variável dependente: Sal 
 
 Coeficiente Erro Padrão razão-t p-valor 
D1 21,28 0,311769 68,2556 <0,0001 *** 
D2 18 0,311769 57,7350 <0,0001 *** 
 
Média var. dependente 19,64000 D.P. var. dependente 1,849444 
Soma resíd. quadrados 3,888000 E.P. da regressão 0,697137 
R-quadrado 0,873701 R-quadrado ajustado 0,857913 
F(1, 8) 55,34156 P-valor(F) 0,000073 
Log da verossimilhança −9,465934 Critério de Akaike 22,93187 
Critério de Schwarz 23,53704 Critério Hannan-Quinn 22,26800 
rô 0,599856 Durbin-Watson 0,667284 
 
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𝑨𝒓𝒎𝒂𝒅𝒊𝒍𝒉𝒂 𝒅𝒂𝒔 𝑽𝒂𝒓𝒊á𝒗𝒆𝒊𝒔 𝑩𝒊𝒏á𝒓𝒊𝒂𝒔  𝐷𝑒𝑡(𝑋’𝑋)−1= 0 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟
𝑺𝒐𝒍𝒖çã𝒐 𝟐:Se uma variável qualitativa tem “m” categorias, introduz−se apenas “m−1” variáveis binárias
Obs: Teste o exercí𝑐𝑖𝑜 𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1
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2) Modelos de Análise da Variância-covariância (ANCOVA)
2.1) Regressões Paralelas: 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝐷2𝑖 + 𝛽3𝐷3𝑖 + 𝛽4𝑋𝑖+ ∈𝑖 ∴ 𝑋 é a covariável
Testar exercício 2 (Tabela 9.1 – Gujarati): salários = f(𝐷2, 𝐷3, gastos) 
𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2, 𝐷3, gastos = 13.269,11 − 1.673,614𝐷2𝑖 − 1.144,157𝐷3𝑖 + 3,2889𝑋𝑖
𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝐷2𝑖 = 1, 𝐷3𝑖 = 1 = 𝛽1 + 𝛽2 + 𝛽3 + 𝛽4𝑋𝑖
𝑖𝑣) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0, 𝐷3𝑖 = 1) = 𝛽1 + 𝛽3 + 𝛽4𝑋𝑖
𝑖𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 1, 𝐷3𝑖 = 0) = 𝛽1 + 𝛽2 +𝛽4𝑋𝑖
𝑣𝑖) 𝐸(𝑌𝑖|𝐷2𝑖 = 0, 𝐷3𝑖 = 0) = 𝛽1 +𝛽4𝑋𝑖
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2) Modelos de Análise da Variância-covariância (ANCOVA)
2.1) Regressões Concorrentes: 𝑌𝑡 =∝1 + 𝛽1𝑋𝑡 + 𝛽2𝐷𝑡𝑋𝑡+ ∈𝑖
Exercício 3 - Teste de Chow (Tabela 8.9 – Gujarati): poupança = f[renda, 𝐷𝑡= 0 (1970-1981); 𝐷𝑡= 1 (1982-1995)] 
𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = ?
𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = 0 = ?
𝑖𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = 1 =?
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2) Modelos de Análise da Variância-covariância (ANCOVA)
2.1) Regressões Dessemelhantes: 𝑌𝑡 =∝1 + ∝2 𝐷𝑡 + 𝛽1𝑋𝑡 + 𝛽2𝐷𝑡𝑋𝑡+ ∈𝑖
Exercício 3 - Teste de Chow (Tabela 8.9 – Gujarati): poupança = f[renda, 𝐷𝑡= 0 (1970-1981); 𝐷𝑡= 1 (1982-1995)] 
𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = 1,0161 + 152,4786𝐷𝑡 + 0,0803𝑋𝑖 − 0,0655𝐷𝑡𝑋𝑡
𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = 0 = ?
𝑖𝑖𝑖) 𝐸(𝑌𝑖 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑎, 𝐷t = 1 =?
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MODELO DE PROBABILIDADE LINEAR – MPL
(1) Considere o modelo:
𝐼 𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖+ ∈𝑖 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝑌𝑖 = ቈ
1
0
Logo:
𝐸(𝑌𝑖 𝑋2𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 é 𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑌𝑖 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑟á, 𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑋2𝑖
𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 (𝑃𝑟)
𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑢𝑐𝑒𝑠𝑠𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 (1 − 𝑃𝑟)
Assim: Atributos 𝒀𝒊 ∈𝒊 Pr
insucesso 0 −𝛽1 − 𝛽2𝑋2𝑖 = ∈𝑖 1-Pr
sucesso 1 1 − 𝛽1 − 𝛽2𝑋2𝑖 = ∈𝑖 Pr
𝐸 |𝑌𝑖 𝑋2𝑖 =෍
𝑖=1
𝑛
𝑌𝑖𝑃𝑟𝑖 = 𝑌𝑖 1 − 𝑃𝑟 + 𝑌𝑖 𝑃𝑟 = 𝑃𝑟𝑖
𝑉𝑎𝑟 ∈𝑖 = 𝐸 ∈𝑖
2 =෍
𝑖=1
𝑛
∈𝑖
2𝑃𝑟 = P r( 1 − 𝑃𝑟) ֜ ℎ𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
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MODELO DE PROBABILIDADE LINEAR – MPL
2) Resolvendo a Heterocedasticidade: Mínimos Quadrados Ponderados
(ii) 𝑃 𝑟 1 − 𝑃𝑟 = 𝐸 |𝑌𝑖 𝑋𝑖 [1 − (𝐸 |𝑌𝑖 𝑋𝑖 ] ֜ መ𝜃𝑖 = ൧෠𝑌𝑖[1 − ෠𝑌𝑖 ∴ መ𝜃𝑖 é 𝑜 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜
(iii) Regride: 
𝑌𝑖
෡𝜃𝑖
=
𝛽1
෡𝜃𝑖
+ 𝛽2
𝑋2𝑖
෡𝜃𝑖
+
∈𝑖
෡𝜃𝑖
֜ ෠𝑌𝑖
∗ = መ𝛽1
∗ + መ𝛽2𝑋𝑖
∗ + Ƹ𝜖𝑖
∗
3) Problemas do Método:
(i) 𝐸 |𝑌𝑖 𝑋𝑖 pode estar fora dos limites [0,1];
(ii) A hipótese de normalidade de ∈𝑖 não se sustenta;
(iii) Devido da presença da heterocedasticidade da 𝑣𝑎𝑟 ∈𝑖 , as estimativas መ𝛽𝑖
∗ de MQO são não eficientes, embora 
sejam não-viesados;
(iv) O R2 não serve como medida de ajuste.
(i) 𝑅𝑒𝑔𝑟𝑖𝑑𝑒 𝐼 𝑝𝑜𝑟 𝑀𝑄𝑂 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑟 ෡𝑌
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MODELO DE PROBABILIDADE LINEAR – MPL
4) Exercício (Tabela 15,4 – Gujarati – Cap.15): Verificar os valores ajustados de Y
𝑌𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖+ ∈𝑖 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝑌𝑖 =
𝑋2𝑖 = 𝑅𝑒𝑛𝑑𝑎
1, se a família é proprietária da casa
0, caso contrário
Fam. Y X Fam. Y X Fam. Y X Fam. Y X 
1 0 8 11 1 17 21 1 22 31 117 
2 1 16 12 1 18 22 1 16 32 0 13 
3 1 18 13 0 14 23 0 12 33 1 21 
4 0 11 14 1 20 24 0 11 34 1 20 
5 0 12 15 0 6 25 1 16 35 0 11 
6 1 19 16 1 19 26 0 11 36 0 8 
7 1 20 17 1 16 27 1 20 37 1 17 
8 0 13 18 0 10 28 1 18 38 1 16 
9 0 9 19 0 8 29 0 11 39 0 7 
10 0 10 20 1 18 30 0 10 40 1 17 
 
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MODELO LOGIT
1) Considere o modelo alternativo:
𝑌𝑖
∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖+ ∈𝑖 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑌
∗ é 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 1, se 𝑌∗ > 0 
𝑌 
 0, caso contrário 
 
(2) O Método: Considera a FDA Logística:
𝑓 𝑍 =
1
1 + 𝑒−𝑍
∴ 𝑒 = 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟í𝑡𝑚𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑖𝑠;
função de densidade logística acumulada𝑓 𝑍 =
Z = 𝑙𝑜𝑔𝑖𝑡
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MODELO LOGIT
(2) O Método: Efetua-se uma transformação logística em Y:
𝑓 𝑍 =
1
1 + 𝑒−𝑍
Assumindo: 𝑓 𝑍 = 𝑃𝑟 = 𝐸 |𝑌𝑖 𝑋𝑖
Convertendo a variável dependente em uma razão de chance e aplicando o logaritmo neperiano, obtém-se a equação
logística:
𝑙𝑛
𝑃𝑟
1 − 𝑃𝑟
= 𝑙𝑛 𝑒𝑍𝑖 = 𝑍𝑖 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑍𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖
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MODELO LOGIT
(3) Estimação do Modelo:
3.1) Dados não agrupados: Método de estimação não linear - Máxima Verossimilhança (pacote estatístico)
Testar Tabela 15.7, Gujarati para dados não agrupados ou individuais. Fazer leitura do item 15.8, cap. 15.
GPA (média das notas no período letivo); TUCE(nota de uma prova feita no início do curso para verificar o
conhecimento de aluno sobre macroeconomia antes do início das aulas); PSI (1, se for utilizado o novo método de
ensino); GRADE (Nota. 1 se nota A; 0 se nota B e C)
Modelo 1: Logit, usando as observações 1-32 
Variável dependente: GRADE 
Erros padrão baseados na Hessiana 
 Coeficiente Erro Padrão z Inclinação* 
const −13,0213 4,93132 −2,6405 
GPA 2,82611 1,26294 2,2377 0,533859 
TUCE 0,0951577 0,141554 0,6722 0,0179755 
PSI 2,37869 1,06456 2,2344 0,456498 
 
Média var. dependente 0,343750 D.P. var. dependente 0,482559 
R-quadrado de 
McFadden 
 0,374038 R-quadrado ajustado 0,179786 
Log da verossimilhança −12,88963 Critério de Akaike 33,77927 
Critério de Schwarz 39,64221 Critério Hannan-Quinn 35,72267 
 
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MODELO LOGIT
(3) Estimação do Modelo:
3.2) Dados Agrupados ou replicados (GLOGIT): Transformação do modelo para aplicação de MQO
(i) Estima ෢𝑃𝑟 =
𝑛𝑖
𝑁𝑖
֜ 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝑛𝑖 é 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑜𝑐𝑜𝑟𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜
𝑁𝑖 é 𝑜 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎çõ𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑎𝑑𝑎𝑠
(ii) Como ∈𝑖 ~𝑁 0,
1
𝑁𝑖 𝑃𝑟 1−𝑃𝑟
֜ 𝐻𝑒𝑡𝑒𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
Logo: 𝑒𝑝(∈𝑖) = 𝜃 = 𝑁𝑖 ෢𝑃𝑟 1 − ෢𝑃𝑟 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝜃 = 𝑝𝑒𝑠𝑜
Aplicando Mínimos Quadrados Ponderados em 𝐿𝑖 = 𝑙𝑛
𝑃𝑟
1−𝑃𝑟
= 𝑍𝑖 , tem-se:
𝜃𝐿 = 𝛽1 𝜃 + 𝛽2 𝜃𝑋2𝑖 + 𝜃 ∈𝑖 ֜ 𝐿
∗ = 𝛽1
∗ + 𝛽2𝑋2𝑖
∗ + 𝜖𝑖
∗
(iii) Executa teste de hipótese usual. Contudo, os resultados só serão válidos para grandes amostras.
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MODELO LOGIT
(3) Estimação do Modelo:
3.2) Dados Agrupados ou replicados (GLOGIT): Transformação do modelo para aplicação de MQO
Testar Tabela 15.5, Gujarati: Número de famílias proprietárias de um imóvel residencial.
Obs. 
X Ni Ni 
em 
US$ 
mil 
Nº de 
famílias 
com renda 
Xi 
nº de famílias 
proprietária de 
um imóvel 
residêncial 
1 6 40 8 
2 8 50 12 
3 10 60 18 
4 13 80 28 
5 15 100 45 
6 20 70 36 
7 25 65 39 
8 30 50 33 
9 35 40 30 
10 40 25 20 
 
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MODELO LOGIT
(4) Interpretação do Modelo:
4.1) Dados não agrupados: Método de estimação não linear - Máxima Verossimilhança (pacote estatístico)
𝑓 𝑍 =
1
1 + 𝑒−𝑍
𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑍𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
i) Logit
መ𝛽𝑖 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑋𝑖 implica a variação, em média, do logit estimado.
ii) Chances
Para um dado 𝑋𝑖 , o sucesso tem ෡𝑀 vezes chances de ocorrer.
𝑃𝑟
1 − 𝑃𝑟
= 𝑒෢𝑍𝑖 ∴ 𝑒 = 2,7182 e fazendo: 𝑒෢𝑍𝑖 = ෡𝑀
iii) Probabilidades:
෢𝑃𝑟 =
1
1 + 𝑒−෢𝑍𝑖
Para um dado (−෡𝑍𝑖), o evento pode ocorrer com ෢𝑃𝑟 probabilidade.
e 𝑙𝑛
𝑃𝑟
1−𝑃𝑟
= 𝑙𝑛 𝑒𝑍𝑖 = 𝑍𝑖
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MODELO LOGIT
(4) Interpretação do Modelo:
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
i) Logit
መ𝛽𝑖 𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟: 𝑡𝑢𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑋𝑖 implica a variação, em média, do logit ponderado
estimado.
ii) Chances
𝑃𝑟
1 − 𝑃𝑟
= 𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃 = 𝑒
෡𝛽1+෡𝛽2𝑋2𝑖/ 𝜃
iii) Probabilidades:
4.2) Dados Agrupados ou replicados (GLOGIT): Transformação do modelo para aplicação de MQO
𝜃 = 𝑁𝑖 ෢𝑃𝑟 1 − ෢𝑃𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝜃 𝑍𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 ,𝑙𝑛
𝑃𝑟
1−𝑃𝑟
𝜃 = 𝑙𝑛 𝑒𝑍𝑖 𝜃 = 𝑍𝑖 𝜃
Ou [𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃−1] x 100 𝑇𝑢𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑋𝑖
implica a variação ( መ𝛽2) nas chances de ocorrência
do evento, ou cerca de [𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃−1] x 100 por cento.
෢𝑃𝑟
1 − ෢𝑃𝑟
= 𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃  ෢𝑃𝑟 =
𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃
1 + 𝑒෢𝑍𝑖/ 𝜃
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MODELO LOGIT
(4) Interpretação do Modelo:
𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒:
iv) Variação das Probabilidades:
4.2) Dados Agrupados ou replicados (GLOGIT): Transformação do modelo para aplicação de MQO
𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒: 𝑍𝑖 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖
𝜕෢Pr
𝜕𝑋
= መ𝛽2 ෢𝑃𝑟 1 − ෢𝑃𝑟
𝑇𝑢𝑑𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒, 𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑋𝑖 implica uma variação de [ መ𝛽2 ෢𝑃𝑟 1 − ෢𝑃𝑟 ] em ෢𝑃𝑟.
෢𝑃𝑟 =
𝑒෢𝑍𝑖
1 + 𝑒෢𝑍𝑖
𝜕෢Pr
𝜕𝑋
=
𝜕෢Pr
𝜕(𝑒෢𝑍𝑖)
X
𝜕(𝑒෢𝑍𝑖)
𝜕𝑋
𝑂𝑛𝑑𝑒:
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MODELO PROBIT
1) Modelo:
𝑌𝑖
∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖+ ∈𝑖 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑌
∗ é 𝑢𝑚𝑎 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑙 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒
 
 1, se 𝑌∗ > 0 
𝑌 
 0, caso contrário 
 
(2) O Método: FDA Normal Censurada (Se os erros ∈𝑖 seguem distribuição normal):
𝑃𝑟𝑖 = 𝐹 𝑍 = න
−∞
𝑧 1
2𝜋
𝑒𝑥𝑝 −
𝑡2
2
𝑑𝑡 Onde: Pr = 𝐹 𝑍𝑖 é 𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑖𝑡
Z
Z
F(Z)
0
1
-∞
lim F(Z) = 0
Z - ∞
Z é uma variável aleatória padronizada: Z ~ (0,1)
-∞ < Z < ∞ mas F Z é sempre positiva
Logo F(Z) é uma FDA 
normal padrão
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MODELO PROBIT
Fazendo:
Pr 𝑌 = 1 𝑋𝑖
Z
Z
Pr = F(Z)
0
1
-∞= Pr 𝑌∗ > 0
)= P r( ∈𝑖> −𝑍
Pr
Área total = 1 
Área F(Z) = 1 – F(Z)
Pela propriedade da simetria (para um Z positivo):
𝐹 −𝑍 = 1 − 𝐹 −𝑍
𝐹 𝑍 = 1 − 𝐹 𝑍
Como 𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑖𝑡 é Pr = 𝐹 𝑍𝑖
Então: Z𝑖 = 𝐹
−1 𝑃𝑟 = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖
𝑂𝐵𝑆. : መ𝑍𝑖 = 𝐹
−1 ෢𝑃𝑟 no Excel: inserir uma categoria/
estatística/INV. NORMP.N/ok/probabilidade/ok.
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MODELO PROBIT
3) Estimação do modelo:
3.1) Para dados não agrupados: Método da Máxima Verossimilhança (Tabela 15.7: Dados relativos aos 
efeitos do Sistema de Instrução Personalizado (PSI) sobre as notas do curso.
Obs GPA TUCE PSI NOTA CONCEITO Obs GPA TUCE PSI NOTA CONCEITO 
1 2,66 20 0 0 C17 2,75 25 0 0 C 
2 2,89 22 0 0 B 18 2,83 19 0 0 C 
3 3,28 24 0 0 B 19 3,12 23 1 0 B 
4 2,92 12 0 0 B 20 3,16 25 1 1 A 
5 4,00 21 0 1 A 21 2,06 22 1 0 C 
6 2,86 17 0 0 B 22 3,62 28 1 1 A 
7 2,76 17 0 0 B 23 2,89 14 1 0 C 
8 2,87 21 0 0 B 24 3,51 26 1 0 B 
9 3,03 25 0 0 C 25 3,54 24 1 1 A 
10 3,92 29 0 1 A 26 2,83 27 1 1 A 
11 2,63 20 0 0 C 27 3,39 17 1 1 A 
12 3,32 23 0 0 B 28 2,67 24 1 0 B 
13 3,57 23 0 0 B 29 3,65 21 1 1 A 
14 3,26 25 0 1 A 30 4,00 23 1 1 A 
15 3,53 26 0 0 B 31 3,10 21 1 0 C 
16 2,74 19 0 0 B 32 2,39 19 1 1 A 
Y=1, se a nota final for A. Y=0, caso contrário. 
TUCE = nota de uma prova feita no início do curso para verificar os conhecimentos do aluno sobre Macroeconomia antes de 
frequentar as aulas. 
PSI=1, se for utilizado o novo método de ensino. PSI=0, caso contrário. 
GPA = média das notas no início do período letivo. 
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MODELO PROBIT
3) Estimação do modelo:
3.1) Para dados não agrupados: Método da Máxima Verossimilhança (Tabela 15.7: Dados relativos aos 
efeitos do Sistema de Instrução Personalizado (PSI) sobre as notas do curso.
MODELO: 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒆 𝒏𝒐𝒕𝒂 = 𝛽1 + 𝛽2𝐺𝑃𝐴 + 𝛽3𝑇𝑈𝐶𝐸 + 𝛽4𝑃𝑆𝐼+ ∈𝑖
Logit (binário): 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒆 𝒏𝒐𝒕𝒂 = −13,0213 + 2,8261𝐺𝑃𝐴 + 0,091𝑇𝑈𝐶𝐸 + 2,3686𝑃𝑆𝐼
Probit (binário): 𝑮𝒓𝒂𝒅𝒆 𝒏𝒐𝒕𝒂 = −7,4526 + 1,6258𝐺𝑃𝐴 + 0,0517𝑇𝑈𝐶𝐸 + 1,4263𝑃𝑆𝐼
Fazendo መ𝛽𝑖(𝑃𝑟𝑜𝑏𝑖𝑡).
𝜋2
3
≅ መ𝛽𝑖(𝐿𝑜𝑔𝑖𝑡)
Z
Pr = F(Z)
0
1 i) Distribuição logística padrão (base do logit): Z ~ (0,
𝜋2
3
)
Probit
Logit var[ መ𝛽𝑖(𝐿𝑜𝑔𝑖𝑡)] = 
𝜋2
3
 ep [ መ𝛽𝑖(𝐿𝑜𝑔𝑖𝑡)] =.
𝜋2
3
ii) Distribuição normal padrão (base do normit): Z ~ (0, 1)
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MODELO PROBIT
3) Estimação do modelo:
3.2) Para Dados Agrupados: GPROBIT
i) Obtêm-se ෢𝑃𝑟 por 𝑃𝑟 =
𝑛𝑖
𝑁𝑖
ii) Substitui 𝑍𝑖 𝑝𝑜𝑟 ෢𝑃𝑟 na FDA normal e calcula 𝐹
−1 para obter 𝑍𝑖. Com መ𝑍𝑖 estima ෡𝑍𝑖 = መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖
iii) Considera [ መ𝑍𝑖 + 0,5] o valor do normit estimado
iv) Para obtenção da variação de probabilidade:
∂𝑃𝑟
∂𝑋𝑖
. 100 ֜ 𝐹𝑡𝑎𝑏( መ𝑍𝑖) መ𝛽2 . 100 ֜ 𝐹𝑡𝑎𝑏( መ𝛽1 + መ𝛽2𝑋2𝑖) መ𝛽2 . 100
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MODELO TOBIT
1) Introdução: Modelo de Regressão Censurada
Grupo 1: 
Consumidores que adquiriram a casa própria
Grupo 2: 
Consumidores que não adquiriram a casa própria
X = Renda (extrato de renda) X = Renda
Y = Montante de renda gasta com a compra Y = ∄
2) Modelo de Regressão Normal Censurada
 𝑌𝑖
∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ∈𝑖 , se 𝑌
∗ > 0 
𝑌 
 0, se 𝑌∗ ≤ 0 
 
)∴ ∈𝑖~𝐼𝑁(0, 𝜎
2
N Yi Xi
𝒀∗ > 𝟎 n1 1
1
X1
X2
𝒀∗ ≤ 𝟎 n2 0
0
X3
X4
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MODELO TOBIT
3) Método de Estimação: Método de Máxima Verossimilhança
Grupo 1: 𝑌∗ > 0
∈𝑖 > 𝑌𝑖 − 𝛽𝑋𝑖
Grupo 2: 𝑌∗ ≤ 0
∈𝑖 ≤ −𝛽𝑋𝑖
𝑓
𝑌𝑖 − 𝛽𝑋𝑖
𝜎
֜𝑓(𝑡) 𝐹
−(𝛽𝑋𝑖)
𝜎
֜𝐹(𝑧)
 𝑌𝑖
∗ = 𝛽1 + 𝛽2𝑋2𝑖 + ∈𝑖 , se 𝑌
∗ > 0 
𝑌 
 0, se 𝑌∗ ≤ 0 
 
Como ∈𝑖 𝑡𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑖çã𝑜 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑢𝑛𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝜇 ≠ 0 (pois depende de 𝛽, 𝜎 𝑒 𝑋𝑖 ) , podemos
escrever a função de verossimilhança:
𝐿 = ෑ
𝑌∗>0
1
𝜎
𝑓
𝑌𝑖 − 𝛽𝑋𝑖
𝜎
ෑ
𝑌∗≤0
𝐹
)−(𝛽𝑋𝑖
𝜎