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Universidade Federal de Campina Grande
Unidade Acadeˆmica de Cieˆncias Exatas e da Natureza
Centro de Formac¸a˜o de Professores
Disciplina: A´lgebra Linear I
Semestre: 2017.2
Professora: Pammella Queiroz de Souza
1a Lista
Nome: Matr´ıcula:
Q1. Determine dentre os conjuntos abaixo quais os que sa˜o subespac¸os vetoriais.
a. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≤ y ≤ z}.
b. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x− 3z = 0}.
c. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ∈ Z}.
d. W = {(x, y, z) ∈ R3 : x ≥ 0}.
e. W =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2) : a = c e b+ d = 0
}
.
f. W =
{[
a b
c d
]
∈M(2, 2) : a+ d ≤ b+ c
}
.
g. W = {A ∈M(2, 2) : AT = TA, onde T e´ uma matriz fixa em M(2, 2)}.
h. W = {f(x) ∈ P2 : f(0) = 0}.
i. W = f(x) ∈ P2 : f(0) = 2f(1)}.
j. W = {f(x) ∈ P2 : f(x) + f ′(x) = 0}.
Q2. Seja V um espac¸o vetorial reais. Dados W1 e W2 dois subespac¸os vetoriais de V Mostre que:
a. A intersec¸a˜o W = W1 ∩W2 e´ um subespac¸o vetorial de V .
b. A soma W = W1 +W2 e´ um subespac¸o vetorial de V
Q3. Suponhamos que um espac¸o V seja escrito como soma direta de dois subespac¸os W1 e W2. Mostre
que, para todo u ∈ V , existem vetores u´nicos u1 ∈W1 e u2 ∈W2 tais que u = u1 + u2.
Q4. Consideremos v1 = (1,−3, 2) e v2 = (2, 4,−1) vetores em R3.
a. Escreva v = (−4, 18, 7) como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2.
b. Mostre que = (4, 3,−6) na˜o e´ combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e v2.
c. Determine o valor de k para que o vetor v = (−1, k,−7) seja combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
1
d. Determine uma condic¸a˜o para x, y e z de modo que (x, y, z) seja combinac¸a˜o linear dos vetores v1 e
v2.
Q5. Considere
W1 = {(x, y) ∈ R2 : x = y}.
Encontre um subespac¸o W2 de R2 tal que R2 = W1 ⊕W2.
Q6. Verifique que qualquer vetor de R2 pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores (1, 2) e (5, 0).
Que relac¸a˜o existe entre R2 e [(1, 2), (5, 0)]?
Q7. Determine o valor de k para que o vetor u = (−1, k,−7) seja combinac¸a˜o dos vetores v1 = (1,−3, 2) e
v2 = (2, 4,−1).
Q8. Exprima o vetor (1,−3, 10) como combinac¸a˜o linear dos vetores u = (1, 0, 0), v = (1, 1, 0) e w =
(2,−3, 5).
Q9. Mostre que a matriz
[
4 −4
−6 16
]
pode ser escrita como combinac¸a˜o linear das matrizes
[
1 2
3 4
]
,
[
−1 2
3 −4
]
e
[
1 −2
−3 4
]
Q.10 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso):
( ) O vetor v = (1,−1, 2) pertence ao subespac¸o gerado por u = (1, 2, 3) e v = (3, 2, 1).
( ) Qualquer vetor em R3 pode ser expresso como combinac¸a˜o linear dos vetores u = (−5, 3, 2) e v =
(3,−1, 3).
Q8. Seja V = R3. Determine o subespac¸o gerado pelos vetores v1 = (1,−2,−1) e v2 = (2, 1, 1).
Q9. Mostre que o conjunto {(3, 1), (5, 2)} gera o R2.
Q10. Sejam V = M(2, 2) e o subconjunto
A =
{[
−1 2
−2 3
]
,
[
3 −1
1 1
]}
Determine o subespac¸o gerado por A.
Q11. Encontre geradores para os seguintes subespac¸os de R3:
a. W1 = {(x, y, z) ∈ R3 : x− y = 0}.
b. W2 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ z = x− 2y = 0}.
c. W3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x+ 2y − 3z = 0}.
d. W1 ∩W2.
e. W2 + W3.
2
Q12. Sejam u, v e w vetores de um espac¸o V . Sabendo-se que {u,v,w} e´ um conjunto LI, mostre que:
a. {u + v− 2w,u− v−w,u + w} e´ um conjunto LI.
b. {u + v− 3w,u + 3v−w,v + w} e´ um conjunto LD.
Q13. Sejam u = (a, b), v = (c, d) vetores de R2. Mostre que o conjunto {u,v} e´ LD se, e somente se,
ad = bc.
Q14. O conjunto {1, x, x2, 2 + x + 2x2} e´ LI ou LD em P3? Retirando-se um elemento qualquer desse
conjunto, o conjunto restante e´ LI ou LD?
Q15. Encontre um vetor v ∈ R3 tal que [v] = W1 ∩W2, onde W1 e´ o plano x0y e
W2 = [(1, 2, 3), (1,−1, 1)].
FAZER
Q16. Para que valores reais de x, {
(1, 0, x), (1, 1, x), (1, 1, x2)
}
e´ uma base de R3?
Q17. Determine o valor de k para que o conjunto {(1, 0,−1), (1, 1, 0), (k, 1,−1)} seja LI.
Q18. Sejam os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2) e v3 = (0, 0, 1).
a. Mostre que o conjunto β = {v1, v2, v3} e´ uma base do R3.
b. Determine as coordenadas de v = (5, 4, 2) em relac¸a˜o a` base β.
c. Determine o vetor v cuja coordenada em relac¸a˜o a` base β e´ [v]β =
 2−3
4

Q19. Em R2,, considere o conjunto β = {(2, 1), (1,−1)}. Mostre que β e´ uma base de R2 e calcule [(4,−1)]β
e [(x, y)]β. .
Q20. Ache a matriz de mudanc¸a da base α = {(1, 1, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 3)} para a base canoˆnica de R3.
Q21. Sejam α e β bases de R3 tais que
[I]αβ =
1 1 00 1 0
1 0 1
 .
Se v ∈ R3 e
[v]β =
 2−3
5
 ,
encontre [v]α.
Q22. A matriz de mudanc¸a de uma base α de R2 para a base β = {(1, 1), (0, 2)} e´
[I]αβ =
[
1 0
2 3
]
.
3
Determine a base α.
Q23. Sejam α = {(1, 0), (0, 1)}, β = {(−1, 1), (1, 1)} e θ = {(2, 0), (0, 2)} bases de R2. Se [v]β =
[
−1
3
]
,
determine [v]α e [v]θ. .
4