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Unidade II
ESTATÍSTICAESTATÍSTICA
Profa. Ana Carolina Bueno
Medidas de tendência centralMedidas de tendência central
 Como podemos 
descrever estes dados?
Estatura Xi Fi
150  154 152 4
154  158 156 9 Como podemos 
resumir estes dados?
154  158 156 9
158  162 160 11
162 166 164 8
 Média
 Mediana
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
 Moda
10
12
o
s
Estatura de 40 alunos
2
4
6
8
10
ú
m
e
r
o
 
d
e
 
a
l
u
n
0
2
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
N
ú
Estatura
MédiaMédia
 É a soma dos valores de todas as observações dividida pelo 
número de observações envolvidas. 
 Vantagem: leva em conta todos os valores no seu cálculo.
 
 
Número de filhos: médiaNúmero de filhos: média 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
 A tabela mostra uma pesquisa sobre o número de filhos por 
funcionário de uma certa empresa.
Nº de filhos fiN de filhos fi
0 4
1 51 5
2 7
3 33 3
4 0
5 1
Total 20
Mediana (Md)Mediana (Md)
 Divide uma série ordenada de dados em duas partes iguais. 
Ocupa a posição central. Não é afetada por valores extremos.
 A amostra pode ter número ímpar de elementos ou número 
par de elementos.
C l l i ã d di fó l iCalcular a posição da mediana com a fórmula a seguir: 
 Posição mediana = (n + 1)/2
Mediana: nº ímpar de elementosMediana: n ímpar de elementos
Um conjunto de dados indica o salário de funcionários de uma 
empresa xi = {6, 9, 3, 5, 2, 9, 5, 5, 8, 7, 1, 7, 2}, em que n = 13. 
R l {1 2 2 3 5 5 5 6 7 7 8 9 9} Rol - {1, 2, 2, 3, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 9}
 Posição mediana = (n+1)/2
 Posição mediana = (13+1)/2 = 7 (indica a posição)
 Então
 Md = 5
Mediana: nº par de elementosMediana: n par de elementos
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
Exemplo: número de filhos
 Posição mediana = (20 + 1) / 2 = 10,5
Então:
 Md = (2 + 2)/2 = 2 filhos
Número de filhos: medianaNúmero de filhos: mediana 
Nº de 
filhos
fi Fa0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
 Me = (2 + 2) / 2 = 2 filhos
 Mediana para tabela de frequência
0 4 4
1 5 9 Mediana para tabela de frequência 
sem intervalo
1 5 9
2 7 16
3 3 19
4 0 19
 Me = 2 filhos
4 0 19
5 1 20
Total 2
0
20
Moda (Mo)Moda (Mo)
 Um conjunto de dados ao dado que ocorre com maior 
frequência. A moda não é afetada por valores extremos. 
É tili ada para fins descriti os apenas ma e q e éÉ utilizada para fins descritivos apenas, uma vez que é, 
dentre as medidas de tendência, a mais variável de 
amostra para amostra.p
 Uma moda: unimodal
 Duas modas: bimodal
 Mais de duas modas: multimodal
 Nenhuma moda: amodal
Número de filhos: modaNúmero de filhos: moda 
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
 Mo = 2 filhos (unimodal) Nº de filhos fi
0 4
1 51 5
2 7
3 33 3
4 0
5 15 1
Total 20
Estatura: médiaEstatura: média
Estatura xi fi xifi
150  154 152 4 152 x 4 = 608
154  158 156 9 156 x 9 = 1404
158  162 160 11 160 x 11 = 1760
162 166 164 8 164 x 8 = 1312162  166 164 8 164 x 8 1312
166  170 168 5 168 x 5 = 840
170  174 172 3 172 x 3 = 516
A estatura média para a amostra de alunos é de 161 cm
Total 40  xifi = 6440
 
 
 
Estatura: medianaEstatura: mediana
Estatura Xi Fi fa
150  154 152 4 4
 
154  158 156 9 13
158  162 160 11 24
162  166 164 8 32  162 166 164 8 32
166  170 168 5 37
170  174 172 3 40
 
Total 40
Li = limite inferior da classe mediana (158)Li limite inferior da classe mediana (158)
A = amplitude de classe (4)
(fi/2) = 40/2 = 20 (referência)
f t f ê i l d t i à l di (13 4 7)fant = frequência acumulada anterior à classe mediana (13 + 4 = 7)
fant = freq. simples da classe mediana (11)
Estatura: modaEstatura: moda
Estatura xi fi
150  154 152 4
Moda de Czuber
154  158 156 9
158  162 160 11
162  166 164 8
 
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
 
Total 40
Li = limite inferior da classe modal (158)
A lit d d l (4)
 
A = amplitude de classe (4)
d1 = f – fant (11 – 9 = 2)
d2 = f – fpost (11 – 8 = 3)
f f ê i i l d l d lf = frequência simples da classe modal
fant = freq. simples anterior à classe modal
fpost = freq. simples posterior à classe modal
InteratividadeInteratividade
Em um levantamento realizado, em maio, com os 134 
funcionários da empresa XK, em relação à variável expressa em 
nidades monetárias ( m ) obte e se a tabela abai ounidades monetárias (u.m.), obteve-se a tabela abaixo. 
Determine a média aproximada de salário.
Salário Nº de funcionáriosSalário N de funcionários
2  4 32
4  6 34

a) 4 salários
6  8 40
8 10 28
a) 4 salários. 
b) 5 salários.
c) 6 salários.)
d) 7 salários.
e) 8 salários.
Medidas de dispersãoMedidas de dispersão
 Medidas que mostram a dispersão dos dados em torno da 
tendência central.
 A variação se refere a quanto os valores podem diferir entre 
si e pode ser medida por números específicos.
O ú l ti t ó i d t tê Os números relativamente próximos uns dos outros têm 
baixas medidas de variação, enquanto os valores mais 
dispersos têm maior medida de variação.p ç
10
12
o
s
Estatura de 40 alunos
2
4
6
8
10
ú
m
e
r
o
 
d
e
 
a
l
u
n
0
2
148. 152. 156. 160. 164. 168. 172. 176.
N
ú
Estatura
Medidas de dispersãoMedidas de dispersão
 Amplitude
Xmaior – Xmenor
 Variância
 Desvio padrão
 
 Coeficiente de variaçãoç
100
x
sCV
Amplitude: número de filhosAmplitude: número de filhos
 Amplitude Total = Valor máximo – Valor mínimo
 Amplitude Total = 5 – 0 = 5
Nº de filhos fi
0 4
1 5
2 7
3 3
4 0
5 1
Total 20
Variância: número de filhosVariância: número de filhos
0 0 0 0 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 2 2 3 3 3 5
 
 
 
Número de filhos: variância (s²)Número de filhos: variância (s )
Nº de filhos fi
0 4 (-1,65)² = 2,72 2,724 = 10,88
   
( , ) , , 0,88
1 5 (-0,65)² = 0,42 0,425 = 2,10 
2 7 0,35² = 0,12 0,12  7 = 0,84 
3 3 1,35² = 1,82 1,82  3 = 5,46 
4 0 2,35² = 5,52 5,52  0 = 0 
5 1 3 35² = 11 22 11 22 1 11 225 1 3,35² = 11,22 11,22  1 = 11,22 
Total 20  = 30,50
Número de filhos: desvio padrão (s)Número de filhos: desvio padrão (s)
Estatura: amplitudeEstatura: amplitude 
 Amplitude
Xmaior – Xmenor = 172 – 152 = 20
Estatura xi fi
150  154 152 4150  154 152 4
154  158 156 9
158  162 160 11158  162 160 11
162 166 164 8
166  170 168 5
170  174 172 3
Total 40
Estatura: variânciaEstatura: variância 
Estatura xi fi
150  154 152 4 (152 – 161)² = 81 81 x 4 = 324
   
50  5 5 ( 5 6 ) 8 8 3
154  158 156 9 (156 – 161)² = 25 25 x 9 = 225
158  162 160 11 (160 – 161)² = 1 1 x 11 = 11158  162 160 11 (160 – 161) = 1 1 x 11 = 11
162 166 164 8 (164 – 161)² = 9 9 x 8 = 72
166  170 168 5 (168 161)² 49 49 5 245166  170 168 5 (168 – 161)² = 49 49 x 5 = 245
170  174 172 3 (172 – 161)² = 121 121 x 3 = 363
Total 40  = 1240
Estatura: desvio padrãoEstatura: desvio padrão
Coeficiente de variaçãoCoeficiente de variação
100
x
sCV
 Idade
100
65,1
24,1 CV %15,75CV
 Estatura
100
161
57,5 CV %46,3CV
InteratividadeInteratividade
Dada a tabela do número de erros de impressão da primeira página de 
um jornal durante 50 dias, assinale a alternativa correta.
Erros xi fi xi  fi (xi – x)² * fi
5  9 7 11 7 x 11 = 77 (7 – 12,7)² x 11 = 357,4
9  13 11 14 11 x 14 = 154 (11 – 12,7)² x 14 = 40,5
13  17 15 14 15 x 14 = 210 (15 – 12,7)² x 14 = 74,1
17 21 19 9 19 x 9 =171 (19 – 12 7)² x 9 = 357 2
a) Os pontosmédios são 11, 14, 14 e 9.
17  21 19 9 19 x 9 171 (19 12.7) x 9 357,2
Total 48  = 612  = 829,2
a) Os pontos médios são 11, 14, 14 e 9. 
b) A média é igual a 10,5 erros.
c) O desvio padrão é igual a 17,3 erros.) p g ,
d) O desvio padrão é igual a 4,2 erros.
e) A variância é igual a 4 erros².
ProbabilidadeProbabilidade
 Para fazer inferência estatística usam-se técnicas que exigem 
o conhecimento de probabilidade.
 A teoria das probabilidades busca estimar as chances de 
ocorrer um determinado acontecimento. 
A t d ti i l d li Antes de ativar uma usina nuclear, devemos analisar a 
probabilidade de uma detonação acidental. 
 Antes de aumentar o limite de velocidade em nossas Antes de aumentar o limite de velocidade em nossas 
rodovias, devemos procurar estimar a probabilidade do 
aumento em acidentes fatais.
Experimentos espaço amostral e eventosExperimentos, espaço amostral e eventos
 Experimentos: resultado no lançamento de um dado; hábito 
de fumar de um estudante sorteado em sala de aula; tipo 
sang íneo de m habitante escolhido ao acasosanguíneo de um habitante escolhido ao acaso.
 Espaço amostral: lançamento de um dado:  = {1, 2, 3, 4, 5, 
6}; exame de sangue (tipo sanguíneo):  = {A B AB O};6}; exame de sangue (tipo sanguíneo):  = {A, B, AB, O}; 
hábito de fumar:  = {fumante, não fumante}; tempo de 
duração de uma lâmpada:  = {t: t  0}.
 Eventos: alguns eventos de um dado:
 A: sair face par A = {2, 4, 6}  
 B: sair face maior que 3 B = {4, 5, 6}  
Probabilidade: exemploProbabilidade: exemplo
 Medida da incerteza associada aos resultados do 
experimento aleatório.
)(
)()(
Sn
AnAP 
 Em um vestibular, uma questão típica de múltipla escolha tem 
5 t í i R d d à tã
)( Sn
5 respostas possíveis. Respondendo à questão 
aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua resposta estar 
errada?
8,04)( erradarespostaP ,
5
)_( p
Probabilidade: mais dois exemplosProbabilidade: mais dois exemplos
 Imagine que um dado foi jogado. Qual é a probabilidade de 
ter ocorrido 5? 
 
 No lançamento de um dado perfeito, qual é a probabilidade de 
i ú i d 4?sair número maior do que 4? 
 
Probabilidade: outro exemploProbabilidade: outro exemplo
 Determine a probabilidade de que um casal com três filhos 
tenha exatamente 2 meninos. 1º 2º 3º
H
H
H
H
H
M
H
M
HH
H
M
M
M
H
H
M
H 
M
M
M
H
M
M
M
H
MM M M
Árvore de decisãoÁrvore de decisão
H
H 
H
H M
M HM
H H
M
M
M H
M
M HM
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Números de H Números de M Caminhos Quantidade de 
caminhos
3 meninos 0 meninas 1 13 meninos 0 meninas 1 1
2 meninos 1 menina 2, 3, 5 3
1 menino 2 meninas 4 6 7 31 menino 2 meninas 4, 6, 7 3
0 menino 3 meninas 8 1
O nº de caminhos é dado pelo nº de combinações
!, nxCn 
n = nº total de repetições do experimento (n = 3)
)!(!
,
xnx
xCn 
n n total de repetições do experimento (n 3).
x = nº de resultados desejados; (x varia de 0 a 3).
Análise combinatóriaAnálise combinatória
Nº de meninos que 
queremos obter
Fórmula do cálculo das 
combinações
Nº de combinações
obtidas
0 menino 1
1 i 3
1
!3
!3
)!03(!0
!30,3 C
!23!3!31 menino 3
2 meninos 3
!2
!2.3
!2
!3
)!13(!1
!31,3 C
!2.3!3!323 C
3 meninos 1
!2!1!.2)!23(!2
2,3 C
!3
!3
!0!3
!3
)!33(!3
!33,3 C !3!0!.3)!33(!3
 Então, a probabilidade de ocorrer dois meninos será:
 
Análise combinatóriaAnálise combinatória
 Qual é a probabilidade de ocorrer pelo menos dois meninos?
Nº de meninos que Fórmula do cálculo das Nº de combinações
queremos obter combinações obtidas
0 menino 1!3!30 menino 1
1 menino 3
1
!3
!3
)!03(!0
!30,3 C
!2
!2.3
!2
!3
)!13(!1
!31,3 C
2 meninos 3
!2!2)!13(!1 
!2
!2.3
!1!.2
!3
)!23(!2
!32,3 C
3 meninos 1
!3
!3
!0!.3
!3
)!33(!3
!33,3 C
 P(obter pelo menos dois meninos) = 
= 3/8 + 1/8 = 4/8 = 0,5 
ExemploExemplo
Vinte moedas são jogadas simultaneamente, qual é a 
probabilidade de que se obtenham exatamente oito caras?
Aa,b = 220 = 1.048.576 de resultados
O número total de resultados que nos interessa:
!12.1.2.3.4.5.6.7.8
!12.13.14.15.16.17.18.19.20
!12!.8
!20
)!820(!8
!208,20 C
A probabilidade de ocorrer 8 caras é:
970.1258,20 C
)( %01,121201,0
1048576
125970
)(
)()( 
Sn
AnAP
InteratividadeInteratividade
A MasterCard International efetuou um estudo de fraudes em cartões
de crédito; os resultados estão na tabela. Selecionado aleatoriamente
um caso de fraude nos casos resumidos na tabela qual aum caso de fraude nos casos resumidos na tabela, qual a 
probabilidade de a fraude resultar de um cartão falsificado?
Tipo de fraude Númerop
Cartão roubado
Cartão falsificado
Pedido por correio / telefone
243
85
52
a) P(cartão falsificado) = 1,85%
p
Outros 46
b) P(cartão falsificado) = 57,04%
c) P(cartão falsificado) = 19,95%
d) P(cartão falsificado) = 12,21%
e) P(cartão falsificado) = 10,80%
Probabilidade condicional: exemploProbabilidade condicional: exemplo
Homens (H) Mulheres (M) Total
Cursão (C) 15 4 19
Estatística (E) 16 15 31
Física (F) 6 0 6
Outros (O) 4 2 6
Selecione um aluno ao acaso e defina os eventos:
Outros (O) 4 2 6
Total 41 21 62
a) O aluno selecionado é do sexo masculino, dado que cursa o 
Cursão: 
P(HC) = 15/19 = 0,7895 ou 78,95%.
b) A disciplina selecionada é estatística, dado que é homem: 
P(EH) = 16/41 = 0,3902
Eventos independentes: exemploEventos independentes: exemplo 
 Imagine que um dado e uma moeda são jogados ao mesmo tempo. 
 Qual a probabilidade de Dado Moeda
ocorrer cara na moeda 
sabendo que ocorreu face 
6 no dado?
Cara Coroa
1 Cara; 1 Coroa; 16 no dado?
 P(sair cara na moeda, 
sabendo que ocorreu 
; ;
2 Cara; 2 Coroa; 2
3 Cara; 3 Coroa; 3q
6 no dado) = ½ = 0,5.
3 Cara; 3 Coroa; 3
4 Cara; 4 Coroa; 4
5 C 5 C 55 Cara; 5 Coroa; 5
6 Cara; 6 Coroa; 6
Regra da adição: exemplo com eventos mutuamente 
excludentes
 P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B)
 Palavra-chave: OU
Suponha que uma urna contém duas bolas brancas, uma azul e 
uma vermelha. Retira-se uma bola da urna ao acaso. 
Q l b bilid d d t íd b l l id i t é lQual a probabilidade de ter saído bola colorida, isto é, azul ou 
vermelha?
 A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 0 25 ou 25% A probabilidade de sair bola azul é ¼ = 0,25 ou 25%.
 A probabilidade de sair bola vermelha é ¼ = 0,25 ou 25%.
 Então a probabilidade de sair bola colorida é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ Então, a probabilidade de sair bola colorida é ¼ + ¼ = 2/4 = ½ 
= 0,5 ou 50%.
Regra da adição: eventos não excludentesRegra da adição: eventos não excludentes 
P(A ou B) = P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
 Imagine uma carta ser retirada ao acaso de um baralho. Qual 
é a probabilidade de sair uma carta de espadas ou um ás?
 Um baralho tem 52 cartas
 13 são de espadas e 4 são ases
 P(sair uma carta de espadas ou um ás) é:
 13/52 + 4 /52 (Resposta errada)
 P(sair uma carta de espadas ou um ás) é:
 13/52 + 4/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13 = 0,3077 ou 30,77% 
(Resposta correta)
Regra da multiplicação: eventos independentesRegra da multiplicação: eventos independentes
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B)
 Palavra chave: E
 Uma moeda será jogada duas vezes. Qual é a probabilidade 
de ocorrer cara nas duas jogadas? 
 Probabilidade de ocorrer cara na primeira jogada é ½ = 0,5 ou 
50%.
P b bilid d d d j d é ½ 0 5 Probabilidade de ocorrer cara na segunda jogada é: ½ = 0,5 
ou 50%.
 Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas Para obter a probabilidade de ocorrer cara nas duas jogadas, 
faz-seo produto: ½ . ½ = ¼ = 0,25 ou 25%.
Regra da multiplicação: eventos dependentesRegra da multiplicação: eventos dependentes
 Se os eventos A e B são dependentes, temos que:
 P(A e B) = P(A  B) = P(A) . P(B/A)
 Uma urna contém duas bolas brancas e uma vermelha. 
Retiram-se duas bolas da urna ao acaso, uma em seguida 
d t i i t h id l dda outra e sem que a primeira tenha sido recolocada. 
Qual é a probabilidade de as duas serem brancas?
Regra da multiplicação: eventos dependentesRegra da multiplicação: eventos dependentes
 A probabilidade da primeira bola ser branca é: 
2/3 = 0,6667 ou 66,67%.
 A probabilidade da segunda bola ser branca: ½ = 0,5 ou 50%.
Para obter a probabilidade das duas bolas retiradas serem 
b f d tbrancas, faz-se o produto: 
 P(2 bolas brancas) = 2/3 * 1/2 = 2/6 = 1/3 = 0,3333 ou 33,33%.
InteratividadeInteratividade
Com referência à tabela, admita que todas as escolhas 
envolvam os 2000 indivíduos. Se uma pessoa é selecionada 
aleatoriamente q al é a probabilidade de ela ter sido ítima dealeatoriamente, qual é a probabilidade de ela ter sido vítima de 
um estranho, dado que foi escolhida uma vítima de furto?
Homicídio Furto Assalto Total
Estranho
Conhecido ou parente
Ignorado
12
39
18
379
106
20
727
642
57
1118
787
95
a) P(estranho / furto) = 0 75
Ignorado 18 20 57 95
Totais 69 505 1429 2000
a) P(estranho / furto) = 0,75
b) P(estranho / furto) = 0,559
c) P(estranho / furto) = 0,2525c) P(estranho / furto) 0,2525
d) P(estranho / furto) = 0,5087
e) P(estranho / furto) = 0,1739
ATÉ A PRÓXIMA!