Lista de Curvas e Integrais de linha

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA
INSTITUTO DE CIEˆNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
MAT 157 - CA´LCULO III – 2012/I – Profa. Lucy Tiemi Takahashi
Segunda Lista de Exerc´ıcios
1. Para cada um dos seguintes pares de equac¸o˜es parame´tricas, esboce a
curva e determine sua equac¸a˜o cartesiana.
(a) x = −1 + t, y = 2− t, t ∈ R.
(b) x = −1 + t2, y = 2− t2, t ∈ R.
(c) x = cos2(t), y = sen2(t), t ∈ R.
(d) x = sen(t), y = cos(2t), t ∈ [0, 2pi].
(e) x = t2 − 4, y = 1− t, t ∈ R.
2. Fac¸a um esboc¸o da curva definida pela func¸a˜o vetorial r(t) =< 2 cos(t), 3sen(t), 5 >,
t ∈ [0, 2pi].
3. Considere a curva definida por r(t) = (1 + 2 ln(1 + t), 1 + (1 + t)2),
t > −1.
(a) Determine uma equac¸a˜o da reta tangente a` curva no ponto (1.2).
(b) Deˆ uma equac¸a˜o cartesiana da curva.
(c) Esboce a curva.
4. Escreva equac¸o˜es da reta tangente a` curva do R3 parametrizada por
r(t) = (t, 1− t2, 1) no ponto (0, 1, 1).
5. O vetor posic¸a˜o de uma part´ıcula em movimento e´
r(t) =
(
1− t2
1 + t2
,
2t
1 + t2
)
(a) Mostre que a part´ıcula se move sobre uma circunfereˆncia de centro
na origem.
1
(b) Em que sentido a part´ıcula se move, quando t aumenta?
(c) Ha´ pontos na circunfereˆncia que na˜o sa˜o ocupados pela part´ıcula
quando t percorre o intervalo (−∞,+∞)?
6. Dois carros se movem segundo os seguintes vetores posic¸a˜o:
r1(t) = (1 + t, 2 + 3t) e r2(t) = (1− t, 3 + t2), t > 0.
(a) Mostre que eles nunca se chocara˜o.
(b) Esboce as estradas sobre as quais eles se movem.
(c) Em que pontos elas se cruzam?
(d) Em que ponto a velocidade escalar do segundo carro e´ mı´nima e
qual e´ esta velocidade?
7. Determine o comprimento do caminho percorrido por uma part´ıcula
que se move ao longo das curvas de equac¸o˜es dadas durante o intervalo
de tempo especificado em cada um dos casos abaixo:
(a) r(t) = (et cos(t), etsen(t)), 0 6 t 6 2.
(b) r(t) = (t, 3t2, 6t3), 0 6 t 6 2.
8. Uma curva tem equac¸a˜o y2 = x3. Encontre o comprimento da curva
do ponto (1,−1) ao ponto (1, 1).
9. Uma part´ıcula se move ao longo de uma curva definida por
r(t) = (t− sen(t), 1− cos(t)), 0 6 t 6 2pi.
(a) Determine os instantes t1, t2 ∈ [0, 2pi] onde v(t) = 1 (onde, v e´ a
velocidade).
(b) Calcule o espac¸o percorrido pela part´ıcula no intervalo de tempo
[t1, t2].
(c) Determine a(t) (onde, a e´ a acelerac¸a˜o).
10. Calcule
∫
C
fds, onde
2
(a) f(x, y) = x + y e C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices (0, 0),
(1, 0) e (0, 1).
(b) f(x, y, z) = e
√
z e C e´ definida por r(t) = (1, 2, t2), 0 6 t 6 1.
(c) f(x, y, z) = x + y e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do semi-
plano x = y, y > 0, com o parabolo´ide z = x2 + y2, z 6 2.
11. Calcule
∫
C
F · dr, onde
(a) F (x, y) =
(
x√
x2 + y2
,
y√
x2 + y2
)
e C e´ a circunfereˆncia de cen-
tro na origem e raio a, percorrida no sentido anti-hora´rio.
(b) F (x, y, z) = (x, y, xz − y) e C e´ o segmento de reta de (0, 0, 0) a
(1, 2, 4).
(c) F (x, y, z) = (xy, x2+z, y2−x) e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o
da superf´ıcie x2+y2 = z2, z > 0, com o cilindro x = y2 de (0, 0, 0)
a (1, 1,
√
2).
(d) F (x, y) = (ysen(z), xsen(z), xy cos(z)) e C e´ a circunfereˆncia de
centro no ponto (1, 1) r raio
√
2, percorrida no sentido anti-hora´rio.
12. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a forma da superf´ıcie do
cilindro x2+y2 = 4, compreendida entre os planos z = 0 e x+y+z = 2,
z > 0. Se o metro quadrado do zinco custa M reais, calcule o prec¸o
total da pec¸a.
13. Calcule as seguintes integrais, ao longo das curvas C, orientadas posi-
tivamente.
(a)
∮
C
(3x2 + y)dx + 4y2dy; C e´ a fronteira do triaˆngulo de ve´rtices
(0, 0), (1, 0) e (0, 2).
(b)
∮
C
x−1eydx+ (ey ln(x) + 2x)dy; C e´ a fronteira da regia˜o limitada
por x = y4 + 1 e x = 2.
(c)
∮
C
(2x − y3)dx − xydy; C e´ a fronteira da regia˜o limitada pelas
curvas x2 + y2 = 4 e x2 + y2 = 9.
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